M7 E - Lineare Modelle in Sachsituationen beurteilen

M7 E - Lineare Modelle in Sachsituationen beurteilen

Mini-Beschreibung: Entwickle und interpretiere lineare Modelle für Kosten, Wege oder Messdaten. Prüfe mit Daten, Graphen und einfachen Restabweichungen, ob ein Modell im betrachteten Bereich sinnvoll ist.

Zielgruppe: Mathematik Klasse 7, Baden-Württemberg, E-Niveau

Kurzer Einstieg

Ein Fahrradverleih verlangt 6 € Grundgebühr und 3 € pro Stunde. Ein mögliches Kostenmodell ist:

$K(x)=3x+6$

Dabei steht $x$ für die Ausleihdauer in Stunden und $K(x)$ für die Kosten in Euro.

Aber: Ist das Modell auch für $x=1000$ Stunden sinnvoll? Wahrscheinlich nicht. Ein mathematisches Modell beschreibt eine Situation nur in einem bestimmten Bereich.

Leitfrage: Wann passt eine Gerade zur Realität – und wann nicht?

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Lernziele

Du kannst ...

1. lineare Modelle der Form $y=mx+b$ aus Sachsituationen entwickeln.
2. die Bedeutung von $m$ und $b$ mit Einheiten erklären.
3. Daten in Tabelle, Graph und Term miteinander verbinden.
4. Modellwerte mit Messwerten vergleichen.
5. einfache Restabweichungen mit $r=y_{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}-y_{\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}$ bestimmen.
6. entscheiden und begründen, in welchem Bereich ein lineares Modell sinnvoll ist.
7. Gegenbeispiele finden, die zeigen, wann ein Modell nicht mehr passt.
8. digitale Ergebnisse und KI-Ausgaben rechnerisch und sachlich prüfen.

Vorwissen-Check

1. Steigung

Eine Gerade steigt bei 2 Schritten nach rechts um 6 Einheiten nach oben.

$m=\frac{6}{2}=3$

Prüfe Dich: Was bedeutet $m=3$?

Wenn $x$ um 1 steigt, steigt $y$ um 3.

2. Achsenabschnitt

Bei $y=4x+7$ gilt:

$b=7$

Prüfe Dich: Wo schneidet der Graph die y-Achse?

Bei $(0|7)$.

3. Zwei Punkte

Für $A(1|5)$ und $B(4|11)$ gilt:

$m=\frac{11-5}{4-1}=\frac{6}{3}=2$

Weiterdenken: Bestimme $b$.

$5=2\cdot 1+b$, also $b=3$. Das Modell lautet $y=2x+3$.

Grundidee: Ein lineares Modell

Ein lineares Modell hat die Form

$y=mx+b$

Dabei bedeutet:

Größe	Bedeutung
$m$	Änderung von $y$ pro Schritt in $x$
$b$	Startwert bei $x=0$

Merke: Ein Term ist erst dann ein gutes Modell, wenn seine Größen, Einheiten und sein Gültigkeitsbereich zur Sachsituation passen.

Interaktiv: Steigung und Startwert bewegen

Verändere in GeoGebra die Schieberegler für $m$ und $b$. Beobachte den Graphen.

Forscherfragen:

1. Was verändert sich, wenn nur $m$ größer wird?
2. Was verändert sich, wenn nur $b$ verändert wird?
3. Erzeuge zwei Geraden mit gleicher Steigung, aber verschiedenen Startwerten.
4. Finde eine Gerade, die fällt.

Beispiel 1: Kostenmodell

Ein fiktiver Fahrradverleih verlangt 6 € Grundgebühr und 3 € pro Stunde.

Schritt 1: Größen festlegen

$x$: Dauer in Stunden

$K(x)$: Kosten in Euro

Schritt 2: Modell aufstellen

$K(x)=3x+6$

Schritt 3: Bedeutung erklären

$m=3$: Jede weitere Stunde kostet 3 €.

$b=6$: Die Grundgebühr beträgt 6 €.

Schritt 4: Modellwert prüfen

Für 4 Stunden:

$K(4)=3\cdot 4+6=18$

Das Modell sagt 18 € voraus.

Visueller Rechenweg

Schritt	Rechnung
Einsetzen	$K(4)=3\cdot 4+6$
Multiplizieren	$K(4)=12+6$
Addieren	$K(4)=18$

Hilfestufe 1: Woher kommt die 3?

