M8 E - Das kann ich in Mathematik 8 – Expertenstandard

M8 E - Das kann ich in Mathematik 8 – Expertenstandard

Mini-Beschreibung: Überprüfe selbstständig Dein Können beim Termumformen, beim linearen Modellieren, bei linearen Gleichungssystemen, bei der statistischen Bewertung, bei geometrischen Begründungen, bei Ortslinien und bei komplexeren Körperproblemen. Dieser aiMOOC richtet sich ausschließlich an Klasse 8 auf E-Niveau in Baden-Württemberg.

Einleitung

Du arbeitest hier nicht nur auf ein Ergebnis hin. Auf E-Niveau sollst Du untersuchen, verallgemeinern, begründen, Gegenbeispiele finden und mehrschrittig modellieren. Rechenweg, Darstellung und Begründung gehören zusammen.

Der aktuelle Bildungsplan Mathematik Sekundarstufe I in Baden-Württemberg verbindet diese Inhalte mit mathematischem Argumentieren, Problemlösen, Modellieren, Darstellen, Kommunizieren und dem reflektierten Arbeiten mit digitalen Medien.

Grundregel für digitale Werkzeuge und KI: Ein Graphikrechner, eine Tabellenkalkulation, dynamische Geometriesoftware oder eine KI kann Vermutungen liefern und Ergebnisse kontrollieren. Du musst aber Eingaben, Einheiten, Definitionsbereich, Rundungen und mathematische Begründungen selbst prüfen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis. Verwende in schulischen Beispielen keine personenbezogenen Daten.

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du selbstständig erkennen, welches Verfahren zu einer anspruchsvolleren Aufgabe passt. Du kannst insbesondere Terme sicher umformen, lineare Modelle aufstellen und bewerten, lineare Gleichungssysteme lösen und geometrisch deuten, Boxplots vergleichen, geometrische Aussagen begründen, Ortslinien zur Konstruktion nutzen sowie Volumen- und Oberflächenprobleme mehrschrittig lösen.

Vorwissen-Check

Prüfe ohne Hilfsmittel:

1. Vereinfache $4x-3+2x+7$.
2. Löse $5x-8=17$.
3. Bestimme die Steigung der Geraden durch $A(1|3)$ und $B(5|11)$.
4. Erkläre den Unterschied zwischen Median und arithmetischem Mittel.
5. Nenne die Ortslinie aller Punkte, die von zwei Punkten $A$ und $B$ gleich weit entfernt sind.
6. Gib eine passende Einheit für ein Volumen an.

Selbstcheck: Wenn Du mindestens vier Aufgaben sicher erklären kannst, starte direkt mit den Expertenaufgaben. Sonst wiederhole gezielt die betreffende Grundlage.

Terme selbstständig umformen

Bei komplexeren Termen zählt nicht nur das Ergebnis, sondern die Struktur.

Beispiel: $3(2x-5)-2(x+4)$

Schritt 1: Klammern auflösen.

$6x-15-2x-8$

Schritt 2: Gleichartige Terme zusammenfassen.

$4x-23$

Probe durch Einsetzen: Für $x=2$ liefern Ausgangsterm und Endterm jeweils $-15$. Eine Einsetzprobe beweist noch nicht allgemein die Gleichheit, kann aber Rechenfehler aufdecken.

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Expertenblick: Gegenbeispiel statt Bauchgefühl

Behauptung: „Wenn zwei Terme für $x=1$ denselben Wert haben, sind sie immer gleich.“

Gegenbeispiel:

$T_1(x)=x$

$T_2(x)=x^2$

Für $x=1$ stimmen beide Werte überein, für $x=2$ aber nicht. Ein einzelner Testwert genügt also nicht als Beweis für Termgleichheit.

Lineares Modellieren

Ein lineares Modell hat die Form

$y=mx+b$.

Dabei beschreibt $m$ die Änderungsrate und $b$ den Anfangswert.

