M7 M - Prozentuale Zu- und Abnahme berechnen

M7 M - Prozentuale Zu- und Abnahme berechnen

Weiterdenken mit Prozenten: Du berechnest Rabatte, Preissteigerungen und andere prozentuale Veränderungen. Entscheidend ist: Welcher Wert ist der Ausgangswert $G$, welcher der Endwert $E$?

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Einleitung

Ein Pullover kostet zuerst $80$ €. Im Schlussverkauf gibt es $25\mathrm{\%}$ Rabatt. Später steigt ein anderer Preis um $15\mathrm{\%}$. Solche Situationen lassen sich mit Prozentrechnung, Prozentstreifen, Pfeildiagrammen und Prozentfaktoren darstellen.

Merke: Bei einer Veränderung ist der Ausgangswert immer $100\mathrm{\%}$. Der Endwert kann kleiner oder größer als $100\mathrm{\%}$ sein.

Dieser aiMOOC orientiert sich am M-Niveau der Sekundarstufe I in Baden-Württemberg. Im Bildungsplan wird Prozentrechnung mit inner- und außermathematischen Fragestellungen und proportionalen Zusammenhängen verknüpft: Bildungsplan Mathematik Sekundarstufe I, M-Niveau.

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du

1. Ausgangswert und Endwert sicher unterscheiden.
2. eine prozentuale Zunahme oder Abnahme mit einem Prozentstreifen darstellen.
3. den Prozentwert mit $W=G\cdot \frac{p}{100}$ berechnen.
4. den Endwert bei einer Zunahme mit $E=G\cdot (1+\frac{p}{100})$ bestimmen.
5. den Endwert bei einer Abnahme mit $E=G\cdot (1-\frac{p}{100})$ bestimmen.
6. Faktoren wie $\mathrm{1,15}$ und $\mathrm{0,85}$ deuten und verwenden.
7. Ergebnisse durch Überschlag, Rückrechnung und passende Darstellung prüfen.
8. Lösungswege vergleichen und fachsprachlich begründen.

Vorwissen-Check

Prüfe Dich kurz.

Aufgabe	Deine Zuordnung
$50\mathrm{\%}$ von $80$	$40$
$10\mathrm{\%}$ von $250$	$25$
$\mathrm{0,25}$ als Prozentzahl	$25\mathrm{\%}$
$125\mathrm{\%}$ als Dezimalzahl	$\mathrm{1,25}$

Feedback: Wenn diese Zuordnungen noch unsicher sind, wiederhole zuerst Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz.

Bewegliche Bruch- und Prozentdarstellung: Verschiebe die Regler und beobachte, wie Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl zusammenhängen.

Ausgangswert, Änderung und Endwert

Ein Pfeildiagramm macht die Richtung sichtbar:

Zunahme: $G$   →   $G+W$   →   $E$
Abnahme: $G$   →   $G-W$   →   $E$

Dabei gilt

$W=G\cdot \frac{p}{100}$

und damit

$E=G+W$ bei einer Zunahme,

$E=G-W$ bei einer Abnahme.

Prozentstreifen

Der gesamte Streifen steht für $100\mathrm{\%}$ des Ausgangswerts.

$0\mathrm{\%}$ ├──────────┼──────────┼──────────┼──────────┤ $100\mathrm{\%}$
       $25\mathrm{\%}$      $50\mathrm{\%}$      $75\mathrm{\%}$

Bei $15\mathrm{\%}$ Zunahme reicht der neue Streifen bis $115\mathrm{\%}$. Bei $15\mathrm{\%}$ Abnahme endet er bei $85\mathrm{\%}$.

Interaktiv: Verändere bei GeoGebra die Prozentzahl mit dem Schieberegler und beobachte den Prozentstreifen.

Dynamische Doppelzahlengerade: Ziehe den Pfeil und vergleiche Prozentwert und zugehörigen Zahlenwert.

