M7 M - Klammern ausmultiplizieren und einfache Faktoren ausklammern

M7 M - Klammern ausmultiplizieren und einfache Faktoren ausklammern

Mini-Beschreibung: Nutze das Distributivgesetz zum Umformen von Termen. Du lernst auf M-Niveau in Klasse 7, Klammern auszumultiplizieren, gemeinsame Faktoren auszuklammern, Flächenmodelle zu deuten und Rechenwege fachsprachlich zu begründen.

Einleitung

Ein Term kann verschieden aussehen und trotzdem denselben Wert haben.

$3(x+4)=3x+12$

Beim Ausmultiplizieren wird der Faktor vor der Klammer auf alle Summanden in der Klammer verteilt.

Die Umkehrung heißt Ausklammern:

$6x+12=6(x+2)$

Das wichtigste Werkzeug dafür ist das Distributivgesetz.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. das Distributivgesetz an Termen erklären und anwenden.
2. Klammern ausmultiplizieren und jeden Rechenschritt begründen.
3. einfache gemeinsame Faktoren ausklammern.
4. zwischen Term, Rechenweg und Flächenmodell wechseln.
5. zwei Lösungswege vergleichen und durch Einsetzen prüfen.
6. digitale oder KI-erzeugte Termumformungen kritisch kontrollieren.

Vorwissen-Check

1. Multipliziere: $3\cdot x$

Lösung anzeigen: $3x$

2. Berechne: $3\cdot 4$

Lösung anzeigen: $12$

3. Welche Summanden sind gleichartig? $4x+2x+5$

Lösung anzeigen: $4x$ und $2x$. Zusammen ergeben sie $6x$.

4. Berechne für $x=2$: $3(x+4)$

Lösung anzeigen: $3(2+4)=3\cdot 6=18$.

Das Distributivgesetz

Das Grundmuster lautet:

$a(b+c)=ab+ac$

und bei einer Differenz:

$a(b-c)=ab-ac$

Du multiplizierst also den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer.

Das Flächenmodell zeigt dieselbe Idee geometrisch:

$a(b+c)$

beschreibt die Fläche eines Rechtecks mit Höhe $a$ und Gesamtbreite $b+c$.

Zerlegst Du das Rechteck, entstehen zwei Teilflächen:

$ab$

und

$ac$

Deshalb gilt:

$a(b+c)=ab+ac$

Dynamisches Flächenmodell

Verändere in der dynamischen Darstellung die Seitenlängen. Beobachte, wie sich Gesamtfläche und Teilflächen gemeinsam verändern.

Denkfrage: Warum bleibt die Gleichheit von Gesamtfläche und Summe der Teilflächen auch dann richtig, wenn Du die Seitenlängen veränderst?

Ausmultiplizieren

Beispiel 1: $3(x+4)$

Start:

$3(x+4)$

Schritt 1: Faktor verteilen

$3\cdot x+3\cdot 4$

Schritt 2: Produkte vereinfachen

$3x+12$

Damit:

$3(x+4)=3x+12$

Begründung: Die $3$ wird mit beiden Summanden in der Klammer multipliziert.

Beispiel 2: $5(2x-3)$

$5(2x-3)$

Schritt 1

$5\cdot 2x-5\cdot 3$

Schritt 2

$10x-15$

Also:

$5(2x-3)=10x-15$

Beispiel 3: negativer Faktor

$-2(x+5)$

Schritt 1

$-2\cdot x+(-2)\cdot 5$

Schritt 2

$-2x-10$

Achte besonders auf das Vorzeichen.

Ausklammern

Ausklammern ist der umgekehrte Weg.

Aus

$ab+ac$

wird

$a(b+c)$.

Du suchst einen Faktor, der in allen Summanden vorkommt.

Beispiel 1: $6x+12$

Beide Summanden enthalten den Faktor $6$.

$6x+12$

Schritt 1: gemeinsamen Faktor erkennen

$6x=6\cdot x$

$12=6\cdot 2$

Schritt 2: Faktor vor die Klammer schreiben

$6x+12=6(x+2)$

Probe durch Ausmultiplizieren:

$6(x+2)=6x+12$

Beispiel 2: $8x-20$

Ein einfacher gemeinsamer Faktor ist $4$.

$8x-20=4(2x-5)$

Probe:

$4(2x-5)=8x-20$

Ausmultiplizieren und Ausklammern als Umkehrwege

$4(x+3)$

$\Downarrow$

$4x+12$

und zurück:

$4x+12$

$\Downarrow$

$4(x+3)$

Merksatz: Ausmultiplizieren macht aus einem Produkt meist eine Summe. Ausklammern macht aus einer Summe ein Produkt.

