M7 G - Zusammenhänge mit Tabellen und Graphen darstellen

M7 G - Zusammenhänge mit Tabellen und Graphen darstellen

Mini-Beschreibung: Stelle einfache Zusammenhänge durch Text, Tabelle und Koordinatensystem dar. Du übst mit Weg-Zeit-, Preis-Mengen- und Füllstandsbeispielen, Punkte richtig einzutragen und Werte sicher abzulesen.

Zielgruppe: Klasse 7, Mathematik, Baden-Württemberg, ausschließlich G-Niveau.

Einleitung

Im Alltag hängen Größen oft zusammen: Je länger Du gehst, desto weiter kommst Du. Je mehr Hefte Du kaufst, desto höher wird bei festem Stückpreis der Gesamtpreis. Je länger Wasser gleichmäßig in ein Gefäß läuft, desto höher wird der Füllstand.

Ein Zusammenhang kann auf mehrere Arten dargestellt werden:

Darstellung	Beispiel
Text	„Pro Minute steigt der Füllstand um 2 cm.“
Tabelle	Zeit und Füllstand stehen in zwei Spalten.
Punkt	$P(3|6)$
Graph	Mehrere passende Punkte werden im Koordinatensystem dargestellt.

Merksatz: Im Koordinatensystem liest Du zuerst die waagrechte Koordinate $x$ und danach die senkrechte Koordinate $y$.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Tabelle: Wertepaare in einer übersichtlichen Tabelle darstellen.
2. Koordinatensystem: Punkte korrekt eintragen und ablesen.
3. Graph: aus einer Tabelle passende Punkte in einen Graphen übertragen.
4. Zuordnung: einfache Zusammenhänge in Worten beschreiben.
5. Modellieren: Weg-Zeit-, Preis-Mengen- und Füllstandsbeispiele deuten.
6. Digitale Werkzeuge: digitale Graphen kritisch prüfen und Fehler erkennen.

Vorwissen-Check

Prüfe Dich kurz. Schreibe die Antworten zunächst ohne Hilfe auf.

Aufgabe	Deine Idee
Welche Achse verläuft waagrecht?	______
Welche Achse verläuft senkrecht?	______
Was bedeutet der Punkt $P(4|7)$?	______

Lösung anzeigen

Die $x$-Achse verläuft waagrecht. Die $y$-Achse verläuft senkrecht. Beim Punkt $P(4|7)$ gehst Du zuerst zu $x=4$ und dann zu $y=7$.

Grundidee: Von der Situation zur Darstellung

Eine gute Reihenfolge ist:

1. Text lesen: Welche zwei Größen gehören zusammen?
2. Tabelle bauen: Welche Wertepaare passen?
3. Achsen beschriften: Welche Größe gehört auf die $x$-Achse, welche auf die $y$-Achse?
4. Punkte eintragen: Jeden Tabellenwert als Punkt übertragen.
5. Prüfen: Passt der Graph zur Situation?

Satzstarter: „Wenn $x$ größer wird, dann …“

Satzstarter: „Der Punkt $P(a|b)$ bedeutet in dieser Situation: …“

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Beispiel 1: Weg und Zeit

Lina geht gleichmäßig. In jeder Minute schafft sie 80 m.

Zeit in min	Weg in m
0	0
1	80
2	160
3	240
4	320

Die Punkte sind:

$(0|0),(1|80),(2|160),(3|240),(4|320)$

Für 3 Minuten gilt:

$3\cdot 80=240$

Der Punkt $P(3|240)$ bedeutet: Nach 3 Minuten hat Lina 240 m zurückgelegt.

Achtung: Bei einem Weg-Zeit-Graphen steht die Zeit meistens auf der waagrechten Achse. Die Weglänge steht auf der senkrechten Achse.

Interaktive Schritt-für-Schritt-Aufgabe: Weg-Zeit

Ein Roller fährt gleichmäßig 100 m pro Minute.

Zeit in min	Weg in m
0	0
1	100
2	?
3	?

Hilfe 1

Pro Minute kommen 100 m dazu.

