M7 G - Antiproportionale Zusammenhänge erkennen

M7 G - Antiproportionale Zusammenhänge erkennen

Mini-Beschreibung: Erkenne Situationen, in denen eine Größe zunimmt und die andere passend abnimmt. Du untersuchst Arbeitszeit, Aufteilung und Geschwindigkeit und vergleichst antiproportionale mit proportionalen Beispielen.

Zielgruppe: Klasse 7, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau

Kurzer Einstieg

Vier Personen teilen dieselbe Pizza. Acht Personen teilen dieselbe Pizza. Was passiert mit dem Anteil pro Person?

Bei einer festen Gesamtmenge gilt zum Beispiel:

$4\cdot \frac{1}{4}=1$

$8\cdot \frac{1}{8}=1$

Die Personenzahl wird größer, der Anteil pro Person kleiner. Das Produkt bleibt gleich. Genau dieses Muster ist typisch für einen antiproportionalen Zusammenhang.

Merke: „Mehr – weniger“ allein reicht noch nicht. Prüfe, ob das Produkt der beiden zugeordneten Werte gleich bleibt.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. antiproportionale Zusammenhänge in einfachen Alltagssituationen erkennen.
2. proportionale und antiproportionale Situationen unterscheiden.
3. mit einer Wertetabelle prüfen, ob Produkte gleich bleiben.
4. Arbeitszeit-, Aufteilungs- und Geschwindigkeitssituationen erklären.
5. einen Rechenweg mit Tabelle, Rechnung und Satz nachvollziehbar darstellen.
6. Ergebnisse digitaler Werkzeuge kritisch prüfen.

Bildungsplan-Bezug

Der Kurs orientiert sich an der Leitidee Funktionaler Zusammenhang im Mathematikunterricht in Baden-Württemberg: Zusammenhänge sollen in Text, Tabelle, Rechnung und Graph erkannt und genutzt werden. Im Mittelpunkt steht hier nur das G-Niveau mit übersichtlichen Zahlen und kleinschrittigen Hilfen.

Vorwissen-Check

1. Verdoppeln

Ergänze.

Wenn $3$ Hefte $6$ Euro kosten, kosten $6$ Hefte Euro.

2. Teilen

Ergänze.

$24:6=$ .

3. Produkt bilden

Ergänze.

$3\cdot 8=$ .

Selbstfeedback: Wenn Du alle drei Aufgaben lösen konntest, bist Du startklar. Wenn nicht, wiederhole kurz Multiplikation, Division und Dreisatz.

Antiproportional erkennen

Eine einfache Prüffrage lautet:

Wird die eine Größe mit demselben Faktor größer, während die andere mit diesem Faktor kleiner wird?

Beispiel:

$2\to 4$ bedeutet „mal $2$“.

Dann muss bei einem antiproportionalen Zusammenhang gelten:

$12\to 6$ bedeutet „geteilt durch $2$“.

Außerdem bleibt das Produkt gleich:

$2\cdot 12=24$

$4\cdot 6=24$

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung

Schritt	Frage	Beispiel
1	Welche zwei Größen gehören zusammen?	Arbeiter und Arbeitszeit
2	Wird eine Größe größer?	$2\to 4$ Arbeiter
3	Wird die andere passend kleiner?	$12\to 6$ Stunden
4	Bleibt das Produkt gleich?	$2\cdot 12=4\cdot 6=24$
5	Entscheidung	antiproportional

Satzstarter: „Ich erkenne einen antiproportionalen Zusammenhang, weil …“

Beispiel 1: Arbeitszeit

Für eine gleich große Arbeit brauchen mehr gleich schnell arbeitende Personen weniger Zeit.

Arbeiter	Stunden	Produkt
$2$	$12$	$2\cdot 12=24$
$3$	$8$	$3\cdot 8=24$
$4$	$6$	$4\cdot 6=24$
$6$	$4$	$6\cdot 4=24$

Konstantes Produkt:

$\text{Arbeiterzahl}\cdot \text{Arbeitszeit}=24$

Wichtig: Das Modell passt nur, wenn alle ungefähr gleich schnell arbeiten und sich nicht gegenseitig behindern.

Interaktive Übung: Arbeitszeit

Sechs Arbeiter benötigen für eine Arbeit $8$ Stunden. Wie lange brauchen zwölf Arbeiter im idealisierten Modell?

