M7 G - Dreiecke aus Seiten und Winkeln konstruieren

Einleitung

Du konstruierst Dreiecke Schritt für Schritt aus vorgegebenen Seitenlängen und Winkelweiten. Du arbeitest mit Zirkel, Geodreieck und dynamischer Geometriesoftware. Danach prüfst Du, ob Deine Konstruktion wirklich zu den Angaben passt.

Zielgruppe: Klasse 7, Baden-Württemberg, G-Niveau.

Merksatz: Erst planen, dann konstruieren, am Ende prüfen.

Bildungsplan-Bezug

Der Kurs orientiert sich an der Leitidee Raum und Form für die Klassen 7/8/9 in Baden-Württemberg: Konstruierbarkeit und Lösungsvielfalt von Dreiecken werden anhand von Seitenlängen und Winkelweiten untersucht; dynamische Geometriesoftware kann dabei genutzt werden.

Bildungsplan Baden-Württemberg – Raum und Form

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du:

1. Dreiecke mit SSS, SWS und WSW konstruieren.
2. einen einfachen SsW-Fall erkennen und konstruieren, wenn der gegebene Winkel der längeren gegebenen Seite gegenüberliegt.
3. Seiten, Winkel und Eckpunkte richtig zuordnen.
4. eine Konstruktion mit Messungen und durch Ziehen in GeoGebra prüfen.
5. einen kurzen Konstruktionsweg mit Satzstartern erklären.

Werkzeuge

1. Zirkel: überträgt Seitenlängen und zeichnet Kreisbögen.
2. Geodreieck: misst und zeichnet Winkel sowie Strecken.
3. Bleistift: dünne, genaue Linien.
4. GeoGebra: dynamische Kontrolle und Veränderung der Konstruktion.

Datenschutz: Verwende bei digitalen Werkzeugen keine personenbezogenen Daten. Eine Anmeldung ist für diese Lernziele nicht nötig.

Vorwissen-Check

Check 1: Beschriftung

In einem Dreieck $ABC$ liegt die Seite $a$ dem Punkt $A$ gegenüber. Entsprechend gilt:

$a=|BC|,b=|AC|,c=|AB|$

Selbstkontrolle: Der Winkel $\alpha$ liegt bei $A$, $\beta$ bei $B$ und $\gamma$ bei $C$.

Check 2: Winkelsumme

Ergänze: $55^{\circ }+65^{\circ }+\gamma =180^{\circ }$

Lösung: $\gamma =60^{\circ }$.

Check 3: Kann das ein Dreieck sein?

Prüfe die Seiten $2\mathrm{c}\mathrm{m}$, $3\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $6\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Lösung: Nein. $2+3<6$. Die beiden Kreisbögen können sich nicht schneiden.

Check 4: Werkzeugwahl

Welches Werkzeug brauchst Du, um $60^{\circ }$ abzutragen?

Lösung: Das Geodreieck.

Grundidee: Angaben lesen

Fall	Gegeben	Erste Idee
SSS	drei Seiten	Seite zeichnen, zwei Kreisbögen
SWS	zwei Seiten und eingeschlossener Winkel	Seite zeichnen, Winkel antragen, zweite Seite abmessen
WSW	eine Seite und zwei anliegende Winkel	Seite zeichnen, an beiden Endpunkten Winkel antragen
SsW	zwei Seiten und Winkel gegenüber der längeren gegebenen Seite	Seite und Winkel, dann Kreis

Satzstarter: „Ich erkenne den Fall …, weil gegeben sind …“

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: SSS – drei Seiten

Gegeben: $a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Konstruktionsweg

1. Zeichne $AB=c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.
2. Stelle den Zirkel auf $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und zeichne um $A$ einen Kreisbogen.
3. Stelle den Zirkel auf $a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$ und zeichne um $B$ einen Kreisbogen.
4. Der Schnittpunkt ist $C$.
5. Verbinde $C$ mit $A$ und $B$.

Prüfen: Miss $a$, $b$ und $c$ nach.

Beispiel 2: SWS – Winkel zwischen zwei Seiten

Gegeben: $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\alpha =50^{\circ }$.

Konstruktionsweg

1. Zeichne $AB=c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.
2. Trage bei $A$ den Winkel $\alpha =50^{\circ }$ an.
3. Miss auf dem Winkelschenkel $AC=b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ ab.
4. Markiere $C$ und verbinde $C$ mit $B$.

Prüfen: $|AB|=6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $|AC|=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\alpha =50^{\circ }$.

Beispiel 3: WSW – zwei Winkel an einer Seite

Gegeben: $c=7\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\alpha =45^{\circ }$, $\beta =65^{\circ }$.

