M7 M - Proportionale und antiproportionale Tabellen untersuchen

M7 M - Proportionale und antiproportionale Tabellen untersuchen

Klasse 7 · Mathematik · Baden-Württemberg · M-Niveau

Mini-Beschreibung: Du erkennst aus Tabellen, ob ein Zusammenhang proportional, antiproportional oder keines von beidem ist. Dabei nutzt Du den Quotienten beziehungsweise das Produkt als diagnostische Größe und überprüfst Deine Vermutung mit dynamischen Tabellen und Graphen.

Einleitung

Drei Tabellen können ähnlich aussehen und trotzdem verschiedene Zusammenhänge beschreiben. Entscheidend ist nicht nur, ob Werte größer oder kleiner werden. Du prüfst mathematisch:

1. Proportional: $\frac{y}{x}=k$ bleibt gleich.
2. Antiproportional: $x\cdot y=k$ bleibt gleich.
3. Keines von beidem: Weder Quotient noch Produkt bleiben konstant.

Merksatz: Vermuten ist gut – Quotient oder Produkt prüfen ist besser.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. proportionale Zusammenhänge in Tabellen erkennen und mit $\frac{y}{x}=k$ begründen.
2. antiproportionale Zusammenhänge mit $x\cdot y=k$ erkennen und begründen.
3. Tabellen systematisch untersuchen und zwischen proportional, antiproportional und weder noch unterscheiden.
4. zwischen Tabelle, Term, Graph und Sachsituation wechseln.
5. Rechenwege vergleichen, Fehler erklären und digitale Ergebnisse kritisch prüfen.

Bildungsplanbezug Baden-Württemberg

Im M-Niveau der Sekundarstufe I werden funktionale Zusammenhänge unter anderem durch Tabellen, Gleichungen, Graphen und Texte dargestellt. Du sollst zwischen Darstellungen wechseln sowie Proportionalität und Antiproportionalität erkennen und für Berechnungen nutzen.

Vorwissen-Check

Prüfe Dich kurz.

Aufgabe	Deine Rechnung
$18:6$	$3$
$4\cdot 7$	$28$
Verdoppeln von $5$	$10$
Halbieren von $18$	$9$

Selbstcheck

Wenn Division, Multiplikation, Verdoppeln und Halbieren sicher sind, bist Du startklar. Unsicher? Wiederhole kurz Grundrechenarten und Brüche.

Der Tabellen-Detektiv

Fall A: Quotient prüfen

$x$	$y$	$\frac{y}{x}$
2	6	$3$
4	12	$3$
7	21	$3$

Alle Quotienten sind gleich:

$\frac{6}{2}=\frac{12}{4}=\frac{21}{7}=3$

Also gilt $y=3x$. Der Zusammenhang ist proportional.

Visuelle Idee: Bei einer proportionalen Zuordnung liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung.

Dynamisch entdecken: proportional

Auftrag: Verändere Werte. Beobachte Tabelle und Graph. Prüfe jeweils $\frac{y}{x}$.

Fall B: Produkt prüfen

$x$	$y$	$x\cdot y$
2	24	$48$
4	12	$48$
8	6	$48$

Alle Produkte sind gleich:

$2\cdot 24=4\cdot 12=8\cdot 6=48$

Also gilt $y=\frac{48}{x}$. Der Zusammenhang ist antiproportional.

Visuelle Idee: Wird $x$ verdoppelt, halbiert sich $y$. Der Graph ist keine Gerade durch den Ursprung.

Dynamisch entdecken: antiproportional

Auftrag: Verändere Zahlen und kontrolliere, ob $x\cdot y$ konstant bleibt.

Fall C: Keines von beidem

$x$	$y$	$\frac{y}{x}$	$x\cdot y$
1	4	$4$	$4$
2	7	$\mathrm{3,5}$	$14$
3	10	$\frac{10}{3}$	$30$

Der Quotient ist nicht konstant. Das Produkt ist ebenfalls nicht konstant.

Ergebnis: weder proportional noch antiproportional.

Diagnose-Schema

Prüfung	Beobachtung	Entscheidung
$\frac{y}{x}$	konstant	proportional
$x\cdot y$	konstant	antiproportional
beides	nicht konstant	keines von beidem

Wichtig bei $x=0$: Der Quotient $\frac{y}{x}$ ist dann nicht definiert. Prüfe die anderen Wertepaaren. Bei einer proportionalen Zuordnung gehört zu $x=0$ auch $y=0$.