Hilfe 2

Rechne $2\cdot 100$ und $3\cdot 100$.

Feedback und Lösung

Nach 2 Minuten sind es 200 m, nach 3 Minuten 300 m. Die Punkte heißen $P(2|200)$ und $P(3|300)$.

Beispiel 2: Preis und Menge

Ein Heft kostet 2 €.

Hefte	Preis in €
0	0
1	2
2	4
3	6
4	8

Für 4 Hefte:

$4\cdot 2=8$

Der Punkt $P(4|8)$ bedeutet: 4 Hefte kosten 8 €.

Wichtig: Wenn nur ganze Hefte gekauft werden können, passen in der Situation vor allem die Punkte für ganze Stückzahlen. Eine durchgehende Linie kann mathematisch möglich aussehen, aber in der Sachlage missverständlich sein.

Mini-Übung: Preis-Menge

Ein Brötchen kostet 0,50 €.

1. Berechne den Preis für 2 Brötchen.
2. Berechne den Preis für 6 Brötchen.
3. Nenne die beiden Punkte.

Hilfe 1

Nutze $\text{Menge}\cdot \text{Stückpreis}$.

Hilfe 2

$2\cdot \mathrm{0,50}=1$

Feedback und Lösung

2 Brötchen kosten 1 €. 6 Brötchen kosten 3 €. Die Punkte sind $P(2|1)$ und $P(6|3)$.

Beispiel 3: Füllstand und Zeit

Ein schmales Gefäß wird gleichmäßig gefüllt. Der Wasserstand steigt pro Minute um 3 cm.

Zeit in min	Füllstand in cm
0	0
1	3
2	6
3	9
4	12

Nach 4 Minuten:

$4\cdot 3=12$

Der Punkt $P(4|12)$ bedeutet: Nach 4 Minuten ist der Füllstand 12 cm hoch.

Prüffrage: Darf man die Punkte verbinden? Bei einem gleichmäßigen Füllvorgang sind auch Zwischenzeiten sinnvoll. Deshalb ist eine durchgehende Linie hier passend.

Punkte richtig eintragen und ablesen

So trägst Du $P(3|2)$ ein:

1. Gehe auf der $x$-Achse zu 3.
2. Gehe von dort senkrecht nach oben zu 2.
3. Markiere den Punkt.

So liest Du ab:

1. Gehe vom Punkt senkrecht zur $x$-Achse.
2. Lies $x$ ab.
3. Gehe vom Punkt waagrecht zur $y$-Achse.
4. Lies $y$ ab.

Merksatz: Erst $x$, dann $y$.

Dynamisches Koordinatensystem

Nutze ein digitales Koordinatensystem und setze nacheinander die Punkte $A(1|2)$, $B(2|4)$, $C(3|6)$ und $D(4|8)$.

Selbstkontrolle: Liegen alle Punkte auf einer geraden Linie? Prüfe auch, ob Du die Achsen vertauscht hast.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Von der Tabelle zum Graphen

Beispiel:

$x$	$y$
0	0
1	2
2	4
3	6

Schritt 1: Lies ein Wertepaar ab: $(1|2)$.

Schritt 2: Trage den Punkt ein.

Schritt 3: Wiederhole das für $(2|4)$ und $(3|6)$.

Schritt 4: Prüfe, ob alle Punkte zur Tabelle passen.

Rechencheck: Hier gilt für die gezeigten Werte $y=2x$.

Vom Graphen zur Tabelle

Beim Ablesen arbeitest Du umgekehrt.

Punkt	Bedeutung
$P(1|3)$	Zu $x=1$ gehört $y=3$.
$P(2|6)$	Zu $x=2$ gehört $y=6$.
$P(3|9)$	Zu $x=3$ gehört $y=9$.

