M6 M - Rechengesetze für Rechenvorteile nutzen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

M6 M - Rechengesetze für Rechenvorteile nutzen

Zielgruppe: Klasse 6, M-Niveau

Leitidee: Du sollst Rechengesetze nicht nur benennen, sondern sie bewusst als Werkzeug einsetzen. Ziel ist, einen Term so umzuformen, dass eine Rechnung leichter, schneller und sicherer wird. Dabei begründest Du immer, welches Rechengesetz Du verwendest und wo der Rechenvorteil liegt.

Das kannst Du am Ende	Mathematisches Werkzeug	Rechenvorteil
Summanden oder Faktoren geschickt vertauschen	Kommutativgesetz	passende Zahlen liegen nebeneinander
Klammern bei Addition oder Multiplikation geschickt verschieben	Assoziativgesetz	leichte Zwischenergebnisse entstehen
Produkte zerlegen oder gemeinsame Faktoren ausklammern	Distributivgesetz	schwierige Produkte werden zu leichten Teilrechnungen
ungeeignete Umformungen erkennen	Gegenbeispiele zu Subtraktion und Division	typische Fehler werden vermieden

Einleitung

Beim geschickten Rechnen geht es nicht darum, mehr zu rechnen, sondern klüger zu ordnen. Ein Term darf umgeformt werden, wenn die Umformung durch ein Rechengesetz erlaubt ist. Ein gutes Ziel ist zum Beispiel eine volle Zehner-, Hunderter- oder Tausenderzahl.

Schon bei $48+27+52$ kannst Du einen Vorteil sehen:

$48+27+52=48+52+27=100+27=127$.

Statt zuerst $48+27$ zu berechnen, werden $48$ und $52$ zusammengebracht. Das Ergebnis bleibt gleich, aber die Rechnung wird leichter.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Das Video von MathemaTrick behandelt Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz mit Rechenbeispielen. Es ist kein Sofatutor-Inhalt.

Die drei Rechengesetze auf einen Blick

Gesetz	Formel	Merksatz	Typischer Rechenvorteil
Kommutativgesetz Vertauschungsgesetz	$a+b=b+a$ $a\cdot b=b\cdot a$	Vertauschen ist erlaubt.	passende Zahlen nebeneinander stellen
Assoziativgesetz Verbindungsgesetz	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	Klammern dürfen bei gleicher Rechenart anders gesetzt werden.	zuerst eine besonders leichte Teilrechnung bilden
Distributivgesetz Verteilungsgesetz	$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$	Ein Faktor wird auf alle Teile in der Klammer verteilt.	schwierige Zahlen zerlegen oder gemeinsame Faktoren ausklammern

Wichtig: Subtraktion und Division sind im Allgemeinen weder kommutativ noch assoziativ. Zum Beispiel gilt $9-4\ne 4-9$ und $24:6\ne 6:24$.

Kommutativgesetz: geschickt vertauschen

Das Kommutativgesetz heißt auch Vertauschungsgesetz. Bei Addition und Multiplikation darfst Du die Reihenfolge vertauschen, ohne das Ergebnis zu ändern:

$a+b=b+a$

$a\cdot b=b\cdot a$

Punktefeld als Begründung

Freies Medium: Wikimedia Commons, Datei „CommutativeExample2.svg“, Lizenz siehe Dateiseite.

Beim Punktefeld zu $2\cdot 3$ und $3\cdot 2$ ändert sich nur die Blickrichtung: Zwei Reihen mit je drei Punkten enthalten genauso viele Punkte wie drei Reihen mit je zwei Punkten.

$2\cdot 3=6=3\cdot 2$

Das Bild zeigt also nicht nur eine Regel, sondern warum Vertauschen bei der Multiplikation funktioniert.

Rechenvorteil bei Summen

Betrachte $38+47+62$.

Schritt	Rechnung	Warum ist das geschickt?
1	$38+47+62=38+62+47$	Mit dem Kommutativgesetz wird $62$ neben $38$ gestellt.
2	$38+62=100$	Eine volle Hunderterzahl entsteht.
3	$100+47=147$	Der Rest ist leicht.

