Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, M-Niveau

M6 M - Brüche multiplizieren und dividieren

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, positive Brüche zu multiplizieren und zu dividieren. Du startest bei bekannten Rechnungen mit natürlichen Zahlen und entwickelst daraus die Regeln für Brüche. Dabei arbeitest Du nicht nur mit Rechenzeichen: Bruchstreifen, Flächenmodelle, Zahlengeraden, Operatorbilder und dynamische GeoGebra-Modelle zeigen Dir, warum die Regeln funktionieren.

Dieser Kurs ist für Klasse 6 auf M-Niveau gedacht. Besonders wichtig sind drei Ideen:

Anteile verstehen: $\frac{3}{4}$ bedeutet drei von vier gleich großen Teilen.
Multiplizieren: Ein Bruchteil von einem Bruchteil führt zur Multiplikation.
Dividieren: Beim Teilen fragst Du entweder nach gleich großen Gruppen oder danach, wie oft eine Größe in eine andere passt.

Erstes Bild im Kopf: Ein Kuchen ist ein Ganzes. $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ oder $\frac{3}{4}$ beschreiben Anteile dieses Ganzen. Beim Rechnen mit Brüchen veränderst, vervielfachst oder vergleichst Du solche Anteile.

Deine Lernziele

Nach dem aiMOOC kannst Du:

natürliche Zahlen als Brüche mit Nenner $1$ schreiben und als Brücke zur Bruchrechnung nutzen,
einen Bruch mit einer natürlichen Zahl und zwei positive Brüche miteinander multiplizieren,
einen Bruch durch eine natürliche Zahl und einen Bruch durch einen positiven Bruch dividieren,
die Division durch einen Bruch als Multiplikation mit seinem Kehrwert erklären,
vor oder nach einer Multiplikation sinnvoll kürzen,
Ergebnisse durch Überschlag, Größenvergleich und Umkehraufgabe kontrollieren,
Sachaufgaben mit Bruchmultiplikation und Bruchdivision modellieren.

Vorwissen sichtbar machen: Mal und Geteilt mit natürlichen Zahlen

Multiplikation als Wiederholung und als Operator

Bei natürlichen Zahlen kennst Du zum Beispiel:

Sichtweise	Rechnung	Bedeutung
Wiederholte Addition	$4 \cdot 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$	Vier Gruppen mit je drei
Operator	$5 \overset{\cdot 3}{\to} 15$	Die Ausgangszahl wird verdreifacht
Rechteck	$4 \cdot 3 = 12$	Vier Reihen mit je drei Feldern

Operatorbild: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{8}\xrightarrow{\cdot 3}\boxed{24} }

Die gleiche Idee funktioniert später auch mit Brüchen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{3}{4}}\xrightarrow{\cdot 2}\boxed{\frac{6}{4}}=\boxed{\frac{3}{2}} }

Division hat zwei Bedeutungen

Die Rechnung $12 : 3 = 4$ kannst Du auf zwei Arten lesen:

Frage	Deutung	Ergebnis
Aufteilen	12 Dinge werden gleichmäßig auf 3 Gruppen verteilt.	Jede Gruppe enthält 4 Dinge.
Messen	Wie oft passt eine 3 in die 12?	Viermal.

Diese zweite Deutung – Wie oft passt etwas hinein? – ist für die Division durch Brüche besonders wichtig.

Operatorbild: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{24}\xrightarrow{:3}\boxed{8} }

Multiplikation und Division sind Umkehroperationen: $8 \cdot 3 = 24 ⟺ 24 : 3 = 8$

Stellenwert-Brücke: Natürliche Zahlen als Brüche

Für den Übergang zur Bruchrechnung hilft diese Darstellung:

Natürliche Zahl	Als Bruch	Bedeutung
$2$	$\frac{2}{1}$	zwei Ganze
$5$	$\frac{5}{1}$	fünf Ganze
$12$	$\frac{12}{1}$	zwölf Ganze

Dadurch kannst Du dieselbe Multiplikationsregel später auf natürliche Zahlen und Brüche anwenden.

Brüche sehen, bewegen und vergleichen

Bruchstreifen: gleiche Ganze, verschieden große Teile

Alle Streifen stellen dasselbe Ganze dar. Je größer der Nenner ist, desto mehr gleich große Teile entstehen und desto kleiner ist ein einzelner Teil.

