M6 M - Punktsymmetrie entdecken

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

Was passiert mit einer Figur, wenn Du sie um genau $180^{\circ }$ drehst? Manche Figuren sehen danach exakt so aus wie vorher. Andere landen zwar an einer neuen Stelle, aber jeder Punkt hat einen ganz bestimmten Partnerpunkt. Genau darum geht es bei der Punktsymmetrie und der Punktspiegelung.

In diesem aiMOOC lernst Du auf M‑Niveau für Klasse 6,

1. Punktsymmetrie zu erkennen,
2. Symmetriezentren zu bestimmen,
3. Punkte und Figuren an einem Zentrum zu spiegeln,
4. eine Punktspiegelung als Drehung um $180^{\circ }$ zu verstehen,
5. Deine Konstruktionen durch Abstände, Geraden und Drehungen zu überprüfen,
6. mit dynamischer Geometrie Vermutungen zu testen und zu begründen.

Freies Medium von Wikimedia Commons: Animation der Symmetrien eines Quadrats, CC0. Beobachte besonders die Drehung um $180^{\circ }$.

Lernidee: Erst sehen, dann prüfen, dann konstruieren

Bei Punktsymmetrie arbeitest Du immer mit drei Blickrichtungen:

Blick	Leitfrage	Mathematische Idee
Drehblick	Passt die Figur nach einer halben Drehung wieder genau auf sich?	$180^{\circ }$-Drehung
Mittelpunktblick	Liegt das Zentrum genau zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt?	$|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$
Geradenblick	Liegen Punkt, Zentrum und Bildpunkt auf einer Geraden?	$P-Z-P^{\prime }$

Punktsymmetrie entdecken

Die Halb-Drehung als Schlüssel

Eine ebene Figur heißt punktsymmetrisch zu einem Punkt $Z$, wenn sie nach einer Drehung um $180^{\circ }$ um $Z$ wieder genau auf sich selbst passt.

Die Drehung um $180^{\circ }$ ist eine halbe Umdrehung:

$360^{\circ }:2=180^{\circ }$

Visuell kannst Du Dir die Drehung so vorstellen:

Start	Vierteldrehung	Halbdrehung	Dreivierteldrehung	Ganze Drehung
$0^{\circ }$	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$
Ausgangslage	noch nicht entscheidend	Test auf Punktsymmetrie	noch nicht entscheidend	Ausgangslage

Freies Medium von Wikimedia Commons: Drehung eines Quadrats um $180^{\circ }$, CC BY 3.0.

Merksatz:

Punktsymmetrie in der Ebene ⇔ Deckung nach einer Drehung um 180^°

Dreh-Test zum Selbermachen

Nimm ein Blatt Transparentpapier oder lege ein zweites Blatt über eine gezeichnete Figur.

1. Markiere einen vermuteten Mittelpunkt $Z$.
2. Übertrage die Figur auf das obere Blatt.
3. Halte bei $Z$ fest.
4. Drehe das obere Blatt um eine halbe Umdrehung.
5. Prüfe, ob alle Linien und Ecken wieder genau auf der ursprünglichen Figur liegen.

Ergebnis: Passt die gesamte Figur nach der Drehung um $180^{\circ }$ auf sich selbst, ist sie punktsymmetrisch zum Drehzentrum $Z$.

Freies Medium von Wikimedia Commons: rotierendes Quadrat, CC BY-SA 3.0. Achte darauf, wann das Quadrat wieder deckungsgleich erscheint.

Beispiele und Gegenbeispiele

Figur	Punktsymmetrisch?	Mögliches Symmetriezentrum	Begründung mit $180^{\circ }$
Parallelogramm	Ja	Schnittpunkt der Diagonalen	Gegenüberliegende Ecken tauschen ihre Plätze.
Rechteck	Ja	Schnittpunkt der Diagonalen	Nach $180^{\circ }$ liegt jede Seite auf der gegenüberliegenden Seite.
Quadrat	Ja	Mittelpunkt	Das Quadrat passt nach $180^{\circ }$ wieder auf sich.
Raute	Ja	Schnittpunkt der Diagonalen	Gegenüberliegende Ecken werden vertauscht.
Kreis	Ja	Kreismittelpunkt	Jeder Randpunkt erhält einen gegenüberliegenden Partnerpunkt.
gleichseitiges Dreieck	Nein	keines	Nach $180^{\circ }$ passt es nicht auf sich.
allgemeines Dreieck	Nein	keines	Drei Ecken können nicht paarweise gegenüberliegen.