Hilfestufe 1: Die Arbeiterzahl wird verdoppelt.

Hilfestufe 2: Bei Antiproportionalität wird die Zeit dann halbiert.

$8:2=4$

Antwort eingeben.

Zwölf Arbeiter benötigen Stunden.

Feedback: Prüfe das Produkt: $6\cdot 8=48$ und $12\cdot 4=48$.

Beispiel 2: Aufteilen

Eine Menge von $24$ Litern wird gleichmäßig auf Gefäße verteilt.

Gefäße	Liter je Gefäß	Produkt
$2$	$12$	$24$
$3$	$8$	$24$
$4$	$6$	$24$
$6$	$4$	$24$

$\text{Gefäße}\cdot \text{Liter je Gefäß}=24$

Denkfrage: Was passiert mit der Füllmenge pro Gefäß, wenn die Gefäßzahl verdoppelt wird?

Satzstarter: „Die Füllmenge pro Gefäß …, weil die Gesamtmenge … bleibt.“

Bewegliche Darstellung nutzen

Nutze GeoGebra als dynamische Zahlengerade und Rechenfläche. Trage auf der waagerechten Achse die Teiler von $24$ ein: $1,2,3,4,6,8,12,24$. Berechne jeweils den passenden zweiten Wert mit $24:x$.

Selbstkontrolle: Zu $x=8$ gehört $y=3$, denn $8\cdot 3=24$.

Beispiel 3: Geschwindigkeit und Fahrzeit

Für eine feste Strecke von $120\mathrm{k}\mathrm{m}$ gilt:

$t=\frac{120}{v}$

Geschwindigkeit	Fahrzeit	Produkt
$30\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$	$4\mathrm{h}$	$120$
$40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$	$3\mathrm{h}$	$120$
$60\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$	$2\mathrm{h}$	$120$
$120\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$	$1\mathrm{h}$	$120$

Je größer die Geschwindigkeit bei derselben Strecke, desto kleiner die Fahrzeit.

Achtung beim Bild: Ein Weg-Zeit-Diagramm bei fester Geschwindigkeit zeigt einen proportionalen Zusammenhang zwischen Weg und Zeit. Unsere Tabelle oben betrachtet dagegen eine feste Strecke und verändert die Geschwindigkeit. Dann sind Geschwindigkeit und Fahrzeit antiproportional.

Interaktive Übung: Geschwindigkeit

Eine Strecke ist $180\mathrm{k}\mathrm{m}$ lang.

Bei $60\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ dauert die Fahrt:

$180:60=3$

Wie lange dauert sie bei $90\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$?

Hilfestufe 1: Nutze $t=\frac{s}{v}$.

Hilfestufe 2: Rechne $180:90$.

Antwort eingeben.

Die Fahrzeit beträgt Stunden.

Feedback: $60\cdot 3=180$ und $90\cdot 2=180$.

Vergleich: proportional oder antiproportional?

Merkmal	proportional	antiproportional
Beispiel	Hefte und Preis	Arbeiter und Arbeitszeit
Verdoppeln	beide Werte verdoppeln sich	ein Wert verdoppelt sich, der andere halbiert sich
Prüfung	Quotient bleibt gleich	Produkt bleibt gleich
Grundform	$y=kx$	$y=\frac{k}{x}$
Graph	Gerade durch den Ursprung	Hyperbel

Merksatz: Bei Antiproportionalität ist das Produkt der zugeordneten Werte konstant:

$x\cdot y=k$

Dynamischer Diagramm-Check

Öffne den Graphikrechner.

1. Gib $y=24/x$ ein.
2. Beobachte den fallenden Kurvenast für positive $x$.
3. Gib danach $y=4x$ ein.
4. Vergleiche Hyperbel und Gerade.

Prüffrage: Ist jeder fallende Graph automatisch antiproportional? Nein. Entscheidend ist die Form $y=\frac{k}{x}$ beziehungsweise die Produktgleichheit.

Animierter Rechenweg: Faktor und Gegenfaktor

Veränderung bei $x$	Gegenbewegung bei $y$	Kontrolle
$\cdot 2$	$:2$	Produkt gleich
$\cdot 3$	$:3$	Produkt gleich
$:4$	$\cdot 4$	Produkt gleich

Beispiel:

$3\to 6$

$8\to 4$

$3\cdot 8=6\cdot 4=24$

Medien zum Erklären

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Arbeitsauftrag zum Video: Stoppe nach einem Beispiel. Notiere die beiden Größen und prüfe selbst das Produkt.