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$

Das ist beim Kürzen wichtig: Der Wert eines Bruchs bleibt gleich, wenn Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Faktor geteilt werden.

Bewegliche Bruchdarstellung

Verändere die Regler. Beobachte, wie sich Zähler und Nenner auf die Länge beziehungsweise den Flächenanteil auswirken.

Forscherauftrag: Stelle $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ und $\frac{4}{8}$ ein. Beschreibe, was gleich bleibt und was sich verändert.

Dynamische Zahlengerade

Ein Bruch ist nicht nur ein Stück Kuchen, sondern auch eine Zahl mit einem festen Platz auf der Zahlengeraden.

Mini-Check: $0 < \frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} < 1$

Wenn Du später mit einem echten Bruch wie $\frac{3}{4}$ multiplizierst, wird eine positive Zahl kleiner. Wenn Du durch $\frac{3}{4}$ dividierst, kann sie größer werden.

Eine natürliche Zahl mit einem Bruch multiplizieren

Von wiederholter Addition zur Multiplikation

Drei Päckchen mit je $\frac{2}{5}$ kg Nüssen:

$\frac{2}{5} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{2 + 2 + 2}{5} = \frac{6}{5}$

Das ist dasselbe wie:

$3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5}$

Regel: $n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b}$

Die natürliche Zahl kann als Bruch mit Nenner $1$ geschrieben werden: $n = \frac{n}{1}$

Operatorbild und Zahlengerade

Eine Multiplikation mit einer natürlichen Zahl vervielfacht eine Strecke.

Vorbereitung: Ausgangslänge festlegen
Schritt 1: Strecke vervielfachen
Ergebnis der Multiplikation

Am Beispiel $2 \cdot 1 \frac{1}{2} = 3$ siehst Du: Der Faktor $2$ verdoppelt die Ausgangslänge.

Rechenweg in vier Bildern

Schritt	Rechnung	Denkbild
1	$4 \cdot \frac{3}{8}$	Vier gleich große Gruppen mit je $\frac{3}{8}$
2	$\frac{4}{1} \cdot \frac{3}{8}$	Natürliche Zahl als Bruch schreiben
3	$\frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 8} = \frac{12}{8}$	Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
4	$\frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$	Ergebnis kürzen und deuten

Noch geschickter ist hier Kürzen vor dem Multiplizieren:

$\frac{4}{1} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Dabei wurden $4$ und $8$ durch den gemeinsamen Faktor $4$ gekürzt.

Zwei Brüche multiplizieren: Anteil von einem Anteil

Flächenmodell: Warum Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner?

Gesucht sind $\frac{2}{3}$ von $\frac{4}{5}$ .

Die ganze Fläche wird durch die beiden Teilungen in $3 \cdot 5 = 15$ gleich große kleine Flächen zerlegt. Von diesen liegen $2 \cdot 4 = 8$ in der doppelt markierten Fläche.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$

Merksatz: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac ab\cdot\frac cd=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}} \qquad b\neq0,\ d\neq0 }

Dynamisches Flächenmodell

Stelle verschiedene Faktoren ein und schiebe die beiden Flächen übereinander. Die Überlappung zeigt das Produkt.

Untersuche:

Was passiert mit dem Produkt, wenn beide Faktoren kleiner als $1$ sind?
Was passiert, wenn ein Faktor genau $1$ ist?
Erzeuge ein Beispiel, bei dem das Produkt nach dem Kürzen besonders einfach wird.

Rechnen – aber mit Größenkontrolle

Beispiel: $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$

Vor der Rechnung kannst Du abschätzen: $\frac{5}{6} < 1, \frac{3}{4} < 1$

Also muss $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ und $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} < \frac{3}{4}$ gelten. Das Ergebnis $\frac{5}{8}$ passt dazu.

Video: Multiplikation von Brüchen

Stoppe das Video vor jeder Beispielrechnung und rechne zuerst selbst. Vergleiche dann Deinen Weg mit der Erklärung.

Kürzen vor oder nach dem Multiplizieren

Warum Kürzen erlaubt ist

Ein Bruch ändert seinen Wert nicht, wenn Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Faktor geteilt werden:

$\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$

Bei einem Produkt darfst Du gemeinsame Faktoren eines Zählers und eines Nenners bereits vor der Multiplikation kürzen.