Visueller Rechenweg

Beispiel:

$(x,y)=(5,20)$

↓ Quotient bilden

$\frac{20}{5}=4$

↓ mit weiterem Wertepaar vergleichen

$\frac{36}{9}=4$

↓ gleiche Zahl

proportional mit $k=4$

---

Zweites Beispiel:

$(x,y)=(3,40)$

↓ Produkt bilden

$3\cdot 40=120$

↓ mit weiterem Wertepaar vergleichen

$8\cdot 15=120$

↓ gleiches Produkt

antiproportional mit $k=120$

Interaktive Tabelle: selbst diagnostizieren

Übertrage eine Tabelle in eine Tabellenkalkulation oder ein digitales Mathematikwerkzeug.

Spalte A	Spalte B	Spalte C	Spalte D
$x$	$y$	Quotient $y:x$	Produkt $x\cdot y$

Arbeitsweise: Ändere Werte in A und B. Lass C und D automatisch berechnen. Entscheide anhand der konstanten Spalte.

Digital prüfen: Eine Software kann rechnen, aber Du musst begründen, warum das Ergebnis proportional, antiproportional oder keines von beidem ist. KI-Ausgaben können Fehler enthalten und ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Datenschutz: Nutze für Übungsdaten erfundene Zahlen und keine personenbezogenen Daten.

Darstellungen wechseln

M-Niveau-Auftrag:

1. Wähle eine Tabelle.
2. Bestimme $k$.
3. Formuliere die passende Gleichung.
4. Skizziere den erwarteten Graphen.
5. Erkläre mit Fachsprache, woran Du den Zusammenhang erkennst.

Medienvergleich

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Beobachtungsauftrag zum Video: Notiere nicht nur Ergebnisse. Halte fest, welche diagnostische Größe bei proportionalen und antiproportionalen Tabellen gleich bleibt.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Proportional oder nicht?

$x$	2	5	8	11
$y$	7	17,5	28	38,5

Aufgabe: Untersuche die Tabelle und begründe.

Hilfe 1

Berechne für mindestens drei Spalten $\frac{y}{x}$.

Hilfe 2

$\frac{7}{2}=\mathrm{3,5}$ und $\frac{\mathrm{17,5}}{5}=\mathrm{3,5}$.

Feedback

Richtig ist proportional, denn der Quotient ist immer $\mathrm{3,5}$. Es gilt $y=\mathrm{3,5}x$.

Übung 2: Antiproportional oder nicht?

$x$	2	3	6	9
$y$	27	18	9	6

Aufgabe: Untersuche die Tabelle und begründe.

Hilfe 1

Bilde $x\cdot y$.

Hilfe 2

$2\cdot 27=54$ und $3\cdot 18=54$.

Feedback

Richtig ist antiproportional, denn alle Produkte sind $54$. Es gilt $y=\frac{54}{x}$.

Übung 3: Täuschend ähnlich

$x$	1	2	4	8
$y$	5	8	14	26

Aufgabe: Entscheide und widerlege eine falsche Vermutung.

Hilfe

Prüfe zuerst Quotienten, danach Produkte.

Feedback

Weder $\frac{y}{x}$ noch $x\cdot y$ bleibt konstant. Also keines von beidem.

Typische Fehler

Fehler	Bessere Prüfung
„Beide Werte steigen, also proportional.“	Prüfe $\frac{y}{x}$.
„Ein Wert steigt, der andere fällt, also antiproportional.“	Prüfe $x\cdot y$.
Nur zwei Tabellenzeilen geprüft	Prüfe möglichst alle gegebenen Wertepaare.
$x:y$ und $y:x$ gemischt	Lege eine Quotientenrichtung fest, zum Beispiel $\frac{y}{x}$.
Rechnergebnis ohne Begründung	Nenne die konstante diagnostische Größe.

Selbstkontrolle

Ordne jeder Tabelle gedanklich eine Farbe zu:

P = proportional · A = antiproportional · K = keines von beidem.

Tabelle	Wertepaare
I	$(2,10),(4,20),(6,30)$
II	$(2,18),(3,12),(6,6)$
III	$(1,3),(2,5),(4,9)$

Lösung

I: P, denn $\frac{y}{x}=5$. II: A, denn $x\cdot y=36$. III: K, denn weder Quotient noch Produkt sind konstant.

Transfer

Situation 1 – Einkauf: Ein Artikel kostet immer $\mathrm{2,40}\text{€}$. Für $x$ Artikel gilt $y=\mathrm{2,40}x$. Erkläre, warum die Preistabelle proportional ist.

Situation 2 – Arbeitsteilung: Eine feste Arbeitsmenge wird idealisiert auf gleich schnelle Personen verteilt. Verdoppelt sich die Personenzahl, halbiert sich die benötigte Zeit. Begründe, warum ein antiproportionales Modell passen kann.