Video laden

YouTube

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Fortfahren Ausblenden

Mediencheck: Übernimm ein Ergebnis aus einem Video oder digitalen Werkzeug nicht ungeprüft. Rechne mindestens ein Wertepaar selbst nach. KI-Ausgaben können beim Erklären helfen, ersetzen aber keinen mathematischen Nachweis.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Erkennen

Ordne gedanklich zu.

Situation	Dein Urteil	Prüfmethode
Mehr Hefte, höherer Gesamtpreis bei festem Stückpreis	proportional	gleicher Quotient
Mehr Personen teilen dieselbe Saftmenge	antiproportional	gleiches Produkt
Mehr Arbeiter, weniger Zeit für dieselbe Arbeit	antiproportional	gleiches Produkt
Mehr Fahrzeit, längere Strecke bei fester Geschwindigkeit	proportional	gleicher Quotient

Hilfestufe: Frage zuerst: „Was bleibt fest?“

Feedback: Eine feste Gesamtmenge führt bei gleichmäßiger Aufteilung oft zu Antiproportionalität.

Übung B: Tabelle ergänzen

Es gilt $x\cdot y=36$.

$x$	$y$
$1$	$36$
$2$	$18$
$3$	?
$6$	?
$9$	?

Hilfestufe 1: Rechne $36:x$.

Hilfestufe 2:

$36:3=12$

$36:6=6$

$36:9=4$

Selbstkontrolle: Die fehlenden Werte sind $12$, $6$ und $4$.

Übung C: Begründen

Vier Pumpen füllen einen Speicher in $6$ Stunden. Acht gleich starke Pumpen benötigen im Modell $3$ Stunden.

Satzstarter:

„Die Pumpenzahl wird …“

„Die Zeit wird gleichzeitig …“

„Das Produkt ist …“

Musterbegründung: Die Pumpenzahl wird verdoppelt, die Zeit wird halbiert. Außerdem gilt $4\cdot 6=8\cdot 3=24$. Deshalb ist der Zusammenhang antiproportional.

Typische Fehler

Fehler	Warum falsch?	Besser
„Eine Größe steigt, die andere fällt, also antiproportional.“	Das reicht nicht.	Produkt prüfen.
Bei Verdoppeln auch die andere Größe verdoppeln.	Das wäre proportional.	Bei Antiproportionalität halbieren.
Eine Tabelle ohne Einheit lesen.	Größen können verwechselt werden.	Einheiten dazuschreiben.
Digitale Ausgabe ungeprüft übernehmen.	Eingaben oder Modelle können falsch sein.	Mit einem Wertepaar nachrechnen.

Selbstkontrolle

Setze für Dich ein Häkchen.

Ich kann ...	Ja	Noch üben
zwei Größen in einer Situation benennen.	□	□
erkennen, was fest bleibt.	□	□
das Produkt zweier Werte berechnen.	□	□
proportional und antiproportional unterscheiden.	□	□
meine Entscheidung mit einem Satz begründen.	□	□

Transfer

Eine Klasse plant einen Ausflug. Ein Bus kostet insgesamt $480$ Euro.

Zahlende Personen	Preis pro Person
$12$	$40$ Euro
$16$	$30$ Euro
$24$	$20$ Euro

Prüfe:

$12\cdot 40=480$

$16\cdot 30=480$

$24\cdot 20=480$

Transferfrage: Was müsste im echten Leben zusätzlich beachtet werden? Zum Beispiel können Freiplätze, Zuschüsse oder unterschiedliche Ticketpreise das einfache Modell verändern.

Kompetenzcheck

1. Erkennen

Bei fester Arbeit steigt die Arbeiterzahl von $3$ auf $6$. Die Arbeitszeit sinkt von $10$ auf $5$ Stunden.

$3\cdot 10=30$

$6\cdot 5=30$

Entscheidung: antiproportional.

2. Gegenbeispiel

Temperatur und verkaufte Eismenge können sich gegensinnig oder gleichsinnig verändern. Ohne konstantes Produkt darfst Du daraus nicht automatisch Antiproportionalität folgern.

