M7 M - Lineare Gleichungen mit Klammern lösen

M7 M - Lineare Gleichungen mit Klammern lösen

Mini-Beschreibung: Löse lineare Gleichungen, bei denen Du zuerst Klammern auflösen und Terme zusammenfassen musst. Danach formst Du die Gleichung schrittweise um und prüfst Deine Lösung mit einer Probe.

Zielgruppe: Mathematik Klasse 7, Baden-Württemberg, M-Niveau

Leitidee: Klammern auflösen → Terme zusammenfassen → Gleichung umformen → Probe

Einleitung

Eine Gleichung funktioniert wie eine Waage: Beide Seiten müssen gleich bleiben. Bei Gleichungen mit Klammern kommt vor dem eigentlichen Umformen ein zusätzlicher Schritt hinzu.

$3(x+2)=18$

Zuerst wird die Klammer aufgelöst:

$3x+6=18$

Erst danach wird nach $x$ aufgelöst.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Klammern auflösen: Faktoren korrekt auf alle Terme in der Klammer verteilen.
2. Terme zusammenfassen: Gleichartige Terme erkennen und zusammenfassen.
3. Gleichungen umformen: Auf beiden Seiten dieselbe zulässige Operation durchführen.
4. Lineare Gleichungen lösen: Auch bei Variablen auf beiden Seiten zunehmend selbstständig vorgehen.
5. Ergebnisse prüfen: Eine gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen.
6. Modellieren: Einfache Sachsituationen durch Gleichungen beschreiben.
7. Erklären: Rechenwege vergleichen und fachsprachlich begründen.

Vorwissen-Check

Prüfe zuerst, ob die Grundlagen sitzen.

Aufgabe	Deine Rechnung	Kontrolle
$4(x+3)$	Löse die Klammer auf.	Lösung $4x+12$
$7x+2x-5$	Fasse zusammen.	Lösung $9x-5$
$2x+5=15$	Löse nach $x$.	Lösung $x=5$
$-(x-4)$	Löse die Minusklammer auf.	Lösung $-x+4$

Wenn Dir zwei oder mehr Aufgaben schwerfallen: Wiederhole zuerst Terme, Distributivgesetz und Äquivalenzumformung.

Die vier Schritte

Schritt	Beispiel	Begründung
1. Klammern auflösen	$4(x+3)=4x+12$	Distributivgesetz
2. Zusammenfassen	$4x+12-2x=2x+12$	Gleichartige Terme
3. Gleichung umformen	$2x+12=20$ $2x=8$ $x=4$	Auf beiden Seiten dieselbe Operation
4. Probe	$4(4+3)-2\cdot 4=20$	Linke und rechte Seite stimmen überein

Klammern richtig auflösen

Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Term in der Klammer multipliziert.

$a(b+c)=ab+ac$

$a(b-c)=ab-ac$

Beispiele:

$5(x+2)=5x+10$

$3(2x-4)=6x-12$

$-2(x-5)=-2x+10$

Datei:Rechengesetze - kolleg24 Mathematik.webm

Die Minusklammer

Ein Minus vor der Klammer wirkt wie der Faktor $-1$.

$-(x+4)=-x-4$

$-(x-4)=-x+4$

Merksatz: Bei einer Minusklammer wechseln beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer.

Gleichung als Waage

Bei einer Äquivalenzumformung veränderst Du beide Seiten gleich.

$3x+6=18$

$3x+6-6=18-6$

$3x=12$

$\frac{3x}{3}=\frac{12}{3}$

$x=4$

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Eine Klammer

Löse:

$3(x+2)=18$

Schritt 1 anzeigen

Klammer auflösen:
$3x+6=18$

Schritt 2 anzeigen

Auf beiden Seiten $6$ subtrahieren:
$3x=12$

Schritt 3 anzeigen

Durch $3$ teilen:
$x=4$

Probe anzeigen

$3(4+2)=3\cdot 6=18$
Die Probe stimmt.

Beispiel 2: Variable auf beiden Seiten

$5(x-2)+3=2x+11$

$5x-10+3=2x+11$

$5x-7=2x+11$

$3x-7=11$

$3x=18$

$x=6$

Probe:

$5(6-2)+3=23$

$2\cdot 6+11=23$

Beide Seiten ergeben $23$.