Situation 3 – Realität prüfen: In echten Situationen können Pausen, Grundgebühren oder unterschiedliche Geschwindigkeiten dazu führen, dass kein exakt proportionaler oder antiproportionaler Zusammenhang vorliegt.

Kompetenzcheck

Setze ein Häkchen, wenn Du die Aussage sicher erfüllen kannst.

Kompetenz	Check
Ich prüfe Proportionalität mit $\frac{y}{x}$.	□
Ich prüfe Antiproportionalität mit $x\cdot y$.	□
Ich kann „keines von beidem“ begründen.	□
Ich kann aus einer Tabelle eine Gleichung ableiten.	□
Ich kann Tabelle, Term und Graph vergleichen.	□
Ich kann digitale Ergebnisse rechnerisch kontrollieren.	□

Reflexion

1. Diagnosestrategie: Welche Prüfung führst Du zuerst durch und warum?
2. Fehleranalyse: Welcher typische Fehler könnte Dir noch passieren?
3. Darstellungswechsel: Welche Darstellung hilft Dir am meisten – Tabelle, Term oder Graph?
4. Begründung: Formuliere in einem Satz, warum „sieht ungefähr passend aus“ kein mathematischer Nachweis ist.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Größe ist bei einer proportionalen Zuordnung konstant? (Der Quotient y durch x) (!Das Produkt x mal y) (!Die Summe x plus y) (!Die Differenz y minus x)

Welche Größe ist bei einer antiproportionalen Zuordnung konstant? (Das Produkt x mal y) (!Der Quotient y durch x) (!Die Summe x plus y) (!Der Unterschied der Tabellenwerte)

Eine Tabelle hat überall den Quotienten 4. Welche Aussage stimmt? (Die Zuordnung ist proportional) (!Die Zuordnung ist antiproportional) (!Die Zuordnung ist immer quadratisch) (!Es lässt sich nichts erkennen)

Für mehrere Wertepaare gilt immer x mal y gleich 60. Was folgt? (Die Zuordnung ist antiproportional) (!Die Zuordnung ist proportional) (!Der Quotient ist immer 60) (!Die Werte müssen gleich sein)

Was bedeutet bei einer proportionalen Zuordnung das Verdoppeln von x? (y verdoppelt sich ebenfalls) (!y halbiert sich) (!y bleibt immer gleich) (!y wird um zwei kleiner)

Was geschieht bei einer antiproportionalen Zuordnung mit y wenn x verdoppelt wird? (y wird halbiert) (!y wird verdoppelt) (!y bleibt gleich) (!y wird um zwei erhöht)

Wann ist eine Tabelle keines von beidem? (Weder Quotient noch Produkt sind konstant) (!Der Quotient ist konstant) (!Das Produkt ist konstant) (!Alle x Werte sind positiv)

Warum reicht die Aussage beide Werte steigen nicht für Proportionalität? (Weil zusätzlich der Quotient konstant sein muss) (!Weil das Produkt immer null sein muss) (!Weil x und y gleich sein müssen) (!Weil nur fallende Werte proportional sind)

Was gilt bei einer proportionalen Zuordnung mit x gleich null? (Dazu gehört y gleich null) (!Dazu gehört immer y gleich eins) (!Das Produkt muss 100 sein) (!Der Graph darf den Ursprung nicht treffen)

Welche Begründung ist mathematisch am stärksten? (Alle geprüften Quotienten sind gleich) (!Die Tabelle sieht ordentlich aus) (!Die Zahlen werden größer) (!Ein digitales Werkzeug sagt proportional)

Memory

Proportionalität	konstanter Quotient
Antiproportionalität	konstantes Produkt
Proportionalitätsfaktor	$k$
Ursprungsgerade	proportionaler Graph
Hyperbel	antiproportionaler Graph
Diagnose	systematische Prüfung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
konstanter Quotient	proportional
konstantes Produkt	antiproportional
beides verändert sich	keines von beidem
Gerade durch den Ursprung	proportionaler Graph
Hyperbel	antiproportionaler Graph