Konstruktionsweg

1. Zeichne $AB=c=7\mathrm{c}\mathrm{m}$.
2. Trage bei $A$ den Winkel $45^{\circ }$ an.
3. Trage bei $B$ den Winkel $65^{\circ }$ an.
4. Der Schnittpunkt der beiden Strahlen ist $C$.

Zusatzkontrolle: $\gamma =180^{\circ }-45^{\circ }-65^{\circ }=70^{\circ }$.

Beispiel 4: SsW – genau hinsehen

Gegeben: $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\gamma =70^{\circ }$. Der Winkel $\gamma$ liegt der längeren gegebenen Seite $c$ gegenüber.

Konstruktionsweg

1. Zeichne $AC=b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$.
2. Trage bei $C$ den Winkel $\gamma =70^{\circ }$ an.
3. Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit Radius $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.
4. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem Winkelschenkel ist $B$.
5. Verbinde die Punkte.

Achtung: Ist der gegebene Winkel nicht der längeren gegebenen Seite gegenüber, können je nach Angaben mehrere Lösungen entstehen.

Lernvideo: Überblick

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Aktiver Videoauftrag: Stoppe vor jedem nächsten Schritt. Zeichne ihn zuerst selbst und vergleiche danach.

Lernvideo: SsW und GeoGebra

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Dynamische Geometrie

GeoGebra: Ziehen statt nur anschauen

Arbeitsauftrag

1. Öffne eine SSS-, SWS- oder WSW-Konstruktion.
2. Ziehe an einem freien Punkt.
3. Prüfe: Bleiben die vorgegebenen Längen und Winkel erhalten?
4. Miss mindestens zwei Größen nach.
5. Formuliere: „Die Konstruktion ist stabil, weil …“

Wichtig: Ein digitales Bild kann täuschen. Zoomen, Ziehen und Messen sind Kontrollen; sie ersetzen keine mathematische Begründung. Auch KI-Ausgaben müssen geprüft werden und sind kein Beweis.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: SSS

Konstruiere $a=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Hilfe 1: Beginne mit $c$.

Hilfe 2: Kreis um $A$ mit Radius $b$; Kreis um $B$ mit Radius $a$.

Feedback: Wenn sich die Kreisbögen schneiden und alle drei Seiten nachgemessen stimmen, ist die Konstruktion passend.

Übung B: SWS

Konstruiere $c=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\alpha =60^{\circ }$.

Hilfe 1: $\alpha$ liegt bei $A$.

Hilfe 2: Der Winkel liegt zwischen $b$ und $c$.

Feedback: Prüfe zuerst den Winkel, dann beide Seiten.

Übung C: WSW

Konstruiere $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\alpha =40^{\circ }$, $\beta =80^{\circ }$.

Hilfe 1: Beide Winkel liegen an den Endpunkten der Seite $c$.

Hilfe 2: Die beiden Strahlen müssen sich schneiden.

Feedback: Zur Kontrolle gilt $\gamma =60^{\circ }$.

Übung D: Konstruierbar oder nicht?

Untersuche $a=2\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=7\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Hilfe: Prüfe $a+b>c$.

Feedback: $2+4<7$. Es entsteht kein Dreieck.

Typische Fehler

Fehler	Sofort-Check
Seite $a$ an $A$ gezeichnet	$a$ liegt gegenüber von $A$
falsche Winkelskala gelesen	bei $0^{\circ }$ am richtigen Schenkel starten
Zirkelweite verändert	vor dem Kreisbogen noch einmal an der Skala prüfen
Kreisbögen zu kurz	Bögen so weit zeichnen, dass ein Schnittpunkt sichtbar werden kann
nur nach Augenmaß geprüft	Längen und Winkel nachmessen
digitales Ergebnis ungeprüft übernommen	ziehen, messen und Angaben vergleichen

Selbstkontrolle

Kreuze nach jeder Konstruktion ab:

1. □ Planfigur oder kurze Skizze vorhanden.
2. □ Gegebene Größen markiert.
3. □ Richtige Grundseite gewählt.
4. □ Winkel am richtigen Eckpunkt.
5. □ Zirkelradien stimmen.
6. □ Eckpunkte, Seiten und Winkel beschriftet.
7. □ Alle gegebenen Werte nachgemessen.
8. □ Digital zusätzlich durch Ziehen geprüft.

Transfer

Ein dreieckiges Schild soll mit $AB=8\mathrm{c}\mathrm{m}$, $AC=6\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $\alpha =50^{\circ }$ maßstäblich geplant werden.