Modellproblem: Zwei Fahrdienste werden durch

$K_1(x)=\mathrm{2,40}x+\mathrm{3,50}$

und

$K_2(x)=\mathrm{1,90}x+\mathrm{6,50}$

modelliert. $x$ ist die Strecke in Kilometern, $K(x)$ der Preis in Euro.

Gleichsetzen:

$\mathrm{2,40}x+\mathrm{3,50}=\mathrm{1,90}x+\mathrm{6,50}$

$\mathrm{0,50}x=3$

$x=6$

Bei $6$ km liefern beide Modelle $\mathrm{17,90}$ Euro.

Expertenfrage: Ist das Modell für jede beliebig große Strecke sinnvoll? Prüfe, ob der Sachzusammenhang Grenzen, Mindestpreise oder weitere Tarifbestandteile besitzen könnte.

Darstellungen wechseln

Zu einem linearen Zusammenhang solltest Du zwischen Text, Tabelle, Gleichung und Graph wechseln können. Prüfe beim digitalen Zeichnen immer:

1. Passt der sichtbare Ausschnitt?
2. Sind Achsen und Einheiten sinnvoll?
3. Ist der Graph wirklich linear?
4. Ist der berechnete Schnittpunkt im Sachzusammenhang zulässig?

Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen beschreibt zwei Bedingungen gleichzeitig.

Beispiel:

$\begin{array}{cc}y& =2x+1\\ y& =-x+7\end{array}$

Gleichsetzen:

$2x+1=-x+7$

$3x=6$

$x=2$

Einsetzen:

$y=2\cdot 2+1=5$

Die Lösung ist $S(2|5)$.

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Lösungsvielfalt untersuchen:

1. Ein Schnittpunkt: genau eine Lösung.
2. Parallele verschiedene Geraden: keine Lösung.
3. Identische Geraden: unendlich viele Lösungen.

Offenes Problem: Erfinde zwei Gleichungen, deren Geraden keinen Schnittpunkt besitzen. Verändere anschließend nur eine Zahl so, dass genau eine Lösung entsteht. Begründe beide Fälle algebraisch und graphisch.

Statistik bewerten

Ein Boxplot fasst eine Datenverteilung mit Minimum, unterem Quartil, Median, oberem Quartil und Maximum zusammen.

Beispieldaten:

$2,4,5,6,7,8,9,10,12,14$

Daraus erhältst Du nach der hier verwendeten Halbierungsregel:

$Q_1=5$

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}=\mathrm{7,5}$

$Q_3=10$

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Bewerten statt nur ablesen: Zwei Gruppen können denselben Median besitzen und sich trotzdem stark in ihrer Streuung unterscheiden. Vergleiche daher nicht nur einen Kennwert.

Gegenbeispiel: Die Datenreihen $4,5,6$ und $0,5,10$ haben denselben Median, aber eine deutlich unterschiedliche Spannweite.

Geometrisch begründen

Eine Zeichnung kann eine Vermutung zeigen. Eine Begründung erklärt, warum die Aussage gelten muss.

Beispiel: Liegt ein Punkt $P$ auf der Mittelsenkrechten der Strecke $AB$, dann gilt

$PA=PB$.

Die Aussage lässt sich über kongruente rechtwinklige Teildreiecke begründen.

Gegenbeispiel-Aufgabe: „Zwei Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt sind kongruent.“ Finde zwei Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt, aber unterschiedlichen Seitenlängen. Damit widerlegst Du die Behauptung.

Ortslinien und dynamische Geometrie

Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte, die eine festgelegte Bedingung erfüllen.

Wichtige Beispiele:

1. Gleich weit von $A$ und $B$: Mittelsenkrechte von $AB$.
2. Fester Abstand $r$ von $M$: Kreis mit Mittelpunkt $M$.
3. Gleich weit von zwei sich schneidenden Geraden: Winkelhalbierende.

Dynamische Untersuchung: Konstruiere in einer Geometriesoftware zwei Punkte $A$ und $B$, ihre Mittelsenkrechte und einen beweglichen Punkt $P$ darauf. Miss $PA$ und $PB$. Ziehe $P$. Formuliere eine Vermutung und begründe sie anschließend ohne Software.