Aus dem Preis von 3 € pro Stunde.

Hilfestufe 2: Woher kommt die 6?

Aus der Grundgebühr.

Feedback: Woran erkennst Du eine gute Begründung?

Du nennst nicht nur die Zahlen, sondern erklärst ihre Bedeutung und Einheit in der Sachsituation.

Beispiel 2: Messdaten und Restabweichungen

Bei einem Versuch werden fiktive Messdaten aufgenommen. Ein einfaches Modell lautet:

$M(x)=2x+1$

$x$	Messwert	Modellwert	Restabweichung
1	3,2	3	0,2
2	4,8	5	-0,2
3	7,1	7	0,1
4	9,4	9	0,4
5	10,7	11	-0,3

Die Restabweichung berechnest Du mit:

$r=y_{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}-y_{\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}$

Für $x=4$:

$r=\mathrm{9,4}-9=\mathrm{0,4}$

Ein positiver Rest bedeutet: Der Messwert liegt über dem Modellwert.

Ein negativer Rest bedeutet: Der Messwert liegt unter dem Modellwert.

Wichtig: In Klasse 7 brauchst Du noch keine komplizierte Regressionsrechnung. Du nutzt Restabweichungen hier nur als einfache Hilfe, um zu beurteilen, wie gut eine Gerade zu Daten passt.

Modell oder Wirklichkeit?

Ein lineares Modell ist sinnvoll, wenn ...

1. die Änderung ungefähr gleichmäßig ist,
2. die Gerade im betrachteten Bereich gut zu den Daten passt,
3. die Abweichungen klein genug für die Fragestellung sind,
4. die Bedeutung von Steigung und Startwert sachlich passt.

Ein lineares Modell ist nicht automatisch sinnvoll, nur weil man eine Gerade zeichnen kann.

Gültigkeitsbereich

Ein Modell kann in einem Bereich gut und außerhalb dieses Bereichs schlecht sein.

Beispiel:

$T(t)=18-2t$

Das könnte eine Temperatur in °C während einer kurzen Abkühlphase beschreiben.

Für $t=3$:

$T(3)=18-2\cdot 3=12$

Für sehr große Werte von $t$ liefert das Modell irgendwann unrealistische Ergebnisse. Dann muss der Gültigkeitsbereich begrenzt werden.

Denkfrage: Welche reale Grenze könnte gegen eine unbegrenzte Fortsetzung des Modells sprechen?

Modell-Check in sechs Schritten

1. Größen: Was bedeuten $x$ und $y$?
2. Einheiten: Welche Einheit hat jede Größe?
3. Term: Welche Bedeutung haben $m$ und $b$?
4. Daten: Wie gut stimmen Modellwerte und Messwerte überein?
5. Restabweichungen: Sind sie klein und ohne auffälliges Muster?
6. Bereich: Für welche Werte ist das Modell sachlich sinnvoll?

Dynamischer Modell-Check

Öffne den GeoGebra-Grafikrechner und trage zum Beispiel

$y=2x+1$

ein. Ergänze Messpunkte wie $(1|\mathrm{3,2})$, $(2|\mathrm{4,8})$ und $(3|\mathrm{7,1})$.

iFrame blockiert

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Auftrag: Verändere Steigung und Startwert so, dass die Gerade möglichst gut zwischen den Punkten liegt. Begründe anschließend, warum Dein Modell besser oder schlechter passt.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Lieferkosten

Ein fiktiver Lieferdienst verlangt 2 € Grundpreis und 1,50 € pro Kilometer.

Aufgabe: Stelle ein Modell $K(x)$ auf und berechne die Kosten für 8 km.

Hilfestufe 1

Grundpreis = Startwert $b$. Preis pro Kilometer = Steigung $m$.

Hilfestufe 2

$K(x)=\mathrm{1,5}x+2$

Feedback

$K(8)=\mathrm{1,5}\cdot 8+2=14$. Für 8 km ergeben sich 14 €.

Übung B: Wegmodell

Eine Person startet 1 km vom Messpunkt entfernt und bewegt sich mit konstant 4 km pro Stunde weiter weg.

Aufgabe: Entwickle ein Modell für die Entfernung $s(t)$.

Hilfestufe 1

Der Startwert ist 1 km. Pro Stunde kommen 4 km hinzu.