Methode 1: Über den Prozentwert

Beispiel Rabatt: Ein Fahrradhelm kostet $60$ €. Rabatt: $20\mathrm{\%}$.

$W=60\cdot \frac{20}{100}=12$ €

$E=60-12=48$ €

Kontrolle: $48<60$ €. Das passt zu einer Abnahme.

Methode 2: Mit dem Prozentfaktor

Für eine Zunahme:

$q=1+\frac{p}{100}$

Für eine Abnahme:

$q=1-\frac{p}{100}$

Dann genügt ein Rechenschritt:

$E=G\cdot q$

Beispiel Zunahme um $15\mathrm{\%}$:

$q=1+\frac{15}{100}=\mathrm{1,15}$

$200\cdot \mathrm{1,15}=230$ €

Beispiel Abnahme um $15\mathrm{\%}$:

$q=1-\frac{15}{100}=\mathrm{0,85}$

$200\cdot \mathrm{0,85}=170$ €

Faktoren lesen

$\mathrm{1,15}=115\mathrm{\%}$ bedeutet: Ausgangswert plus $15\mathrm{\%}$.

$\mathrm{0,85}=85\mathrm{\%}$ bedeutet: Vom Ausgangswert bleiben $85\mathrm{\%}$; die Abnahme beträgt $15\mathrm{\%}$.

$\mathrm{1,07}=107\mathrm{\%}$ bedeutet: Zunahme um $7\mathrm{\%}$.

$\mathrm{0,92}=92\mathrm{\%}$ bedeutet: Abnahme um $8\mathrm{\%}$.

Interaktive Beispiele

Beispiel A: Rabatt mit Prozentstreifen

Ausgangspreis: $120$ €, Rabatt: $25\mathrm{\%}$.

$100\mathrm{\%}$ = $120$ €
$25\mathrm{\%}$ = $30$ €
$75\mathrm{\%}$ = $90$ €

Deutung: Der Endpreis entspricht $75\mathrm{\%}$ des Ausgangspreises. Daher ist der Faktor $\mathrm{0,75}$.

Beispiel B: Preissteigerung mit Pfeildiagramm

$80$ €   → +10\,\%   $88$ €

Rechenweg:

$80\cdot \mathrm{1,10}=88$

Warum? $\mathrm{1,10}=110\mathrm{\%}$.

Beispiel C: Dynamisch prüfen

Nutze das interaktive Material. Ändere Ausgangswert und prozentuale Veränderung. Formuliere vor dem Verschieben eine Vermutung zum Endwert.

Prüffrage: Bleibt bei einer Abnahme um $30\mathrm{\%}$ mehr oder weniger als drei Viertel des Ausgangswerts übrig?

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Rabatt

Ein Rucksack kostet $90$ €. Er wird um $20\mathrm{\%}$ reduziert.

Auftrag: Bestimme den Endpreis.

Hilfe 1: Nach $20\mathrm{\%}$ Abnahme bleiben $80\mathrm{\%}$.

Hilfe 2: Verwende $q=\mathrm{0,80}$.

Lösung zur Selbstkontrolle: $90\cdot \mathrm{0,80}=72$. Der Endpreis beträgt $72$ €.

Feedback: Ein Ergebnis über $90$ € kann bei einem Rabatt nicht stimmen.

Übung 2: Preissteigerung

Ein Ticket kostet $40$ €. Der Preis steigt um $12\mathrm{\%}$.

Hilfe 1: Der Endwert entspricht $112\mathrm{\%}$.

Hilfe 2: $q=\mathrm{1,12}$.

Lösung zur Selbstkontrolle: $40\cdot \mathrm{1,12}=\mathrm{44,80}$.

Übung 3: Veränderung erkennen

Ein Wert verändert sich von $250$ auf $\mathrm{212,50}$.

Hilfe 1: Vergleiche zuerst Ausgangs- und Endwert.

Hilfe 2: Berechne $\frac{\mathrm{212,50}}{250}$.