Entdeckerfrage: Was haben Rechteck, Quadrat, Raute und Parallelogramm gemeinsam?

Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch.

Symmetriezentrum verstehen

Was ist das Symmetriezentrum?

Das Symmetriezentrum ist der Punkt, um den Du die Figur um $180^{\circ }$ drehen kannst, sodass sie wieder auf sich selbst passt.

Bei einer Punktspiegelung gehört zu einem Punkt $P$ ein Bildpunkt $P^{\prime }$. Das Zentrum $Z$ liegt genau in der Mitte zwischen beiden.

$|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$

und gleichzeitig gilt:

$P,Z,P^{\prime }\text{ liegen auf einer Geraden.}$

Freies Medium von Wikimedia Commons: Darstellung einer Punktspiegelung, CC BY 4.0, Urheber Kmhkmh.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Regel

Schritt	Was Du tust	Was mathematisch gelten muss
1	Verbinde den Punkt $P$ mit dem Zentrum $Z$.	Gerade durch $P$ und $Z$
2	Verlängere die Gerade über $Z$ hinaus.	$P-Z-P^{\prime }$
3	Miss oder übertrage den Abstand $|PZ|$.	$|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$
4	Markiere den Bildpunkt $P^{\prime }$.	$Z$ ist Mittelpunkt von $\overline{P{P}^{\prime }}$
5	Kontrolliere mit einer Drehung um $180^{\circ }$.	$P\mapsto P^{\prime }$

Kurzform:

$P⟶Z⟶P^{\prime }\text{und}|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$

Das Zentrum aus zwei Partnerpunkten finden

Sind $P$ und $P^{\prime }$ bereits bekannt, ist das Symmetriezentrum besonders einfach zu bestimmen:

$Z=\text{Mittelpunkt der Strecke }\overline{P{P}^{\prime }}$

Du kannst also:

1. $P$ mit $P^{\prime }$ verbinden,
2. die Strecke $\overline{P{P}^{\prime }}$ halbieren,
3. den Mittelpunkt als $Z$ markieren.

Kontrolle:

$|PZ|\stackrel{?}{=}|Z{P}^{\prime }|$

Wenn die beiden Strecken gleich lang sind, hast Du einen starken Hinweis auf das richtige Zentrum.

Symmetriezentrum einer Figur bestimmen

Bei einer ganzen Figur brauchst Du mindestens zwei passende Paare von Punkten.

Beispiel: Ein Viereck $ABCD$ soll punktsymmetrisch sein.

Bei einer Drehung um $180^{\circ }$ können die Partner so aussehen:

$A\leftrightarrow C$

$B\leftrightarrow D$

Dann muss das Zentrum $Z$ gleichzeitig der Mittelpunkt von $\overline{AC}$ und von $\overline{BD}$ sein.

Für ein Parallelogramm gilt deshalb:

$Z=\overline{AC}\cap \overline{BD}$

Der Schnittpunkt der Diagonalen ist das Symmetriezentrum.

Punktspiegelung durchführen

Einen einzelnen Punkt spiegeln

Gegeben sind ein Zentrum $Z$ und ein Punkt $A$.

Gesucht ist $A^{\prime }$.

Konstruktionsweg:

Phase	Konstruktion	Prüffrage
Gerade	Zeichne die Gerade durch $A$ und $Z$.	Liegt später auch $A^{\prime }$ auf dieser Geraden?
Abstand	Bestimme die Länge $|AZ|$.	Wie weit liegt $A$ vom Zentrum entfernt?
Übertragen	Trage dieselbe Länge auf der anderen Seite von $Z$ ab.	Gilt $|AZ|=|Z{A}^{\prime }|$?
Markieren	Der neue Punkt ist $A^{\prime }$.	Ist $Z$ Mittelpunkt von $\overline{A{A}^{\prime }}$?