Satzstarter: „Bei $x=\mathrm{...}$ lese ich $y=\mathrm{...}$ ab.“

Typische Fehler

Fehler	Besser
$x$ und $y$ werden vertauscht.	Erst waagrecht $x$, dann senkrecht $y$.
Achsen haben keine Beschriftung.	Größe und Einheit angeben.
Die Skalierung wird übersehen.	Vor dem Ablesen die Schrittweite prüfen.
Ein Punkt wird zwischen zwei Gitterlinien geraten.	Hilfslinien gedanklich waagrecht und senkrecht ziehen.
Alle Punkte werden automatisch verbunden.	Prüfen, ob Zwischenwerte in der Situation sinnvoll sind.
Ein digitaler Graph wird ungeprüft übernommen.	Werte mit Tabelle oder Überschlagsrechnung kontrollieren.

Digitale Werkzeuge und KI kritisch nutzen

Digitale Werkzeuge helfen beim Zeichnen und Prüfen. Sie ersetzen aber nicht Dein Denken.

1. Prüfe Achsen, Einheiten und Skalierung.
2. Vergleiche mindestens einen Punkt mit Deiner Tabelle.
3. Nutze keine personenbezogenen Daten in frei zugänglichen Tools.
4. Prüfe KI-Ausgaben mit einer eigenen Rechnung oder einem Gegenbeispiel.
5. Eine KI-Antwort ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Weg-Zeit

Ein Kind fährt mit dem Fahrrad gleichmäßig 150 m pro Minute.

Zeit in min	Weg in m
0	0
1	150
2	?
4	?

Hilfe 1

Multipliziere die Zeit mit 150.

Hilfe 2

$2\cdot 150=300$

Feedback

Die fehlenden Werte sind 300 m und 600 m. Passende Punkte sind $P(2|300)$ und $P(4|600)$.

Übung B: Preis-Menge

Ein Apfel kostet 0,60 €.

Äpfel	Preis in €
1	0,60
2	?
5	?

Hilfe 1

Rechne Anzahl mal 0,60 €.

Feedback

2 Äpfel kosten 1,20 €. 5 Äpfel kosten 3,00 €.

Übung C: Füllstand

Ein Gefäß wird mit 4 cm Füllhöhe pro Minute gefüllt.

Zeit in min	Höhe in cm
0	0
2	?
5	?

Hilfe

Nutze $h=4\cdot t$.

Feedback

Nach 2 Minuten sind es 8 cm, nach 5 Minuten 20 cm.

Selbstkontrolle

Kreuze für Dich an: sicher, teilweise sicher oder noch üben.

Ich kann ...	sicher	teilweise	üben
eine Tabelle lesen.	□	□	□
Punkte als $(x|y)$ angeben.	□	□	□
Punkte ins Koordinatensystem eintragen.	□	□	□
Werte aus einem Graphen ablesen.	□	□	□
Achsen sinnvoll beschriften.	□	□	□
prüfen, ob Verbinden sinnvoll ist.	□	□	□

Transfer

Situation: Ein Wasserbehälter enthält zu Beginn bereits 5 cm Wasser. Danach steigt der Füllstand gleichmäßig um 2 cm pro Minute.

Zeit in min	Füllstand in cm
0	5
1	7
2	9
3	11

Denkfrage: Warum beginnt der Graph nicht im Ursprung?

Feedback

Bei $t=0$ sind bereits 5 cm Wasser im Behälter. Deshalb gehört der Punkt $P(0|5)$ zur Situation.

Kompetenzcheck

Bearbeite ohne Hilfe:

1. Ein Getränk kostet 1,50 €. Erstelle eine Tabelle für 0, 1, 2, 3 und 4 Getränke.
2. Nenne die Punkte aus der Tabelle.
3. Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem.
4. Beschreibe den Zusammenhang mit einem Satz.
5. Erkläre, welche Größe auf welcher Achse steht.
6. Prüfe, ob das Verbinden der Punkte zur Kaufsituation passt.