Lösung zur Selbstkontrolle: $\frac{\mathrm{212,50}}{250}=\mathrm{0,85}$. Der Wert ist auf $85\mathrm{\%}$ gesunken, also um $15\mathrm{\%}$.

Typische Fehler

1. Ausgangswert verwechseln: Die Prozentangabe bezieht sich bei einer Veränderung auf den ursprünglichen Wert $G$.
2. Rabatt addieren: Bei einer Abnahme muss der Endwert kleiner werden.
3. Faktor falsch bilden: $15\mathrm{\%}$ Zunahme bedeutet $\mathrm{1,15}$, nicht $\mathrm{0,15}$.
4. Prozentpunkte verwechseln: Eine Änderung von $20\mathrm{\%}$ auf $30\mathrm{\%}$ sind $10$ Prozentpunkte; die relative Zunahme beträgt dagegen $50\mathrm{\%}$.
5. Runden zu früh: Runde möglichst erst beim Endergebnis sinnvoll.

Selbstkontrolle

Schnelltest: Entscheide ohne Taschenrechner, ob die Aussage plausibel ist.

1. $300$ € mit $10\mathrm{\%}$ Rabatt ergeben $270$ €: plausibel.
2. $80$ € mit $25\mathrm{\%}$ Aufschlag ergeben $100$ €: plausibel.
3. $50$ € mit $20\mathrm{\%}$ Rabatt ergeben $60$ €: nicht plausibel.

Transfer

Zweimal verändern ist nicht dasselbe wie Prozentzahlen addieren.

Ein Preis steigt zuerst um $20\mathrm{\%}$ und sinkt danach um $20\mathrm{\%}$.

$G\cdot \mathrm{1,20}\cdot \mathrm{0,80}=G\cdot \mathrm{0,96}$

Der Endwert beträgt $96\mathrm{\%}$ des Ausgangswerts. Er ist also um $4\mathrm{\%}$ kleiner.

Denkfrage: Warum heben sich $+20\mathrm{\%}$ und $-20\mathrm{\%}$ hier nicht auf?

Kompetenzcheck

Kannst Du …

1. bei Sachaufgaben den Ausgangswert markieren?
2. zwischen Zunahme und Abnahme unterscheiden?
3. Prozentstreifen und Pfeildiagramm passend verwenden?
4. einen Prozentfaktor bilden?
5. einen Rechenweg mit $E=G\cdot q$ erklären?
6. ein digitales Ergebnis mit Überschlag prüfen?
7. begründen, warum ein Ergebnis zur Sachsituation passt?

Wenn Du bei mindestens fünf Punkten sicher bist, bist Du bereit für den Transferteil und den Folgekurs.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Prozentstreifen, Pfeildiagramm oder Faktor?
2. Woran erkennst Du schnell, ob ein Ergebnis zu groß oder zu klein ist?
3. Wann ist der Faktorweg kürzer als die Rechnung über den Prozentwert?
4. Wie kannst Du ein Taschenrechner- oder KI-Ergebnis prüfen?

Digitale Verantwortung: Gib in Lernwerkzeuge keine personenbezogenen Daten ein. Prüfe Rechenergebnisse selbst. Eine KI-Ausgabe kann Fehler enthalten und ersetzt keine mathematische Begründung oder einen Beweis.

Folgekurs

Weiter geht es mit prozentualen Veränderungen rückwärts, zum Beispiel: Nach einem Rabatt kostet ein Produkt $68$ €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welcher Wert entspricht bei einer prozentualen Veränderung zunächst $100\mathrm{\%}$? (Der Ausgangswert) (!Der Endwert) (!Der Prozentwert) (!Die Differenz)

Welcher Faktor gehört zu einer Zunahme um $15\mathrm{\%}$? (1,15) (!0,15) (!0,85) (!1,50)

Welcher Faktor gehört zu einer Abnahme um $15\mathrm{\%}$? (0,85) (!1,15) (!0,15) (!1,85)

