M7 G - Proportionale Zusammenhänge erkennen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Erkenne proportionale Zusammenhänge in Preis-, Mengen-, Weg- und Rezeptaufgaben. Trainiere die Idee „doppelt so viel → doppelt so großer Wert“ sinnvoll zu verwenden.

Zielgruppe: Mathematik Klasse 7, Baden-Württemberg, G-Niveau.

Startfrage: 1 kg Äpfel kostet 2 €. Was kosten 2 kg?

1 kg → 2 €

2 kg → 4 €

Verdoppelst Du die Menge, verdoppelt sich hier auch der Preis.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

proportionale Zusammenhänge in Tabellen, Texten und Graphen erkennen.
prüfen, ob doppelt so viel → doppelt so großer Wert gilt.
einfache Preis-, Mengen-, Weg- und Rezeptaufgaben lösen.
einen proportionalen Zusammenhang mit $y = k \cdot x$ beschreiben.
einen Graphen als Gerade durch den Ursprung erkennen.
Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar angeben.
digitale Ergebnisse kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

A. Verdoppeln

$3 \cdot 2 = 6$

$7 \cdot 2 = 14$

B. Halbieren

$12 \div 2 = 6$

$20 \div 2 = 10$

C. Einfache Tabelle

Anzahl	Preis
1	3 €
2	?
4	?

Wenn jedes Stück gleich viel kostet, gilt:

$2 \cdot 3 = 6$ €

$4 \cdot 3 = 12$ €

Selbstcheck: Wenn Du Verdoppeln, Halbieren und einfache Multiplikation sicher kannst, bist Du startklar.

Proportionale Zusammenhänge verstehen

Die Grundidee

Ein Zusammenhang ist proportional, wenn beide Größen immer mit demselben Faktor verändert werden.

Merksatz:

Wenn Du die eine Größe mit einem Faktor multiplizierst, musst Du die andere Größe mit demselben Faktor multiplizieren.

Veränderung	Dann gilt
doppelte Menge	doppelter Wert
dreifache Menge	dreifacher Wert
halbe Menge	halber Wert

Satzstarter:

Ich erkenne einen proportionalen Zusammenhang, weil ...
Wenn sich die erste Größe verdoppelt, dann ...
Der Graph passt, weil ...
Die Zuordnung ist nicht proportional, weil ...

Pfeildiagramm

Beispiel: 1 Heft kostet 2 €.

1 Heft → mal 2 → 2 Hefte

2 € → mal 2 → 4 €

Noch einmal verdoppeln:

2 Hefte → mal 2 → 4 Hefte

4 € → mal 2 → 8 €

Wichtig: Oben und unten muss derselbe Faktor stehen.

Zahlenstrahl-Paar

Menge in kg	0	1	2	3	4
Preis in €	0	2	4	6	8

Lies senkrecht ab:

3 kg → 6 €

Lies waagrecht:

1 → 2 → 4

und gleichzeitig

2 → 4 → 8

So wird die gleiche Veränderung sichtbar.

Graphen erkennen

Bei einer proportionalen Zuordnung gilt:

$y = k \cdot x$

Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung (0|0).

Schnelltest:

Gerade?
Durch (0|0)?
Gleicher Faktor?

Sind alle drei Punkte erfüllt, spricht das für Proportionalität.

Dynamischer Graphen-Check

Öffne GeoGebra und gib nacheinander ein:

$y = 2 x$

$y = 3 x$

$y = 0.5 x$

Beobachte:

Alle Geraden gehen durch (0|0).
Ein größerer Wert von $k$ macht die Gerade steiler.
Für $x = 2$ erhältst Du bei $y = 3 x$ den Wert $y = 6$ .

Ein passendes Schieberegler-Material ist unter dem Titel y=kx auf GeoGebra verfügbar.

Digitaler Prüfauftrag: Verlasse Dich nicht nur auf die Grafik. Prüfe einen Punkt zusätzlich durch Einsetzen in $y = k x$ .

Vier Alltagstypen

Preisaufgaben

Beispiel: 1 kg Tomaten kostet 3 €.

Masse	Preis
1 kg	3 €
2 kg	6 €
4 kg	12 €

$2 \cdot 3 = 6$ €

$4 \cdot 3 = 12$ €

Begründung: Doppelte Masse → doppelter Preis.