Komplexere Körperprobleme

Für ein gerades Prisma gilt

$V=G\cdot h$

und

$O=2G+M$.

Für einen Zylinder gilt

$G=\pi r^2$

und

$M=2\pi rh$.

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Mehrschrittiges Problem: Eine zylindrische Dose wird vollständig mit Papier ummantelt. Radius und Höhe sind gegeben. Entscheide zuerst, ob Deckel und Boden mitgerechnet werden. Skizziere das Netz, stelle die benötigte Flächenformel auf, rechne mit Einheiten und prüfe, ob das Ergebnis zur Größe der Dose passt.

Fehlerdetektor: Ein Taschenrechnerwert ohne Einheit ist kein vollständiges Ergebnis. Ein digitales Ergebnis ist außerdem nur so zuverlässig wie die eingegebenen Werte und die gewählte Formel.

Interaktive Beispiele

Beispiel A: Termumformung prüfen

Zu prüfen ist:

$2(3x-4)+5=6x-3$

Linke Seite:

$6x-8+5=6x-3$

Die Umformung stimmt für alle zulässigen $x$.

Denkfrage: Was wäre ein möglichst schneller Weg, eine falsche behauptete Termgleichheit zu widerlegen? Suche einen passenden Einsetzwert als Gegenbeispiel.

Beispiel B: Modell und Schnittpunkt

Ein Angebot A wird durch $A(x)=4x+10$, ein Angebot B durch $B(x)=6x+2$ beschrieben.

$4x+10=6x+2$

$8=2x$

$x=4$

Interpretation: Bei $x=4$ sind die Modellwerte gleich. Erst der Sachtext entscheidet, was $x=4$ tatsächlich bedeutet.

Beispiel C: Boxplot kritisch lesen

Wenn zwei Boxplots denselben Median besitzen, folgt daraus nicht, dass die Daten gleich verteilt sind. Vergleiche zusätzlich Quartile, Spannweite und Form der Verteilung.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Term

Vereinfache:

$5(2x-3)-3(x+4)+7$

Hilfe 1: Löse zuerst beide Klammern auf.

Hilfe 2: Fasse danach alle $x$-Terme und alle Zahlen getrennt zusammen.

Feedback: Das Ergebnis lautet $7x-20$. Wenn Du etwas anderes erhältst, prüfe besonders das Minus vor der zweiten Klammer.

Übung 2: Lineares Modell

Ein Behälter enthält anfangs $120$ Liter. Pro Minute fließen $8$ Liter ab. Stelle ein lineares Modell für die Restmenge $R(t)$ auf und bestimme, wann der Behälter rechnerisch leer ist.

Hilfe 1: Der Anfangswert ist $120$, die Änderungsrate ist negativ.

Hilfe 2: Löse $R(t)=0$.

Feedback: $R(t)=120-8t$ und rechnerisch $t=15$ Minuten. Prüfe, ob das lineare Modell bis zum vollständigen Leeren realistisch bleibt.

Übung 3: Gleichungssystem

Löse:

$\begin{array}{cc}y& =3x-2\\ y& =-x+10\end{array}$

Hilfe 1: Beide Gleichungen sind bereits nach $y$ aufgelöst.

Hilfe 2: Setze die rechten Seiten gleich.

Feedback: $x=3$ und $y=7$. Kontrolliere den Punkt in beiden Ausgangsgleichungen.

Übung 4: Ortslinie

Gesucht sind alle Punkte, die von den Punkten $A$ und $B$ denselben Abstand besitzen.

Hilfe 1: Denke an eine Konstruktion mit zwei gleich großen Kreisbögen.

Hilfe 2: Verbinde die Schnittpunkte der Kreisbögen.

Feedback: Die gesuchte Ortslinie ist die Mittelsenkrechte von $AB$. Begründe zusätzlich, warum jeder Punkt darauf zu $A$ und $B$ gleich weit entfernt ist.