Satzstarter für die Begründung: „Ich habe die Menge auf die $x$-Achse gelegt, weil …“

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Text, Tabelle oder Graph?
2. Wo vertauschst Du $x$ und $y$ noch?
3. Welche Kontrolle findest Du am zuverlässigsten?
4. Wann darf man Punkte verbinden und wann eher nicht?
5. Was würdest Du bei einem digitalen Graphen zuerst prüfen?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Achse verläuft waagrecht? (x-Achse) (!y-Achse) (!Höhenachse) (!Zeitachse immer)

In welcher Reihenfolge liest man einen Punkt P 3 Strich 5? (zuerst 3 dann 5) (!zuerst 5 dann 3) (!nur 3) (!nur 5)

Was bedeutet bei einem Weg-Zeit-Graphen meist die waagrechte Achse? (Zeit) (!Weg) (!Preis) (!Füllhöhe)

Ein Heft kostet 2 Euro. Was kosten 3 Hefte? (6 Euro) (!2 Euro) (!3 Euro) (!5 Euro)

Ein Füllstand steigt pro Minute um 4 cm. Wie hoch ist er nach 3 Minuten bei Start 0? (12 cm) (!7 cm) (!8 cm) (!16 cm)

Welcher Punkt passt zu 2 Minuten und 200 Metern? (Punkt 2 Strich 200) (!Punkt 200 Strich 2) (!Punkt 2 Strich 20) (!Punkt 20 Strich 200)

Was muss an einer Achse zusätzlich zur Größe stehen? (Einheit) (!Farbe) (!Name der Lehrkraft) (!Seitenzahl)

Was prüfst Du vor dem Ablesen eines Graphen? (Skalierung) (!Schriftart) (!Dateiname) (!Bildschirmhelligkeit)

Wann ist eine durchgehende Linie besonders sinnvoll? (wenn Zwischenwerte sinnvoll sind) (!immer) (!nie) (!nur bei Preisen)

Was ist beim Nutzen einer KI für Mathematik wichtig? (Ergebnis selbst prüfen) (!jede Antwort ungeprüft übernehmen) (!keine Rechnung mehr machen) (!Begründungen weglassen)

Memory

x-Achse	waagrecht
y-Achse	senkrecht
Wertepaar	zusammengehörige Werte
Skalierung	Schrittweite
Graph	zeichnerische Darstellung
Tabelle	geordnete Werte

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Weg-Zeit	zurückgelegter Weg und vergangene Zeit
Preis-Menge	Stückzahl und Gesamtpreis
Füllstand	Zeit und Wasserhöhe
x-Achse	waagrechte Richtung
y-Achse	senkrechte Richtung

...

Kreuzworträtsel

Abszisse	Wie heißt die waagrechte Koordinate fachsprachlich?
Ordinate	Wie heißt die senkrechte Koordinate fachsprachlich?
Tabelle	Wie heißt eine geordnete Darstellung von Wertepaaren?
Graph	Wie heißt die zeichnerische Darstellung eines Zusammenhangs?
Achsen	Wie heißen die beiden Richtungsgeraden im Koordinatensystem?
Skalierung	Wie heißt die festgelegte Schrittweite an einer Achse?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Im Koordinatensystem verläuft die waagrecht. Die verläuft senkrecht. Bei einem Punkt liest Du zuerst die ab. Eine geordnete Sammlung zusammengehöriger Werte heißt . Die zeichnerische Darstellung eines Zusammenhangs heißt . Vor dem Ablesen musst Du die prüfen. Bei einem Weg-Zeit-Beispiel steht die Zeit meist auf der . Bei festem Stückpreis steigt der Gesamtpreis mit der . Bei einem gleichmäßigen Füllvorgang kann eine durchgehende sinnvoll sein. Digitale Ergebnisse müssen immer werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Koordinatensystem: Zeichne ein Koordinatensystem von 0 bis 6 und trage $A(1|2)$, $B(2|4)$ und $C(3|6)$ ein.
2. Wertetabelle: Erstelle zu „1 Kugel Eis kostet 1,50 €“ eine Tabelle für 0 bis 4 Kugeln.
3. Graph ablesen: Suche in Deinem Schulbuch einen einfachen Graphen und beschreibe zwei Punkte mit vollständigen Sätzen.
4. Fehlersuche: Erfinde einen Punkt, bei dem $x$ und $y$ absichtlich vertauscht wurden, und korrigiere ihn.