Achtung: Eine feste Grundgebühr würde die Situation nicht proportional machen.

Mengenaufgaben

Beispiel: Eine Flasche enthält 0,5 l Saft.

Flaschen	Saftmenge
1	0,5 l
2	1 l
4	2 l

$4 \cdot 0.5 = 2$ l

Begründung: Viermal so viele gleiche Flaschen → viermal so viel Saft.

Wegaufgaben

Ein Fahrrad fährt gleichmäßig 12 km in 1 Stunde.

Zeit	Weg
0,5 h	6 km
1 h	12 km
2 h	24 km

$2 \cdot 12 = 24$ km

Begründung: Bei gleichbleibender Geschwindigkeit bedeutet doppelte Zeit → doppelter Weg.

Achtung: Bei Stopps oder wechselnder Geschwindigkeit muss der Zusammenhang nicht proportional sein.

Rezeptaufgaben

Für 2 Portionen brauchst Du 150 g Reis.

Portionen	Reis
2	150 g
4	300 g
6	450 g

Von 2 auf 4 Portionen:

$150 \cdot 2 = 300$ g

Von 2 auf 6 Portionen:

$150 \cdot 3 = 450$ g

Begründung: Dreimal so viele Portionen → dreimal so viel Reis.

So prüfst Du Proportionalität

Methode 1: Verdoppeln

Prüfe: Aus $x$ wird $2 x$ .

Dann muss aus $y$ auch $2 y$ werden.

Beispiel:

3 → 6

und

9 → 18

Das passt.

Methode 2: Quotient prüfen

Für $x \neq 0$ kannst Du rechnen:

$k = \frac{y}{x}$

Beispiel:

$\frac{6}{2} = 3$

$\frac{12}{4} = 3$

$\frac{18}{6} = 3$

Der Quotient bleibt gleich.

Also:

$y = 3 x$

Methode 3: Graph prüfen

Ein proportionaler Graph:

ist eine Gerade,
geht durch den Ursprung (0|0).

Ein Graph kann zwar eine Gerade sein, aber trotzdem nicht proportional sein, wenn er nicht durch den Ursprung geht.

Beispiel:

$y = 2 x + 3$

Bei $x = 0$ ist $y = 3$ .

Also ist der Zusammenhang nicht proportional.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Preis

3 Brötchen kosten 2,40 €.

6 Brötchen kosten?

3 → mal 2 → 6

also

2,40 € → mal 2 → 4,80 €

Ergebnis: 6 Brötchen kosten 4,80 €.

Hilfestufe 1: Vergleiche 3 und 6.

Hilfestufe 2: 6 ist das Doppelte von 3.

Feedback: Hast Du auch den Preis verdoppelt, ist Dein Rechenweg passend.

Beispiel 2: Rezept

Für 4 Personen brauchst Du 300 g Nudeln.

Für 2 Personen brauchst Du?

4 → geteilt durch 2 → 2

also

300 g → geteilt durch 2 → 150 g

Ergebnis: 150 g.

Hilfestufe 1: Von 4 auf 2 wird halbiert.

Hilfestufe 2: Halbiere auch 300 g.

Feedback: Halbe Personenzahl → halbe Nudelmenge.

Beispiel 3: Lückentabelle

Menge	Preis
1 kg	4 €
2 kg	8 €
3 kg	12 €
5 kg	20 €

Selbstkontrolle:

$2 \cdot 4 = 8$

$3 \cdot 4 = 12$

$5 \cdot 4 = 20$

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Erkennen

Entscheide: proportional oder nicht proportional?

Situation	Prüffrage
1 Heft 2 €, 2 Hefte 4 €	Verdoppelt sich beides?
Taxi: 4 € Startpreis plus 2 € je km	Beginnt der Preis bei 0 €?
2 Portionen 100 g, 4 Portionen 200 g	Verdoppelt sich beides?
1 h 5 km, 2 h 10 km bei konstantem Tempo	Verdoppelt sich der Weg?

Hilfestufe 1: Suche zwei passende Wertepaare.

Hilfestufe 2: Verdopple die erste Größe.