Typische Fehler

1. Vorzeichenfehler beim Auflösen von Klammern.
2. Steigung und Achsenabschnitt werden vertauscht.
3. Der Schnittpunkt zweier Graphen wird berechnet, aber nicht im Sachzusammenhang interpretiert.
4. Bei Boxplots wird nur der Median betrachtet.
5. Eine genaue Zeichnung wird mit einem Beweis verwechselt.
6. Bei Körpern werden Flächen- und Volumeneinheiten vermischt.
7. Ein digitales Ergebnis wird ungeprüft übernommen.

Selbstkontrolle

Beantworte jeweils mit einer kurzen Begründung:

1. Kann ich eine falsche Termgleichheit mit einem Gegenbeispiel widerlegen?
2. Kann ich aus zwei Punkten eine lineare Gleichung bestimmen?
3. Kann ich bei einem LGS zwischen einer, keiner und unendlich vielen Lösungen unterscheiden?
4. Kann ich zwei Boxplots anhand mehrerer Merkmale vergleichen?
5. Kann ich erklären, warum die Mittelsenkrechte eine Ortslinie ist?
6. Kann ich bei einer Körperaufgabe zuerst eine Skizze oder ein Netz nutzen?
7. Kann ich digitale Ergebnisse durch Probe, Graph, Einheit oder Abschätzung kontrollieren?

Transfer

Offenes Transferproblem: Plane einen kleinen zylindrischen Behälter mit vorgegebenem Volumen. Untersuche zwei mögliche Kombinationen aus Radius und Höhe. Vergleiche den Materialbedarf über die Oberfläche. Nutze bei Bedarf Tabellenkalkulation oder dynamische Software. Begründe anschließend, welche Variante nach Deinem mathematischen Kriterium günstiger ist.

KI-Prüfauftrag: Lass Dir von einer KI einen Lösungsweg zu einer linearen Modellierungsaufgabe vorschlagen. Prüfe jeden Schritt durch eigene Rechnung, Einheitenkontrolle und mindestens eine Probe. Markiere Aussagen, die nur plausibel klingen, aber nicht begründet sind.

Kompetenzcheck

Du erreichst den Expertenstandard dieses Kurses, wenn Du bei neuen Aufgaben selbstständig

1. eine passende mathematische Darstellung auswählst,
2. mehrschrittige Rechnungen strukturiert ausführst,
3. Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretierst,
4. Gegenbeispiele zur Widerlegung ungeeigneter Verallgemeinerungen findest,
5. digitale Werkzeuge kritisch zur Kontrolle und Untersuchung nutzt,
6. Begründungen fachsprachlich nachvollziehbar formulierst.

Reflexion

Schreibe zu jedem Satz eine kurze persönliche Antwort:

1. Eine Aufgabe, bei der ich mein Verfahren selbst gewählt habe, war ...
2. Ein Gegenbeispiel hat mir gezeigt, dass ...
3. Ein digitales Werkzeug war hilfreich, weil ...
4. Eine digitale Ausgabe musste ich korrigieren oder genauer prüfen, weil ...
5. Bei meiner nächsten komplexen Aufgabe achte ich besonders auf ...

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ein Kurs, der die E-Niveau-Kompetenzen aus Klasse 8 auf anspruchsvollere Funktionen, Ähnlichkeit, den Satz des Pythagoras, Wurzeln und mehrschrittige Modellierungsaufgaben ausweitet.

Empfohlene Verknüpfungen: Lineare Funktion, Lineares Gleichungssystem, Boxplot, Ortslinie, Prisma, Zylinder, Mathematisches Modellieren, Mathematischer Beweis.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Umformung von 3 mal x plus 2 mal x ist richtig? (5 mal x) (!6 mal x) (!5 plus x) (!6 plus x)

Was beschreibt bei einer linearen Funktion die Steigung? (Die Änderung von y pro Änderung von x) (!Den Schnittpunkt mit der y Achse) (!Immer den größten Funktionswert) (!Die Anzahl der Nullstellen)

Was bedeutet ein einzelner Schnittpunkt zweier Geraden bei einem linearen Gleichungssystem? (Es gibt genau eine Lösung) (!Es gibt keine Lösung) (!Es gibt unendlich viele Lösungen) (!Das System ist nicht linear)