3. Darstellungswechsel

Beschreibe $y=\frac{24}{x}$ in drei Formen:

1. Tabelle: zum Beispiel $(2|12)$, $(3|8)$, $(4|6)$.
2. Text: Je größer $x$, desto kleiner $y$, sodass das Produkt $24$ bleibt.
3. Graph: Hyperbel.

Reflexion

Vervollständige mindestens zwei Sätze:

1. „Ich erkenne Antiproportionalität jetzt daran, dass …“
2. „Der Unterschied zur Proportionalität ist …“
3. „Bei einer Tabelle prüfe ich zuerst …“
4. „Ein digitales Ergebnis kontrolliere ich, indem …“

Folgekurs

Weiter geht es mit M7 G - Antiproportionale Zusammenhänge berechnen. Dort nutzt Du Produktgleichheit und Dreisatz, um fehlende Werte systematisch zu bestimmen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Woran erkennst Du eine antiproportionale Zuordnung sicher? (Das Produkt zugeordneter Werte bleibt gleich) (!Beide Werte werden immer größer) (!Der Quotient bleibt immer gleich) (!Der Graph ist immer eine Gerade)

Was passiert bei Antiproportionalität mit dem zweiten Wert, wenn der erste verdoppelt wird? (Er wird halbiert) (!Er wird verdoppelt) (!Er bleibt immer gleich) (!Er wird um zwei erhöht)

Welche Situation ist typisch antiproportional? (Mehr Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit weniger Zeit) (!Mehr Hefte kosten bei gleichem Stückpreis mehr) (!Mehr Zeit führt bei gleicher Geschwindigkeit zu mehr Strecke) (!Mehr Äpfel wiegen bei gleichem Einzelgewicht mehr)

Welches Produkt zeigt Antiproportionalität mit dem konstanten Wert 24? (4 mal 6) (!4 mal 8) (!3 mal 6) (!2 mal 10)

Welche Grundform passt zu einer antiproportionalen Zuordnung? (y gleich k geteilt durch x) (!y gleich k mal x) (!y gleich x plus k) (!y gleich x minus k)

Wie sieht der Graph einer antiproportionalen Zuordnung grundsätzlich aus? (Als Hyperbel) (!Als Kreis) (!Als Gerade durch den Ursprung) (!Als senkrechte Gerade)

Bei fester Strecke wird die Geschwindigkeit verdoppelt. Was passiert idealisiert mit der Fahrzeit? (Sie halbiert sich) (!Sie verdoppelt sich) (!Sie bleibt gleich) (!Sie steigt um eine Stunde)

Welche Prüfmethode passt zur Proportionalität? (Der Quotient bleibt gleich) (!Das Produkt bleibt gleich) (!Beide Werte müssen kleiner werden) (!Der Graph muss eine Hyperbel sein)

Warum reicht die Aussage mehr weniger nicht als Beweis für Antiproportionalität? (Weil zusätzlich die Produktgleichheit geprüft werden muss) (!Weil beide Größen immer gleich groß sein müssen) (!Weil nur Geldbeträge antiproportional sein können) (!Weil Antiproportionalität keine Tabellen erlaubt)

Welche Aussage zu digitalen Ergebnissen ist richtig? (Sie sollten durch eigenes Nachrechnen geprüft werden) (!Sie sind immer automatisch richtig) (!Sie ersetzen jede Begründung) (!Sie brauchen keine passenden Einheiten)

Memory

Antiproportional	Produktgleichheit
Proportional	Quotientengleichheit
Arbeitszeit	Arbeiterzahl
Fahrdauer	Geschwindigkeit
Aufteilung	Anteil
Hyperbel	Graphform

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Produkt bleibt gleich	antiproportional
Quotient bleibt gleich	proportional
mehr Arbeiter, weniger Zeit	gleiche Arbeit
mehr Personen, kleinerer Anteil	feste Gesamtmenge
höhere Geschwindigkeit, kürzere Zeit	feste Strecke

Kreuzworträtsel

Produkt	Was bleibt bei einer antiproportionalen Wertetabelle konstant?
Arbeiter	Welche Größe kann bei gleicher Arbeit steigen, während die benötigte Zeit sinkt?
Fahrzeit	Welche Größe sinkt bei fester Strecke, wenn die Geschwindigkeit steigt?
Hyperbel	Wie heißt die typische Graphform einer antiproportionalen Zuordnung?
Zuordnung	Wie heißt eine Beziehung, die Werten andere Werte zuweist?
Dreisatz	Welches Rechenverfahren kann zum Berechnen fehlender Werte genutzt werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt das der zugeordneten Werte gleich.

