M7 M - Einfache Formeln nach einer Größe auflösen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Stelle einfache Formeln um und bestimme gesuchte Größen.

Du kennst Formeln wie $v=\frac{s}{t}$, $U=2a+2b$ und $A=a\cdot b$. In diesem aiMOOC lernst Du, eine gesuchte Größe allein auf eine Seite zu bringen. Das Formeldreieck dient nur als Einstieg. Entscheidend sind Äquivalenzumformungen: Du führst auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe zulässige Rechenoperation aus.

Einstieg: Das Formeldreieck kann Dir bei $v=\frac{s}{t}$ die drei Formen $v=\frac{s}{t}$, $s=v\cdot t$ und $t=\frac{s}{v}$ merken helfen. Für andere Formeln reicht dieser Trick nicht. Deshalb arbeitest Du im Kurs mit Äquivalenzumformungen.

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Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du

1. eine gesuchte Größe in einer einfachen Formel erkennen und isolieren,
2. bei jeder Äquivalenzumformung dieselbe Operation auf beiden Seiten ausführen,
3. Formeln mit Produkten, Quotienten und Summen umstellen,
4. zwischen Formel, Skizze, Diagramm und Sachsituation wechseln,
5. einen Rechenweg fachsprachlich erklären und durch Einsetzen prüfen.

Niveau: Klasse 7, Mathematik, Baden-Württemberg, M-Niveau.

Vorwissen-Check

Bearbeite zuerst ohne Taschenrechner.

1. Vereinfache $2a+2a$.
2. Welche Gegenoperation passt zu „mal 5“?
3. Berechne $24:6$.
4. Prüfe: Ist $3\cdot 4=12$ gleichbedeutend mit $12:4=3$?

Lösung anzeigen

$2a+2a=4a$; Gegenoperation zu „mal 5“ ist „geteilt durch 5“; $24:6=4$; ja, Multiplikation und Division sind hier Umkehroperationen.

Grundidee: Gleichheit erhalten

Eine Gleichung kannst Du Dir wie eine Waage im Gleichgewicht vorstellen.

Merksatz: Was Du auf der einen Seite änderst, musst Du in derselben Weise auch auf der anderen Seite ändern.

Beispiel:

$y+5=12$

$y+5-5=12-5$

$y=7$

Die Umformung „minus 5 auf beiden Seiten“ verändert die Lösungsmenge nicht. Das ist eine Äquivalenzumformung.

Multiplikation und Division als Gegenoperationen

Aus

$4x=20$

wird durch Division beider Seiten durch $4$

$\frac{4x}{4}=\frac{20}{4}$

und damit

$x=5$.

Beispiel 1: Geschwindigkeit, Strecke und Zeit

Gegeben ist

$v=\frac{s}{t}$.

Gesucht ist $s$.

Schritt 1: Die Variable $s$ steht im Zähler. Der Nenner $t$ stört.

Schritt 2: Multipliziere beide Seiten mit $t$.

$v\cdot t=\frac{s}{t}\cdot t$

Schritt 3: Kürze $t$ auf der rechten Seite.

$v\cdot t=s$

Ergebnis:

$s=v\cdot t$

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Dynamische Darstellung: Verändere Zeit und Geschwindigkeit und beobachte die Strecke im Weg-Zeit-Diagramm.

Nach der Zeit auflösen

Aus

$v=\frac{s}{t}$

folgt zunächst

$v\cdot t=s$.

Teile anschließend beide Seiten durch $v$:

$\frac{v\cdot t}{v}=\frac{s}{v}$

also

$t=\frac{s}{v}$.

Probe mit Zahlen: Für $s=120\mathrm{k}\mathrm{m}$ und $v=60\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ gilt

$t=\frac{120\mathrm{k}\mathrm{m}}{60\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$.

Beispiel 2: Umfang eines Rechtecks

Gegeben ist

$U=2a+2b$.

Gesucht ist $a$.

Schritt 1: Entferne zuerst den Summanden $2b$.

$U-2b=2a$

Schritt 2: Teile beide Seiten durch $2$.

$\frac{U-2b}{2}=a$

Ergebnis:

$a=\frac{U-2b}{2}$

Das kannst Du auch schreiben als

$a=\frac{U}{2}-b$.