Feedback

$s(t)=4t+1$. Die Steigung hat hier die Einheit km pro Stunde.

Übung C: Modell prüfen

Messwerte:

$x$	$y$
0	5,1
1	7,0
2	9,2
3	10,9

Ein Vorschlag lautet:

$M(x)=2x+5$

Aufgabe: Berechne die Restabweichungen und beurteile das Modell.

Hilfestufe 1

Berechne zuerst die Modellwerte 5, 7, 9 und 11.

Hilfestufe 2

Nutze $r=y_{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}-y_{\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}$.

Feedback

Die Restabweichungen sind 0,1; 0; 0,2; -0,1. Sie sind klein. Für diesen Datenbereich ist das Modell gut passend.

E-Aufgabe: Gegenbeispiel finden

Das Modell

$h(t)=\mathrm{0,8}t+\mathrm{1,2}$

beschreibt die Höhe einer Pflanze in Metern.

Auftrag: Finde einen Wert für $t$, bei dem die Modellvorhersage sachlich fragwürdig wird. Begründe Dein Gegenbeispiel.

Impuls

Rechne mit einem sehr großen Wert für $t$ und frage Dich, ob eine Pflanze unbegrenzt linear wächst.

Typische Fehler

1. Steigung ohne Einheit: Schreibe nicht nur $m=3$, sondern erkläre zum Beispiel 3 € pro Stunde.
2. Startwert falsch deuten: $b$ ist der Modellwert bei $x=0$.
3. Messwert mit Modellwert verwechseln: Ein Messwert kann vom Modell abweichen.
4. Vorzeichen der Restabweichung vertauschen: Nutze immer $r=y_{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}-y_{\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}$.
5. Gerade endlos fortsetzen: Prüfe den sinnvollen Gültigkeitsbereich.
6. Digitales Ergebnis ungeprüft übernehmen: Rechne Stichproben selbst nach und prüfe die Sachsituation.

Digitale Werkzeuge und KI kritisch nutzen

Digitale Werkzeuge können Graphen, Tabellen und Modellwerte schnell darstellen. Du bleibst aber für die mathematische Prüfung verantwortlich.

Prüfe immer:

1. Stimmen Eingaben und Einheiten?
2. Passt der Graph zum Term?
3. Stimmen mindestens zwei selbst nachgerechnete Werte?
4. Ist der betrachtete Bereich realistisch?
5. Kannst Du Deine Entscheidung ohne das digitale Werkzeug begründen?

Datenschutz: Verwende für Übungsdaten keine personenbezogenen Daten.

KI-Hinweis: Eine KI kann Rechenwege oder Modelle vorschlagen. Prüfe jede Ausgabe. Eine KI-Ausgabe ersetzt keine mathematische Begründung und keinen Beweis.

Selbstkontrolle

Bewerte Dich selbst mit 0, 1 oder 2 Punkten.

Aussage	0–2 Punkte
Ich kann $m$ und $b$ in einer Sachsituation deuten.
Ich kann aus Daten ein lineares Modell entwickeln.
Ich kann Restabweichungen berechnen.
Ich kann einen Gültigkeitsbereich begründen.
Ich kann ein ungeeignetes Modell mit einem Gegenbeispiel widerlegen.

Auswertung: 8–10 Punkte: sicher. 5–7 Punkte: gezielt üben. 0–4 Punkte: Grundlagen wiederholen und Aufgaben mit Hilfestufen bearbeiten.

Transfer

Ein Fitnessstudio verlangt fiktiv 12 € Grundgebühr pro Monat und 2 € pro Besuch.

$K(x)=2x+12$

Untersuche selbstständig:

1. Was bedeuten $m$ und $b$?
2. Für welche Besuchszahlen ist das Modell sinnvoll?
3. Welche reale Tarifregel könnte das Modell unbrauchbar machen?
4. Wie würde ein Preisdeckel den Graphen verändern?
5. Begründe, warum dann ein einziges lineares Modell nicht mehr ausreicht.

Kompetenzcheck E-Niveau

Mehrschrittige Aufgabe

Ein fiktiver Messversuch liefert:

Zeit in min	Messwert
0	2,1
2	5,0
4	7,8
6	11,2

Eine Schülerin schlägt das Modell

$M(t)=\mathrm{1,5}t+2$

vor.

