M7 M - Realsituationen mathematisch modellieren

Einleitung

Mathematik hilft Dir, Alltagssituationen so zu vereinfachen, dass Du sie berechnen, darstellen und beurteilen kannst. Dabei geht es nicht nur ums Rechnen: Du entscheidest zuerst, welche Größen wichtig sind, stellst ihre Beziehung mathematisch dar und übersetzt das Ergebnis anschließend wieder in die Realsituation.

Mini-Beispiel: Fahrradverleih

Ein Fahrrad kostet 3 € Grundgebühr und zusätzlich 2 € pro Stunde.

$K(h)=3+2h$

Für $h=4$ gilt:

$K(4)=3+2\cdot 4=11$

Antwort im Kontext: Vier Stunden kosten 11 €.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Realsituationen analysieren und wichtige von unwichtigen Informationen unterscheiden.
2. Größen, Einheiten und Variablen passend festlegen.
3. Beziehungen mit Term, Gleichung, Wertetabelle, Graph oder geometrischer Figur darstellen.
4. zwischen verschiedenen Darstellungen wechseln.
5. Ergebnisse zurück in den Alltag übersetzen und auf Plausibilität prüfen.
6. Lösungswege vergleichen und fachsprachlich begründen.
7. digitale Werkzeuge sinnvoll nutzen und ihre Ergebnisse kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

Prüfe zuerst kurz Dein Vorwissen.

1. Variable: Wofür kann $x$ in einer Alltagssituation stehen?
2. Einheit: Welche Einheit passt zu Zeit, Länge, Preis oder Fläche?
3. Term: Berechne $4+2\cdot 5$.
4. Tabelle: Ergänze zu $y=3x$ die Werte für $x=1,2,4$.
5. Koordinatensystem: Lies den Punkt $P(3|6)$ als Wertepaar.

Lösungen anzeigen

1. Eine veränderliche Größe, zum Beispiel Zeit oder Strecke.
2. Zum Beispiel s, m, km, €, cm².
3. $14$
4. $3,6,12$
5. $x=3$ und $y=6$

Dynamische Zahlengerade

Nutze die Zahlengerade, wenn Dezimalzahlen, Messwerte oder Geldbeträge vorkommen.

Interaktives Stellenwertmodell

Prüfe Dezimalzahlen besonders sorgfältig. 2,4 € und 2,40 € sind gleich viel; 2,04 € ist etwas anderes.

Der Modellierungskreislauf

Schritt	Leitfrage
1. Verstehen	Was passiert?
2. Größen wählen	Was ist relevant?
3. Modell bilden	Term, Gleichung, Tabelle, Graph oder Figur?
4. Rechnen	Welche mathematische Lösung entsteht?
5. Übersetzen	Was bedeutet das Ergebnis im Alltag?
6. Prüfen	Ist es realistisch und passend?

Merkschema:

Realsituation → Vereinfachung → mathematisches Modell → Rechnung → mathematisches Ergebnis → Antwort im Kontext → Prüfung

Relevante Größen erkennen

Eine Größe besteht aus Maßzahl und Einheit.

Beispiel: Ein Lieferdienst berechnet 4 € Grundpreis und 1,50 € je Kilometer.

Wichtige Größen:

1. gefahrene Strecke $s$ in km
2. Kosten $K$ in €
3. Grundpreis 4 €
4. Preis pro Kilometer 1,50 €/km

Unwichtig wären zum Beispiel die Farbe des Fahrzeugs oder der Vorname der fahrenden Person.

Modell:

$K(s)=4+\mathrm{1,5}s$

Darstellungen wechseln

Dieselbe Beziehung kann unterschiedlich dargestellt werden.

Situation: Ein Schließfach kostet 2 € Startgebühr und 1 € pro Stunde.

Term:

$K(h)=2+h$

Wertetabelle:

$h$ in h	0	1	2	3	4
$K$ in €	2	3	4	5	6

Graph: Die Punkte $(0|2)$, $(1|3)$, $(2|4)$ liegen auf einer Geraden.

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Dynamischer Graph

Verändere die Parameter und beobachte, wie sich Graph und Term gemeinsam ändern.