Rechenvorteil: Du erzeugst zuerst eine Zahl, mit der sich besonders einfach weiterrechnen lässt.

Rechenvorteil bei Produkten

$25\cdot 16=16\cdot 25$

Das Vertauschen allein löst die Aufgabe noch nicht. Es kann aber den nächsten günstigen Schritt vorbereiten:

$16\cdot 25=4\cdot 4\cdot 25=4\cdot (4\cdot 25)=4\cdot 100=400$.

Hier arbeiten Kommutativ- und Assoziativgesetz zusammen.

Interaktives Punktefeld

Verschiebe in der GeoGebra-Aktivität die Regler und beobachte, was sich beim Vertauschen der Faktoren ändert – und was gleich bleibt.

Forscherauftrag: Stelle nacheinander $3\cdot 7$, $4\cdot 9$ und $6\cdot 8$ ein. Tausche jeweils die Faktoren. Formuliere anschließend einen Satz darüber, was mit dem Punktefeld geschieht.

Assoziativgesetz: geschickt verbinden

Das Assoziativgesetz heißt auch Verbindungsgesetz. Wenn nur addiert oder nur multipliziert wird, darfst Du die Klammerung verändern:

$(a+b)+c=a+(b+c)$

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Freies Medium: Wikimedia Commons, Datei „AssociativeExampleAddition.svg“, Lizenz siehe Dateiseite.

Rechenbaum: zwei Wege, gleiches Ergebnis

Für $25+37+75$ kannst Du zwei Rechenwege vergleichen.

Ausgang	Rechenweg A	Rechenweg B mit Vorteil
$25+37+75$	$(25+37)+75$	$37+(25+75)$
nächster Knoten	$62+75$	$37+100$
Ergebnis	$137$	$137$
Bewertung	korrekt, aber unbequemer	korrekt und kopfrechenfreundlich

Im günstigen Weg wurde zunächst mit dem Kommutativgesetz $37$ nach vorne gestellt und dann mit dem Assoziativgesetz $25+75$ verbunden.

Rechenvorteil: $25+75=100$ ist sofort überschaubar.

Produkt clever gruppieren

$8\cdot 37\cdot 125$

Direkt von links: $8\cdot 37=296$, danach wäre $296\cdot 125$ nötig.

Geschickt: $8\cdot 37\cdot 125=37\cdot 8\cdot 125=37\cdot (8\cdot 125)=37\cdot 1000=37000$.

Rechenvorteil: Das Produkt $8\cdot 125=1000$ ist besonders einfach.

Interaktives Modell zur Klammerung

Beobachtungsauftrag: Verändere die Gruppierung. Erkläre, warum die Klammern die Reihenfolge der Teilrechnungen, aber nicht das Endergebnis verändern.

Distributivgesetz: zerlegen und zusammenfassen

Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion.

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$

Die Umkehrung ist ebenso wichtig:

$a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)$.

Flächenmodell

Freies Medium: Wikimedia Commons, Datei „Illustration of distributive property with rectangles.svg“, CC0; weitere Angaben auf der Dateiseite.

Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b+c$ hat die Fläche

$a\cdot (b+c)$.

Teilst Du es in zwei Rechtecke, entstehen die Flächen

$a\cdot b$ und $a\cdot c$.

Zusammen ergibt das

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Das Flächenmodell macht sichtbar, warum das Distributivgesetz stimmt.

Rechenvorteil durch Zerlegen

Beispiel: $19\cdot 46$.

Die $19$ liegt nahe bei $20$. Deshalb ist

$19\cdot 46=(20-1)\cdot 46$.

Mit dem Distributivgesetz:

$(20-1)\cdot 46=20\cdot 46-1\cdot 46=920-46=874$.

Rechenvorteil: Mit $20$ zu multiplizieren ist leichter als mit $19$.

Ein zweites Beispiel:

$7\cdot 103=7\cdot (100+3)=700+21=721$.

Rechenvorteil durch Ausklammern

Manchmal ist die umgekehrte Richtung geschickter:

$25\cdot 48+25\cdot 52$

Beide Produkte enthalten den Faktor $25$. Daher:

$25\cdot 48+25\cdot 52=25\cdot (48+52)=25\cdot 100=2500$.