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Dynamische Geometrie: Verändere die Seiten eines Rechtecks und beobachte den Umfang.

Beispiel 3: Flächeninhalt eines Rechtecks

Gegeben ist

$A=a\cdot b$.

Gesucht ist $b$.

Teile beide Seiten durch $a$:

$\frac{A}{a}=\frac{a\cdot b}{a}$

Damit gilt für $a\ne 0$:

$b=\frac{A}{a}$.

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Bewegliche Darstellung: Ziehe am Rechteck und beobachte, wie sich Seitenlänge und Flächeninhalt ändern.

Interaktive Rechenwege

Arbeitsregel: Schreibe bei jeder Zeile die Operation gedanklich auf beiden Seiten mit.

Beispiel:

$U=2a+2b$

$U-2b=2a$

$\frac{U-2b}{2}=a$

$a=\frac{U-2b}{2}$

Digitale Übung zu Äquivalenzumformungen:

Hinweis zu digitalen Werkzeugen: Prüfe jedes digitale Ergebnis durch Einsetzen in die Ausgangsformel. Gib keine personenbezogenen Daten ein. KI-Ausgaben oder CAS-Ergebnisse können beim Kontrollieren helfen, ersetzen aber keine mathematische Begründung.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Produktformel

Stelle $A=a\cdot b$ nach $a$ um.

Hilfe 1

$a$ wird mit $b$ multipliziert. Nutze die Gegenoperation.

Hilfe 2

Teile beide Seiten durch $b$.

Feedback und Lösung

$\frac{A}{b}=a$, also $a=\frac{A}{b}$. Richtig ist der Weg, wenn dieselbe Division auf beiden Seiten vorkommt.

Übung B: Summenformel

Stelle $U=2a+2b$ nach $b$ um.

Hilfe 1

Entferne zuerst $2a$.

Hilfe 2

Nach $U-2a=2b$ teilst Du durch $2$.

Feedback und Lösung

$b=\frac{U-2a}{2}$. Prüfe durch Einsetzen in $U=2a+2b$.

Übung C: Quotientenformel

Stelle $v=\frac{s}{t}$ nach $t$ um.

Hilfe 1

Beseitige zuerst den Nenner $t$.

Hilfe 2

Multipliziere zuerst mit $t$, danach teile durch $v$.

Feedback und Lösung

$t=\frac{s}{v}$. Achte darauf, dass $v\ne 0$ sein muss.

Typische Fehler

Fehler 1: Nur eine Seite verändern

Falsch:

$U=2a+2b$

$U-2b=2a+2b$

Richtig:

$U-2b=2a$

Fehler 2: Falsche Gegenoperation

Bei $A=a\cdot b$ wird nicht $b$ subtrahiert, sondern durch $b$ dividiert.

Fehler 3: Klammer vergessen

Richtig ist

$a=\frac{U-2b}{2}$.

Die gesamte Differenz $U-2b$ wird durch $2$ geteilt.

Fehler 4: Ergebnis nicht prüfen

Setze die umgestellte Formel probeweise zurück in die Ausgangsformel ein.

Selbstkontrolle

Prüfe Dich selbst:

1. Ich kann die gesuchte Größe markieren.
2. Ich kann die störende Rechenoperation erkennen.
3. Ich kann die Gegenoperation auf beiden Seiten durchführen.
4. Ich kann meinen Rechenweg mit Fachbegriffen erklären.
5. Ich kann mein Ergebnis durch Einsetzen oder mit einer passenden Darstellung kontrollieren.

Wenn Du bei einem Punkt unsicher bist, gehe zum passenden Beispiel zurück.

Transfer

Situation 1: Fahrradfahrt

Eine Strecke wird mit konstanter Durchschnittsgeschwindigkeit beschrieben:

$v=\frac{s}{t}$.

Du kennst $s$ und $v$. Begründe, warum $t=\frac{s}{v}$ sinnvoll ist und prüfe die Einheit.

Situation 2: Rechteck planen

Ein Rechteck hat den Flächeninhalt $A=48{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ und die Seitenlänge $a=8\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$b=\frac{A}{a}$

$b=\frac{48{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2}{8\mathrm{c}\mathrm{m}}=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Situation 3: Umfang rückwärts

Gegeben sind $U=30\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=5\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$a=\frac{U-2b}{2}$

$a=\frac{30\mathrm{c}\mathrm{m}-10\mathrm{c}\mathrm{m}}{2}=10\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Kompetenzcheck

Bearbeite ohne Hilfe.

