M7 G - Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren

Einleitung

Du kennst positive und negative rationale Zahlen. Jetzt lernst Du, sie zu multiplizieren und zu dividieren. Dabei entscheidest Du zuerst über das Vorzeichen und rechnest danach mit den Beträgen.

Mini-Beschreibung: Erarbeite die Vorzeichenregeln für Multiplikation und Division und wende sie auf überschaubare rationale Zahlen an.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Vorzeichen: bei Produkten und Quotienten das richtige Vorzeichen bestimmen.
2. Multiplikation: überschaubare positive und negative rationale Zahlen multiplizieren.
3. Division: überschaubare positive und negative rationale Zahlen dividieren.
4. Rechenweg: Ergebnis, Darstellung und Begründung nachvollziehbar angeben.
5. Selbstkontrolle: Ergebnisse mit Überschlag, Vorzeichenregel oder Umkehraufgabe prüfen.

Vorwissen-Check

Rechne zuerst im Kopf.

Setze die passende Zahl ein.

Der Betrag von $-6$ ist .

Die Gegenzahl von $4$ ist .

$3\cdot 5=$ .

$20:4=$ .

Hilfe

Der Betrag ist der Abstand von $0$. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Betrag.

Vorzeichen bei der Multiplikation entdecken

Musterreihe

Beobachte, wie sich die Ergebnisse verändern:

Rechnung	Ergebnis
$3\cdot (-2)$	$-6$
$2\cdot (-2)$	$-4$
$1\cdot (-2)$	$-2$
$0\cdot (-2)$	$0$
$(-1)\cdot (-2)$	$2$
$(-2)\cdot (-2)$	$4$

Denkfrage: Was muss bei $(-3)\cdot (-2)$ herauskommen, wenn die Reihe gleichmäßig weitergeht?

Lösung

$(-3)\cdot (-2)=6$. Die Ergebnisse steigen jeweils um $2$.

Vorzeichentabelle

Vorzeichen	Produkt
$+\cdot +$	$+$
$+\cdot -$	$-$
$-\cdot +$	$-$
$-\cdot -$	$+$

Merksatz: Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis. Verschiedene Vorzeichen ergeben ein negatives Ergebnis.

Satzstarter: „Die Vorzeichen sind …, deshalb ist das Ergebnis …“

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Dynamisch erkunden

Verschiebe die Regler und beobachte, wann das Produkt positiv oder negativ wird.

Prüfauftrag: Erzeuge je zwei Beispiele mit gleichen und mit verschiedenen Vorzeichen. Schreibe nur Rechnung und Ergebnis auf.

Schritt für Schritt multiplizieren

Beispiel 1: Ganze Zahlen

$(-4)\cdot (-3)=12$

1. Vorzeichen prüfen: minus und minus sind gleich $\Rightarrow +$.
2. Beträge rechnen: $4\cdot 3=12$.
3. Ergebnis: $12$.

Beispiel 2: Dezimalzahl

$(-\mathrm{1,5})\cdot 4=-6$

1. Vorzeichen prüfen: minus und plus sind verschieden $\Rightarrow -$.
2. Beträge rechnen: $\mathrm{1,5}\cdot 4=6$.
3. Ergebnis: $-6$.

Beispiel 3: Einfacher Bruch

$(-\frac{3}{4})\cdot (-8)=6$

1. Vorzeichen prüfen: gleich $\Rightarrow +$.
2. Beträge rechnen: $\frac{3}{4}\cdot 8=6$.
3. Ergebnis: $6$.

Mini-Übung Multiplikation

Rechne.

$(-5)\cdot 3=$

$(-6)\cdot (-2)=$

$\mathrm{0,5}\cdot (-8)=$

$(-\frac{1}{2})\cdot 6=$

Hilfestufe 1: Nur das Vorzeichen

Gleiches Vorzeichen: positiv. Verschiedenes Vorzeichen: negativ.

Hilfestufe 2: Rechenplan

Erst Vorzeichen festlegen, dann mit den Beträgen rechnen.

Feedback

Wenn Dein Betrag stimmt, aber das Vorzeichen nicht, übe zuerst nur die Vorzeichentabelle. Wenn auch der Betrag nicht stimmt, rechne die Aufgabe ohne Vorzeichen noch einmal.

Division rationaler Zahlen

Division als Umkehrung

Die Vorzeichenregel ist bei der Division dieselbe wie bei der Multiplikation.

Rechnung	Vorzeichen
$(+):(+)$	$+$
$(+):(-)$	$-$
$(-):(+)$	$-$
$(-):(-)$	$+$

Beispiel:

$(-12):(-3)=4$

Probe mit der Umkehraufgabe:

$4\cdot (-3)=-12$

Schritt für Schritt dividieren

$(-18):6=-3$

1. Vorzeichen prüfen: verschieden $\Rightarrow -$.
2. Beträge rechnen: $18:6=3$.
3. Ergebnis: $-3$.

Noch ein Beispiel:

$(-\mathrm{2,4}):(-\mathrm{0,6})=4$

Probe:

$4\cdot (-\mathrm{0,6})=-\mathrm{2,4}$

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Interaktiver Rechenweg

Nutze das Pfeilmodell und vergleiche Multiplikation und Division rationaler Zahlen.