Beispiel 3: Minus vor der Klammer

$20-2(x+3)=3x-1$

$20-2x-6=3x-1$

$14-2x=3x-1$

$15=5x$

$x=3$

Probe:

$20-2(3+3)=8$

$3\cdot 3-1=8$

Interaktive Waage

Verändere die Darstellung und beobachte, warum auf beiden Seiten dieselbe Operation nötig ist.

Denkfrage: Welche Handlung am Waagenmodell entspricht $-5$ auf beiden Seiten einer Gleichung?

Interaktiver Rechenweg

Nutze die Tipps erst, wenn Du wirklich nicht weiterkommst. Vergleiche anschließend Deinen eigenen Rechenweg.

Digitale Kontrolle: Ein digitales Werkzeug kann einen Fehler anzeigen oder eine Lösung liefern. Prüfe trotzdem durch eigene Rechnung und Probe. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis oder nachvollziehbaren Rechenweg. Gib bei Lernwerkzeugen keine personenbezogenen Daten ein.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Aufgabe A

$4(x+3)=28$

Hilfe 1

Löse zuerst die Klammer auf.

Hilfe 2

$4x+12=28$

Feedback

$x=4$. Probe: $4(4+3)=28$.

Aufgabe B

$3(x-5)+7=x+4$

Hilfe 1

Nach dem Auflösen erhältst Du $3x-15+7=x+4$.

Hilfe 2

Fasse links zusammen und bringe danach die $x$-Terme auf eine Seite.

Feedback

$3x-8=x+4$, also $2x=12$ und $x=6$.

Aufgabe C

$7-2(3-x)=3x$

Hilfe 1

Achte auf $-2(3-x)$.

Hilfe 2

$-2(3-x)=-6+2x$.

Feedback

$7-6+2x=3x$, also $1+2x=3x$ und $x=1$.

Aufgabe D

$2(3x-4)-4=3(x+2)$

Hilfe 1

Löse beide Klammern vollständig auf.

Hilfe 2

$6x-12=3x+6$.

Feedback

$3x=18$, also $x=6$. Prüfe die Lösung in der Ausgangsgleichung.

Typische Fehler

Fehler	Falsch	Richtig
Faktor nicht auf alle Terme verteilt	$3(x+4)=3x+4$	$3(x+4)=3x+12$
Minusklammer falsch	$-(x-5)=-x-5$	$-(x-5)=-x+5$
Ungleichartige Terme zusammengefasst	$2x+3=5x$	$2x+3$ bleibt zunächst so
Nur eine Seite verändert	$2x+5=15\Rightarrow 2x=15$	$2x+5=15\Rightarrow 2x=10$
Probe in umgeformter statt in Ausgangsgleichung	nur letzten Schritt prüfen	Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen

Selbstkontrolle

Löse ohne Hilfe. Öffne erst danach die Kontrolle.

1. $6(x+1)=30$
   Kontrolle

   $x=4$
2. $4(x-2)+6=18$
   Kontrolle

   $x=5$
3. $2(x+5)=x+13$
   Kontrolle

   $x=3$
4. $15-3(x-1)=9$
   Kontrolle

   $x=3$

Transfer

Ein Kino verkauft drei gleiche Gruppenpakete. Jedes Paket kostet $x+2$ Euro. Zusätzlich fallen einmalig $4$ Euro Bearbeitungsgebühr an. Insgesamt werden $31$ Euro bezahlt.

Modell:

$3(x+2)+4=31$

Auftrag: Bestimme $x$, erkläre die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang und prüfe es.

Lösung

$3x+6+4=31$
$3x+10=31$
$3x=21$
$x=7$
Der Grundpreis eines Pakets beträgt $7$ Euro; mit Zuschlag kostet jedes Paket $9$ Euro. Kontrolle: $3\cdot 9+4=31$.

Kompetenzcheck

Kreuze für Dich gedanklich an: sicher, fast sicher oder noch üben.

Kompetenz	Prüffrage
Klammern auflösen	Multipliziere ich den Faktor mit jedem Term in der Klammer?
Terme ordnen	Erkenne ich gleichartige Terme?
Äquivalent umformen	Führe ich dieselbe Operation auf beiden Seiten aus?
Lösungsweg darstellen	Sind meine Rechenschritte für andere nachvollziehbar?
Probe durchführen	Setze ich die Lösung in die Ausgangsgleichung ein?
Modellieren	Kann ich eine Sachsituation in eine Gleichung übersetzen?
Begründen	Kann ich erklären, warum ein Umformungsschritt erlaubt ist?