$A\stackrel{\text{Punktspiegelung an }Z}{\to }{A}^{\prime }$

Eine Figur spiegeln

Bei einer Figur spiegelst Du jeden wichtigen Eckpunkt einzeln.

Für ein Dreieck $ABC$:

$A\mapsto A^{\prime }$

$B\mapsto B^{\prime }$

$C\mapsto C^{\prime }$

Danach verbindest Du die Bildpunkte in derselben Reihenfolge:

$A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Die Punktspiegelung ist eine Kongruenzabbildung. Das bedeutet: Längen und Winkel bleiben erhalten.

$|AB|=|A^{\prime }{B}^{\prime }|$

$|BC|=|B^{\prime }{C}^{\prime }|$

$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Wichtig: Die Figur wird nicht größer und nicht kleiner. Sie wird nur um das Zentrum herum auf die gegenüberliegende Seite abgebildet.

Punktspiegelung im Karogitter

Im Karogitter kannst Du ohne Zirkel arbeiten, wenn Du Kästchen zählst.

Beispiel:

Vom Zentrum $Z$ aus liegt $A$

$3\text{ Kästchen nach rechts und }2\text{ Kästchen nach oben.}$

Dann liegt der Bildpunkt $A^{\prime }$

$3\text{ Kästchen nach links und }2\text{ Kästchen nach unten.}$

Als Bewegungsregel:

$(+3,+2)⟶(-3,-2)$

oder allgemein:

$(\Delta x,\Delta y)⟶(-\Delta x,-\Delta y)$

Koordinaten als M-Niveau-Erweiterung

Liegt das Symmetriezentrum im Ursprung

$Z=(0|0),$

dann wird

$P=(x|y)$

zu

$P^{\prime }=(-x|-y).$

Beispiel:

$P=(4|-2)$

wird zu

$P^{\prime }=(-4|2).$

Denn beide Koordinaten wechseln ihr Vorzeichen.

Liegt das Zentrum bei

$Z=(a|b),$

dann gilt als Erweiterung:

$P^{\prime }=(2a-x|2b-y)$

Für Klasse 6 musst Du diese Formel nicht auswendig lernen. Wichtiger ist, dass Du verstehst:

$Z\text{ ist der Mittelpunkt von }P\text{ und }{P}^{\prime }.$

Punktspiegelung und $180^{\circ }$-Drehung

Zwei Beschreibungen – dieselbe Abbildung

In der Ebene ist eine Punktspiegelung genau dasselbe wie eine Drehung um $180^{\circ }$ um das Spiegelzentrum.

$\text{Punktspiegelung an }Z=\text{Drehung um }180^{\circ }\text{ um }Z$

Das erklärt, warum

1. der Abstand zum Zentrum gleich bleibt,
2. jeder Punkt auf die gegenüberliegende Seite gelangt,
3. Längen erhalten bleiben,
4. Winkel erhalten bleiben,
5. eine punktsymmetrische Figur nach $180^{\circ }$ wieder gleich aussieht.

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Video: StrandMathe, „Drehung und Punktspiegelung || Klasse 6 ★ Wissen“. Nutze das Video besonders, um die Verbindung zwischen Drehung und Punktspiegelung nachzuvollziehen.

Alltagsblick: Wo kann Punktsymmetrie auftauchen?

Punktsymmetrie begegnet Dir zum Beispiel bei

1. bestimmten Logos und Mustern,
2. Spielfiguren und Spielkartenmotiven,
3. Fliesenmustern,
4. Buchstaben oder Zeichen in bestimmten Schriftarten,
5. technischen Bauteilen,
6. Ornamenten und grafischen Mustern.

Freies Medium von Wikimedia Commons: animiertes Ambigramm mit $180^{\circ }$-Drehsymmetrie, CC BY-SA 4.0.

Forscherfrage: Warum reicht es nicht, nur einen kleinen Teil einer Figur zu betrachten? Weil bei Punktsymmetrie die gesamte Figur nach der Drehung um $180^{\circ }$ auf sich selbst passen muss.

Dynamische Geometrie

GeoGebra: Punktsymmetrie erkennen

Bewege Punkte und untersuche, welche Formen wirklich punktsymmetrisch sind.