Denkfrage: Welche Zahl im Term beschreibt einen Startwert? Welche beschreibt die Veränderung pro Einheit?

Modell 1: Proportionale Alltagssituation

Situation: Äpfel kosten 2,40 € pro Kilogramm.

Es gibt keinen Grundpreis. Verdoppelt sich die Masse, verdoppelt sich der Preis.

$P(m)=\mathrm{2,4}m$

Masse in kg	0,5	1	2	3
Preis in €	1,20	2,40	4,80	7,20

Rückübersetzung: 3 kg Äpfel kosten 7,20 €.

Interaktive proportionale Zuordnung

Auftrag: Verändere Werte und prüfe, ob der Quotient aus Preis und Masse gleich bleibt.

Modell 2: Grundwert plus Veränderung

Situation: Bei einem fiktiven Carsharing-Angebot kostet ein Tag 30 € plus 0,25 € pro gefahrenem Kilometer.

$K(x)=30+\mathrm{0,25}x$

Für 120 km:

$K(120)=30+\mathrm{0,25}\cdot 120=60$

Antwort: 120 km kosten in diesem Modell 60 €.

Interaktives Carsharing-Modell

Untersuche:

1. Wie verändert ein größerer Grundpreis den Graphen?
2. Wie verändert ein höherer Kilometerpreis den Graphen?
3. Welche Kombination ist bei kurzen Strecken günstig, welche bei langen?

Modell 3: Gleichung aus einer Realsituation

Situation: Du hast 25 €. Ein Eintritt kostet 7 €. Jede Runde Minigolf kostet 3 €. Wie viele Runden sind höchstens möglich?

Modell:

$7+3r\le 25$

Rechnung:

$3r\le 18$

$r\le 6$

Antwort: Höchstens 6 Runden sind möglich.

Plausibilitätscheck:

$7+3\cdot 6=25$

Bei 7 Runden wären es

$7+3\cdot 7=28$

also zu viel.

Modell 4: Maßstab und geometrische Figur

Situation: Ein rechteckiger Schulhof ist auf einem Plan 8 cm lang und 5 cm breit. Der Maßstab ist 1 : 500.

Reale Länge:

$8\cdot 500=4000\text{ cm}=40\text{ m}$

Reale Breite:

$5\cdot 500=2500\text{ cm}=25\text{ m}$

Fläche:

$A=40\cdot 25=1000{\text{ m}}^2$

Dynamischer Maßstab

Prüffrage: Warum müssen Bildlänge und Originallänge vor dem Rechnen in zueinander passende Einheiten gebracht werden?

Modell 5: Brüche im Kontext

Situation: Für ein Getränk werden pro Portion $\frac{3}{4}$ Liter benötigt.

Für 6 Portionen:

$6\cdot \frac{3}{4}=\frac{18}{4}=\mathrm{4,5}$

Antwort: Es werden 4,5 Liter benötigt.

Bewegliche Bruchdarstellung

Nutze den Schieberegler und vergleiche Bruch, Bild und Dezimalzahl.

Modell 6: Geometrie im Alltag

Situation: Eine rechteckige Aufbewahrungsbox ist 40 cm lang, 25 cm breit und 30 cm hoch.

Volumen:

$V=40\cdot 25\cdot 30=30000{\text{ cm}}^3$

Da $1000{\text{ cm}}^3=1\text{ l}$, gilt:

$V=30\text{ l}$

Antwort im Kontext: Das geometrische Innenvolumen beträgt 30 Liter. In der Realität kann die tatsächlich nutzbare Füllmenge kleiner sein.

Faltbarer und veränderbarer Quader

Auftrag: Verändere Länge, Breite und Höhe. Beobachte, wie sich Form und Netz verändern.

Diagramme als Modelle lesen

Ein Diagramm ist ebenfalls ein Modell. Prüfe immer:

1. Welche Größe steht auf welcher Achse?
2. Welche Einheit wird verwendet?
3. Beginnt die Achse bei 0?
4. Werden Werte verbunden, obwohl Zwischenwerte keinen Sinn ergeben?
5. Passt die Darstellung zur Fragestellung?