Beispiel: $\frac{14}{15} \cdot \frac{9}{28}$

Zerlege gedanklich: $14 = 2 \cdot 7, 15 = 3 \cdot 5, 9 = 3 \cdot 3, 28 = 4 \cdot 7$

Kürze $14$ mit $28$ durch $14$ und $9$ mit $15$ durch $3$ :

$\frac{14}{15} \cdot \frac{9}{28} = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{10}$

Ohne vorheriges Kürzen: $\frac{14 \cdot 9}{15 \cdot 28} = \frac{126}{420} = \frac{3}{10}$

Beide Wege sind richtig. Vorheriges Kürzen hält die Zahlen klein.

Was niemals gekürzt werden darf

Kürzen bedeutet: gemeinsame Faktoren entfernen. Deshalb darfst Du nicht über Plus oder Minus hinweg kürzen.

Falsch: $\frac{2 + 6}{2} ≠ 1 + 3$

Richtig: $\frac{2 \cdot 6}{2} = 6$

Beim Produkt $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ kannst Du nur Faktoren kürzen, die einmal im Zähler und einmal im Nenner vorkommen.

Video: Multiplizieren und Kürzen

Beobachtungsauftrag: Notiere bei zwei Beispielen, an welcher Stelle gekürzt wird und warum sich dadurch das Ergebnis nicht verändert.

Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren

Aufteilen: Ein Bruch wird auf mehrere Gruppen verteilt

Du hast $\frac{3}{4}$ Liter Saft und verteilst ihn gleichmäßig auf $3$ Gläser.

$\frac{3}{4} : 3 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Anschaulich: Drei Viertel werden auf drei gleich große Gruppen verteilt. Jede Gruppe bekommt ein Viertel.

Allgemein: $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a}{b \cdot n}$

Wenn der Zähler durch $n$ teilbar ist, kannst Du auch direkt den Zähler teilen:

$\frac{6}{8} : 3 = \frac{6 : 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Zwei sinnvolle Wege vergleichen

Aufgabe	Weg A	Weg B	Empfehlung
$\frac{6}{8} : 3$	$\frac{6 : 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$	$\frac{6}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$	Weg A ist besonders kurz.
$\frac{5}{7} : 3$	Zähler 5 ist nicht durch 3 teilbar.	$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{21}$	Weg B funktioniert immer.

Eine natürliche Zahl durch einen Bruch dividieren

Messdivision: Wie oft passt der Bruch hinein?

Wie viele Portionen zu je $\frac{1}{4}$ Liter kannst Du aus $3$ Litern füllen?

$3 : \frac{1}{4} = 12$

Begründung: In einem Liter stecken vier Viertelliter. In drei Litern stecken $3 \cdot 4 = 12$ Viertelliter.

Daraus entsteht: $3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot 4 = 12$

Noch ein Beispiel: $2 : \frac{2}{3} = \frac{2}{1} : \frac{2}{3} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} = 3$

Größenkontrolle: Durch eine positive Zahl kleiner als $1$ zu teilen, macht das Ergebnis größer.

Einen Bruch durch einen Bruch dividieren

Erst verstehen: Wie oft passt ein Bruch in einen anderen?

Beispiel: $\frac{3}{4} : \frac{1}{8}$

Die Frage lautet: Wie viele Achtel stecken in drei Vierteln?

Erweitere: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$

Also: $\frac{6}{8} : \frac{1}{8} = 6$

Das liefert direkt: $\frac{3}{4} : \frac{1}{8} = 6$

Von der Messidee zum Kehrwert

Betrachte: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$

Eine Division kann als Frage nach einem fehlenden Faktor gelesen werden: $\frac{4}{5} \cdot x = \frac{2}{3}$

Um den Faktor $\frac{4}{5}$ rückgängig zu machen, multiplizierst Du mit seinem Kehrwert $\frac{5}{4}$ .

Deshalb: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Regel: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc} \qquad c\neq0,\ d\neq0 }

Der Divisor darf nicht $0$ sein. Ein Kehrwert zu $0$ existiert nicht.

Animierter Rechenweg mit Schiebereglern

Stelle verschiedene Zähler und Nenner ein. Löse jeden eingeblendeten Schritt selbst, bevor Du weitergehst.