Welche Kennzahl teilt eine geordnete Datenreihe in zwei Hälften? (Der Median) (!Die Spannweite) (!Das Maximum) (!Die Summe)

Welche Ortslinie enthält alle Punkte mit gleichem Abstand von zwei Punkten? (Die Mittelsenkrechte) (!Die Parallele) (!Die Kreisfläche) (!Die Höhe eines Dreiecks)

Was genügt nicht als allgemeiner Beweis für eine Termgleichheit? (Ein einzelner Einsetzwert) (!Eine vollständige algebraische Umformung) (!Eine allgemeine Begründung) (!Ein Widerspruchsbeweis)

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikzentimeter) (!Zentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Grad)

Was sollte nach einer digitalen Berechnung immer folgen? (Eine mathematische Plausibilitätsprüfung) (!Das ungeprüfte Übernehmen) (!Das Löschen der Ausgangsdaten) (!Das Weglassen der Einheit)

Wann haben zwei verschiedene parallele Geraden ein lineares Gleichungssystem ohne Lösung? (Wenn ihre Steigungen gleich und ihre Achsenabschnitte verschieden sind) (!Wenn ihre Steigungen verschieden sind) (!Wenn beide durch denselben Punkt gehen) (!Wenn sie identisch sind)

Was ist auf E Niveau besonders wichtig? (Selbstständig untersuchen und begründen) (!Nur Ergebnisse abschreiben) (!Nur bekannte Muster wiederholen) (!Begründungen vermeiden)

Memory

Termumformung	Gleichwertige algebraische Darstellung
Steigung	Änderungsrate
Schnittpunkt	Lösung eines linearen Gleichungssystems
Boxplot	Darstellung einer Datenverteilung
Mittelsenkrechte	Gleicher Abstand zu zwei Punkten
Zylindernetz	Zwei Kreise und ein Rechteck

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Äquivalenzumformung	Gleichungen
Steigungsdreieck	Lineare Funktionen
Quartil	Statistik
Mittelsenkrechte	Ortslinien
Körpernetz	Raumgeometrie

Kreuzworträtsel

Term	Wie heißt ein mathematischer Ausdruck mit Zahlen Variablen und Rechenzeichen?
Steigung	Welche Größe beschreibt die Änderung einer linearen Funktion?
Schnittpunkt	Wie heißt der gemeinsame Punkt zweier sich schneidender Geraden?
Median	Welche Kennzahl liegt in der Mitte einer geordneten Datenreihe?
Mittelsenkrechte	Welche Ortslinie enthält Punkte mit gleichem Abstand zu zwei Punkten?
Zylinder	Welcher Körper besitzt zwei parallele kreisförmige Grundflächen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Umformen eines Terms müssen Rechengesetze korrekt angewendet werden. Eine lineare Funktion kann in der Form beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt zweier nicht paralleler Geraden liefert die eines linearen Gleichungssystems. Beim Boxplot ist der ein zentraler Kennwert. Punkte mit gleichem Abstand von zwei Punkten liegen auf der . Beim Volumen eines geraden Prismas wird Grundfläche mit der multipliziert. Ergebnisse digitaler Werkzeuge müssen immer werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Termumformung: Erstelle drei Terme mit Klammern, vereinfache sie und prüfe jeden Term an zwei selbst gewählten Zahlen.
2. Lineare Funktion: Erfinde eine Alltagssituation mit Anfangswert und konstanter Änderungsrate und stelle Text, Tabelle und Gleichung dar.
3. Boxplot: Erzeuge eine kleine anonyme oder erfundene Datenreihe und zeichne daraus einen Boxplot.
4. Ortslinie: Konstruiere die Mittelsenkrechte einer Strecke und erkläre mit eigenen Worten ihre Ortslinieneigenschaft.