Wichtig: Ein digitales Diagramm kann mathematisch korrekt berechnet und trotzdem irreführend gestaltet sein.

Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Beispiel: Eintritt 5 € plus 2,50 € je Fahrt. Budget 20 €.

Schritt	Darstellung
Situation	5 € fest + 2,50 € je Fahrt
Variable	$f$ = Anzahl Fahrten
Modell	$5+\mathrm{2,5}f\le 20$
Umformen	$\mathrm{2,5}f\le 15$
Ergebnis	$f\le 6$
Kontext	höchstens 6 Fahrten
Kontrolle	$5+\mathrm{2,5}\cdot 6=20$

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Kiosk

Ein fiktiver Kiosk verkauft belegte Brötchen für 2,80 € pro Stück. Es gibt keine Grundgebühr.

Aufgabe: Stelle einen Term für den Gesamtpreis $P(n)$ auf und berechne den Preis für 7 Brötchen.

Hilfe 1

Eine Anzahl wird mit einem Preis pro Stück multipliziert.

Hilfe 2

Nutze $P(n)=\mathrm{2,8}n$.

Feedback und Lösung

$P(7)=\mathrm{2,8}\cdot 7=\mathrm{19,6}$. Sieben Brötchen kosten 19,60 €.

Übung 2: Taxi-Modell

Ein fiktives Taxi verlangt 4,50 € Startpreis und 2 € je Kilometer.

Aufgabe: Erstelle Term und Wertetabelle für 0 km, 2 km, 5 km und 8 km.

Hilfe 1

Der Startpreis wird immer addiert.

Hilfe 2

$K(x)=\mathrm{4,5}+2x$

Feedback und Lösung

Für 0 km: 4,50 €. Für 2 km: 8,50 €. Für 5 km: 14,50 €. Für 8 km: 20,50 €.

Übung 3: Wasserbehälter

Ein Behälter enthält zu Beginn 12 Liter. Pro Minute fließen 3 Liter hinzu.

Aufgabe: Beschreibe die Situation mit Term, Tabelle und Graph. Wie viel Wasser sind nach 7 Minuten im Behälter?

Hilfe 1

12 Liter sind der Anfangswert.

Hilfe 2

$V(t)=12+3t$

Feedback und Lösung

$V(7)=12+3\cdot 7=33$. Nach 7 Minuten sind im Modell 33 Liter enthalten. Prüfe zusätzlich, ob der Behälter überhaupt mindestens 33 Liter fassen kann.

Übung 4: Schulweg

Du gehst mit ungefähr 5 km/h. Dein Schulweg ist 2 km lang.

Aufgabe: Berechne mit einem geeigneten Modell die benötigte Zeit. Erkläre anschließend, warum das Ergebnis nur näherungsweise gilt.

Hilfe 1

Nutze $t=\frac{s}{v}$.

Feedback und Lösung

$t=\frac{2}{5}\text{ h}=\mathrm{0,4}\text{ h}=24\text{ min}$. In der Realität verändern Ampeln, Steigungen und das tatsächliche Gehtempo die Zeit.

Typische Fehler

1. Alle Angaben verwenden: Nicht jede Information ist relevant.
2. Einheiten mischen: 2 km und 500 m müssen zuerst passend umgerechnet werden.
3. Grundwert vergessen: Bei $K(x)=4+2x$ gehören die 4 € immer dazu.
4. Nur rechnen: Eine Zahl ohne Antwortsatz ist noch keine vollständige Modellierung.
5. Graph falsch lesen: Achsen, Einheiten und Skalierung zuerst prüfen.
6. Unrealistische Ergebnisse akzeptieren: 2,6 Personen oder −4 Minuten verlangen eine Kontextprüfung.
7. Digitales Ergebnis ungeprüft übernehmen: Rechner, Tabellenkalkulation, GeoGebra oder KI können falsch bedient oder falsch interpretiert werden.

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

Digitale Werkzeuge können Tabellen, Graphen und Rechnungen schnell erzeugen. Du bleibst für die mathematische Begründung verantwortlich.

Prüfroutine:

1. Sind Eingaben und Einheiten richtig?
2. Passt der angezeigte Graph zum Term?
3. Kann ein Überschlag das Ergebnis bestätigen?
4. Ist die Antwort im Kontext sinnvoll?
5. Wurde nur gerechnet oder auch begründet?

