M7 M - Median und Quartile bestimmen

M7 M - Median und Quartile bestimmen

Mini-Beschreibung: Ordne Daten und bestimme Median sowie unteres und oberes Quartil. Vergleiche den Median mit dem arithmetischen Mittel und begründe, welche Kennzahl eine Datenreihe passend beschreibt.

Zielgruppe: Klasse 7, Mathematik, Baden-Württemberg, M-Niveau

Einleitung

Eine Datenliste wirkt oft unübersichtlich. Wenn Du die Werte zuerst sortierst, kannst Du wichtige Stellen sichtbar machen:

$\text{unteres Quartil }{Q}_1|\text{Median }{Q}_2|\text{oberes Quartil }{Q}_3$

Grundidee: Die Quartile teilen eine geordnete Datenreihe in vier Bereiche. Der Median liegt in der Mitte.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Datenreihen sicher der Größe nach ordnen.
2. Median bei gerader und ungerader Anzahl von Werten bestimmen.
3. unteres Quartil $Q_1$ und oberes Quartil $Q_3$ bestimmen.
4. Median und arithmetisches Mittel vergleichen.
5. Ergebnisse auf Zahlengeraden und in einfachen Boxplots deuten.
6. digitale Ergebnisse kritisch prüfen und Deinen Rechenweg fachsprachlich erklären.

Vorwissen-Check

Ordne zuerst im Kopf:

$9,4,7,3,8$

Kleinster Wert	Mitte	Größter Wert
3	7	9

Denkfrage: Warum darfst Du den mittleren Wert erst nach dem Sortieren als Median bezeichnen?

Kontrolle anzeigen

Erst in der geordneten Reihe steht fest, welcher Wert wirklich in der Mitte liegt.

Median bestimmen

Schrittfolge

$8,3,6,4,9,5,7$

Schritt 1 – sortieren:

$3<4<5<6<7<8<9$

Schritt 2 – Mitte markieren:

$3,4,5,6,7,8,9$

Der mittlere Wert ist 6.

Ergebnis:

$\mathrm{Median}=6$

3	4	5	6	7	8	9
drei Werte links			Median	drei Werte rechts

Gerade Anzahl von Werten

Bei einer geraden Anzahl gibt es zwei mittlere Werte.

$2,4,5,7,8,9,10,15$

Die Mitte liegt zwischen $7$ und $8$:

$\mathrm{Median}=\frac{7+8}{2}=\mathrm{7,5}$

Merke: Bei gerader Anzahl ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte.

Zahlengerade: Wo liegt die Mitte?

2	3	4	5	6	7	7,5	8	9	10	11	12	13	14	15
●		●	●		●	↑ Median	●	●	●					●

Bewege gedanklich die beiden mittleren Werte aufeinander zu: Der Treffpunkt von $7$ und $8$ ist $\mathrm{7,5}$.

Quartile bestimmen

Wir verwenden in diesem Kurs die schulische Regel:

Unteres Quartil $Q_1$: Median der unteren Hälfte.

Oberes Quartil $Q_3$: Median der oberen Hälfte.

Bei einer ungeraden Gesamtzahl wird der Gesamtmedian bei der Bildung der beiden Hälften nicht noch einmal mitgezählt.

Beispiel mit zehn Werten

Geordnet:

$3,4,5,6,7|8,9,10,12,15$

Median:

$Q_2=\frac{7+8}{2}=\mathrm{7,5}$

Untere Hälfte:

$3,4,5,6,7$

Der mittlere Wert der unteren Hälfte ist 5.

$Q_1=5$

Obere Hälfte:

$8,9,10,12,15$

Der mittlere Wert der oberen Hälfte ist 10.

$Q_3=10$

Fünf wichtige Werte:

$min=3,Q_1=5,Q_2=\mathrm{7,5},Q_3=10,max=15$

Dynamischer Boxplot und bewegliche Datenpunkte

Verschiebe die Datenpunkte. Beobachte, wann sich $Q_1$, Median und $Q_3$ verändern.

Forschungsauftrag: Verschiebe nur den größten Wert weit nach rechts. Was verändert sich beim Median? Was verändert sich beim arithmetischen Mittel?

Animation: Quartile sichtbar machen

Achte in der Animation besonders auf die drei Quartilsmarken. Die Box zwischen $Q_1$ und $Q_3$ enthält die mittleren 50 % der Daten.