Rechenvorteil: Zwei Multiplikationen werden zu einer Multiplikation mit $100$.

Dynamisches Flächenmodell

Die Aktivität „Verteilungsgesetz: Umfang“ ist für die Schulstufe 5–6 ausgelegt und verbindet zwei rechnerisch gleichwertige Darstellungen.

Entdeckerauftrag: Suche zwei verschiedene Zahlenpaare $a$ und $b$, für die Du den Umfang sowohl als $2a+2b$ als auch als $2(a+b)$ berechnest. Vergleiche die Zahl der Rechenschritte.

Zweites dynamisches Flächenmodell

Verändere die Rechteckseiten. Beobachte, wie sich $a(b+c)$, $ab$ und $ac$ gemeinsam verändern.

Zahlengerade: Rechenwege sichtbar machen

Bei der Addition kannst Du die Reihenfolge der Sprünge vertauschen. Der Endpunkt bleibt gleich.

Freies Medium: Wikimedia Commons, Datei „Number line with addition of 1 and 2.svg“, Lizenz siehe Dateiseite.

Für $1+2$ gehst Du zuerst um $1$ und dann um $2$ Einheiten nach rechts. Bei $2+1$ vertauschst Du die Sprünge. In beiden Fällen landest Du bei $3$.

$1+2=2+1=3$.

Dynamische Zahlengerade

Strategieauftrag: Stelle Start- und Endwerte so ein, dass Du für $48+52$ einen Sprung zur $100$ darstellen kannst. Überlege anschließend, wie Du $48+27+52$ als geschickte Sprungfolge zeigen würdest.

Stellenwertmodell: Zahlen passend zerlegen

Das Distributivgesetz wird besonders anschaulich, wenn eine Zahl nach Stellenwerten zerlegt wird:

$326=300+20+6$.

Dann gilt

$4\cdot 326=4\cdot (300+20+6)$

und damit

$4\cdot 326=4\cdot 300+4\cdot 20+4\cdot 6$

$=1200+80+24=1304$.

Die Stellenwertzerlegung ist also kein neuer Trick, sondern eine Anwendung des Distributivgesetzes.

Interaktives Stellenwertmodell

Forscherauftrag: Stelle verschiedene Zahlen dar und schreibe sie als Summe ihrer Stellenwerte. Verwende anschließend die Zerlegung, um die Zahl mit $3$, $4$ oder $5$ zu multiplizieren.

Transfer auf Brüche

Auch bei Brüchen gelten Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz für Addition und Multiplikation. Zum Beispiel:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$

und

$3\cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=3\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \frac{1}{4}$.

Bevor Du mit Brüchen rechnest, kann eine bewegliche Darstellung helfen, die Größen zu vergleichen.

Transferauftrag: Lege $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{4}$ mit Bruchstreifen. Begründe am Modell, warum das Vertauschen der beiden Summanden die Gesamtmenge nicht ändert.

Strategievergleich: Welcher Weg ist besser?

Ein Rechenweg ist vorteilhaft, wenn er korrekt ist und die Zahlen so umformt, dass Du möglichst einfache Zwischenschritte erhältst.

Vergleich 1: Addition

$48+27+52$

Rechenweg A anzeigen

$(48+27)+52=75+52=127$

Rechenweg B anzeigen

$48+27+52=48+52+27=(48+52)+27=100+27=127$

Verwendet werden Kommutativ- und Assoziativgesetz. Der Vorteil ist die Zwischenzahl $100$.

Vergleich 2: Multiplikation

$24\cdot 25$

Strategie mit Zerlegen anzeigen

$24\cdot 25=(6\cdot 4)\cdot 25=6\cdot (4\cdot 25)=6\cdot 100=600$

Strategie mit Distributivgesetz anzeigen

$24\cdot 25=(20+4)\cdot 25=20\cdot 25+4\cdot 25=500+100=600$

Vergleich: Beide Wege sind richtig. Der erste Weg nutzt die besonders günstige Kombination $4\cdot 25=100$. Der zweite Weg zerlegt $24$ in leicht berechenbare Teile.