Standard

1. Weg-Zeit-Diagramm: Miss einen kurzen Weg auf dem Schulhof und notiere Zeiten und Wege ohne personenbezogene Daten. Erstelle daraus eine Tabelle.
2. Preis-Mengen-Zusammenhang: Wähle einen festen Stückpreis und erstelle Tabelle, Punkte und Graph.
3. Füllstand: Simuliere mit einem Messbecher einen Füllvorgang und notiere Zeit und Füllhöhe oder Volumen. Verwende nur ungefährliche Materialien.
4. Medienkompetenz: Erstelle mit einem digitalen Graphenwerkzeug einen Graphen und kontrolliere mindestens drei Punkte per Hand.

Schwer

1. Modellieren: Vergleiche einen Graphen mit Startwert 0 und einen mit einem positiven Startwert. Erkläre den Unterschied.
2. Darstellungswechsel: Erfinde selbst eine Alltagssituation und stelle sie als Text, Tabelle und Graph dar.
3. Fehleranalyse: Erstelle einen absichtlich falschen Graphen mit zwei typischen Fehlern. Tausche ihn mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler und lass die Fehler finden.
4. KI und Mathematik: Lass Dir von einem KI-System eine kleine Wertetabelle erzeugen. Prüfe jeden Wert selbst und dokumentiere Fehler oder bestätigte Werte. Gib keine personenbezogenen Daten ein.

Lernkontrolle

1. Darstellungswechsel: Zu einer Tabelle mit Weg und Zeit sollst Du einen Graphen zeichnen und anschließend in einem Satz erklären, was ein ausgewählter Punkt bedeutet.
2. Fehler begründen: Ein Lernender trägt $P(2|6)$ als $P(6|2)$ ein. Erkläre den Fehler und formuliere eine Regel, die ihn verhindert.
3. Skalierung: Zwei Graphen zeigen dieselben Daten, verwenden aber unterschiedliche Achseneinteilungen. Erkläre, warum sie unterschiedlich aussehen können.
4. Sachzusammenhang: Entscheide bei einem Preis-Mengen-Beispiel und bei einem Füllstandsbeispiel, ob die Punkte verbunden werden sollten. Begründe jeweils.
5. Plausibilitätsprüfung: Ein digitales Werkzeug zeigt für 5 Hefte zu je 2 € den Wert 12 €. Zeige rechnerisch, warum das Ergebnis nicht passt.
6. Transfer: Ein Tank startet mit 10 Litern und bekommt pro Minute 3 Liter hinzu. Erstelle eine Tabelle und erkläre, warum der Graph nicht im Ursprung beginnt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Du kannst einen einfachen Zusammenhang aus einem Text erkennen.
2. Du kannst eine passende Tabelle erstellen.
3. Du kannst Achsen mit Größe und Einheit beschriften.
4. Du kannst Punkte korrekt als $(x|y)$ eintragen und ablesen.
5. Du kannst zwischen Tabelle und Graph wechseln.
6. Du kannst einen Punkt im Sachzusammenhang deuten.
7. Du kannst typische Fehler erkennen und verbessern.
8. Du kannst digitale Ergebnisse rechnerisch oder grafisch kontrollieren.
9. Du kannst Deine Darstellung und Deinen Rechenweg kurz begründen.

OERs zum Thema

Freie Medien:

1. Wikimedia Commons: Punkt im kartesischen Koordinatensystem
2. Wikimedia Commons: zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem
3. Wikimedia Commons: Weg-Zeit-Graph

Bildungsplanbezug:

1. Baden-Württemberg: Leitidee Funktionaler Zusammenhang

Verknüpfte Lernbereiche

Funktionaler Zusammenhang Koordinatensystem Wertetabelle Graph Zuordnung Proportionalität Modellieren

Folgekurs

Als nächster Schritt passt ein Kurs zu M7 G - Proportionale Zusammenhänge. Dort untersuchst Du, wann Werte immer mit demselben Faktor zusammenhängen und wie sich solche Zusammenhänge in Tabellen und Graphen erkennen lassen.