Median und arithmetisches Mittel vergleichen

Nimm die Datenreihe:

$3,4,5,6,7,8,9,10,12,15$

Median:

$\mathrm{Median}=\mathrm{7,5}$

Arithmetisches Mittel:

$\overline{x}=\frac{3+4+5+6+7+8+9+10+12+15}{10}=\frac{79}{10}=\mathrm{7,9}$

Ersetze nun $15$ durch $50$:

$3,4,5,6,7,8,9,10,12,50$

Der Median bleibt:

$\mathrm{Median}=\mathrm{7,5}$

Das arithmetische Mittel wird:

$\overline{x}=\frac{114}{10}=\mathrm{11,4}$

Beobachtung: Ein sehr großer Einzelwert beeinflusst das arithmetische Mittel stark. Der Median kann dabei unverändert bleiben.

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Interaktiv: Mittelwert als Ausgleich

Ändere Datenwerte in einem dynamischen Boxplot und blende das arithmetische Mittel ein.

Vergleiche:

1. Wo liegt der Median?
2. Wo liegt das arithmetische Mittel?
3. Welcher Wert reagiert stärker auf einen Ausreißer?

Interaktive Beispiele

Beispiel A: Median mit Hilfestufen

Gegeben:

$11,6,9,7,8$

Aufgabe: Bestimme den Median.

Hilfe 1

Ordne die Werte aufsteigend.

Hilfe 2

Die geordnete Reihe lautet $6,7,8,9,11$.

Feedback und Lösung

Der mittlere Wert ist $8$. Also gilt $\mathrm{Median}=8$.

Beispiel B: Quartile mit Hilfestufen

Gegeben:

$2,4,5,6,8,9,11,14$

Aufgabe: Bestimme $Q_1$, Median und $Q_3$.

Hilfe 1

Markiere zuerst die beiden mittleren Werte $6$ und $8$.

Hilfe 2

Untere Hälfte: $2,4,5,6$. Obere Hälfte: $8,9,11,14$.

Feedback und Lösung

$Q_1=\frac{4+5}{2}=\mathrm{4,5}$, $Q_2=\frac{6+8}{2}=7$, $Q_3=\frac{9+11}{2}=10$.

Beispiel C: Darstellung wechseln

Daten:

$4,5,5,6,7,8,9,12$

Kennwert	Wert
Minimum	$4$
$Q_1$	$5$
Median	$\mathrm{6,5}$
$Q_3$	$\mathrm{8,5}$
Maximum	$12$

Deine Aufgabe: Zeichne diese fünf Werte auf einer Zahlengeraden und skizziere daraus einen Boxplot.

Typische Fehler

1. Daten sortieren: Median und Quartile aus einer ungeordneten Liste ablesen.
2. Median: Bei gerader Anzahl nur einen der beiden mittleren Werte wählen.
3. Quartil: $Q_1$ und $Q_3$ bestimmen, bevor die Daten in zwei Hälften geteilt wurden.
4. Arithmetisches Mittel: Median und Mittelwert verwechseln.
5. Digitale Werkzeuge: Ein Ergebnis übernehmen, ohne die verwendete Quartilsregel zu prüfen.

Fehlerdetektiv

Jemand schreibt für

$1,3,5,7,9,11$

den Median $5$ auf.

Finde den Fehler und verbessere den Rechenweg.

Feedback

Bei sechs Werten liegen $5$ und $7$ in der Mitte. Deshalb ist $\mathrm{Median}=\frac{5+7}{2}=6$.

Digital arbeiten und Ergebnisse prüfen

Ein digitales Werkzeug kann Median, Quartile oder Boxplots schnell erzeugen. Prüfe trotzdem:

1. Sind die Daten korrekt eingegeben und sortiert?
2. Welche Quartilsregel verwendet das Werkzeug?
3. Passt das Ergebnis zu einer Kontrolle von Hand?
4. Sind Achsen und Skalen sinnvoll?
5. Wurde ein Ausreißer erkannt und fachlich richtig gedeutet?

Datenschutz: Nutze für Übungen erfundene oder anonymisierte Daten. Gib keine personenbezogenen Daten ein.

KI-Hinweis: KI-Ausgaben können Fehler enthalten. Prüfe Rechenweg, Darstellung und Begründung. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine eigene Kontrolle.

Selbstkontrolle

Aufgabe 1

Bestimme den Median:

$4,9,2,7,6$

Lösung

Sortiert: $2,4,6,7,9$. Median: $6$.

Aufgabe 2

Bestimme $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$:

$1,3,4,6,8,9,10,13$

Lösung

$Q_1=\frac{3+4}{2}=\mathrm{3,5}$, $Q_2=\frac{6+8}{2}=7$, $Q_3=\frac{9+10}{2}=\mathrm{9,5}$.

Aufgabe 3

Eine Datenreihe hat den Median $12$. Ein sehr großer Wert wird noch größer. Muss sich der Median ändern?

Lösung

Nein. Solange die Reihenfolge um die Mitte gleich bleibt, kann der Median unverändert bleiben.