Video: Rechengesetze visuell

Datei:Rechengesetze - kolleg24 Mathematik.webm

Achte im Video besonders darauf, wie das Distributivgesetz zwischen Multiplikation und Addition beziehungsweise Subtraktion vermittelt.

Interaktive Beispiele

Beispiel A

Forme um:

$7(x+2)$

Hilfe 1: Multipliziere $7$ zuerst mit $x$.

Hilfe 2: Multipliziere $7$ danach mit $2$.

Feedback und Lösung:

$7(x+2)=7x+14$

Wenn beide Summanden den Faktor $7$ erhalten haben, ist der Rechenweg vollständig.

Beispiel B

Klammere aus:

$9x+18$

Hilfe 1: Suche eine Zahl, durch die beide Summanden teilbar sind.

Hilfe 2: Schreibe $9x=9\cdot x$ und $18=9\cdot 2$.

Feedback und Lösung:

$9x+18=9(x+2)$

Prüfe durch erneutes Ausmultiplizieren.

Beispiel C

Forme um:

$4(3x-5)$

Hilfe 1: Der Faktor $4$ muss beide Terme in der Klammer erreichen.

Hilfe 2: Achte beim zweiten Produkt auf das Minuszeichen.

Feedback und Lösung:

$4(3x-5)=12x-20$

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Ausmultiplizieren

Berechne selbst:

$2(x+7)$

Hilfe 1: Verteile die $2$.

Hilfe 2: $2\cdot x+2\cdot 7$

Lösung: $2x+14$

Übung 2: Ausmultiplizieren mit Minus

Berechne:

$6(x-4)$

Hilfe 1: Multipliziere $6$ mit beiden Termen.

Hilfe 2: $6\cdot x-6\cdot 4$

Lösung: $6x-24$

Übung 3: Ausklammern

Forme als Produkt:

$5x+15$

Hilfe 1: Beide Summanden enthalten den Faktor $5$.

Hilfe 2: Teile beide Summanden gedanklich durch $5$.

Lösung: $5(x+3)$

Übung 4: Erkennen und begründen

Jemand schreibt:

$3(x+8)=3x+8$

Ist das richtig?

Feedback: Nein. Der Faktor $3$ muss auch mit $8$ multipliziert werden.

Richtig ist:

$3(x+8)=3x+24$

Typische Fehler

Fehler 1: Nur den ersten Summanden multiplizieren

Falsch:

$4(x+3)=4x+3$

Richtig:

$4(x+3)=4x+12$

Fehler 2: Vorzeichen verlieren

Falsch:

$5(x-2)=5x+10$

Richtig:

$5(x-2)=5x-10$

Fehler 3: Beim Ausklammern nicht beide Summanden teilen

Falsch:

$6x+12=6(x+12)$

Richtig:

$6x+12=6(x+2)$

Fehler 4: Formgleichheit mit Wertgleichheit verwechseln

Zwei Terme können unterschiedlich aussehen und trotzdem für jedes passende $x$ denselben Wert besitzen.

Probe durch Einsetzen

Prüfe

$3(x+4)=3x+12$

mit $x=2$.

Linke Seite:

$3(2+4)=18$

Rechte Seite:

$3\cdot 2+12=18$

Beide Seiten liefern denselben Wert.

Wichtig: Eine Probe mit einzelnen Zahlen kann einen Fehler entdecken. Sie ersetzt aber keine allgemeine Begründung mit dem Distributivgesetz.

Flächenmodell als Begründung

Stell Dir ein Rechteck mit der Höhe $3$ und der Breite $x+4$ vor.

Gesamtfläche:

$A=3(x+4)$

Zerlegung in zwei Rechtecke:

$A_1=3x$

$A_2=3\cdot 4=12$

Damit:

$A=A_1+A_2=3x+12$

Also:

$3(x+4)=3x+12$

Das ist nicht nur eine Rechenregel, sondern lässt sich als Flächenzerlegung nachvollziehen.

Video zum Ausklammern

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Arbeitsauftrag: Stoppe vor einem Lösungsschritt und versuche, den gemeinsamen Faktor selbst zu finden.

Selbstkontrolle

1. Ich verteile beim Ausmultiplizieren den Faktor auf alle Terme in der Klammer.
2. Ich beachte Plus- und Minuszeichen.
3. Ich erkenne einen einfachen gemeinsamen Faktor.
4. Ich kann durch Ausmultiplizieren prüfen, ob mein Ausklammern stimmt.
5. Ich kann eine Termumformung mit einem Flächenmodell erklären.
6. Ich kann einen fremden oder digitalen Rechenweg auf Fehler prüfen.

Transfer

Rechteck

Ein Rechteck hat die Höhe $3$ und die Breite $x+4$.