Ein Preis von $200$ € steigt um $10\mathrm{\%}$. Wie hoch ist der Endpreis? (220 Euro) (!180 Euro) (!210 Euro) (!240 Euro)

Ein Preis von $80$ € sinkt um $25\mathrm{\%}$. Wie hoch ist der Endpreis? (60 Euro) (!20 Euro) (!55 Euro) (!100 Euro)

Was bedeutet der Faktor $\mathrm{1,08}$? (Zunahme um 8 Prozent) (!Abnahme um 8 Prozent) (!Zunahme um 108 Prozent) (!Abnahme um 92 Prozent)

Was bedeutet der Faktor $\mathrm{0,72}$? (Abnahme um 28 Prozent) (!Abnahme um 72 Prozent) (!Zunahme um 28 Prozent) (!Zunahme um 72 Prozent)

Welche Rechnung bestimmt direkt den Endwert nach $20\mathrm{\%}$ Rabatt? (Ausgangswert mal 0,80) (!Ausgangswert mal 1,20) (!Ausgangswert mal 0,20) (!Ausgangswert plus 20)

Ein Wert steigt von $100$ auf $125$. Wie groß ist die Zunahme? (25 Prozent) (!20 Prozent) (!75 Prozent) (!125 Prozent)

Ein Wert steigt um $20\mathrm{\%}$ und sinkt danach um $20\mathrm{\%}$. Was gilt? (Der Endwert ist kleiner als der Ausgangswert) (!Der Endwert ist immer gleich dem Ausgangswert) (!Der Endwert ist größer als der Ausgangswert) (!Die zweite Änderung hat keinen Einfluss)

Memory

Ausgangswert	100 Prozent vor der Veränderung
Prozentfaktor Zunahme	größer als 1
Prozentfaktor Abnahme	kleiner als 1
Rabatt	prozentuale Preissenkung
Preissteigerung	prozentuale Erhöhung
Endwert	Wert nach der Veränderung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ausgangswert	Wert vor der Veränderung
Endwert	Wert nach der Veränderung
Faktor größer als eins	Zunahme
Faktor kleiner als eins	Abnahme
Prozentstreifen	Darstellung von hundert Prozent

Kreuzworträtsel

Rabatt	Wie heißt eine prozentuale Preissenkung?
Faktor	Womit kann der Ausgangswert direkt multipliziert werden?
Endwert	Wie heißt der Wert nach einer Veränderung?
Zunahme	Wie heißt eine Veränderung nach oben?
Abnahme	Wie heißt eine Veränderung nach unten?
Prozent	Welche Einheit steht für Hundertstel?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer prozentualen Veränderung entspricht der Ausgangswert zunächst . Eine Zunahme um 15 Prozent hat den Faktor . Eine Abnahme um 15 Prozent hat den Faktor . Der Endwert lässt sich mit Ausgangswert mal berechnen. Bei einem Rabatt muss der Endwert als der Ausgangswert sein. Ein Ergebnis sollte durch Überschlag oder geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rabatt-Suche: Fotografiere oder notiere drei Rabattangaben aus Prospekten oder Online-Shops ohne personenbezogene Daten. Berechne jeweils einen Beispiel-Endpreis.
2. Prozentstreifen zeichnen: Stelle $15\mathrm{\%}$ Zunahme und $15\mathrm{\%}$ Abnahme auf zwei eigenen Prozentstreifen dar.
3. Pfeildiagramm: Zeichne zu $120$ € mit $25\mathrm{\%}$ Rabatt ein Pfeildiagramm und ergänze alle Werte.
4. Faktor-Karten: Erstelle Karten mit $\mathrm{1,10}$, $\mathrm{0,90}$, $\mathrm{1,25}$ und $\mathrm{0,75}$ und notiere jeweils die passende Veränderung.