Datenschutz: Nutze für Lernaufgaben keine personenbezogenen Daten. Verwende fiktive Namen, fiktive Preise oder anonymisierte Messwerte.

KI-Hinweis: Eine KI-Ausgabe kann eine Idee liefern. Sie ersetzt weder eine eigene Rechnung noch einen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Bewerte Dich selbst mit 0, 1 oder 2 Punkten.

Kompetenz	0	1	2
Relevante Größen erkennen	noch nicht	mit Hilfe	sicher
Modell wählen	noch nicht	teilweise	sicher
Darstellungen wechseln	noch nicht	mit Hilfe	selbstständig
Ergebnis zurückübersetzen	selten	meistens	sicher
Plausibilität prüfen	selten	manchmal	systematisch

Auswertung: Bei 8–10 Punkten bist Du für den Kompetenzcheck gut vorbereitet. Unter 8 Punkten wiederholst Du gezielt die Bereiche mit 0 oder 1 Punkt.

Transfer

Neue Situation: Ein fiktiver Freizeitpark bietet zwei Tarife.

Tarif A: 8 € Eintritt und 2 € je Fahrt.

$A(x)=8+2x$

Tarif B: 14 € Eintritt und 1 € je Fahrt.

$B(x)=14+x$

Aufträge:

1. Erstelle für beide Tarife eine Wertetabelle.
2. Zeichne beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem.
3. Bestimme, wann beide Tarife gleich teuer sind.
4. Erkläre, welcher Tarif für 3, 6 und 10 Fahrten günstiger ist.
5. Begründe, warum die Antwort von der Anzahl der Fahrten abhängt.

Gleich teuer:

$8+2x=14+x$

$x=6$

Bei 6 Fahrten kosten beide 20 €.

Kompetenzcheck

Bearbeite ohne Hilfen.

1. Eine Eislaufbahn verlangt 5 € Eintritt und 3 € je ausgeliehenem Ausrüstungsstück. Stelle ein Modell auf und berechne den Preis für vier Ausrüstungsstücke.
2. Ein 12 cm langer Planweg entspricht 3 km in der Realität. Bestimme den Maßstab.
3. Ein Behälter verliert pro Minute 2 Liter und enthält zu Beginn 50 Liter. Stelle Term und Wertetabelle für 0, 5, 10 und 20 Minuten auf.
4. Zwei Tarife lauten $A(x)=3+2x$ und $B(x)=9+x$. Bestimme den Schnittpunkt und deute ihn im Kontext.
5. Ein digitales Diagramm startet seine y-Achse erst bei 95 statt bei 0. Erkläre, welche Wirkung das auf den visuellen Eindruck haben kann.

Kurzlösungen

1. $K(n)=5+3n$, also 17 €.
2. 3 km = 300000 cm, also $12:300000=1:25000$.
3. $V(t)=50-2t$; Werte 50, 40, 30, 10.
4. $3+2x=9+x$, also $x=6$ und beide Werte sind 15.
5. Unterschiede können größer wirken, als sie tatsächlich sind.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welcher Schritt des Modellierungskreislaufs fällt Dir am leichtesten?
2. Wo entstehen bei Dir die meisten Fehler?
3. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Term, Tabelle, Graph oder Figur?
4. Wann ist ein mathematisch korrektes Ergebnis trotzdem keine gute Antwort auf eine Realsituation?
5. Wie kannst Du ein digitales Ergebnis unabhängig überprüfen?