Flächeninhalt als Produkt:

$A=3(x+4)$

Flächeninhalt als Summe:

$A=3x+12$

Beide Darstellungen beschreiben dieselbe Fläche.

Gemeinsame Kostenstruktur

Ein Modell liefert den Term

$6x+12$.

Durch Ausklammern erhältst Du:

$6x+12=6(x+2)$.

Die Produktform macht sichtbar, dass beide Bestandteile denselben Faktor $6$ besitzen.

Digitale Werkzeuge und KI kritisch prüfen

Digitale Werkzeuge können Rechenschritte anzeigen, aber Du prüfst selbst:

1. Wurde der Faktor mit jedem Term in der Klammer multipliziert?
2. Stimmen die Vorzeichen?
3. Liefert eine Gegenprobe wieder den Ausgangsterm?
4. Kannst Du den Schritt mit dem Distributivgesetz begründen?

Gib in öffentliche Werkzeuge keine personenbezogenen Daten ein.

KI-Ausgaben können Fehler enthalten. Eine KI-Erklärung ersetzt keinen mathematischen Nachweis. Entscheidend sind nachvollziehbarer Rechenweg, passende Darstellung und Begründung.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet $3(x+4)$ nach dem Ausmultiplizieren? ($3x+12$) (!$3x+4$) (!$7x$) (!$12x$)

Wie lautet $5(x-2)$ nach dem Ausmultiplizieren? ($5x-10$) (!$5x-2$) (!$5x+10$) (!$3x$)

Welches Gesetz wird beim Ausmultiplizieren verwendet? (Distributivgesetz) (!Kommutativgesetz) (!Assoziativgesetz) (!Pythagoras)

Welche Produktform gehört zu $6x+12$? (sechs mal die Summe aus x und zwei) (!sechs mal die Summe aus x und zwölf) (!drei mal die Summe aus x und zwei) (!zwölf mal die Summe aus x und sechs)

Welche Umformung ist richtig? (vier mal die Summe aus zwei x und drei ergibt acht x plus zwölf) (!vier mal die Summe aus zwei x und drei ergibt acht x plus drei) (!vier mal die Summe aus zwei x und drei ergibt sechs x plus sieben) (!vier mal die Summe aus zwei x und drei ergibt acht x plus sieben)

Welcher gemeinsame Faktor lässt sich bei $7x+21$ besonders einfach ausklammern? ($7$) (!$21$) (!$x$) (!$28$)

Was entsteht beim Ausklammern einer Summe? (Eine Produktform) (!Immer eine Dezimalzahl) (!Immer eine Gleichung) (!Eine Bruchzahl)

Welche Aussage zum Flächenmodell passt zum Distributivgesetz? (Die Gesamtfläche ist die Summe der Teilflächen) (!Die Gesamtfläche ist immer null) (!Nur eine Teilfläche wird berücksichtigt) (!Die Seitenlängen spielen keine Rolle)

Wie lautet $-2(x+3)$ nach dem Ausmultiplizieren? ($-2x-6$) (!$-2x+6$) (!$2x-6$) (!$-2x+3$)

Welche Probe passt nach dem Ausklammern? (Die Produktform wieder ausmultiplizieren) (!Nur die Klammer streichen) (!Das Pluszeichen löschen) (!Nur den ersten Summanden betrachten)

Memory

Ausmultiplizieren	Produkt in eine Summe umformen
Ausklammern	Summe in eine Produktform umformen
Faktor	Term, der multipliziert wird
Summand	Teil einer Summe
Distributivgesetz	Multiplikation auf Klammerglieder verteilen
Flächenmodell	Rechteck in passende Teilflächen zerlegen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ausmultiplizieren	Klammer mithilfe des Distributivgesetzes auflösen
Ausklammern	Gemeinsamen Faktor vor eine Klammer schreiben
Faktor	Bestandteil einer Multiplikation
Summand	Bestandteil einer Addition
Probe	Umformung rückwärts kontrollieren

Kreuzworträtsel

Distributivgesetz	Welches Gesetz verbindet Ausmultiplizieren und Ausklammern?
Klammer	Welches Zeichenpaar wird beim Ausmultiplizieren aufgelöst?
Faktor	Wie heißt ein Bestandteil einer Multiplikation?
Summand	Wie heißt ein Bestandteil einer Summe?
Produkt	Welche Termform entsteht beim Ausklammern?
Fläche	Welche geometrische Größe hilft beim Rechteckmodell?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Ausmultiplizieren verwendest Du das . Ein Faktor vor der Klammer wird mit Term in der Klammer multipliziert. Aus $3(x+4)$ entsteht der Term . Beim Ausklammern suchst Du einen Faktor. Aus $6x+12$ entsteht die Produktform . Ein kann die Gleichheit der beiden Termformen anschaulich erklären. Eine gute Kontrolle besteht darin, die ausgeklammerte Form wieder .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Termkarte: Gestalte eine Karte zu $2(x+5)$ mit Ausgangsterm, Zwischenschritt und Ergebnis.
2. Flächenmodell: Zeichne ein Rechteck zu $3(x+4)$ und beschrifte beide Teilflächen.
3. Fehlersuche: Erfinde eine falsche Ausmultiplizierung und erkläre anschließend den Fehler.
4. Umkehrweg: Beginne mit $5x+15$, klammere aus und prüfe durch Ausmultiplizieren.