Arbeitsauftrag:

1. Vermute zuerst, welche Figuren punktsymmetrisch sind.
2. Markiere Dein vermutetes Zentrum.
3. Prüfe mit der dynamischen Darstellung.
4. Notiere bei zwei Figuren, woran Du das Symmetriezentrum erkannt hast.

GeoGebra: Punktspiegelung entdecken

Beobachte beim Verschieben des Ausgangspunktes:

$|PZ|\stackrel{?}{=}|Z{P}^{\prime }|$

und

$P,Z,P^{\prime }\stackrel{?}{\text{ liegen auf einer Geraden}}$

Entdeckerauftrag: Verschiebe das Zentrum $Z$. Was verändert sich? Was bleibt gleich?

GeoGebra: Punktspiegelung üben und konstruieren

Das Material enthält Übungen zum Erkennen und Ausführen von Punktspiegelungen.

Bearbeite mindestens drei Varianten:

1. Punktspiegelung erkennen,
2. einen Punkt spiegeln,
3. eine Figur spiegeln.

Erkläre danach in eigenen Worten:

Warum ist eine Punktspiegelung eine 180^°-Drehung?

Visuelle Lernstrecke

Von Punkt zu Bildpunkt

Schritt	Bild im Kopf
Startpunkt	$P$ liegt auf einer Seite von $Z$.
Verbindung	Zeichne $\overline{PZ}$ und verlängere die Gerade.
Abstand spiegeln	Trage hinter $Z$ genau $|PZ|$ ab.
Bildpunkt	Markiere $P^{\prime }$.
Kontrolle	Prüfe $|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$ und $P-Z-P^{\prime }$.

Von Figur zu Bildfigur

Beispiel mit einem Viereck:

$A\to A^{\prime }$

$B\to B^{\prime }$

$C\to C^{\prime }$

$D\to D^{\prime }$

Anschließend:

$A^{\prime }\to B^{\prime }\to C^{\prime }\to D^{\prime }\to A^{\prime }$

Kontrollidee: Lege gedanklich eine halbe Drehung um $Z$ über die Konstruktion.

Typische Fehler

Fehlerdetektiv

Fehler	Warum falsch?	Korrektur
Bildpunkt liegt nicht auf derselben Geraden wie Punkt und Zentrum.	Dann ist es keine Punktspiegelung.	Zeichne zuerst die Gerade $PZ$.
Die Abstände zum Zentrum sind verschieden.	Das Zentrum ist dann nicht der Mittelpunkt.	Prüfe $|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$.
Nur ein Eckpunkt einer Figur wird gespiegelt.	Die Bildfigur ist unvollständig.	Spiegle jeden Eckpunkt.
Die Punkte werden in falscher Reihenfolge verbunden.	Es entsteht eine andere Figur.	Verbinde die Bildpunkte in derselben Umlaufrichtung.
$90^{\circ }$ wird mit Punktsymmetrie verwechselt.	Punktsymmetrie entspricht einer halben Drehung.	Prüfe immer $180^{\circ }$.
Eine achsensymmetrische Figur wird automatisch für punktsymmetrisch gehalten.	Achsen- und Punktsymmetrie sind unterschiedliche Eigenschaften.	Führe den $180^{\circ }$-Test durch.

Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie?

Unterschiede vergleichen

Merkmal	Achsensymmetrie	Punktsymmetrie
Symmetrieelement	Gerade	Punkt
Grundidee	Spiegeln an einer Achse	Spiegeln an einem Punkt
Dreh-Test	nicht das entscheidende Kriterium	Drehung um $180^{\circ }$
Lage von Punkt und Bildpunkt	auf einer Senkrechten zur Achse	mit dem Zentrum auf einer Geraden
Mittelpunktbeziehung	Achse halbiert senkrecht die Verbindungsstrecke	Zentrum halbiert die Verbindungsstrecke

Freies Commons-Medium zur Achsensymmetrie. Nutze es bewusst als Gegenbeispiel: Eine Spiegelachse ist etwas anderes als ein Symmetriezentrum.

Mini-Labor: Figuren prüfen

Welche Figuren bestehen den $180^{\circ }$-Test?