Reflexion

1. Strategie: Welcher Schritt fällt Dir am leichtesten, welcher am schwersten?
2. Fehleranalyse: Welcher typische Fehler könnte Dir selbst passieren?
3. Darstellungswechsel: Erkläre eine Äquivalenzumformung einmal als Rechnung und einmal mit dem Waagenmodell.
4. Begründung: Warum ist eine Probe mehr als nur „noch einmal rechnen“?

Folgekurs

Als nächstes passen besonders:

1. Lineare Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten
2. Lineare Gleichungen mit Brüchen
3. Sachaufgaben mit linearen Gleichungen
4. Lineare Funktionen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der erste sinnvolle Schritt bei $4(x+2)=20$? (Klammer auflösen) (!Durch 20 teilen) (!Die Probe machen) (!x durch 4 ersetzen)

Welche Umformung von $3(x+5)$ ist richtig? (3x+15) (!3x+5) (!8x) (!3x+8)

Wie wird $-2(x-4)$ korrekt aufgelöst? (-2x+8) (!-2x-8) (!2x-8) (!-x+8)

Welche Gleichung entsteht aus $5x+7=22$ nach Subtraktion von 7 auf beiden Seiten? (5x=15) (!5x=29) (!12x=22) (!5x=22)

Welche Lösung hat $2(x+3)=14$? (x=4) (!x=5) (!x=7) (!x=11)

Welche Aussage beschreibt eine Äquivalenzumformung? (Auf beiden Seiten wird dieselbe zulässige Operation ausgeführt) (!Nur die linke Seite wird verändert) (!Die Klammer wird immer gestrichen) (!Die Variable wird durch Null ersetzt)

Was ist bei der Probe zu tun? (Die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen) (!Nur den letzten Rechenschritt wiederholen) (!Die Gleichung abschreiben) (!Alle Vorzeichen vertauschen)

Welche Terme sind gleichartig? (4x und -2x) (!4x und 4) (!x und x²) (!3 und 3x)

Welche Lösung hat $3(x-2)+4=x+6$? (x=4) (!x=2) (!x=5) (!x=8)

Warum hilft das Waagenmodell beim Lösen von Gleichungen? (Es zeigt, dass beide Seiten gleich verändert werden müssen) (!Es ersetzt jede Rechnung) (!Es macht jede Lösung positiv) (!Es entfernt automatisch alle Klammern)

Memory

Distributivgesetz	Klammerfaktor mit jedem Summanden multiplizieren
Minusklammer	Vorzeichen in der Klammer wechseln
Äquivalenzumformung	auf beiden Seiten dieselbe Operation
Zusammenfassen	gleichartige Terme bündeln
Probe	Lösung einsetzen und beide Seiten vergleichen
Lösungsmenge	Menge aller gültigen Lösungen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Klammern auflösen	erster Bearbeitungsschritt
Terme zusammenfassen	gleichartige Bestandteile ordnen
Äquivalenzumformung	Variable schrittweise isolieren
Lösung angeben	Wert der Variablen festhalten
Probe durchführen	Ausgangsgleichung kontrollieren

Kreuzworträtsel

Klammer	Was muss vor dem Zusammenfassen häufig zuerst aufgelöst werden?
Variable	Wie heißt ein Platzhalter wie x?
Gleichung	Wie heißt eine mathematische Aussage mit Gleichheitszeichen?
Distributivgesetz	Welches Gesetz wird beim Ausmultiplizieren verwendet?
Probe	Wie heißt die Kontrolle durch Einsetzen der Lösung?
Äquivalenz	Welcher Begriff beschreibt die Gleichwertigkeit zweier Gleichungsformen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Lösen einer Gleichung mit Klammern wird zuerst die aufgelöst.

Dazu nutzt Du häufig das .

Danach werden gleichartige Terme .

Bei einer Äquivalenzumformung führst Du auf beiden Seiten dieselbe aus.

Das Ziel ist, die zu isolieren.

Ein Minus vor einer Klammer kann als Faktor verstanden werden.

Am Ende setzt Du die gefundene Lösung in die ein.