Bildfolge an der Zahlengeraden

Vorbereitung: Die Ausgangsstrecke 3
Schritt 1: Verhältnis sichtbar machen
Ergebnis: 3 : 2

Die Bildfolge zeigt die Division als Verhältnis auf der Zahlengeraden. Für Brüche bleibt dieselbe Grundidee erhalten: Du vergleichst Größen miteinander.

Gemeinsames dynamisches Modell für Mal und Geteilt

Entdeckerauftrag: Stelle zwei Brüche ein. Beobachte zuerst die Multiplikation und danach die Division. Formuliere in einem Satz, welche Rolle der zweite Bruch jeweils spielt.

Video: Brüche dividieren

Notiere nach dem Video die Divisionsregel in Deiner eigenen Sprache und ergänze ein selbst gewähltes Beispiel.

Der Kehrwert als Umkehroperator

Kehrwertpaare

Zahl	Kehrwert	Kontrolle
$\frac{2}{3}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$
$\frac{5}{7}$	$\frac{7}{5}$	$\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = 1$
$4 = \frac{4}{1}$	$\frac{1}{4}$	$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$
$1$	$1$	$1 \cdot 1 = 1$

Für jede positive Zahl $x$ gilt: $x \cdot \frac{1}{x} = 1$

Darum macht die Multiplikation mit dem Kehrwert die Wirkung einer Multiplikation rückgängig.

Operator-Kette

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac35} \xrightarrow{:\frac27} \boxed{?} }

Ersetze Geteilt durch Mal mit dem Kehrwert:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac35} \xrightarrow{\cdot\frac72} \boxed{\frac{21}{10}} }

Also: $\frac{3}{5} : \frac{2}{7} = \frac{21}{10} = 2 \frac{1}{10}$

Kontrolle durch Rückwärtsrechnen: $\frac{21}{10} \cdot \frac{2}{7} = \frac{42}{70} = \frac{3}{5}$

Gemischte Zahlen sicher verwenden

Erst in unechte Brüche umwandeln

Bei Multiplikation und Division ist es meist am übersichtlichsten, gemischte Zahlen zuerst in unechte Brüche umzuwandeln.

$1 \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Beispiel Multiplikation: $1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5} = 1$

Beispiel Division: $2 \frac{1}{4} : \frac{3}{2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$

Rechenstrategien auf M-Niveau

Strategie A: Erst schätzen, dann rechnen

Beispiel: $\frac{7}{9} \cdot \frac{5}{8}$

Beide Faktoren sind kleiner als $1$ , also ist das Produkt kleiner als beide Faktoren.

Genau: $\frac{7}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{35}{72}$

Der Wert $\frac{35}{72}$ liegt knapp unter $\frac{1}{2}$ . Das passt zur Schätzung.

Strategie B: Vorher kürzen

$\frac{12}{35} \cdot \frac{14}{18}$

Kürze $12$ mit $18$ durch $6$ und $14$ mit $35$ durch $7$ :

$\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$

Strategie C: Division als Multiplikation schreiben

$\frac{7}{12} : \frac{14}{9} = \frac{7}{12} \cdot \frac{9}{14}$

Jetzt kürzen: $\frac{1}{12} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$

Strategie D: Mit der Umkehraufgabe prüfen

Wenn $\frac{5}{8} : \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ behauptet wird, prüfe:

$\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$

Die Rückrechnung stimmt.

Typische Fehler erkennen

Fehler	Warum falsch?	Richtig
$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 + 4}{3 + 5}$	Bei der Multiplikation werden keine Zähler oder Nenner addiert.	$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$
$\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$	Beim Dividieren muss der zweite Bruch durch seinen Kehrwert ersetzt werden.	$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$
$\frac{2 + 4}{6}$ „mit 2 kürzen“	Kürzen geht nur bei gemeinsamen Faktoren, nicht über eine Summe hinweg.	Erst Summe berechnen: $\frac{6}{6} = 1$
Division durch $0$	Division durch Null ist nicht definiert.	Der Divisor muss ungleich Null sein.
$\frac{7}{8} \cdot \frac{2}{3} > \frac{7}{8}$	Ein positiver Faktor kleiner als 1 verkleinert.	Ergebnis ist $\frac{7}{12}$ .

Visueller Trainingsparcours

Station A: Bruchstreifen und Kürzen

Nutze die beweglichen Bruchdarstellungen.