Vergleich 3: nahe an einer runden Zahl

$99\cdot 37$

Geschickten Rechenweg anzeigen

$99\cdot 37=(100-1)\cdot 37=3700-37=3663$

Rechenvorteil: Die Multiplikation mit $100$ ist sofort möglich.

Entscheidungsbaum: Welches Gesetz passt?

Frage an den Term	Wenn ja …	Beispiel
Möchtest Du nur die Reihenfolge von Summanden oder Faktoren ändern?	Nutze das Kommutativgesetz.	$35+68+65\to 35+65+68$
Möchtest Du nur anders klammern, weil ausschließlich addiert oder ausschließlich multipliziert wird?	Nutze das Assoziativgesetz.	$4\cdot (25\cdot 17)\to (4\cdot 25)\cdot 17$
Steht eine Multiplikation vor einer Summe oder Differenz?	Nutze das Distributivgesetz zum Zerlegen.	$7\cdot 98=7\cdot (100-2)$
Haben mehrere Summanden denselben Faktor?	Nutze das Distributivgesetz rückwärts zum Ausklammern.	$6\cdot 41+6\cdot 59=6(41+59)$
Enthält der Term Subtraktion oder Division und Du willst einfach vertauschen oder umklammern?	Prüfe besonders sorgfältig. Meist ist das nicht erlaubt.	$12-5\ne 5-12$

Fehlerdetektiv

Die drei Rechengesetze gelten nicht wahllos für jede Rechenart.

Behauptung	Prüfung	Urteil
$13-8=8-13$	$5\ne -5$	falsch
$(20-7)-3=20-(7-3)$	$10\ne 16$	falsch
$24:6=6:24$	$4\ne \frac{1}{4}$	falsch
$(48:8):2=48:(8:2)$	$3\ne 12$	falsch
$5(12+8)=5\cdot 12+5\cdot 8$	$100=60+40$	richtig

Merke: Ein Rechengesetz ist eine Erlaubnis zur Umformung. Ohne passende Regel darfst Du einen Term nicht einfach verändern.

Schritt-für-Schritt: drei Musterstrategien

Musterstrategie A: Ergänzen zu 100

$36+58+64$

1. $36+58+64=36+64+58$ – Kommutativgesetz.
2. $=(36+64)+58$ – Assoziativgesetz.
3. $=100+58$ – günstiges Zwischenergebnis.
4. $=158$.

Musterstrategie B: Faktor 125 nutzen

$16\cdot 125$

1. $16\cdot 125=(2\cdot 8)\cdot 125$.
2. $=2\cdot (8\cdot 125)$ – Assoziativgesetz.
3. $=2\cdot 1000$.
4. $=2000$.

Musterstrategie C: Nachbarzahl zerlegen

$49\cdot 23$

1. $49\cdot 23=(50-1)\cdot 23$.
2. $=50\cdot 23-1\cdot 23$ – Distributivgesetz.
3. $=1150-23$.
4. $=1127$.

Übungsatelier: Rechenvorteile erkennen

Berechne möglichst im Kopf und notiere neben jedem Rechenweg das verwendete Gesetz.

Aufgabe	Günstige Idee	Zielstruktur
$27+46+73$	$27+73$ zusammenbringen	$100+46$
$4\cdot 39\cdot 25$	$4\cdot 25$ zusammenbringen	$100\cdot 39$
$98\cdot 6$	$98=100-2$	$600-12$
$14\cdot 35+14\cdot 65$	$14$ ausklammern	$14(35+65)$
$8\cdot 125\cdot 9$	$8\cdot 125$ zuerst	$1000\cdot 9$
$32+19+68+81$	Paare zu $100$ bilden	$100+100$

Lösungen anzeigen

$27+46+73=146$
$4\cdot 39\cdot 25=3900$
$98\cdot 6=588$
$14\cdot 35+14\cdot 65=1400$
$8\cdot 125\cdot 9=9000$
$32+19+68+81=200$

Medienwerkstatt: selbst visualisieren

Mathematik wird verständlicher, wenn Du Rechenwege nicht nur schreibst, sondern sichtbar machst.