Transfer

Zwei Klassen benötigen für denselben Laufweg folgende Zeiten in Minuten:

Klasse A: $12,13,13,14,14,15,16,17$

Klasse B: $10,11,12,14,14,16,18,25$

Bestimme für beide Klassen Median und Quartile. Vergleiche anschließend die Verteilungen. Begründe, welche Informationen der Median liefert und welche Unterschiede Du erst durch $Q_1$ und $Q_3$ erkennst.

Kompetenzcheck

Prüfe Dich selbst:

Ich kann …	Noch üben	Sicher
eine Datenreihe ordnen	□	□
den Median bei gerader und ungerader Anzahl bestimmen	□	□
$Q_1$ und $Q_3$ bestimmen	□	□
Median und arithmetisches Mittel vergleichen	□	□
einen Rechenweg fachsprachlich erklären	□	□
digitale Ergebnisse kritisch prüfen	□	□

Reflexion

1. Strategie: Welcher Schritt hilft Dir am meisten: Sortieren, Mitte markieren oder Daten halbieren?
2. Darstellung: Wann hilft Dir eine Zahlengerade mehr als eine reine Zahlenliste?
3. Begründung: Wie erklärst Du in einem Satz, warum ein Ausreißer den Median oft weniger beeinflusst als das arithmetische Mittel?

Folgekurs

Weiter geht es mit M7 M - Boxplots erstellen und interpretieren. Dort nutzt Du Minimum, $Q_1$, Median, $Q_3$ und Maximum gemeinsam in einer grafischen Darstellung.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was musst Du vor dem Bestimmen des Medians zuerst tun? (Die Daten der Größe nach ordnen) (!Alle Werte addieren) (!Den größten Wert streichen) (!Die Daten verdoppeln)

Welcher Wert ist der Median von 2, 4, 7, 9, 11? (7) (!4) (!9) (!6)

Wie wird der Median bei einer geraden Anzahl von Werten bestimmt? (Als Mittel der beiden mittleren Werte) (!Als größter Wert) (!Als Summe aller Werte) (!Als unteres Quartil)

Was beschreibt das untere Quartil Q1 in diesem Kurs? (Den Median der unteren Datenhälfte) (!Den größten Wert) (!Den Median der oberen Datenhälfte) (!Das arithmetische Mittel aller Werte)

Was beschreibt das obere Quartil Q3 in diesem Kurs? (Den Median der oberen Datenhälfte) (!Den kleinsten Wert) (!Den Median der unteren Datenhälfte) (!Die Anzahl der Daten)

Welcher Kennwert liegt als Q2 zwischen Q1 und Q3? (Der Median) (!Das Maximum) (!Das Minimum) (!Die Spannweite)

Was passiert häufig mit dem arithmetischen Mittel bei einem sehr großen Ausreißer? (Es wird deutlich nach oben gezogen) (!Es bleibt immer gleich) (!Es wird automatisch zum Median) (!Es wird immer kleiner)

Was kann bei einem sehr großen Ausreißer unverändert bleiben? (Der Median) (!Immer das Maximum) (!Immer die Summe) (!Immer das arithmetische Mittel)

Welche fünf Werte werden für einen einfachen Boxplot benötigt? (Minimum Q1 Median Q3 Maximum) (!Minimum Mittelwert Summe Anzahl Maximum) (!Q1 Q2 Q3 Summe Produkt) (!Minimum Median Mittelwert Spannweite Summe)

Warum sollte ein digitales Quartil-Ergebnis geprüft werden? (Programme können unterschiedliche Quartilsregeln verwenden) (!Digitale Werkzeuge können keine Daten sortieren) (!Der Median ist digital immer falsch) (!Quartile dürfen nur im Kopf bestimmt werden)

Memory

Median	mittlerer Wert einer geordneten Datenreihe
Unteres Quartil	Median der unteren Hälfte
Oberes Quartil	Median der oberen Hälfte
Minimum	kleinster Datenwert
Maximum	größter Datenwert
Sortieren	Werte in eine Reihenfolge bringen
Ausreißer	auffällig weit entfernter Datenwert
Mittelwert	Summe geteilt durch Anzahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Minimum	kleinster Wert
Unteres Quartil	Mitte der unteren Datenhälfte
Median	Mitte der gesamten geordneten Datenreihe
Oberes Quartil	Mitte der oberen Datenhälfte
Maximum	größter Wert

Kreuzworträtsel

Median	Welcher Kennwert liegt in der Mitte einer geordneten Datenreihe?
Quartil	Wie heißt ein Wert, der eine geordnete Datenreihe in Viertel gliedert?
Minimum	Wie heißt der kleinste Wert einer Datenreihe?
Maximum	Wie heißt der größte Wert einer Datenreihe?
Datenreihe	Wie nennt man eine Folge erhobener Werte?
Mittelwert	Welcher Kennwert entsteht aus Summe geteilt durch Anzahl?