Wird die eine Größe verdoppelt, wird die andere .

Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt dagegen der gleich.

Für eine feste Strecke sinkt die Fahrzeit, wenn die steigt.

Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung heißt .

Ein digitales Ergebnis soll durch eigenes geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Wertetabelle: Erstelle eine Tabelle zu $x\cdot y=24$ mit fünf Wertepaaren.
2. Alltagsbeispiel: Finde ein Beispiel aus dem Alltag, bei dem eine feste Menge auf mehrere Personen oder Gefäße verteilt wird.
3. Skizze: Zeichne Pfeile, die zeigen: $\cdot 2$ auf der einen Seite und $:2$ auf der anderen Seite.
4. Satzstarter: Beende den Satz „Ich erkenne Antiproportionalität daran, dass …“ mit eigenen Worten.

Standard

1. Arbeitszeit: Erfinde eine Aufgabe mit Arbeitern und Zeit. Nutze übersichtliche ganze Zahlen und gib eine Lösung an.
2. Geschwindigkeit: Erstelle für eine feste Strecke von $120\mathrm{k}\mathrm{m}$ drei passende Wertepaare aus Geschwindigkeit und Fahrzeit.
3. Vergleich: Stelle ein proportionales und ein antiproportionales Beispiel in zwei kleinen Tabellen gegenüber.
4. Medienanalyse: Stoppe eines der Lernvideos bei einem Beispiel und prüfe die Rechnung selbst.

Schwer

1. Modellkritik: Beschreibe eine Situation, in der „mehr Arbeiter – weniger Zeit“ in der Wirklichkeit nicht genau antiproportional ist.
2. Graph: Zeichne die Punkte zu $y=\frac{24}{x}$ für positive Teiler von $24$ und beschreibe die Form.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Schülerlösung und erkläre, an welcher Stelle proportional und antiproportional verwechselt wurden.
4. Digitaler Vergleich: Lass ein digitales Werkzeug eine Wertetabelle zu $y=\frac{36}{x}$ erzeugen. Prüfe mindestens drei Werte selbst und dokumentiere Abweichungen. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Begründen: Eine Tabelle enthält die Paare $(2|18)$, $(3|12)$, $(6|6)$. Entscheide nicht nur, sondern begründe mithilfe der Produkte, ob ein antiproportionaler Zusammenhang vorliegt.
2. Vergleichen: Erkläre den Unterschied zwischen „mehr Hefte – höherer Preis“ und „mehr Personen – kleinerer Anteil“.
3. Modellieren: Formuliere zu $x\cdot y=48$ eine passende Alltagssituation und erkläre, was die Zahl $48$ bedeutet.
4. Darstellungswechsel: Übertrage eine antiproportionale Tabelle in einen Graphen und beschreibe zwei sichtbare Merkmale.
5. Transfer: Beurteile, ob „höhere Geschwindigkeit – kürzere Fahrzeit“ immer exakt antiproportional ist. Nenne die Bedingung, die dafür gelten muss.
6. Digitale Kompetenz: Erkläre, wie Du eine von KI oder einem Rechner erzeugte Wertetabelle mathematisch überprüfst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du erkennst antiproportionale Situationen.
2. Du unterscheidest sie von proportionalen Situationen.
3. Du prüfst Produkte und begründest Deine Entscheidung.
4. Du kannst zwischen Text, Tabelle, Rechnung und Graph wechseln.
5. Du nutzt passende Einheiten.
6. Du erklärst mindestens eine Arbeitszeit-, Aufteilungs- oder Geschwindigkeitssituation.
7. Du überprüfst digitale Ergebnisse selbstständig.
8. Du gibst einen nachvollziehbaren Rechenweg an.

OERs zum Thema

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Verknüpfte Lernbereiche

Antiproportionalität Zuordnung Proportionalität Wertetabelle Dreisatz Funktionaler Zusammenhang Geschwindigkeit Mathematisches Modellieren