Darstellung	Geeignet für	Beispielauftrag
Punktefeld	Kommutativgesetz der Multiplikation	Zeichne $4\cdot 7$ und drehe die Anordnung gedanklich zu $7\cdot 4$.
Zahlengerade	Kommutativgesetz der Addition	Zeige die Sprungfolgen $3+5$ und $5+3$.
Rechenbaum	Assoziativgesetz	Stelle für $25+38+75$ einen ungünstigen und einen günstigen Baum gegenüber.
Flächenmodell	Distributivgesetz	Zerlege ein Rechteck $12\cdot 17$ in $12\cdot 10+12\cdot 7$.
Stellenwertmodell	Distributivgesetz	Zerlege $243$ in $200+40+3$ und multipliziere mit $4$.
Bruchstreifen	Transfer des Kommutativgesetzes	Lege $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$.

Weitere Lernvideos

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Lehrerschmidt erklärt in diesem Video den Umgang mit Termen und Rechenregeln. Nutze es als Wiederholung zu Termen und Reihenfolgeregeln.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welches Gesetz erlaubt bei einer Addition das Vertauschen der Summanden? (Kommutativgesetz) (!Assoziativgesetz) (!Distributivgesetz) (!Punkt-vor-Strich-Regel)

Welche Aussage beschreibt das Assoziativgesetz korrekt? (Die Klammerung bei einer reinen Addition darf verändert werden) (!Die Reihenfolge einer Subtraktion darf beliebig vertauscht werden) (!Addition wird in Multiplikation umgewandelt) (!Eine Klammer muss immer zuerst entfernt werden)

Welche Rechnung zeigt das Distributivgesetz? (7 mal 52 = 7 mal 50 plus 7 mal 2) (!7 plus 52 = 52 plus 7) (!7 mal 52 = 52 mal 7) (!7 mal 52 = 7 plus 52)

Warum ist 38 plus 62 plus 17 vorteilhaft umformbar? (38 und 62 ergeben zusammen 100) (!38 und 62 ergeben zusammen 90) (!17 muss immer zuerst gerechnet werden) (!Addition darf nicht umgestellt werden)

Welche Zwischenrechnung ist bei 8 mal 37 mal 125 besonders günstig? (8 mal 125) (!37 mal 125) (!8 plus 37) (!125 minus 37)

Welche Rechnung ist im Allgemeinen nicht durch das Kommutativgesetz erlaubt? (12 minus 5 = 5 minus 12) (!12 plus 5 = 5 plus 12) (!12 mal 5 = 5 mal 12) (!3 mal 7 = 7 mal 3)

Welche Zerlegung hilft bei 99 mal 24 am meisten? (99 = 100 minus 1) (!99 = 90 plus 9) (!24 = 12 plus 12) (!24 = 6 mal 4)

Was ist der Rechenvorteil bei 25 mal 48 plus 25 mal 52? (25 kann ausgeklammert werden und 48 plus 52 ergibt 100) (!25 muss zweimal neu berechnet werden) (!48 und 52 müssen voneinander abgezogen werden) (!Die Faktoren dürfen nicht verändert werden)

Welche Aussage über das Assoziativgesetz ist richtig? (Bei reiner Addition oder reiner Multiplikation darf die Klammerung verändert werden) (!Bei jeder Subtraktion darf die Klammerung beliebig verändert werden) (!Bei jeder Division darf die Klammerung beliebig verändert werden) (!Es erlaubt nur das Vertauschen zweier Zahlen)

Welche Rechnung ist für 19 mal 46 besonders geschickt? (20 mal 46 minus 46) (!19 plus 46) (!46 minus 19) (!20 mal 46 plus 46)

Memory

Kommutativgesetz	Vertauschungsgesetz
Assoziativgesetz	Verbindungsgesetz
Distributivgesetz	Verteilungsgesetz
Punktefeld	Faktoren vertauschen
Flächenmodell	Produkt zerlegen
Runde Zahl	Rechenvorteil
Ausklammern	gemeinsamen Faktor herausziehen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Vertauschungsgesetz	Reihenfolge von Summanden oder Faktoren ändern
Verbindungsgesetz	Klammern bei gleicher Rechenart neu setzen
Verteilungsgesetz	einen Faktor auf eine Summe oder Differenz verteilen
Ausklammern	einen gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen
Rechenvorteil	eine besonders einfache Zwischenrechnung erzeugen