Wichtig: Gib in externen Werkzeugen keine Namen oder andere personenbezogene Daten ein.

Zahlengerade als Kontrollbild

Eine Zahlengerade hilft Dir besonders beim Vorzeichen und bei der Größenordnung.

Kontrollfrage: Ist ein negatives Ergebnis links oder rechts von $0$?

Antwort

Links von $0$.

Typische Fehler

1. Vorzeichenfehler: Falsch: $(-4)\cdot (-3)=-12$. Richtig: gleiches Vorzeichen $\Rightarrow +$, also $12$.
2. Minus vergessen: Falsch: $(-20):5=4$. Richtig: verschiedene Vorzeichen $\Rightarrow -4$.
3. Rechenarten verwechselt: Falsch: $(-3)\cdot 4=-7$. Richtig: $3\cdot 4=12$, also $-12$.
4. Division durch null: $12:0$ ist nicht definiert.

Merke: Ein Minuszeichen ist ein Vorzeichen. Es darf beim Rechnen nicht „verschwinden“.

Übungen mit Selbstkontrolle

Stufe A: Vorzeichen

Bestimme nur das Vorzeichen.

Setze + oder - ein.

$(-7)\cdot 5$ hat das Vorzeichen .

$(-7)\cdot (-5)$ hat das Vorzeichen .

$24:(-6)$ hat das Vorzeichen .

$(-24):(-6)$ hat das Vorzeichen .

Stufe B: Rechnen

Berechne.

$(-8)\cdot 3=$

$(-9)\cdot (-4)=$

$35:(-5)=$

$(-42):(-6)=$

$(-\mathrm{0,7})\cdot 10=$

Stufe C: Rechenweg erklären

Berechne $(-15):(-3)$ und ergänze:

Vervollständige.

Die Vorzeichen sind .

Das Ergebnis ist deshalb .

Mit den Beträgen gilt $15:3=$ .

Also ist $(-15):(-3)=$ .

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Ein digitales Werkzeug kann schnell rechnen. Du bleibst verantwortlich für die Kontrolle.

1. Vorzeichenregel: Prüfe unabhängig, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss.
2. Überschlag: Prüfe, ob der Betrag ungefähr passt.
3. Probe: Kontrolliere Divisionen durch Multiplikation.
4. KI: Prüfe jede KI-Ausgabe. Eine KI-Antwort ersetzt keine mathematische Begründung oder einen Beweis.
5. Datenschutz: Verwende bei Übungen keine personenbezogenen Daten.

Transfer

Situation: Ein Taucher verändert seine Höhe gleichmäßig. Eine Änderung von $-\mathrm{2,5}\mathrm{m}$ pro Schritt wird viermal ausgeführt.

$4\cdot (-\mathrm{2,5})=-10$

Der Taucher befindet sich danach $10\mathrm{m}$ tiefer als vorher.

Denkfrage: Welche Rechnung passt, wenn eine Gesamtänderung von $-18\mathrm{m}$ auf $6$ gleiche Schritte verteilt wird?

Lösung

$(-18):6=-3$. Pro Schritt beträgt die Änderung $-3\mathrm{m}$.

Kompetenzcheck

Kreuze für Dich gedanklich an: sicher – teilweise – noch üben.

1. Ich bestimme das Vorzeichen eines Produkts.
2. Ich bestimme das Vorzeichen eines Quotienten.
3. Ich rechne mit überschaubaren ganzen Zahlen, Dezimalzahlen und einfachen Brüchen.
4. Ich schreibe einen kurzen Rechenweg.
5. Ich prüfe ein digitales Ergebnis mit einer zweiten Methode.

Reflexion

Beantworte zwei Sätze:

1. „Beim Vorzeichen hilft mir …“
2. „Bei Divisionen kontrolliere ich mit …“

Folgekurs

Als Nächstes kannst Du mehrere Rechenarten verbinden: Rationale Zahlen mit mehreren Rechenarten.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welches Vorzeichen hat das Produkt zweier negativer Zahlen? (positiv) (!negativ) (!immer null) (!nicht bestimmbar)

Wie lautet $(-4)\cdot (-3)$? (12) (!-12) (!7) (!-7)

Wie lautet $(-5)\cdot 2$? (-10) (!10) (!-7) (!7)

Wie lautet $24:(-6)$? (-4) (!4) (!-18) (!18)

Wie lautet $(-28):(-7)$? (4) (!-4) (!21) (!-21)

Welche Aussage zu gleichen Vorzeichen ist richtig? (Das Ergebnis ist positiv) (!Das Ergebnis ist negativ) (!Das Ergebnis ist immer null) (!Die Rechnung ist nicht erlaubt)

Welche Aussage zu verschiedenen Vorzeichen ist richtig? (Das Ergebnis ist negativ) (!Das Ergebnis ist positiv) (!Das Ergebnis ist immer eins) (!Die Vorzeichen werden ignoriert)

Wie lautet $(-\mathrm{0,5})\cdot 8$? (-4) (!4) (!-8) (!8)