Kreuzworträtsel

Quotient	Welche diagnostische Größe prüfst Du zuerst bei Proportionalität?
Produkt	Welche diagnostische Größe bleibt bei Antiproportionalität konstant?
Proportional	Wie heißt ein Zusammenhang mit konstantem Quotienten?
Antiproportional	Wie heißt ein Zusammenhang mit konstantem Produkt?
Tabelle	In welcher Darstellung stehen Werte meist in Zeilen oder Spalten?
Hyperbel	Wie heißt die typische Kurvenform eines antiproportionalen Graphen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt der von $y$ und $x$ konstant. Diese konstante Zahl wird häufig mit bezeichnet. Eine proportionale Zuordnung kann durch $y=kx$ beschrieben werden und ihr Graph verläuft durch den . Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt das aus $x$ und $y$ konstant. Sie kann durch $y=\frac{k}{x}$ beschrieben werden. Wenn weder Quotient noch Produkt konstant bleiben, ist der Zusammenhang der beiden Typen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Tabellenprüfung: Erfinde eine proportionale Tabelle mit mindestens fünf Wertepaaren und markiere den konstanten Quotienten.
2. Gegenbeispiel: Erfinde eine Tabelle, die nur auf den ersten Blick proportional wirkt, und erkläre den Fehler.
3. Antiproportionale Tabelle: Erstelle fünf Wertepaare mit dem konstanten Produkt $72$.
4. Erklärkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit den beiden Prüfregeln $\frac{y}{x}=k$ und $x\cdot y=k$.

Standard

1. Darstellungswechsel: Wähle eine proportionale Tabelle und stelle denselben Zusammenhang als Gleichung und Graph dar.
2. Fehleranalyse: Schreibe eine falsche Schülerlösung und korrigiere sie fachsprachlich.
3. Dynamische Tabelle: Baue in einer Tabellenkalkulation Spalten für $x$, $y$, Quotient und Produkt.
4. Videoclip Mathematik: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine unbekannte Tabelle Schritt für Schritt diagnostizierst.

Schwer

1. Modellieren: Finde je eine Alltagssituation für proportional, antiproportional und keines von beidem. Begründe die Modelle.
2. Grenzen eines Modells: Untersuche, wann eine antiproportionale Arbeitsteilungsaufgabe in der Realität nicht mehr gut passt.
3. Vergleich von Lösungswegen: Vergleiche Quotientenprüfung, Produktprüfung und Graphprüfung hinsichtlich Sicherheit und Aufwand.
4. Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug drei selbst erfundene Tabellen einordnen und überprüfe jede Antwort selbst rechnerisch. Dokumentiere Abweichungen.

Lernkontrolle

1. Begründung statt Ergebnis: Eine Tabelle wird als proportional bezeichnet. Entwickle eine kurze Begründung, mit der Du diese Aussage sicher prüfst.
2. Modellkritik: Eine App behauptet, eine Tabelle sei antiproportional, weil die eine Größe steigt und die andere fällt. Prüfe diese Begründung und verbessere sie.
3. Darstellungswechsel: Gegeben ist $y=6x$. Erstelle eine Tabelle, beschreibe den Graphen und nenne die diagnostische Größe.
4. Transferaufgabe: Bei einer festen Strecke ändern sich Geschwindigkeit und Fahrzeit. Erkläre, unter welchen idealisierten Bedingungen ein antiproportionaler Zusammenhang entsteht.
5. Fehler finden: Jemand berechnet in einer proportionalen Tabelle abwechselnd $\frac{y}{x}$ und $\frac{x}{y}$. Erkläre, warum dadurch eine falsche Diagnose entstehen kann.
6. Vergleich: Entwickle zwei Tabellen mit denselben ersten Wertepaaren, von denen eine proportional und die andere ab dem dritten Wertepaar nicht proportional ist. Erkläre, warum mehrere Datenpaare geprüft werden müssen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. eine Tabelle vollständig und systematisch untersuchst.
2. den passenden Quotienten oder das passende Produkt korrekt berechnest.
3. die Konstanz der diagnostischen Größe erkennst.
4. proportional, antiproportional und keines von beidem sicher unterscheidest.
5. Deine Entscheidung mit Rechnung und Fachsprache begründest.
6. zwischen Tabelle, Gleichung und Graph wechseln kannst.
7. Ergebnisse digitaler Werkzeuge kritisch kontrollierst.

Folgekurs

Als nächster Schritt passt:

1. Proportionale und antiproportionale Zuordnungen berechnen
2. Tabellen, Terme und Graphen vergleichen
3. Von proportionalen zu linearen Funktionen
4. Proportionale Zusammenhänge in der Prozentrechnung

OERs zum Thema

Weitere freie Lernmedien:

1. Wikimedia Commons: Proportionality.svg
2. Wikimedia Commons: Inverse proportionality function plot.gif
3. GeoGebra: Proportionale Zuordnung
4. GeoGebra: Antiproportionale Zuordnung
5. Bildungsplan Baden-Württemberg: Funktionaler Zusammenhang

Verknüpfte Lernbereiche

Proportionalität und Antiproportionalität Proportionalität Antiproportionalität Zuordnung Wertetabelle Quotient Produkt Funktionaler Zusammenhang Graph Dreisatz