Standard

1. Preisvergleich: Erfinde zwei Angebote für dasselbe Produkt und begründe rechnerisch, welches den niedrigeren Endpreis hat.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du den Unterschied zwischen $\mathrm{0,15}$, $\mathrm{0,85}$ und $\mathrm{1,15}$ erklärst.
3. Digitale Prüfung: Lass einen Taschenrechner oder eine KI drei Prozentaufgaben berechnen und prüfe jedes Ergebnis mit einem eigenen Kontrollweg.
4. Darstellungswechsel: Löse dieselbe Aufgabe einmal über den Prozentwert und einmal mit dem Faktor. Vergleiche beide Wege.

Schwer

1. Doppelte Veränderung: Untersuche mehrere Beispiele mit gleicher Zu- und Abnahme, etwa $10\mathrm{\%}$, $20\mathrm{\%}$ und $30\mathrm{\%}$. Formuliere eine Vermutung.
2. Modellieren: Entwickle eine realistische Sachaufgabe mit zwei aufeinanderfolgenden Preisänderungen und löse sie mit Faktoren.
3. Fehleranalyse: Erfinde drei typische falsche Rechnungen zu Rabatten und erkläre jeweils den Denkfehler.
4. Mini-Unterricht: Plane eine fünfminütige Erklärung mit Prozentstreifen, Pfeildiagramm und Faktor und teste sie an einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner.

Lernkontrolle

1. Darstellung begründen: Ein Preis sinkt von $160$ € auf $136$ €. Stelle die Veränderung auf zwei verschiedene Arten dar und erkläre, welche Darstellung Dir mehr Information liefert.
2. Strategien vergleichen: Vergleiche die Rechnung über Prozentwert und Prozentfaktor bei einer Zunahme um $18\mathrm{\%}$. Begründe, wann welcher Weg günstig ist.
3. Fehler beurteilen: Eine Person rechnet bei $25\mathrm{\%}$ Rabatt mit $\mathrm{1,25}$. Erkläre den Fehler und korrigiere ihn.
4. Transfer: Ein Wert steigt um $10\mathrm{\%}$ und danach nochmals um $10\mathrm{\%}$. Erkläre, warum die Gesamtzunahme nicht $20\mathrm{\%}$, sondern $21\mathrm{\%}$ beträgt.
5. Plausibilität: Ein digitales Tool liefert bei $300$ € und $30\mathrm{\%}$ Rabatt den Endwert $390$ €. Widerlege das Ergebnis mit mindestens zwei Argumenten.
6. Modellkritik: Beschreibe, welche Informationen in einer Werbeanzeige mit „20 Prozent günstiger“ fehlen können, damit die Aussage eindeutig überprüfbar ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema sind wichtig:

1. Du erkennst Ausgangswert, Prozentsatz und Endwert in Sachsituationen.
2. Du berechnest Zu- und Abnahmen nachvollziehbar.
3. Du nutzt Prozentstreifen, Pfeildiagramme und Faktoren.
4. Du erklärst $1+\frac{p}{100}$ und $1-\frac{p}{100}$.
5. Du dokumentierst Rechenweg, Einheit und Antwortsatz.
6. Du prüfst Ergebnisse auf Plausibilität.
7. Du vergleichst mindestens zwei Lösungswege.
8. Du begründest mathematische Aussagen fachsprachlich.

Medienhinweise

Die verwendeten Bilder stammen aus Wikimedia Commons; Lizenz und Urheberangaben sind über die jeweilige Dateiseite erreichbar. Die interaktiven GeoGebra-Materialien und YouTube-Videos werden als externe Lernmedien eingebettet. Prüfe vor einer Weiterverwendung außerhalb von moocwiki.org jeweils die Angaben auf der Originalseite.

OERs zum Thema

Weitere freie bzw. offen zugängliche Lernmedien:

1. GeoGebra: Prozentrechnung
2. Wikimedia Commons: Prozente im Verkauf
3. Wikimedia Commons: 25-Prozent-Kreisdiagramm

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Verknüpfte Lernbereiche

Prozentrechnung Grundwert Prozentwert Prozentsatz Prozentfaktor Rabatt Preissteigerung Prozentstreifen Proportionale Zuordnung