Dynamische Zahlengerade und Boxplot

Experimentiere: Verändere die Lage der Punkte und beobachte, welche Veränderungen Median und Quartile auslösen.

Lückentext

Vervollständige den Text.

Vor dem Bestimmen des Medians wird eine Datenreihe .

Der Median liegt in der der geordneten Daten.

Bei gerader Anzahl wird das Mittel der beiden Werte gebildet.

Das untere Quartil wird mit bezeichnet.

Das obere Quartil wird mit bezeichnet.

Der Median wird auch als zweites Quartil bezeichnet.

Ein sehr großer Ausreißer beeinflusst häufig das arithmetische stärker als den Median.

Ein Boxplot zeigt unter anderem Median und .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Daten ordnen: Erfinde acht Messwerte und schreibe sie zuerst ungeordnet, danach geordnet auf.
2. Median markieren: Zeichne eine Zahlengerade und markiere den Median Deiner Datenreihe.
3. Quartile farbig darstellen: Kennzeichne $Q_1$, Median und $Q_3$ in drei verschiedenen Symbolen.
4. Fehler erklären: Formuliere einen kurzen Hinweis für jemanden, der den Median aus einer ungeordneten Liste abliest.

Standard

1. Daten vergleichen: Erstelle zwei Datenreihen mit gleichem Median, aber unterschiedlichem arithmetischem Mittel.
2. Ausreißer untersuchen: Verändere in einer Datenreihe nur den größten Wert und dokumentiere die Auswirkungen auf Median und Mittelwert.
3. Boxplot skizzieren: Bestimme die fünf Kennwerte einer Datenreihe und zeichne daraus einen Boxplot.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video oder eine Bildschirmaufnahme, in der Du die Bestimmung von $Q_1$, Median und $Q_3$ erklärst.

Schwer

1. Modellieren: Erfinde eine Alltagssituation, in der der Median aussagekräftiger als das arithmetische Mittel ist, und begründe Deine Wahl.
2. Digitale Werkzeuge vergleichen: Gib dieselbe Datenreihe in zwei geeignete digitale Werkzeuge ein und untersuche, ob beide dieselben Quartile liefern.
3. Darstellungen wechseln: Stelle dieselben Daten als geordnete Liste, Zahlengerade und Boxplot dar und erläutere Vor- und Nachteile.
4. Datenerhebung planen: Plane eine kleine anonyme Datenerhebung ohne personenbezogene Daten, bestimme Median und Quartile und reflektiere die Aussagekraft der Stichprobe.

Lernkontrolle

1. Ausreißer und Lageparameter: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum ein Ausreißer den Median und das arithmetische Mittel unterschiedlich beeinflussen kann.
2. Quartile interpretieren: Zwei Datenreihen haben denselben Median, aber verschiedene Werte für $Q_1$ und $Q_3$. Erkläre, was daraus über die Verteilung folgen kann.
3. Fehleranalyse: Prüfe einen vorgegebenen falschen Quartils-Rechenweg, markiere die fehlerhafte Stelle und verbessere sie.
4. Darstellungswechsel: Überführe eine geordnete Datenreihe in einen Boxplot und begründe jede der fünf Markierungen.
5. Werkzeugkritik: Ein digitales Werkzeug liefert andere Quartile als Deine Rechnung. Beschreibe systematisch, wie Du klärst, welches Verfahren verwendet wurde.
6. Modellierungsentscheidung: Entscheide in einer Alltagssituation begründet, ob Median oder arithmetisches Mittel die passendere Kennzahl ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du:

1. eine Datenreihe korrekt ordnest,
2. Median und Quartile mit nachvollziehbarem Rechenweg bestimmst,
3. eine Zahlengerade oder einen Boxplot passend nutzt,
4. Median und arithmetisches Mittel fachlich vergleichst,
5. den Einfluss eines Ausreißers erklärst,
6. unterschiedliche Darstellungen miteinander verknüpfst,
7. digitale Ergebnisse kontrollierst,
8. Deine Entscheidung mit mathematischer Fachsprache begründest.

OERs zum Thema

Wikipedia: Median

Wikipedia: Quantil

Freies dynamisches Material: GeoGebra

Medienhinweise

Die eingebundenen Grafiken und Animationen stammen aus Wikimedia Commons. Prüfe bei einer Weiterverwendung jeweils die Lizenzangaben auf der Dateiseite und nenne erforderliche Urheber- und Lizenzinformationen.

Die GeoGebra-Applets dienen zum Experimentieren. Ein am Bildschirm angezeigter Wert ist kein Ersatz für einen nachvollziehbaren eigenen Rechenweg.

Verknüpfte Lernbereiche

Median und Quartile Daten und Zufall Datenreihe Median Quartil Arithmetisches Mittel Boxplot Zahlengerade Statistik