Zeichne oder bastle folgende Figuren und drehe sie um einen markierten Mittelpunkt:

Figur	Vermutung vor dem Test	Ergebnis nach $180^{\circ }$	Symmetriezentrum
Quadrat	?	punktsymmetrisch	Mittelpunkt
Rechteck	?	punktsymmetrisch	Diagonalenschnittpunkt
Parallelogramm	?	punktsymmetrisch	Diagonalenschnittpunkt
gleichseitiges Dreieck	?	nicht punktsymmetrisch	keines
regelmäßiges Sechseck	?	punktsymmetrisch	Mittelpunkt

Muster entdecken: Ein regelmäßiges Vieleck mit gerader Eckenzahl ist punktsymmetrisch.

Beispiele:

$n=4,6,8,10,\dots$

Bei ungerader Eckenzahl wie

$n=3,5,7,\dots$

passt eine Drehung um $180^{\circ }$ nicht wieder auf die Ausgangsfigur.

Mathematischer Werkzeugkasten

Merksätze kompakt

Werkzeug	Regel
Punktsymmetrie erkennen	Die Figur passt nach einer Drehung um $180^{\circ }$ auf sich selbst.
Punkt spiegeln	$P-Z-P^{\prime }$ und $|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$
Zentrum finden	$Z$ ist Mittelpunkt zwischen zugehörigen Punkten.
Figur spiegeln	Jeden Eckpunkt einzeln spiegeln, danach die Bildpunkte verbinden.
Koordinaten am Ursprung	$(x|y)\mapsto (-x|-y)$
Kontrolle	Dreh-Test und Abstandstest verwenden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist eine ebene Figur punktsymmetrisch? (Wenn sie nach einer Drehung um 180 Grad um ein Zentrum wieder auf sich selbst passt) (!Wenn sie nach einer Drehung um 90 Grad immer gleich aussieht) (!Wenn sie mindestens eine waagerechte Seite hat) (!Wenn alle Seiten gleich lang sind)

Welche Aussage gilt bei einer Punktspiegelung von P an Z zu P Strich? (Z liegt genau in der Mitte zwischen P und P Strich) (!P liegt genau in der Mitte zwischen Z und P Strich) (!P und P Strich müssen auf verschiedenen Geraden liegen) (!Die Abstände zu Z müssen verschieden sein)

Welcher Drehwinkel entspricht in der Ebene einer Punktspiegelung? (180 Grad) (!45 Grad) (!90 Grad) (!360 Grad)

Wo liegt das Symmetriezentrum eines Parallelogramms? (Im Schnittpunkt seiner Diagonalen) (!In einer beliebigen Ecke) (!In der Mitte einer beliebigen Seite) (!Außerhalb der Figur)

Welche Figur ist immer punktsymmetrisch? (Ein Rechteck) (!Ein beliebiges Dreieck) (!Ein gleichschenkliges Dreieck) (!Ein regelmäßiges Fünfeck)

Was bleibt bei einer Punktspiegelung erhalten? (Längen und Winkel) (!Nur die Farbe einer Figur) (!Nur waagerechte Strecken) (!Die Lage jedes Punktes)

Was ist der erste sinnvolle Schritt beim Spiegeln eines Punktes an einem Zentrum? (Eine Gerade durch Punkt und Zentrum zeichnen) (!Eine beliebige Senkrechte zeichnen) (!Den Punkt um 90 Grad drehen) (!Die Figur vergrößern)

Wie wird der Punkt mit den Koordinaten 4 und minus 2 am Ursprung punktgespiegelt? (Zu minus 4 und 2) (!Zu 4 und 2) (!Zu minus 4 und minus 2) (!Zu 2 und minus 4)

Welche Aussage hilft beim Finden eines Symmetriezentrums? (Es ist Mittelpunkt zwischen passenden Punktpaaren) (!Es liegt immer auf dem Rand der Figur) (!Es ist immer eine Ecke) (!Es liegt immer außerhalb)

Warum ist ein allgemeines Dreieck nicht punktsymmetrisch? (Es passt nach einer Drehung um 180 Grad nicht wieder auf sich selbst) (!Es besitzt genau drei Seiten) (!Es kann keine Winkel haben) (!Es lässt sich nicht zeichnen)