1. Berechne die Modellwerte.
2. Bestimme alle Restabweichungen.
3. Beschreibe, ob die Gerade im Bereich von 0 bis 6 Minuten gut passt.
4. Formuliere eine sachliche Grenze, ab der Du das Modell nicht ohne weitere Daten fortsetzen würdest.
5. Verändere $m$ oder $b$ und untersuche, ob ein anderes einfaches Modell besser passt.
6. Begründe Deine Entscheidung nachvollziehbar.

Reflexion

Beantworte schriftlich:

1. Woran erkennst Du, dass ein lineares Modell nur eine Vereinfachung ist?
2. Welche Rolle spielen Restabweichungen bei Deiner Entscheidung?
3. Warum reicht ein schöner Graph allein nicht als Begründung?
4. Wie kann ein Gegenbeispiel ein Modell widerlegen?
5. Welche Prüfung würdest Du bei einer KI-erzeugten Modellgleichung zuerst durchführen?

Folgekurs

Als Nächstes passt:

M7 E - Lineare Modelle vergleichen und verbessern

Dort kannst Du mehrere Modelle zu denselben Daten vergleichen und begründet verbessern.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Form hat ein lineares Modell? (y gleich m mal x plus b) (!y gleich m mal x Quadrat plus b) (!y gleich m geteilt durch x plus b) (!y gleich m hoch x plus b)

Was beschreibt m in einer Sachsituation? (Die Änderung von y pro Änderungseinheit von x) (!Immer den Wert bei x gleich null) (!Immer den größten Messwert) (!Die Anzahl der Datenpunkte)

Was beschreibt b bei y gleich mx plus b? (Den Modellwert bei x gleich null) (!Die Restabweichung) (!Die Anzahl der Messwerte) (!Die Länge der x Achse)

Wie wird die Restabweichung hier berechnet? (Messwert minus Modellwert) (!Modellwert minus Messwert) (!Messwert plus Modellwert) (!Messwert mal Modellwert)

Was bedeutet eine positive Restabweichung? (Der Messwert liegt über dem Modellwert) (!Der Messwert liegt unter dem Modellwert) (!Das Modell ist immer falsch) (!Die Steigung ist negativ)

Wann ist ein lineares Modell besonders plausibel? (Wenn sich die Größe im betrachteten Bereich ungefähr gleichmäßig ändert) (!Wenn alle x Werte gleich sind) (!Wenn die Achsen keine Einheiten haben) (!Wenn nur ein Messwert vorliegt)

Warum braucht ein Modell einen Gültigkeitsbereich? (Weil eine lineare Fortsetzung außerhalb des untersuchten Bereichs unrealistisch sein kann) (!Weil Geraden nur drei Punkte haben) (!Weil Steigungen keine Einheiten besitzen) (!Weil Tabellen nie zu Graphen passen)

Welcher Term passt zu 5 Euro Grundpreis und 2 Euro pro Stunde? (K von x gleich 2 mal x plus 5) (!K von x gleich 5 mal x plus 2) (!K von x gleich 7 mal x) (!K von x gleich 2 mal x minus 5)

Was ist beim digitalen Modellieren besonders wichtig? (Eingaben Ergebnisse Einheiten und Sachsituation zu prüfen) (!Jedes Ergebnis sofort zu übernehmen) (!Nur den Graphen anzusehen) (!Einheiten wegzulassen)

Was kann zeigen dass ein Modell nicht allgemein gültig ist? (Ein begründetes Gegenbeispiel) (!Ein größerer Bildschirm) (!Eine längere Tabelle ohne Daten) (!Eine andere Schriftart)

Memory

Steigung	Änderung pro Einheit
Achsenabschnitt	Startwert
Modellwert	Wert der Geradengleichung
Messwert	Beobachteter Datenwert
Restabweichung	Unterschied zwischen Messwert und Modellwert
Gültigkeitsbereich	Bereich sinnvoller Modellanwendung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Steigung	Änderung pro Einheit
Startwert	Wert bei Beginn
Messwert	Beobachteter Wert
Modellwert	Berechneter Wert
Restabweichung	Differenz zwischen Beobachtung und Modell