Finde mindestens drei Darstellungen für denselben Bruch. Übertrage daraus drei Kürzungen, zum Beispiel: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Station B: Kreisdiagramm als beweglicher Bruch

Stelle nacheinander $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ dar. Überlege anschließend, wie ein unechter Bruch wie $\frac{5}{4}$ mit mehreren Ganzen dargestellt werden kann.

Station C: Zahlengerade und gleichwertige Brüche

Finde zwei verschiedene Brüche, die auf genau demselben Punkt liegen. Begründe mit Kürzen oder Erweitern, warum das möglich ist.

Station D: Bruchmaschine

Verändere die Regler und notiere jeweils Eingabe, Operator und Ausgabe. Suche ein Beispiel, bei dem sich eine Multiplikation und eine Division gegenseitig aufheben.

Transfer: Brüche in Geometrie und 3D

Flächen mit Bruchseiten

Ein Rechteck hat Seitenlängen $\frac{3}{4}$ m und $\frac{2}{5}$ m. Sein Flächeninhalt ist:

$A = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} m^{2}$

Das Flächenmodell der Bruchmultiplikation ist also nicht nur ein Bild zur Regel, sondern passt direkt zur Flächenberechnung.

Drehbarer Quader: drei Faktoren im Raum

Ein Quader führt die Multiplikation von drei Längen zusammen: $V = a \cdot b \cdot c$

Mit Bruchkanten wäre zum Beispiel: $V = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Drehe den Quader im Applet und beobachte, wie drei Längen gemeinsam den Rauminhalt bestimmen.

Transferfrage: Wenn nur eine Kantenlänge halbiert wird und die beiden anderen gleich bleiben, welcher Bruchteil des ursprünglichen Volumens bleibt übrig?

Faltbares Quadernetz

Ein Quadernetz macht sichtbar, welche Rechtecksflächen beim Falten zusammentreffen.

Verknüpfung zur Bruchmultiplikation: Berechne für eine Rechtecksfläche mit den Seiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ den Flächeninhalt und markiere gedanklich den entsprechenden Anteil einer Einheitsfläche.

Kompakter Regelkasten

Situation	Regel	Beispiel
Natürliche Zahl mal Bruch	$n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n a}{b}$	$3 \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$
Bruch mal Bruch	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$	$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$
Bruch durch natürliche Zahl	$\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n}$	$\frac{3}{4} : 3 = \frac{1}{4}$
Natürliche Zahl durch Bruch	$n : \frac{c}{d} = n \cdot \frac{d}{c}$	$3 : \frac{1}{4} = 12$
Bruch durch Bruch	$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$	$\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{5}{6}$
Kontrolle	Quotient $\cdot$ Divisor = Dividend	$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{3}$

Arbeitsreihenfolge bei schwierigeren Aufgaben:

Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln.
Division als Multiplikation mit dem Kehrwert schreiben.
Vor dem Multiplizieren gemeinsame Faktoren kürzen.
Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren.
Ergebnis vollständig kürzen und sinnvoll darstellen.
Mit Überschlag oder Umkehraufgabe prüfen.

Medien- und Lizenzhinweise

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind freie beziehungsweise gemeinfreie Medien. Die jeweilige Dateiseite enthält die vollständigen Urheber- und Lizenzangaben.

Medium	Urheber	Lizenz laut Wikimedia Commons
	Zapotz	CC0 1.0
	Acdx	Public Domain
	Mabit1	CC BY-SA 4.0
	Cebeuq	CC BY-SA 4.0
Zahlengeraden-Bildfolgen zu Multiplikation und Division	Stephan Kulla	CC BY 3.0

Die interaktiven GeoGebra-Materialien werden als externe Lernmedien eingebettet. Bei externer Nutzung gelten die Angaben der jeweiligen Materialseite. Die YouTube-Videos stammen aus öffentlich zugänglichen Bildungskanälen; sie werden nur eingebettet und nicht kopiert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie berechnest Du das Produkt $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}$ ? (8/15) (!6/7) (!6/20) (!2/15)

Welcher Ausdruck ist gleich $\frac{3}{4} : 2$ ? (3/4 mal 1/2) (!3/4 mal 2/1) (!3 durch 2 geteilt durch 4 durch 2) (!3/4 plus 2)

Was ist der Kehrwert von $\frac{5}{7}$ ? (7/5) (!minus 5/7) (!2/5) (!12/35)

Welche Rechnung beschreibt $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$ korrekt? (2/3 mal 5/4) (!2/3 mal 4/5) (!3/2 mal 4/5) (!2/3 plus 5/4)

Was ist $3 \cdot \frac{2}{5}$ ? (6/5) (!2/15) (!3/10) (!5/5)

Welche Aussage zum Kürzen ist richtig? (Gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner dürfen gekürzt werden.) (!Über Pluszeichen darf immer gekürzt werden.) (!Nur Nenner dürfen gekürzt werden.) (!Kürzen verändert den Wert des Bruchs immer.)