Memory

Punktspiegelung	Drehung um 180 Grad
Symmetriezentrum	Mittelpunkt zwischen Partnerpunkten
Parallelogramm	Diagonalenschnittpunkt
Bildpunkt	gespiegelter Punkt
Kongruenzabbildung	Längen und Winkel bleiben erhalten
Dreh-Test	Figur nach halber Umdrehung prüfen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Halbdrehung	Punktsymmetrie erkennen
Mittelpunkt	Symmetriezentrum bestimmen
Gerade durch Zentrum	Punkt und Bildpunkt ausrichten
Gleicher Abstand	Punktspiegelung kontrollieren
Bildpunkte verbinden	Bildfigur fertigstellen

...

Kreuzworträtsel

Zentrum	Wie heißt der Punkt, um den bei Punktsymmetrie um 180 Grad gedreht wird?
Drehung	Welche Bewegung um 180 Grad beschreibt die Punktspiegelung in der Ebene?
Mittelpunkt	Welche besondere Lage hat das Zentrum auf der Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt?
Parallelogramm	Welches allgemeine Viereck ist immer punktsymmetrisch?
Bildpunkt	Wie heißt der Punkt, der bei der Spiegelung aus einem Ausgangspunkt entsteht?
Kongruenz	Welcher Begriff beschreibt Gleichheit von Form und Größe?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine ebene Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um wieder auf sich selbst passt. Der feste Punkt dieser Drehung heißt . Bei der Spiegelung eines Punktes liegt das Zentrum auf der zwischen Ausgangspunkt und Bildpunkt. Dabei ist der Abstand des Ausgangspunktes zum Zentrum wie der Abstand des Bildpunktes zum Zentrum. Das Zentrum ist also der der Strecke zwischen Punkt und Bildpunkt. Ein Parallelogramm ist immer . Sein Symmetriezentrum liegt im . Beim Spiegeln einer Figur müssen alle wichtigen einzeln gespiegelt werden. Im Koordinatensystem wird bei einer Punktspiegelung am Ursprung aus einem Punkt mit den Koordinaten x und y der Punkt mit den Koordinaten . Eine Punktspiegelung erhält Längen und .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Drehdetektiv: Zeichne fünf einfache Figuren auf Karopapier. Markiere bei jeder Figur, ob sie nach einer Drehung um $180^{\circ }$ wieder auf sich selbst passt.
2. Transparentpapier-Test: Übertrage ein Rechteck, ein Dreieck und ein selbst erfundenes Symbol auf Transparentpapier. Prüfe die Punktsymmetrie durch Drehen.
3. Symmetriezentrum markieren: Zeichne ein Quadrat, ein Rechteck und ein Parallelogramm. Bestimme jeweils das Symmetriezentrum und beschreibe, wie Du es gefunden hast.
4. Partnerpunkte finden: Wähle in einer punktsymmetrischen Figur vier Punkte und markiere zu jedem den Partnerpunkt nach der Drehung um $180^{\circ }$.

Standard

1. Punktspiegelung im Karogitter: Erfinde ein Vieleck auf Karopapier und spiegle es an einem selbst gewählten Zentrum. Dokumentiere jeden Eckpunkt mit Pfeilen.
2. Fehleranalyse Punktspiegelung: Zeichne absichtlich eine fehlerhafte Punktspiegelung. Tausche sie mit einer anderen Person und lasse den Fehler mithilfe von $|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$ finden.
3. Alltagssymmetrie: Fotografiere oder skizziere drei Alltagsmotive, die möglicherweise punktsymmetrisch sind. Prüfe sie mit dem $180^{\circ }$-Test und begründe Deine Entscheidung.
4. GeoGebra-Forschung: Erstelle in GeoGebra eine Figur, einen Punkt $Z$ und die punktgespiegelte Bildfigur. Verschiebe danach einen Eckpunkt und beschreibe, welche Eigenschaften erhalten bleiben.