1. Bestimme den Konstruktionsfall.
2. Konstruiere das Dreieck.
3. Erkläre mit dem Satzstarter: „Die Konstruktion ist festgelegt, weil …“
4. Verändere in GeoGebra $\alpha$ auf $70^{\circ }$. Beschreibe, was sich sichtbar ändert und was gleich bleibt.

Kompetenzcheck

1. □ Ich ordne $a,b,c$ den richtigen Eckpunkten zu.
2. □ Ich erkenne SSS, SWS und WSW an den gegebenen Größen.
3. □ Ich kann Kreisbögen als Ortslinien nutzen.
4. □ Ich trage Winkel sauber mit dem Geodreieck ab.
5. □ Ich kann erklären, warum ein Schnittpunkt einen Eckpunkt festlegt.
6. □ Ich prüfe meine Konstruktion durch Messen.
7. □ Ich prüfe digitale Konstruktionen durch Ziehen.
8. □ Ich kann einen Fehler finden und verbessern.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welcher Konstruktionsfall gelingt Dir schon sicher?
2. Bei welchem Schritt brauchst Du noch eine Hilfe?
3. Welche Kontrolle findest Du am zuverlässigsten?
4. Was kann GeoGebra besser zeigen als Papier?
5. Warum bleibt eine mathematische Begründung wichtig?

Folgekurs

Als nächstes passt: M7 G - Konstruierbarkeit und Lösungsvielfalt von Dreiecken untersuchen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Angabe gehört zum SSS-Fall? (Drei Seitenlängen) (!Zwei Winkel ohne Seite) (!Eine Seitenlänge) (!Nur ein Winkel)

Wo liegt die Seite a im Dreieck ABC? (Gegenüber von A) (!Zwischen A und B) (!Immer waagerecht) (!Am Winkel alpha)

Welches Werkzeug überträgt eine Seitenlänge besonders genau? (Zirkel) (!Taschenrechner) (!Winkelmesser ohne Skala) (!Radiergummi)

Was zeichnest Du bei SSS von den Endpunkten der Grundseite aus? (Kreisbögen) (!Parallelen) (!Zahlengeraden) (!Mittellinien ohne Radius)

Was bedeutet SWS? (Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel) (!Drei Winkel) (!Eine Seite und drei Winkel) (!Zwei Seiten ohne Winkel)

Was ist bei WSW nach dem Zeichnen der Grundseite wichtig? (An beiden Endpunkten die gegebenen Winkel antragen) (!Zwei Kreise mit gleichem Radius zeichnen) (!Nur die Mitte der Seite markieren) (!Die Seite verdoppeln)

Woran erkennst Du bei einer SSS-Konstruktion den dritten Eckpunkt? (Am Schnittpunkt der Kreisbögen) (!Am Mittelpunkt der Grundseite) (!An der Nullmarke des Geodreiecks) (!Am längsten Strich)

Welche Gleichung gilt für die Innenwinkel eines Dreiecks? (alpha plus beta plus gamma gleich 180 Grad) (!alpha plus beta plus gamma gleich 90 Grad) (!alpha plus beta gleich gamma) (!alpha gleich beta gleich gamma bei jedem Dreieck)

Was gehört zu einer guten Endkontrolle? (Gegebene Längen und Winkel nachmessen) (!Nur anschauen) (!Hilfslinien sofort löschen und nicht prüfen) (!Die Zeichnung drehen und schätzen)

Was solltest Du mit einer digitalen Konstruktion zusätzlich tun? (Punkte ziehen und feste Größen nachmessen) (!Nur einen Screenshot ansehen) (!Alle Werte ungeprüft übernehmen) (!Persönliche Daten eingeben)

Memory

SSS	drei Seiten
SWS	eingeschlossener Winkel
WSW	zwei Winkel an einer Seite
Zirkel	Kreisbogen
Geodreieck	Winkel messen
Schnittpunkt	neuer Eckpunkt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Grundseite	zuerst zeichnen
Winkelstrahl	mit Geodreieck antragen
Kreisbogen	mit Zirkel zeichnen
Schnittpunkt	als Eckpunkt markieren
Kontrolle	Längen und Winkel nachmessen

Kreuzworträtsel

Zirkel	Werkzeug für Kreisbögen
Dreieck	Figur mit drei Seiten
Winkel	Größe in Grad
Strecke	Verbindung zweier Punkte
Radius	eingestellte Zirkelweite
Schnittpunkt	Treffpunkt zweier Linien oder Bögen