Feedback: Die Taxi-Situation ist wegen der Startgebühr nicht proportional. Die anderen drei Situationen sind proportional.

Übung B: Ergänzen

5 Eintrittskarten kosten zusammen 15 €. Es gibt keinen Mengenrabatt.

10 Karten kosten:

$15 \cdot 2 = 30$ €

20 Karten kosten:

$30 \cdot 2 = 60$ €

Hilfestufe 1: 10 ist das Doppelte von 5.

Hilfestufe 2: 20 ist das Doppelte von 10.

Feedback: Dein Ergebnis muss bei jeder Verdopplung ebenfalls doppelt so groß werden.

Übung C: Graph und Tabelle verbinden

$x$	$y$
0	0
1	2
2	4
3	6

Passende Zuordnung:

$y = 2 x$

Passender Graph:

Gerade durch (0|0) und (1|2).

Hilfestufe 1: Prüfe $\frac{y}{x}$ für zwei Zeilen.

Hilfestufe 2: $\frac{2}{1} = 2$ und $\frac{4}{2} = 2$ .

Feedback: Gleicher Quotient und Ursprung passen zur Proportionalität.

Typische Fehler

Fehler	Besser prüfen
Nur eine Zahl verdoppeln	Beide Größen mit demselben Faktor verändern
Jede Gerade für proportional halten	0) gehen
Startgebühr übersehen	Prüfen, ob bei Menge 0 auch Wert 0 ist
Einheiten vergessen	kg, €, h, km oder g dazuschreiben
Taschenrechnerwert ungeprüft übernehmen	Überschlag und Sachzusammenhang prüfen

Merksatz: Ein digitales Ergebnis ist nur dann hilfreich, wenn Rechenweg, Einheit und Bedeutung stimmen.

KI-Hinweis: KI-Ausgaben können Fehler enthalten. Prüfe Zahlen, Einheiten und Begründungen selbst. Eine KI-Antwort ersetzt keinen mathematischen Nachweis.

Selbstkontrolle

Prüfe jede Aussage:

2 kg kosten 6 €, 4 kg kosten 12 € → proportional.
1 km kostet 3 € plus 5 € Grundgebühr → nicht proportional.
2 Portionen brauchen 200 g, 6 Portionen brauchen 600 g → proportional.
Eine Gerade schneidet die y-Achse bei 4 → nicht proportional.

Kontrollregel:

$\frac{y}{x} = k$

muss für passende Wertepaare gleich bleiben.

Transfer

Vier Situationen verbinden

Bereich	Beispiel	Proportionale Idee
Preis	kg → €	doppelte Masse → doppelter Preis
Menge	Flaschen → Liter	doppelte Anzahl → doppelte Menge
Weg	Zeit → Strecke	doppelte Zeit → doppelter Weg bei konstantem Tempo
Rezept	Portionen → Gramm	doppelte Portionen → doppelte Zutatenmenge

Transferfrage: Was haben alle vier Beispiele gemeinsam?

Antwort: Es gibt jeweils einen festen Faktor $k$ .

Ein eigenes Modell bauen

Wähle eine Situation, zum Beispiel:

Stifte und Preis
Wasserflaschen und Gesamtmenge
Gehzeit und Weg bei gleichbleibendem Tempo
Portionen und Reismenge

Erstelle:

eine Tabelle,
ein Pfeildiagramm,
einen Graphen,
einen Satz mit „doppelt so viel → doppelt so großer Wert“.

Speichere keine personenbezogenen Daten.

Kompetenzcheck

Kreuze für Dich gedanklich an:

Ich kann ...	sicher	noch üben
eine proportionale Tabelle erkennen	□	□
Verdoppeln und Halbieren passend nutzen	□	□
einen proportionalen Graphen erkennen	□	□
$k = \frac{y}{x}$ prüfen	□	□
eine Sachaufgabe begründen	□	□
ein digitales Ergebnis kontrollieren	□	□

Reflexion

Beantworte kurz:

Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Tabelle, Pfeildiagramm oder Graph?
Woran erkennst Du Proportionalität am schnellsten?
Welcher typische Fehler kann Dir leicht passieren?
Wie kannst Du ein Ergebnis ohne KI oder Taschenrechner grob prüfen?
Ergänze: „Proportional bedeutet für mich ...“

Folgekurs

Als nächstes passt:

Medien

Die Bilder stammen aus Wikimedia Commons und werden direkt für mathematische Situationen genutzt.