Schwer

1. Symmetriezentrum rekonstruieren: Zeichne zwei zueinander punktgespiegelte Vielecke ohne sichtbares Zentrum. Entwickle eine Methode, mit der eine andere Person das Zentrum rekonstruieren kann.
2. Koordinatenprojekt: Erstelle eine Figur im Koordinatensystem, spiegle sie am Ursprung und formuliere für jeden Eckpunkt die Zuordnung $(x|y)\mapsto (-x|-y)$.
3. Symmetrie-Design: Entwirf ein Logo, das punktsymmetrisch, aber möglichst nicht achsensymmetrisch ist. Begründe mit einer Drehung um $180^{\circ }$, warum Dein Entwurf funktioniert.
4. Erklärvideo Punktsymmetrie: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du einen Punkt, ein Dreieck und ein Viereck an einem Zentrum spiegelst und dabei die beiden Bedingungen $P-Z-P^{\prime }$ und $|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$ sichtbar machst.

Lernkontrolle

1. Begründen statt raten: Ein Rechteck wurde um $180^{\circ }$ gedreht und passt wieder auf sich selbst. Erkläre, warum der Schnittpunkt der Diagonalen das Drehzentrum sein muss.
2. Fehler übertragen: Bei einer Punktspiegelung liegt $P^{\prime }$ zwar im richtigen Abstand zu $Z$, aber nicht auf der Geraden durch $P$ und $Z$. Begründe, warum die Konstruktion trotzdem falsch ist und wie Du sie korrigierst.
3. Vergleich Achsen- und Punktsymmetrie: Vergleiche eine Achsenspiegelung und eine Punktspiegelung anhand der Lage von Punkt, Symmetrieelement und Bildpunkt. Formuliere mindestens zwei Unterschiede.
4. Neue Figur untersuchen: Du erhältst ein unbekanntes Vieleck. Entwickle eine Strategie, mit der Du ohne Raten entscheidest, ob es punktsymmetrisch ist.
5. Zentrum aus Punktpaaren: Zwei Paare zusammengehöriger Punkte $A,A^{\prime }$ und $B,B^{\prime }$ sind gegeben. Erkläre, wie Du daraus das gemeinsame Symmetriezentrum bestimmst und wie Du Deine Lösung kontrollierst.
6. Transfer ins Koordinatensystem: Ein Punkt $P=(5|-3)$ wird am Ursprung gespiegelt. Bestimme $P^{\prime }$ und erkläre die Vorzeichenänderung mit einer Drehung um $180^{\circ }$.
7. Eigene Regel entwickeln: Formuliere in höchstens drei Sätzen eine allgemeine Konstruktionsregel für die Punktspiegelung einer Figur, die auch jemand ohne Vorwissen anwenden könnte.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du

1. Punktsymmetrie sicher mit einer Drehung um $180^{\circ }$ erkennst,
2. ein Symmetriezentrum bei einfachen Figuren bestimmst,
3. begründest, warum $Z$ Mittelpunkt zwischen Punkt und Bildpunkt ist,
4. die Bedingungen $P-Z-P^{\prime }$ und $|PZ|=|Z{P}^{\prime }|$ anwendest,
5. einzelne Punkte korrekt punktspiegelst,
6. Vielecke durch Spiegelung aller Eckpunkte konstruierst,
7. eine Konstruktion mit Abstand und Drehung kontrollierst,
8. Achsensymmetrie und Punktsymmetrie unterscheidest,
9. im Karogitter Bewegungen über das Zentrum hinweg korrekt überträgst,
10. einfache Punktspiegelungen am Ursprung mit $(x|y)\mapsto (-x|-y)$ beschreibst,
11. mathematische Begründungen mit Skizzen, Fachbegriffen und passenden Symbolen verständlich darstellst.

Mögliche Form des Lernnachweises:

Teil	Leistung
Erkennen	Drei Figuren auf Punktsymmetrie prüfen und begründen
Bestimmen	Symmetriezentrum einer geeigneten Figur konstruieren
Konstruieren	Eine vorgegebene Figur an einem Punkt spiegeln
Erklären	Zusammenhang zwischen Punktspiegelung und $180^{\circ }$-Drehung darstellen
Transfer	Eine neue Figur oder Koordinatenaufgabe selbstständig lösen

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Video: MatheBock, „Punktsymmetrie, Punktspiegelung | Figur an Punkt spiegeln mit Kästchen | einfach erklärt“.

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