Kreuzworträtsel

Kommutativ	Welches Gesetz beschreibt das Vertauschen von Summanden oder Faktoren?
Assoziativ	Welches Gesetz erlaubt das Umgruppieren bei Addition oder Multiplikation?
Distributiv	Welches Gesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion?
Klammer	Welches Zeichen zeigt an, welche Teilrechnung zusammengehört?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Summand	Wie heißt eine Zahl, die bei einer Addition hinzugefügt wird?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Das Kommutativgesetz heißt auch .

Bei einer Addition darf die Reihenfolge der vertauscht werden.

Bei einer Multiplikation darf die Reihenfolge der vertauscht werden.

Das Assoziativgesetz heißt auch .

Beim Assoziativgesetz darf die bei reiner Addition oder reiner Multiplikation verändert werden.

Das Distributivgesetz heißt auch .

Mit dem Distributivgesetz kann ein Produkt in mehrere zerlegt werden.

Die Umkehrung des Distributivgesetzes nennt man häufig .

Bei 38 plus 62 entsteht als günstige Zwischenzahl .

Bei 8 mal 125 entsteht als günstige Zwischenzahl .

Subtraktion ist im Allgemeinen nicht .

Division ist im Allgemeinen nicht .

Ein guter Rechenweg erzeugt möglichst einfache .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Punktefeld drehen: Zeichne ein Punktefeld für $3\cdot 8$. Drehe Dein Blatt um 90 Grad und notiere die passende Tauschaufgabe. Erkläre in einem Satz, was gleich bleibt.
2. Sprünge vertauschen: Zeichne eine Zahlengerade und stelle $4+7$ sowie $7+4$ als Sprungfolgen dar. Markiere den gemeinsamen Endpunkt.
3. Hundert-Paare suchen: Erfinde fünf Additionsaufgaben mit drei Summanden, bei denen zwei Summanden zusammen $100$ ergeben. Tausche anschließend Deine Aufgaben mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde je eine falsche Umformung zur Subtraktion und zur Division. Lass eine andere Person erklären, warum die Umformung nicht erlaubt ist.

Standard

1. Zwei Rechenbäume: Erstelle zu $25+38+75$ einen ungünstigen und einen vorteilhaften Rechenbaum. Beschrifte jeden Umbau mit dem verwendeten Gesetz.
2. Flächenmodell bauen: Zeichne auf kariertem Papier ein Rechteck für $14\cdot 18$. Zerlege es auf zwei verschiedene Arten und notiere jeweils den passenden distributiven Term.
3. Strategiekarten: Gestalte drei Strategiekarten zu „Vertauschen“, „Verbinden“ und „Verteilen“. Jede Karte soll eine Formel, ein Zahlenbeispiel und einen Rechenvorteil enthalten.
4. Mathe-Interview: Befrage zwei Personen, welche Kopfrechentricks sie bei $99\cdot 27$, $48+52+19$ und $8\cdot 125\cdot 6$ verwenden. Ordne die Tricks den Rechengesetzen zu.

Schwer

1. Strategien bewerten: Finde für $48\cdot 25$ mindestens drei korrekte Rechenwege. Vergleiche sie nach Anzahl und Schwierigkeit der Zwischenschritte und begründe Deinen Favoriten.
2. Eigene Knobelaufgabe: Erfinde einen Term mit mindestens vier Zahlen, bei dem Ausklammern zu einer vollen Hunderter- oder Tausenderzahl führt. Gib zusätzlich einen weniger günstigen Lösungsweg an.
3. Erklärvideo produzieren: Produziere ein 60- bis 90-sekündiges Video zum Thema „Warum $a(b+c)=ab+ac$?“. Nutze ein selbst gezeichnetes Flächenmodell und erkläre den Rechenvorteil an einem Zahlenbeispiel.
4. Strategie-Spiel entwickeln: Entwickle ein Kartenspiel mit mindestens zwölf Termkarten. Zu jeder Karte muss entschieden werden, welches Rechengesetz am schnellsten zu einem Rechenvorteil führt. Teste das Spiel mit Mitschülerinnen und Mitschülern und verbessere unklare Karten.