Proporzionalità diretta.svg – Graph von $y = k x$ , CC BY-SA 3.0.
Supermarket scale.jpg – Supermarktwaage, CC BY-SA 3.0.
Simple Measuring Cup.jpg – Messbecher, gemeinfrei.
Road sign in Germany to Harrislee and Niehuus.jpg – Radwegweiser, CC BY-SA 3.0.
Supermarkt mit Preisangaben – CC BY-SA 4.0.

Die eingebetteten Lernvideos stammen von Khan Academy Deutsch und behandeln proportionale Zuordnungen in Klasse 7.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Wann ist eine Zuordnung proportional? (Wenn beide Größen immer mit demselben Faktor verändert werden) (!Wenn immer dieselbe Zahl addiert wird) (!Wenn der Graph irgendwo eine Gerade enthält) (!Wenn die Werte zufällig steigen)

Was passiert bei einem proportionalen Zusammenhang, wenn sich die Menge verdoppelt? (Der zugeordnete Wert verdoppelt sich) (!Der zugeordnete Wert halbiert sich) (!Der zugeordnete Wert bleibt gleich) (!Der zugeordnete Wert steigt immer um eins)

Welcher Punkt liegt auf jedem Graphen einer proportionalen Zuordnung? (Der Ursprung) (!Der Punkt eins eins) (!Der Punkt null eins) (!Der Punkt eins null)

Welche Gleichung beschreibt einen proportionalen Zusammenhang? (y gleich k mal x) (!y gleich k plus x) (!y gleich x plus drei) (!y gleich k minus x)

2 kg Äpfel kosten 6 Euro. Was kosten 4 kg bei proportionalem Preis? (12 Euro) (!8 Euro) (!10 Euro) (!24 Euro)

Für 2 Portionen werden 150 Gramm Reis gebraucht. Wie viel braucht man für 4 Portionen? (300 Gramm) (!152 Gramm) (!225 Gramm) (!600 Gramm)

Welche Situation ist nicht proportional? (Taxifahrt mit fester Startgebühr) (!Preis bei festem Kilopreis) (!Rezeptmenge bei gleicher Portionsgröße) (!Weg bei gleichbleibender Geschwindigkeit)

Was muss bei einer proportionalen Tabelle gleich bleiben? (Der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert) (!Die Differenz aller Werte) (!Die Summe der beiden Spalten) (!Die Anzahl der Tabellenzeilen)

Wie sieht der Graph einer proportionalen Zuordnung aus? (Als Gerade durch den Ursprung) (!Als Kreis) (!Als Gerade ohne Ursprung) (!Als beliebige Kurve)

Was ist eine gute Kontrolle für ein digitales Ergebnis? (Rechenweg Einheit und Sachzusammenhang prüfen) (!Das Ergebnis sofort übernehmen) (!Nur die letzte Ziffer betrachten) (!Die Einheit weglassen)

Memory

Proportionalität	gleicher Faktor
Ursprung	Nullpunkt des Graphen
Einheitspreis	Preis für eine Einheit
Wertetabelle	zusammengehörige Wertepaare
Proportionalitätsfaktor	konstanter Quotient
Gerade	Graph durch den Nullpunkt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
doppelte Menge	doppelter Wert
halbe Menge	halber Wert
Ursprung	Startpunkt des proportionalen Graphen
fester Faktor	Kennzeichen der Proportionalität
Grundgebühr	Hinweis auf nicht proportional

Kreuzworträtsel

Ursprung	Wie heißt der Punkt, durch den ein proportionaler Graph verläuft?
Tabelle	Welche Darstellung zeigt Wertepaare in Zeilen und Spalten?
Quotient	Was bleibt bei y geteilt durch x konstant?
Gerade	Welche Form hat der Graph einer proportionalen Zuordnung?
Einheitspreis	Wie nennt man den Preis für genau eine Einheit?
Proportionalität	Wie heißt der Zusammenhang mit festem Faktor?