Kreuzworträtsel

Steigung	Welche Größe beschreibt die Änderung pro Einheit?
Startwert	Wie heißt der Modellwert bei x gleich null?
Modell	Wie heißt eine mathematische Vereinfachung einer Sachsituation?
Messwert	Wie heißt ein beobachteter Datenwert?
Residuum	Wie heißt fachsprachlich eine Restabweichung?
Gerade	Welche Form hat der Graph eines linearen Modells?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein lineares Modell hat einen konstanten Änderungswert, die . Der Modellwert bei $x=0$ heißt . Der Unterschied zwischen Messwert und Modellwert heißt . Kleine Abweichungen können darauf hindeuten, dass ein Modell im untersuchten gut passt. Eine Gerade darf nicht automatisch unbegrenzt in die fortgesetzt werden. Digitale Ergebnisse müssen mathematisch und sachlich werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kostenmodell: Erfinde einen Tarif mit Grundgebühr und Preis pro Einheit. Stelle Term, Tabelle und drei Modellwerte dar.
2. Steigung: Fotografiere keine Personen, sondern suche in Deiner Umgebung eine Situation mit ungefähr konstanter Änderung und beschreibe eine mögliche Steigung.
3. Graph: Zeichne zu $y=2x+3$ einen Graphen und markiere Startwert und Steigungsdreieck.
4. Restabweichung: Erfinde vier Messwerte nahe bei $y=x+2$ und berechne die Abweichungen.

Standard

1. Messdaten: Erzeuge sechs fiktive Messwerte, entwickle ein lineares Modell und beurteile dessen Passung.
2. Gültigkeitsbereich: Formuliere für ein Kosten-, Weg- und Temperaturmodell jeweils einen sinnvollen Gültigkeitsbereich.
3. Modellvergleich: Entwickle zwei verschiedene lineare Modelle für dieselben Daten und begründe, welches im betrachteten Bereich besser passt.
4. GeoGebra: Stelle ein eigenes Modell digital dar, verändere $m$ und $b$ und dokumentiere drei Beobachtungen.

Schwer

1. Gegenbeispiel: Entwickle ein scheinbar gutes lineares Modell und konstruiere anschließend ein sachliches Gegenbeispiel gegen eine unbegrenzte Fortsetzung.
2. Mehrschrittige Modellierung: Erfinde eine Sachsituation, erhebe oder simuliere Daten, stelle ein Modell auf, berechne Restabweichungen und beurteile den Gültigkeitsbereich.
3. Fehleranalyse: Lass Dir von einem digitalen Werkzeug oder einer KI ein lineares Modell vorschlagen. Prüfe Term, Graph, Einheiten, Datenwerte und Begründung und dokumentiere alle Fehler oder Unsicherheiten.
4. Verallgemeinerung: Begründe, warum gleiche Steigungen zu parallelen Geraden führen, und erkläre, was unterschiedliche Startwerte in Sachsituationen bedeuten können.

Lernkontrolle

1. Modell entwickeln: Aus einer Tabelle mit realistischen Daten ein lineares Modell entwickeln und jede Größe mit Einheit erklären.
2. Modell beurteilen: Ein vorgegebenes lineares Modell mit Messdaten vergleichen und anhand der Restabweichungen begründet beurteilen.
3. Gültigkeitsbereich begründen: Zu einem plausiblen Modell mindestens zwei sachliche Grenzen seiner Anwendung nennen.
4. Gegenbeispiel konstruieren: Einen Wert finden, bei dem die Fortsetzung eines Modells unplausibel wird, und erklären, warum.
5. Darstellungen verknüpfen: Term, Tabelle, Graph und Sachtext zu einem Modell einander zuordnen und die Zusammenhänge erklären.
6. Digitale Prüfung: Einen digitalen Graphen oder KI-Vorschlag mit mindestens zwei eigenen Rechnungen und einer Sachprüfung kontrollieren.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. ein lineares Modell aus einer Sachsituation oder aus Daten entwickeln kannst,
2. $m$ und $b$ fachlich und mit Einheiten deutest,
3. Modellwerte und einfache Restabweichungen korrekt berechnest,
4. Daten, Term und Graph nachvollziehbar miteinander verknüpfst,
5. den Gültigkeitsbereich eines Modells begründet einschränkst,
6. ein Gegenbeispiel formulieren kannst,
7. digitale Ergebnisse kritisch prüfst,
8. Rechenweg, Darstellung und Begründung verständlich dokumentierst.

OERs zum Thema

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Verknüpfte Lernbereiche

Lineare Modelle Lineare Funktion Steigung y-Achsenabschnitt Koordinatensystem Wertetabelle Messdaten Restabweichung Modellierung Gültigkeitsbereich