Diese Kontrolle heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Klammern auflösen: Erstelle vier eigene Beispiele zu $a(x+b)$ und löse die Klammern korrekt auf.
2. Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Fehler beim Auflösen einer Minusklammer und korrigiere ihn.
3. Waagenmodell: Zeichne eine Waage zu $2x+4=12$ und zeige zwei Umformungsschritte bildlich.
4. Probe: Löse eine selbst gewählte lineare Gleichung mit Klammer und dokumentiere die Probe.

Standard

1. Lösungsweg vergleichen: Löse $4(x+1)=2(x+5)$ auf zwei übersichtliche Arten und vergleiche die Reihenfolge Deiner Schritte.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video oder eine Bildschirmaufnahme, in der Du $3(x-2)+5=14$ löst und jeden Schritt begründest.
3. Mathematische Modellierung: Erfinde eine Alltagssituation, die zu $3(x+2)+4=31$ passt.
4. Darstellungswechsel: Stelle dieselbe Gleichung symbolisch, als Waage und mit einer eigenen Skizze dar.

Schwer

1. Gleichungen untersuchen: Erfinde drei Gleichungen mit Klammern, die alle dieselbe Lösung besitzen, und begründe dies durch Proben.
2. Fehlersuche: Lass ein digitales Werkzeug oder eine KI einen Rechenweg erzeugen. Prüfe jeden Schritt kritisch und markiere mögliche Fehler. Verwende keine personenbezogenen Daten.
3. Strategievergleich: Untersuche, wann zuerst Zusammenfassen und wann zuerst eine Äquivalenzumformung besonders übersichtlich ist.
4. Transferaufgabe: Entwickle eine Sachaufgabe mit einer Variablen auf beiden Seiten und mindestens einer Klammer. Löse sie, interpretiere das Ergebnis und prüfe das Modell.

Lernkontrolle

1. Begründen: Erkläre, warum aus $4(x+3)=28$ zunächst $4x+12=28$ folgt und warum $4x+3=28$ nicht äquivalent ist.
2. Fehleranalyse: Eine Person rechnet $-3(x-2)=-3x-6$. Erkläre den Fehler und korrigiere den Rechenweg.
3. Strategie: Löse $5(x-1)+2=2(x+5)+2$. Begründe, welche Terme Du zuerst zusammenfasst.
4. Darstellungswechsel: Erkläre den Schritt $3x+6=18\Rightarrow 3x=12$ sowohl symbolisch als auch mit dem Waagenmodell.
5. Modellieren: Formuliere zu $4(x+2)=36$ eine passende Sachsituation und deute die Lösung.
6. Digitales Prüfen: Vergleiche Deinen eigenen Lösungsweg mit dem Ergebnis eines digitalen Mathematikwerkzeugs. Entscheide anhand der Probe, ob das digitale Ergebnis korrekt ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du:

1. Klammern mit dem Distributivgesetz korrekt auflöst.
2. Minusklammern sicher behandelst.
3. Gleichartige Terme zusammenfasst.
4. Äquivalenzumformungen korrekt und nachvollziehbar notierst.
5. Lineare Gleichungen mit Klammern selbstständig löst.
6. Eine Lösung durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung prüfst.
7. Fehler in fremden Rechenwegen findest und erklärst.
8. Eine einfache Sachsituation durch eine lineare Gleichung modellierst.
9. Zwischen symbolischer Darstellung und Waagenmodell wechseln kannst.
10. Deinen Lösungsweg fachsprachlich begründest.

OERs zum Thema

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Freie Medien und interaktive Materialien:

1. Wikimedia Commons: Algebra Tiles
2. Wikimedia Commons: animiertes Waagenmodell
3. Wikimedia Commons: Addition, Subtraktion und Zusammenfassen
4. GeoGebra: interaktive Gleichungen
5. Bildungsplan Baden-Württemberg: Zahl – Variable – Operation

Medienhinweise

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien stehen unter den jeweils auf der Dateibeschreibungsseite angegebenen freien Lizenzen beziehungsweise unter CC0. Die YouTube-Videos werden über die Plattform eingebettet. Prüfe bei Weiterverwendung stets die Lizenz- und Nutzungsangaben der Originalquelle.

Verknüpfte Lernbereiche

Lineare Gleichungen Terme Distributivgesetz Äquivalenzumformung Variablen Probe Lineare Funktionen Mathematische Modellierung