Standard

1. Lineares Gleichungssystem: Erfinde ein Sachproblem, das zu zwei linearen Gleichungen führt, und löse es algebraisch und graphisch.
2. Gegenbeispiel: Formuliere eine falsche mathematische Verallgemeinerung aus einem Kursthema und widerlege sie mit einem konkreten Gegenbeispiel.
3. Dynamische Geometrie: Untersuche eine Ortslinie mit einer Geometriesoftware, dokumentiere Beobachtung, Vermutung und Begründung.
4. Körpernetz: Entwirf das Netz eines selbst gewählten Prismas oder Zylinders und berechne seinen Materialbedarf.

Schwer

1. Mathematisches Modellieren: Vergleiche zwei lineare Kostenmodelle mit unterschiedlichen Startwerten und Änderungsraten. Bestimme Schnittpunkt, sinnvollen Definitionsbereich und Grenzen des Modells.
2. Statistik: Erfinde zwei Datenreihen mit gleichem Median, aber deutlich unterschiedlicher Streuung. Stelle beide als Boxplot dar und interpretiere den Unterschied.
3. Geometrischer Beweis: Formuliere zu einer dynamisch beobachteten geometrischen Eigenschaft eine Begründung, die ohne Bildschirmdarstellung verständlich bleibt.
4. Optimierung: Vergleiche zwei zylindrische Behälter mit gleichem Volumen hinsichtlich ihrer Oberfläche. Nutze digitale Werkzeuge zur Erkundung und prüfe Dein Ergebnis rechnerisch.

Lernkontrolle

1. Modellkritik: Ein digitales Werkzeug liefert für ein Kostenmodell einen Schnittpunkt außerhalb des realistischen Bereichs. Erkläre, wie Du entscheidest, ob das Ergebnis im Sachzusammenhang brauchbar ist.
2. Fehleranalyse: Analysiere einen Lösungsweg, in dem beim Ausmultiplizieren ein Vorzeichenfehler vorkommt. Erkläre, wie sich dieser Fehler auf das Endergebnis auswirkt.
3. Darstellungswechsel: Beschreibe, welche zusätzlichen Informationen Du aus Graph, Gleichung und Tabelle desselben linearen Modells jeweils besonders gut entnehmen kannst.
4. Statistische Bewertung: Zwei Klassen haben denselben Median, aber unterschiedliche Boxbreiten. Erkläre, welche Schlussfolgerungen möglich sind und welche nicht.
5. Geometrische Argumentation: Begründe, warum eine Konstruktion mit der Mittelsenkrechten ein Abstandsproblem lösen kann.
6. Körpermodell: Bei einer Verpackung wird Material eingespart. Entwickle eine mathematische Vorgehensweise, mit der Du verschiedene Abmessungen bei festem Volumen vergleichst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. Terme korrekt und nachvollziehbar umformen kannst,
2. lineare Modelle selbstständig aus Situationen entwickelst und ihre Grenzen beurteilst,
3. lineare Gleichungssysteme algebraisch und graphisch interpretierst,
4. Boxplots nicht nur erstellst, sondern vergleichend bewertest,
5. geometrische Aussagen durch Argumente und bei Bedarf Gegenbeispiele untersuchst,
6. Ortslinien für Konstruktionen nutzt und begründest,
7. komplexere Körperprobleme mit Skizze, Formel, Einheit und Plausibilitätskontrolle löst,
8. digitale Werkzeuge und KI-Ergebnisse kritisch prüfst.

OERs zum Thema

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien besitzen auf ihren jeweiligen Dateiseiten ausgewiesene freie oder gemeinfreie Lizenzen. Das eingebundene Planet-Schule-Video zu Prisma und Zylinder ist laut Videobeschreibung unter CC BY-SA veröffentlicht. Bei weiteren YouTube-Einbettungen verbleiben Rechte und Verfügbarkeit beim jeweiligen Anbieter; Inhalte werden hier nicht kopiert.

Weitere geeignete freie Lernmedien: Lineare Funktion, Lineares Gleichungssystem, Boxplot, Mittelsenkrechte, Prisma, Zylinder.

Verknüpfte Lernbereiche

M8 E - Das kann ich in Mathematik 8 – Expertenstandard Termumformung Lineare Funktion Lineares Gleichungssystem Boxplot Ortslinie Geometrischer Beweis Prisma Zylinder