1. Stelle $A=a\cdot b$ nach $b$ um und begründe die Operation.
2. Stelle $U=2a+2b$ nach $a$ um.
3. Stelle $v=\frac{s}{t}$ nach $s$ und nach $t$ um.
4. Erfinde eine Sachsituation zu einer der Formeln und erkläre, welche Größe gesucht ist.
5. Vergleiche zwei mögliche Rechenwege zu $U=2a+2b$ und entscheide, ob beide äquivalent sind.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welche Umformung erkennst Du inzwischen sofort?
2. Bei welcher Formel musst Du noch besonders auf Klammern achten?
3. Wie hilft Dir das Waage-Modell?
4. Wann ist ein Formeldreieck nützlich, und wann brauchst Du echte Äquivalenzumformungen?
5. Wie kannst Du ein digitales Ergebnis mathematisch prüfen?

Folgekurs

Als nächstes passen Lineare Gleichungen, Terme umformen, Proportionalität, Geschwindigkeit sowie das Arbeiten mit Formeln in Geometrie und Physik.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ziel beim Umstellen einer Formel? (Die gesuchte Größe steht allein auf einer Seite) (!Alle Variablen werden durch Zahlen ersetzt) (!Das Gleichheitszeichen wird entfernt) (!Alle Terme werden addiert)

Welche Umformung führt aus $A=a\cdot b$ zur Formel für $b$? (Beide Seiten durch a teilen) (!Beide Seiten mit a multiplizieren) (!Auf beiden Seiten a addieren) (!Auf beiden Seiten b subtrahieren)

Welche Formel erhältst Du aus $v=\frac{s}{t}$ für die Strecke? (s gleich v mal t) (!s gleich v geteilt durch t) (!s gleich t geteilt durch v) (!s gleich v plus t)

Welche Formel erhältst Du aus $v=\frac{s}{t}$ für die Zeit? (t gleich s geteilt durch v) (!t gleich v geteilt durch s) (!t gleich s mal v) (!t gleich s plus v)

Was bedeutet Äquivalenzumformung? (Eine Umformung, die die Gleichheit erhält) (!Eine Umformung, die nur die linke Seite verändert) (!Eine Umformung, die Variablen löscht) (!Eine Umformung, die immer Zahlen einsetzt)

Welche erste Umformung ist bei $U=2a+2b$ sinnvoll, wenn $a$ gesucht ist? (Auf beiden Seiten 2b subtrahieren) (!Auf beiden Seiten 2a addieren) (!Beide Seiten durch b teilen) (!Nur links 2b subtrahieren)

Welche Formel ist korrekt nach $a$ aufgelöst? (a gleich U minus 2b geteilt durch 2) (!a gleich U minus b) (!a gleich U mal 2b) (!a gleich 2 geteilt durch U minus b)

Warum ist eine Probe nach dem Umstellen sinnvoll? (Sie kann zeigen, ob die umgestellte Formel zur Ausgangsformel passt) (!Sie ersetzt jede Begründung) (!Sie macht Einheiten überflüssig) (!Sie verhindert jede Division)

Welche Gegenoperation gehört zur Multiplikation? (Division) (!Addition) (!Subtraktion) (!Potenzieren)

Was ist bei digitalen Ergebnissen wichtig? (Das Ergebnis mathematisch prüfen) (!Das Ergebnis ungeprüft übernehmen) (!Personenbezogene Daten eingeben) (!Nur auf die Darstellung vertrauen)

Memory

Äquivalenzumformung	gleiche zulässige Operation auf beiden Seiten
Produkt	Ergebnis einer Multiplikation
Quotient	Ergebnis einer Division
Variable	Platzhalter für eine Größe
Gegenoperation	macht eine Rechenoperation rückgängig
Probe	Ergebnis durch Einsetzen kontrollieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Division	Gegenoperation zur Multiplikation
Subtraktion	Gegenoperation zur Addition
Strecke	gesuchte Größe in s gleich v mal t
Zeit	gesuchte Größe in t gleich s geteilt durch v
Seitenlänge	gesuchte Größe in b gleich A geteilt durch a