Wie groß ist $3 : \frac{1}{4}$ ? (12) (!3/4) (!1/12) (!7)

Welche Größenkontrolle passt zu $\frac{7}{8} \cdot \frac{2}{3}$ ? (Das Ergebnis ist kleiner als 7/8.) (!Das Ergebnis ist größer als 1.) (!Das Ergebnis muss genau 7/8 sein.) (!Das Ergebnis ist größer als beide Faktoren.)

Was ist $\frac{3}{4} : \frac{1}{8}$ ? (6) (!3/32) (!1/6) (!2)

Welche Umkehraufgabe prüft $\frac{5}{8} : \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ ? (5/6 mal 3/4 ergibt 5/8) (!5/8 mal 3/4 ergibt 5/6) (!5/6 geteilt durch 3/4 ergibt 5/8) (!5/8 plus 3/4 ergibt 5/6)

Memory

Produkt	Ergebnis einer Multiplikation
Quotient	Ergebnis einer Division
Kehrwert	Zähler und Nenner werden vertauscht
Kürzen	gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner entfernen
Flächenmodell	Anteil von einem Anteil sichtbar machen
Messdivision	fragen wie oft eine Größe hineinpasst
Umkehraufgabe	Ergebnis durch Rückwärtsrechnen prüfen
Bruchstreifen	gleichwertige Anteile vergleichen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Kehrwert bilden	Zähler und Nenner vertauschen
Vorher kürzen	gemeinsame Faktoren vor dem Multiplizieren entfernen
Flächenmodell nutzen	Anteil von einem Anteil darstellen
Messdivision deuten	untersuchen wie oft eine Größe hineinpasst
Umkehraufgabe prüfen	Quotient mit Divisor zurückmultiplizieren

Kreuzworträtsel

Zaehler	Wie heißt die Zahl oberhalb des Bruchstrichs?
Nenner	Wie heißt die Zahl unterhalb des Bruchstrichs?
Kehrwert	Wie heißt der Bruch mit vertauschtem Zähler und Nenner?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Kuerzen	Wie heißt das Vereinfachen eines Bruchs durch gemeinsame Faktoren?

LearningApps

Lückentext

Eine natürliche Zahl kann als Bruch mit dem Nenner

geschrieben werden.

Beim Multiplizieren zweier Brüche werden die Zähler

.

Auch die Nenner werden miteinander

.

Ein gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner darf beim Produkt bereits vorher

werden.

Die Division durch einen positiven Bruch wird in eine Multiplikation mit seinem

verwandelt.

Beim Kehrwert werden Zähler und Nenner

.

Die Rechnung drei Viertel geteilt durch ein Achtel fragt, wie oft ein Achtel in drei Viertel

.

Durch eine positive Zahl kleiner als eins zu teilen kann das Ergebnis

.

Eine sinnvolle Kontrolle der Division ist die passende

.

Gemischte Zahlen werden vor Multiplikation oder Division zweckmäßig in

Brüche umgewandelt.

Beim Kürzen dürfen nur gemeinsame

entfernt werden.

Ein Divisor darf niemals den Wert

haben.

Offene Aufgaben

Leicht

Bruchstreifen gestalten: Zeichne ein Ganzes als Streifen und stelle darin $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$ dar. Markiere gleichwertige Längen.
Operatorbild erfinden: Erstelle drei Operatorbilder, in denen ein positiver Bruch mit einer natürlichen Zahl multipliziert wird. Rechne die Ausgaben aus.
Flächenmodell zeichnen: Stelle $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ als Rechteck mit zwei verschieden gerichteten Teilungen dar und erkläre die Überlappung.
Fehlerdetektiv Bruchrechnung: Erfinde eine falsche Rechnung zur Bruchmultiplikation und erkläre, an welcher Stelle der Fehler entsteht.