LearningApps

Lückentext

Bei einer proportionalen Zuordnung werden beide Größen mit demselben

verändert.

Wenn sich eine Größe verdoppelt, muss sich auch der zugeordnete Wert

.

Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine

durch den Ursprung.

Der Ursprung hat die Koordinaten

.

In einer proportionalen Tabelle bleibt der Quotient aus y und x

.

Bei einem festen Kilopreis sind Masse und Preis meistens

.

Eine feste Startgebühr spricht gegen eine

.

Digitale Ergebnisse müssen durch Rechenweg und

geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

Wertetabelle: Erstelle eine Tabelle für Stifte zu je 2 € mit 1, 2, 3 und 4 Stiften.
Pfeildiagramm: Zeichne ein Pfeildiagramm für „2 Portionen → 100 g“ und „4 Portionen → 200 g“.
Graph: Zeichne die Punkte (0|0), (1|2), (2|4) und (3|6) in ein Koordinatensystem.
Fehlersuche: Erkläre, warum „doppelte Menge → Wert plus 2“ nicht allgemein proportional ist.

Standard

Preisvergleich: Fotografiere oder notiere zwei Kilopreise aus einem Prospekt. Verwende keine Personen- oder Kundendaten. Erstelle für einen Preis eine proportionale Tabelle.
Rezept: Skaliere ein Rezept von 2 auf 6 Portionen und zeige mindestens drei Zutaten in einer Tabelle.
Weg-Zeit-Diagramm: Erfinde eine gleichmäßige Bewegung und stelle Zeit und Weg als Tabelle und Graph dar.
Erklärvideo: Produziere ein höchstens 90 Sekunden langes Erklärvideo zu „doppelt so viel → doppelt so großer Wert“. Zeige einen Rechenweg.

Schwer

Nicht proportional: Erfinde eine Preissituation mit Grundgebühr und erkläre mit Tabelle und Graph, warum sie nicht proportional ist.
Darstellungswechsel: Stelle denselben proportionalen Zusammenhang als Text, Tabelle, Pfeildiagramm, Gleichung und Graph dar.
Digitale Kontrolle: Lass ein digitales Werkzeug eine proportionale Aufgabe lösen. Prüfe Ergebnis, Einheit und Begründung selbst und dokumentiere mindestens einen Kontrollschritt.
Eigene Lernstation: Entwickle eine Mini-Lernstation mit Aufgabe, Hilfestufe, Lösung und Selbstkontrolle zu einer Preis-, Mengen-, Weg- oder Rezeptaufgabe.

Lernkontrolle

Zusammenhang begründen: Eine Tabelle enthält die Paare 2 kg → 5 € und 6 kg → 15 €. Erkläre auf zwei verschiedene Arten, warum der Zusammenhang proportional ist.
Fehleranalyse: Eine Schülerin sagt: „Jede Gerade ist proportional.“ Widerlege die Aussage mit einem passenden Beispiel und einer Skizze.
Darstellung wechseln: Erstelle aus dem Zusammenhang $y = 4 x$ eine kleine Tabelle und beschreibe eine passende Alltagssituation.
Transfer: Für 3 Portionen werden 240 g Gemüse benötigt. Bestimme die Menge für 8 Portionen und begründe Deinen Rechenweg.
Digital prüfen: Ein Rechner liefert für 7 kg bei 2,50 € pro kg den Preis 175 €. Prüfe das Ergebnis ohne einfach neu einzutippen und erkläre den Fehler.
Modellkritik: Erkläre, warum Weg und Zeit nur dann proportional sind, wenn die Geschwindigkeit gleich bleibt.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig, dass Du:

proportionale und nicht proportionale Situationen unterscheiden kannst,
die Regel „gleicher Faktor auf beiden Seiten“ sicher verwendest,
eine Wertetabelle lesen und ergänzen kannst,
einen proportionalen Graphen als Gerade durch (0|0) erkennst,
den Proportionalitätsfaktor mit $k = \frac{y}{x}$ bestimmen kannst,
einfache Preis-, Mengen-, Weg- und Rezeptaufgaben löst,
Rechenweg, Einheit und Begründung notierst,
digitale Ergebnisse kritisch kontrollierst.

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