Kreuzworträtsel

Formel	Mathematische Beziehung zwischen Größen
Variable	Zeichen für eine veränderliche Größe
Gleichung	Aussage mit einem Gleichheitszeichen
Produkt	Ergebnis einer Multiplikation
Quotient	Ergebnis einer Division
Umfang	Länge des Randes einer Figur

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Umstellen einer Formel soll die gesuchte allein auf einer Seite stehen. Eine Umformung, die die Gleichheit erhält, heißt . Bei jeder solchen Umformung wird dieselbe Operation auf Seiten ausgeführt. Zur Multiplikation gehört als Gegenoperation die . Aus $A=a\cdot b$ folgt für die Seite $b$ die Formel . Bei $U=2a+2b$ wird zum Auflösen nach $a$ zuerst der Summand $2b$ . Ein Ergebnis kann durch in die Ausgangsformel geprüft werden. Ein Formeldreieck kann beim Einstieg helfen, ersetzt aber keine mathematische .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formeln erkennen: Markiere in drei selbst gewählten Formeln jeweils die gesuchte Größe.
2. Gegenoperationen: Erstelle sechs Kartenpaare aus Rechenoperation und Gegenoperation.
3. Rechenweg erklären: Erkläre in drei Sätzen, warum bei einer Äquivalenzumformung beide Seiten verändert werden.
4. Rechteck: Zeichne ein Rechteck und beschrifte $a$, $b$, $U$ und $A$.

Standard

1. Geschwindigkeit: Erfinde eine Aufgabe zu $v=\frac{s}{t}$ und löse sie nach einer anderen Größe auf.
2. Umfang: Stelle $U=2a+2b$ nach beiden Seitenlängen um und vergleiche die Ergebnisse.
3. Flächeninhalt: Finde drei Zahlenbeispiele, mit denen Du $b=\frac{A}{a}$ überprüfst.
4. Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Umformungsfehler und erkläre, wie man ihn erkennt.

Schwer

1. Modellieren: Entwickle eine Sachsituation, in der zuerst eine Formel aufgestellt und danach nach einer gesuchten Größe umgestellt werden muss.
2. Darstellungen wechseln: Verbinde eine Formel mit einer Skizze, einem Zahlenbeispiel und einer sprachlichen Erklärung.
3. Lösungswege vergleichen: Löse $U=2a+2b$ nach $a$ auf zwei verschiedenen Wegen und begründe die Gleichwertigkeit.
4. Digitale Mathematik: Prüfe eine Umformung mit einem digitalen Werkzeug und dokumentiere zusätzlich eine eigene mathematische Probe. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Transfer Geschwindigkeit: Eine Strecke, eine Zeit oder eine Geschwindigkeit ist unbekannt. Wähle selbst, welche Formelversion Du brauchst, und begründe Deine Wahl.
2. Rechteck modellieren: Ein Rechteck soll einen vorgegebenen Umfang besitzen. Leite eine Formel für eine fehlende Seitenlänge her und interpretiere sie.
3. Fehler begründen: Erkläre, warum eine nur auf einer Seite ausgeführte Operation die Gleichheit im Allgemeinen zerstört.
4. Darstellungen vergleichen: Vergleiche Waage, Formel und dynamische Geometrie als Darstellungen derselben mathematischen Idee.
5. Digitale Kontrolle: Beurteile ein vorgegebenes CAS- oder KI-Ergebnis durch eine eigene Rechnung und eine Probe.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. einfache Formeln selbstständig nach einer Größe auflösen kannst,
2. Äquivalenzumformungen korrekt und nachvollziehbar notierst,
3. Rechenwege fachsprachlich erklärst,
4. zwischen Formel, Skizze, Diagramm und Sachsituation wechselst,
5. Ergebnisse durch Einsetzen und Einheiten prüfst,
6. digitale Hilfsmittel kritisch verwendest und Ergebnisse nicht ungeprüft übernimmst.

OERs zum Thema

Wikipedia: Äquivalenzumformung

Wikipedia: Formel

Verknüpfte Lernbereiche

Einfache Formeln umstellen Äquivalenzumformung Gleichung Variable Terme Geschwindigkeit Rechteck Flächeninhalt Umfang