Lernkontrolle

1. Strategie begründen: Berechne $36+49+64+51$ möglichst geschickt. Beschreibe nicht nur die Rechnung, sondern begründe, warum Deine Reihenfolge vorteilhaft ist.
2. Gesetze kombinieren: Vereinfache $8\cdot 37\cdot 125$. Markiere, an welcher Stelle Du das Kommutativgesetz und an welcher Stelle Du das Assoziativgesetz nutzt.
3. Nachbarzahl nutzen: Berechne $49\cdot 68$ ohne schriftliche Multiplikation. Entwickle einen Weg mit dem Distributivgesetz und erkläre, warum $50$ eine günstige Nachbarzahl ist.
4. Struktur erkennen: Vergleiche $17\cdot 42+17\cdot 58$ mit $17\cdot (42+58)$. Begründe mithilfe eines Flächenmodells, warum beide Terme denselben Wert haben.
5. Fehler erklären: Eine Schülerin schreibt $30-(18-8)=(30-18)-8$. Prüfe beide Seiten und erkläre, welches Rechengesetz hier fälschlich angenommen wurde.
6. Neue Situation: Ein Rechteck ist $23$ cm lang und $18$ cm breit. Zeige zwei verschiedene distributive Zerlegungen zur Flächenberechnung und entscheide, welcher Weg für Dich im Kopf leichter ist.
7. Effizienz beurteilen: Zwei Lernende berechnen $25\cdot 64$. Person A rechnet $25\cdot 60+25\cdot 4$, Person B rechnet $(25\cdot 4)\cdot 16$. Prüfe beide Wege und bewerte ihren Rechenvorteil.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du Rechengesetze anwenden, begründen und vergleichen kannst.

1. Du erkennst, wann das Kommutativgesetz bei Addition und Multiplikation anwendbar ist.
2. Du nutzt das Assoziativgesetz, um günstige Klammerungen zu bilden.
3. Du zerlegst Produkte mit dem Distributivgesetz und kannst auch ausklammern.
4. Du erklärst einen Rechenvorteil mit passenden Zwischenergebnissen wie $10$, $100$ oder $1000$.
5. Du kannst mindestens zwei Lösungswege zu einem Term vergleichen und ihre Effizienz begründen.
6. Du erkennst typische Fehlanwendungen bei Subtraktion und Division.
7. Du kannst einen Rechenweg mit Punktefeld, Zahlengerade, Rechenbaum, Stellenwert- oder Flächenmodell veranschaulichen.
8. Du verwendest mathematische Fachbegriffe wie Summand, Faktor, Produkt, Klammerung, Ausmultiplizieren und Ausklammern korrekt.

OERs zum Thema

Wikipedia: Kommutativgesetz

Wikipedia: Assoziativgesetz

Wikipedia: Distributivgesetz

Freie und interaktive Medienquellen

1. Wikimedia Commons – Punktefeld zum Kommutativgesetz: freie Grafik; Lizenzangaben stehen auf der Dateiseite.
2. Wikimedia Commons – Assoziativgesetz der Addition: freie Grafik; Lizenzangaben stehen auf der Dateiseite.
3. Wikimedia Commons – Flächenmodell zum Distributivgesetz: CC0-Grafik.
4. Wikimedia Commons – Addition auf der Zahlengeraden: freie Grafik; Lizenzangaben stehen auf der Dateiseite.
5. GeoGebra – Multiplicative Commutativity: interaktives Punktefeld.
6. GeoGebra – Associative Property of Multiplication Using Models: interaktives Modell zur Klammerung.
7. GeoGebra – Verteilungsgesetz: Umfang: geprüftes Material für Schulstufe 5–6.
8. GeoGebra – Number Line: dynamische Zahlengerade.
9. GeoGebra – Fraction bars: bewegliche Bruchstreifen.

Verknüpfte Lernbereiche

Rechengesetze Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Kopfrechnen Rechenstrategien Term Klammerrechnung Punkt-vor-Strich-Rechnung Grundrechenarten Natürliche Zahlen Bruchrechnung