Standard

Kürzstrategie vergleichen: Löse drei Produkte einmal ohne vorheriges Kürzen und einmal mit vorherigem Kürzen. Vergleiche Zahlengrößen und Rechenaufwand.
Portionen untersuchen: Plane eine Situation mit Saft, Teig oder Strecke, in der eine natürliche Zahl durch einen Bruch geteilt wird. Zeichne ein passendes Modell.
Erklärvideo Brüche dividieren: Produziere ein kurzes Erklärvideo oder Storyboard, das aus der Frage „Wie oft passt der Divisor hinein?“ die Kehrwertregel entwickelt.
Zahlengeraden-Projekt: Zeichne eine Zahlengerade und visualisiere eine Multiplikation sowie eine Division mit positiven Brüchen. Beschrifte jeden Rechenschritt.

Schwer

Regel begründen: Erkläre mit Variablen und einem Flächenmodell, warum $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$ gilt.
Division herleiten: Zeige an einem selbst gewählten Beispiel zuerst durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner und danach mit dem Kehrwert, dass beide Divisionswege dasselbe Ergebnis liefern.
Sachproblem modellieren: Entwickle eine mehrschrittige Sachaufgabe, in der sowohl multipliziert als auch dividiert wird. Gib eine Skizze, Rechnung, Einheit und Probe an.
3D-Bruchmodell: Entwirf einen Quader mit drei positiven Bruchkanten. Berechne sein Volumen, kürze geschickt und erkläre, wie jede Kantenänderung den Rauminhalt skaliert.

Lernkontrolle

Modellwahl begründen: Für die Aufgabe $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$ stehen Zahlengerade, Flächenmodell und Bruchstreifen zur Auswahl. Entscheide, welches Modell die Bedeutung „Anteil von einem Anteil“ am besten zeigt, und begründe Deine Wahl.
Kürzen erklären: Eine Schülerin kürzt bei $\frac{6 + 3}{12}$ die 6 mit der 12. Erkläre ohne bloße Regelwiederholung, warum das nicht zulässig ist, und formuliere eine korrekte Vereinfachung.
Division deuten: Erfinde zwei verschiedene Sachsituationen zu einer Division, eine als Aufteilen und eine als Messen. Erkläre, welche Deutung für die Division durch einen Bruch besonders hilfreich ist.
Ergebnis einschätzen: Ohne vollständig zu rechnen: Entscheide, ob $\frac{7}{8} : \frac{2}{3}$ kleiner oder größer als $\frac{7}{8}$ ist. Begründe mit der Größe des Divisors und überprüfe anschließend rechnerisch.
Zwei Lösungswege vergleichen: Löse $\frac{12}{35} \cdot \frac{14}{18}$ einmal direkt und einmal mit vorherigem Kürzen. Erkläre, weshalb beide Wege gleichwertig sind und welcher effizienter ist.
Kehrwert begründen: Nutze die Gleichung $\frac{4}{5} \cdot x = \frac{2}{3}$ , um zu erklären, weshalb $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$ durch Multiplikation mit $\frac{5}{4}$ gelöst wird.
Fehleranalyse: Jemand behauptet $2 : \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ . Widerlege die Aussage mit einer Zeichnung oder Portionenvorstellung und mit einer korrekten Rechnung.
Transfer Geometrie: Ein Rechteck wird in einer Richtung auf $\frac{2}{3}$ und in der anderen auf $\frac{3}{4}$ seiner ursprünglichen Seitenlänge verkleinert. Bestimme den verbleibenden Flächenanteil und begründe ihn anschaulich.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du:

die Multiplikation natürlicher Zahlen mit Brüchen aus wiederholter Addition oder einem Operatorbild erklären kannst,
die Multiplikation zweier positiver Brüche mit einem Flächenmodell begründen kannst,
die Division durch natürliche Zahlen und durch Brüche sinnvoll deuten kannst,
den Kehrwert sicher bildest und die Kehrwertregel begründen kannst,
vor und nach dem Rechnen korrekt kürzt und verbotene Kürzungen erkennst,
gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandelst,
Ergebnisse durch Größenabschätzung und Umkehraufgaben kontrollierst,
Bruchrechnungen in Sach- und Geometrieproblemen passend einsetzt.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Bruchrechnung bietet eine fachliche Übersicht über Rechenregeln, Kürzen, Multiplikation und Division.

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Bruchrechnung

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