Folgekurs

Als nächstes passt ein Kurs zu linearen Funktionen, proportionalen Zuordnungen, Gleichungen oder maßstäblichen Darstellungen. Dort werden Modelle systematischer untersucht und verglichen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der erste sinnvolle Schritt beim mathematischen Modellieren? (Realsituation verstehen und relevante Informationen erkennen) (!Sofort eine Gleichung lösen) (!Immer einen Graphen zeichnen) (!Nur alle Zahlen multiplizieren)

Welche Darstellung passt zu einer Beziehung zwischen zwei veränderlichen Größen? (Eine Wertetabelle) (!Eine Überschrift) (!Eine Quellenangabe) (!Ein Farbfoto ohne Messwerte)

Ein Fahrrad kostet 3 Euro Grundgebühr und 2 Euro pro Stunde. Welcher Term passt? (K von h gleich 3 plus 2 mal h) (!K von h gleich 3 mal 2 plus h) (!K von h gleich 2 plus 3 mal h) (!K von h gleich 6 mal h)

Was bedeutet Rückübersetzen beim Modellieren? (Das mathematische Ergebnis im Sachzusammenhang deuten) (!Den Term rückwärts abschreiben) (!Alle Einheiten entfernen) (!Nur den Taschenrechner ausschalten)

Woran erkennst Du eine proportionale Zuordnung? (Der Quotient entsprechender Werte bleibt gleich) (!Es gibt immer einen Grundpreis) (!Der Graph beginnt nie im Ursprung) (!Alle Werte sind ganze Zahlen)

Warum müssen Einheiten geprüft werden? (Weil nur passende Einheiten sinnvoll miteinander verrechnet werden können) (!Weil Einheiten nur zur Dekoration dienen) (!Weil jede Rechnung in Metern enden muss) (!Weil Einheiten im Ergebnis verschwinden sollen)

Welche Aussage gehört zur Plausibilitätsprüfung? (Ist das Ergebnis in der Realsituation sinnvoll) (!Ist der Text besonders lang) (!Wurde eine Farbe verwendet) (!Steht immer eine Null im Ergebnis)

Was beschreibt in K von x gleich 4 plus 1 Komma 5 mal x die Zahl 4 typischerweise? (Einen festen Anfangswert) (!Die Anzahl der Achsen) (!Eine Maßeinheit) (!Den Schnittpunkt mit der x Achse)

Was ist bei einem digitalen Graphen zuerst zu prüfen? (Achsenbeschriftung und Skalierung) (!Die Bildschirmhelligkeit) (!Die Farbe des Hintergrunds) (!Die Größe der Maus)

Welche Aussage über KI bei Mathematik ist richtig? (KI Ergebnisse müssen mathematisch geprüft werden) (!KI ersetzt jeden mathematischen Beweis) (!KI Ergebnisse sind immer exakt) (!KI macht Einheiten überflüssig)

Memory

Realsituation	Alltagssituation
Variable	veränderliche Größe
Term	Rechenausdruck
Wertetabelle	geordnete Wertepaare
Graph	visuelle Beziehung
Plausibilität	Sinnprüfung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Modellierungsschritt
Verstehen	Situation lesen
Auswählen	relevante Größen bestimmen
Mathematisieren	Modell bilden
Berechnen	mathematische Lösung finden
Interpretieren	Ergebnis in den Kontext zurückführen

Kreuzworträtsel

Variable	Wie heißt eine veränderliche Größe in einem mathematischen Modell?
Gleichung	Welche mathematische Darstellung enthält ein Gleichheitszeichen?
Tabelle	Welche Darstellung ordnet Werte übersichtlich in Zeilen und Spalten?
Graph	Wie heißt die grafische Darstellung einer Beziehung im Koordinatensystem?
Maßstab	Welcher Begriff beschreibt das Verhältnis von Bildlänge zu Originallänge?
Modell	Wie heißt eine vereinfachte mathematische Beschreibung einer Realsituation?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim mathematischen Modellieren wird zuerst die untersucht. Danach wählst Du relevante aus und legst passende Variablen fest. Eine Beziehung kann zum Beispiel mit einem oder einer Gleichung beschrieben werden. Wertepaare lassen sich in einer ordnen und anschließend als darstellen. Nach der Rechnung wird das Ergebnis in den zurückübersetzt. Zum Schluss prüfst Du seine . Digitale Ergebnisse und KI-Ausgaben müssen immer kritisch werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kiosk-Modell: Erfinde drei Produkte mit Preisen und stelle für eines davon einen proportionalen Term auf.
2. Fahrkarten-Modell: Erfinde einen Tarif aus Grundpreis und Preis pro Fahrt. Erstelle eine Wertetabelle mit fünf Wertepaaren.
3. Graph lesen: Zeichne zu $K(x)=2+\mathrm{1,5}x$ einen Graphen und formuliere eine passende Alltagssituation.
4. Fehlersuche: Erfinde ein unrealistisches Rechenergebnis und erkläre, wie eine Plausibilitätsprüfung den Fehler sichtbar macht.