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim SSS-Fall sind drei gegeben. Mit dem zeichnest Du Kreisbögen. Ihr Schnittpunkt liefert den dritten . Beim SWS-Fall liegt der gegebene Winkel zwischen den beiden gegebenen . Beim WSW-Fall trägst Du an den Endpunkten einer gegebenen Seite zwei an. Am Ende musst Du die gegebenen Größen . In GeoGebra prüfst Du zusätzlich durch , ob die Konstruktion stabil bleibt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Planfigur: Zeichne eine Planfigur zu $a=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$ und markiere die gegebenen Größen.
2. Werkzeugkarte: Gestalte eine kleine Karte zu Zirkel und Geodreieck mit je einem typischen Einsatz.
3. Fehlersuche: Erfinde eine absichtlich falsche Dreiecksbeschriftung und korrigiere sie.
4. Fotoprotokoll: Dokumentiere vier Schritte einer Papierkonstruktion mit neutralem Bildausschnitt ohne Personen oder personenbezogene Daten.

Standard

1. SSS-Konstruktion: Konstruiere $a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=7\mathrm{c}\mathrm{m}$ und schreibe zu jedem Schritt einen Satz.
2. SWS-Konstruktion: Konstruiere $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=7\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\alpha =55^{\circ }$ und prüfe alle Vorgaben.
3. WSW-Konstruktion: Konstruiere $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\alpha =50^{\circ }$, $\beta =60^{\circ }$ und bestimme $\gamma$ durch Kontrolle.
4. GeoGebra-Vergleich: Konstruiere dieselbe Aufgabe auf Papier und digital. Nenne zwei Gemeinsamkeiten und zwei Unterschiede.

Schwer

1. Konstruierbarkeit: Untersuche durch Konstruktion, ob $3\mathrm{c}\mathrm{m}$, $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $8\mathrm{c}\mathrm{m}$ ein Dreieck bilden können. Begründe.
2. SsW-Fall: Erstelle ein eigenes Beispiel, bei dem der gegebene Winkel der längeren gegebenen Seite gegenüberliegt, und konstruiere es.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu SSS oder WSW. Zeige nur Hände, Papier und Werkzeuge, wenn Du keine Personen aufnehmen möchtest.
4. Prüfalgorithmus: Entwickle eine Checkliste, mit der eine Mitschülerin oder ein Mitschüler eine Dreieckskonstruktion selbstständig kontrollieren kann.

Lernkontrolle

1. Konstruktionsentscheidung: Du erhältst $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\alpha =40^{\circ }$. Erkläre zuerst, warum der Fall SWS vorliegt, und konstruiere danach.
2. Fehleranalyse: Eine Person zeichnet bei SSS nur einen Kreis. Erkläre, warum damit der dritte Eckpunkt noch nicht festgelegt ist.
3. Vergleich Papier und digital: Beschreibe, welche Prüfung mit GeoGebra besonders gut möglich ist und welche Messkontrolle Du trotzdem durchführen solltest.
4. Transfer: Ein Modellbauer kennt zwei Seiten eines Dreiecks und den Winkel dazwischen. Begründe, welche Informationen dadurch für die Form des Dreiecks festgelegt sind.
5. Mehrdeutigkeit: Erkläre anhand eines SsW-Beispiels, warum die Lage des gegebenen Winkels wichtig ist.
6. Qualitätsprüfung: Bewerte eine eigene Konstruktion anhand der Kriterien Genauigkeit, Beschriftung, Nachmessung und Begründung und verbessere mindestens einen Punkt.

Lernnachweis

Für einen guten Lernnachweis sind wichtig:

1. Du erkennst den passenden Konstruktionsfall.
2. Du beschriftest $A,B,C$, $a,b,c$ sowie $\alpha ,\beta ,\gamma$ richtig.
3. Du führst die Konstruktion sauber und in sinnvoller Reihenfolge aus.
4. Du kannst mindestens einen Schritt fachlich begründen.
5. Du prüfst alle gegebenen Längen und Winkel.
6. Du kannst einen typischen Fehler erklären und korrigieren.
7. Du kannst ein digitales Ergebnis kritisch prüfen.

OERs zum Thema

Freie und offene Medien im Kurs:

1. Die animierten Konstruktionsfolgen stammen aus Wikimedia Commons und sind über die jeweilige Dateiseite mit Urheber und Lizenz verknüpft.
2. Die GeoGebra-Sammlung dient als dynamische Übungsumgebung.
3. Die YouTube-Videos werden als ergänzende Erklärmedien eingebettet; prüfe vor dem Einsatz die schulischen Datenschutzvorgaben.

Verknüpfte Lernbereiche

Dreieckskonstruktion Dreieck Winkel Zirkel Geodreieck Kongruenzsatz Dreiecksungleichung Winkelsumme im Dreieck Dynamische Geometriesoftware