Standard

1. Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Video, in dem Du $4(2x-3)$ schrittweise erklärst.
2. Darstellungswechsel: Stelle $6(x+2)=6x+12$ als Term, Flächenmodell und Erklärung in Worten dar.
3. Lösungswege vergleichen: Vergleiche zwei korrekte Rechenwege zu einem selbst gewählten Beispiel und beschreibe Gemeinsamkeiten.
4. Fehleranalyse: Sammle drei typische Fehler beim Ausmultiplizieren und entwickle zu jedem einen Prüftipp.

Schwer

1. Modellierungsaufgabe: Entwickle eine Rechteck-Sachaufgabe, die zu $7(x+3)$ führt, und löse sie in zwei Darstellungen.
2. Begründung: Erkläre mit einem allgemeinen Flächenmodell, warum $a(b+c)=ab+ac$ gilt.
3. Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug mehrere Termumformungen erzeugen, prüfe sie selbst und dokumentiere gefundene Fehler. Verwende keine personenbezogenen Daten.
4. Lernprodukt: Entwickle ein Mini-Lernspiel, in dem zwischen Produktform, Summenform und Flächenmodell gewechselt werden muss.

Lernkontrolle

1. Begründung mit Flächenmodell: Erkläre ohne bloßes Ausrechnen, warum $4(x+3)$ und $4x+12$ denselben Wert darstellen.
2. Fehler beurteilen: Eine Person schreibt $6(x-2)=6x-2$. Analysiere den Fehler und verbessere den Rechenweg.
3. Darstellungen verbinden: Zeichne ein Rechteck, das zu $5x+20$ passt, und gib dazu eine Produktform an.
4. Strategien vergleichen: Vergleiche Ausmultiplizieren und Ausklammern. Erkläre, wann welcher Weg eine übersichtlichere Termform erzeugt.
5. Transfer: Entwickle eine Alltagssituation mit einer gemeinsamen Größe, die sich durch $8x+16=8(x+2)$ darstellen lässt.
6. Digitale Kontrolle: Prüfe eine vorgegebene digitale Lösung mit Einsetzen und mit dem Distributivgesetz. Erkläre, welche Prüfung aussagekräftiger ist und warum.

Kompetenzcheck

Prüfe Dich selbst an diesen vier Aufgaben.

A: $8(x+3)$

Ergebnis: $8x+24$

B: $3(4x-5)$

Ergebnis: $12x-15$

C: $7x+14$

Produktform: $7(x+2)$

D: Begründe $5(x+2)=5x+10$ mit einem Flächenmodell.

Erwartung: Beschreibe ein Rechteck mit einer Seitenlänge $5$ und der anderen Seitenlänge $x+2$. Die Teilflächen sind $5x$ und $10$.

Reflexion

1. Welcher Schritt beim Ausmultiplizieren gelingt Dir sicher?
2. Bei welchem Vorzeichen musst Du besonders aufmerksam sein?
3. Hilft Dir die Termdarstellung oder das Flächenmodell mehr? Begründe.
4. Wie kannst Du prüfen, ob eine digitale Lösung vertrauenswürdig ist?
5. Welche Fachbegriffe kannst Du inzwischen korrekt verwenden?

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Klammern mit einem einfachen Faktor korrekt auszumultiplizieren.
2. einfache gemeinsame Faktoren sicher auszuklammern.
3. Plus- und Minuszeichen korrekt zu behandeln.
4. das Distributivgesetz als Begründung zu verwenden.
5. zwischen Term und Flächenmodell zu wechseln.
6. Rechenwege nachvollziehbar aufzuschreiben.
7. Ergebnisse durch Rückumformung oder Einsetzen zu kontrollieren.
8. fremde und digitale Lösungswege fachlich zu prüfen.

Verknüpfte Lernbereiche

Terme Distributivgesetz Ausmultiplizieren Ausklammern Variablen Flächeninhalt Gleichartige Terme Termumformung

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich an:

1. M7 M - Terme mit mehreren Rechenschritten vereinfachen
2. Gleichartige Terme zusammenfassen
3. Lineare Gleichungen mit Klammern
4. Terme und Flächenmodelle

Medienhinweis

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