Standard

1. Tarifvergleich: Entwickle zwei fiktive Tarife. Bestimme rechnerisch und grafisch, wann beide gleich teuer sind.
2. Messprojekt: Miss einen Raum und erstelle einen maßstäblichen Grundriss. Dokumentiere Maßstab und Rechenweg.
3. Datenmodell: Erfasse zehn anonymisierte oder fiktive Messwerte, stelle sie tabellarisch und grafisch dar und erkläre die Aussage des Diagramms.
4. Modellwechsel: Erfinde eine Situation und stelle sie als Text, Term, Tabelle und Graph dar.

Schwer

1. Modellkritik: Entwickle ein einfaches Modell für die Zeit eines Schulwegs und untersuche mindestens drei Gründe, warum Realität und Modell abweichen können.
2. Optimierungsprojekt: Vergleiche drei fiktive Kostenmodelle für eine Klassenaktivität und begründe, welches bei verschiedenen Gruppengrößen günstiger ist.
3. Digitale Prüfung: Erzeuge mit einem digitalen Werkzeug einen Graphen und prüfe ihn unabhängig durch zwei selbst berechnete Punkte.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zum Modellierungskreislauf mit eigener Alltagssituation, Rechnung, Rückübersetzung und Plausibilitätscheck. Nutze keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Modell auswählen: Zu einer neuen Alltagssituation stehen Term, Gleichung, Tabelle und geometrische Figur zur Auswahl. Entscheide begründet, welche Darstellung am hilfreichsten ist.
2. Annahmen prüfen: Ein Wegzeitmodell nimmt konstantes Tempo an. Erkläre zwei Situationen, in denen diese Annahme ungeeignet ist, und verbessere das Modell.
3. Darstellungen vergleichen: Erkläre, welche Information in einer Tabelle leichter und welche in einem Graphen leichter erkannt werden kann.
4. Fehler diagnostizieren: Eine Person rechnet bei einem Tarif nur $2x$, obwohl zusätzlich 5 € Grundpreis anfallen. Erkläre Auswirkung und Korrektur.
5. Plausibilität beurteilen: Ein Modell liefert 4,3 Busse für einen Ausflug. Erkläre, wie das mathematische Ergebnis sinnvoll in die Realität übersetzt werden muss.
6. Digitales Ergebnis bewerten: Ein Tool zeigt einen Graphen, der nicht durch einen selbst berechneten Punkt verläuft. Beschreibe eine systematische Fehlersuche.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du

1. relevante Größen und Einheiten erkennst,
2. passende Variablen festlegst,
3. Realsituationen mit Term, Gleichung, Tabelle, Graph oder Figur modellierst,
4. zwischen mindestens zwei Darstellungen wechseln kannst,
5. Rechenwege nachvollziehbar darstellst,
6. Ergebnisse fachsprachlich in den Kontext zurückübersetzt,
7. Annahmen und Grenzen eines Modells benennst,
8. Ergebnisse durch Überschlag oder Gegenprobe prüfst,
9. digitale Werkzeuge kritisch kontrollierst,
10. Lösungswege vergleichst und begründest.

OERs zum Thema

Weitere freie und interaktive Medien

Lineare Funktion als frei lizenzierte Grafik:

Vergleich verschiedener Diagrammformen:

Dynamische Wertetabelle:

Zusätzliche dynamische Zahlengerade:

Stellenwertmodell für Dezimalzahlen:

Bewegliche Bruchdarstellung:

Rotier- und faltbarer Quader:

Dynamischer Maßstab:

Lineares Alltagsmodell mit veränderbaren Parametern:

Verknüpfte Lernbereiche

Mathematisches Modellieren Größen und Einheiten Terme Gleichungen Wertetabellen Koordinatensystem Graphen Proportionale Zuordnung Lineare Funktionen Maßstab Flächeninhalt Volumen