Welche Probe passt zu $(-18):6=-3$? (minus 3 mal 6 ergibt minus 18) (!minus 3 plus 6 ergibt minus 18) (!18 minus 6 ergibt minus 3) (!6 geteilt durch 3 ergibt minus 18)

Welche Rechnung ist nicht definiert? (5 geteilt durch 0) (!0 geteilt durch 5) (!minus 5 geteilt durch 5) (!5 geteilt durch minus 5)

Memory

Gleiches Vorzeichen	Positives Ergebnis
Verschiedene Vorzeichen	Negatives Ergebnis
Produkt	Ergebnis einer Multiplikation
Quotient	Ergebnis einer Division
Betrag	Abstand von null
Probe	Kontrolle mit Umkehraufgabe

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Positives Ergebnis	Minus mal Minus
Negatives Ergebnis	Plus mal Minus
Gleiches Vorzeichen	Division mit positivem Ergebnis
Verschiedenes Vorzeichen	Division mit negativem Ergebnis
Umkehraufgabe	Probe einer Division

Kreuzworträtsel

Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Vorzeichen	Was entscheidet zuerst über Plus oder Minus im Ergebnis?
Betrag	Wie heißt der Abstand einer Zahl von null?
rational	Wie nennt man Zahlen, die sich als Bruch ganzer Zahlen darstellen lassen?
Gegenzahl	Wie heißt die Zahl mit gleichem Betrag und entgegengesetztem Vorzeichen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei gleichen Vorzeichen ist das Ergebnis . Bei verschiedenen Vorzeichen ist das Ergebnis . Bei $(-4)\cdot (-3)$ ergibt die Vorzeichenregel ein Ergebnis. Die Beträge werden danach wie gewohnt . Bei der Division gilt dieselbe . Eine Division kannst Du mit der passenden prüfen. Durch darf nicht dividiert werden. Ein digitales Ergebnis sollte mit einer zweiten Methode werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Vorzeichentabelle: Gestalte eine kleine Karte mit den vier Vorzeichenfällen für Multiplikation und Division.
2. Musterreihe: Setze die Reihe $3\cdot (-2),2\cdot (-2),1\cdot (-2),\dots$ um drei Schritte fort und beschreibe das Muster.
3. Fehlersuche: Erfinde eine falsche Rechnung mit einem Vorzeichenfehler und korrigiere sie mit einem Satzstarter.
4. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade und markiere die Ergebnisse von $(-2)\cdot 3$ und $(-2)\cdot (-3)$.

Standard

1. Erklärkarte: Erstelle eine Schritt-für-Schritt-Erklärung zu $(-6)\cdot (-4)$.
2. Umkehraufgabe: Erfinde drei Divisionen mit negativen Zahlen und kontrolliere jede durch Multiplikation.
3. Dezimalzahlen: Erstelle vier Aufgaben mit einfachen Dezimalzahlen und unterschiedlichen Vorzeichen.
4. Mathematikvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten, in dem Du eine Vorzeichenregel an einem Beispiel erklärst.

Schwer

1. Bruchrechnung: Entwickle drei Aufgaben mit einfachen negativen Brüchen und löse sie nachvollziehbar.
2. Fehleranalyse: Untersuche die Behauptung „Minus mal Minus ist immer Minus“ und widerlege sie mit Musterreihe und Beispiel.
3. Transferaufgabe: Erfinde eine Sachsituation zu $(-24):6$ und erkläre die Bedeutung des Ergebnisses.
4. Digitales Werkzeug: Vergleiche das Ergebnis eines Applets mit Deinem eigenen Rechenweg bei fünf Aufgaben und dokumentiere Abweichungen oder Bestätigungen.

Lernkontrolle

1. Begründen: Erkläre mit einer Musterreihe, warum $(-3)\cdot (-2)$ positiv sein muss.
2. Vergleichen: Vergleiche $(-4)\cdot 3$ und $(-4)\cdot (-3)$. Beschreibe, was sich ändert und warum.
3. Übertragen: Eine Gesamtänderung von $-20$ wird auf $5$ gleiche Schritte verteilt. Stelle die Rechnung auf und deute das Ergebnis.
4. Fehlerdiagnose: Jemand rechnet $(-30):(-5)=-6$. Finde den Fehler, korrigiere ihn und begründe.
5. Prüfstrategie: Zeige an $(-\mathrm{2,4}):\mathrm{0,6}$ zwei verschiedene Möglichkeiten, Dein Ergebnis zu kontrollieren.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Vorzeichen bei Multiplikation und Division sicher bestimmst.
2. überschaubare rationale Zahlen korrekt berechnest.
3. einen Rechenweg in sinnvollen Schritten darstellst.
4. ein Ergebnis mit Probe oder Überschlag kontrollierst.
5. typische Vorzeichenfehler erklären und verbessern kannst.
6. digitale Ergebnisse fachlich prüfst und keine personenbezogenen Daten verwendest.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Rationale Zahlen Negative Zahlen Multiplikation Division Bruchrechnung Dezimalzahl Zahlengerade Betrag