M6 G - Quadratzahlen erkennen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Quadratzahlen begegnen Dir überall dort, wo gleich viele Dinge in Zeilen und Spalten zu einem Quadrat angeordnet werden. Ein Quadrat aus $4$ Reihen mit je $4$ Punkten enthält $4\cdot 4=16$ Punkte. Deshalb ist $16$ eine Quadratzahl.

Der Name passt zur Geometrie: Hat ein Quadrat die Seitenlänge $n$, dann beträgt sein Flächeninhalt $n\cdot n=n^2$. Zahl und geometrisches Quadrat gehören also zusammen.

Das Bild „Quadratzahlen.jpg“ stammt aus Wikimedia Commons und steht dort unter einer freien Lizenz.

Das lernst Du

Kompetenz	Am Ende kannst Du ...
Erkennen	entscheiden, ob eine Zahl eine wichtige Quadratzahl ist.
Darstellen	eine Quadratzahl als $n\cdot n$, als $n^2$ und als quadratisches Punktefeld darstellen.
Sichern	die Quadratzahlen von $1^2$ bis mindestens $15^2$ sicher zuordnen.
Begründen	erklären, warum zum Beispiel $49$ eine Quadratzahl ist.
Muster nutzen	erkennen, dass aufeinanderfolgende Quadratzahlen durch ungerade Zuwächse entstehen.

Was ist eine Quadratzahl?

Eine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn sie entsteht, indem eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Für diesen Kurs arbeiten wir mit den positiven natürlichen Zahlen $1,2,3,\dots$.

Schreibweise	Bedeutung	Beispiel
$n\cdot n$	gleiche Faktoren	$7\cdot 7=49$
$n^2$	„$n$ zum Quadrat“	$7^2=49$
Quadrat mit Seitenlänge $n$	$n$ Reihen und $n$ Spalten	$7\cdot 7=49$ Flächeneinheiten

Merksatz: $n^2=n\cdot n$

Wichtig: $n^2$ bedeutet nicht $n\cdot 2$. Zum Beispiel gilt $6^2=6\cdot 6=36$, aber $6\cdot 2=12$.

Vom Punktefeld zum Quadrat

Schau auf die Struktur: Ein quadratisches Punktefeld hat gleich viele Reihen wie Spalten.

$2^2$	$3^2$	$4^2$	$5^2$
● ● ● ●	● ● ● ● ● ● ● ● ●	● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●	● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
$2\cdot 2=4$	$3\cdot 3=9$	$4\cdot 4=16$	$5\cdot 5=25$

Sprich mit: „Vier Reihen, vier Spalten, sechzehn Punkte. Also ist $16=4^2$.“

Dynamisches Flächenmodell

Verändere in der GeoGebra-Darstellung die Seitenlänge eines Quadrats. Beobachte, wie sich der Flächeninhalt verändert. Suche besonders die Seitenlängen $1$ bis $15$.

Beobachtungsauftrag: Stelle nacheinander $3$, $6$, $10$ und $12$ als Seitenlänge ein. Sage vor dem Ablesen voraus, welche Quadratzahl als Fläche entsteht.

Die Potenzschreibweise verstehen

Bei $8^2$ heißt die $8$ Basis. Die kleine hochgestellte $2$ heißt Exponent. Sie zeigt hier an: Multipliziere die Basis mit sich selbst.

Schritt	Rechnung	Bedeutung
1	$8^2$	„acht zum Quadrat“
2	$8\cdot 8$	zwei gleiche Faktoren
3	$64$	Ergebnis und Quadratzahl

$8^2=8\cdot 8=64$

Typische Verwechslung

Ausdruck	Richtige Deutung	Ergebnis
$5^2$	$5\cdot 5$	$25$
$5\cdot 2$	zweimal fünf	$10$
$2^5$	$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$	$32$

Für diesen aiMOOC ist vor allem die zweite Potenz wichtig: $n^2$.

Die Quadratzahlen von 1 bis 15

Diese Tabelle ist Dein Kernwissen. Verbinde immer Ausgangszahl – Malaufgabe – Quadratzahl.

Zahl	Quadrat	Malaufgabe	Quadratzahl
$1$	$1^2$	$1\cdot 1$	$1$
$2$	$2^2$	$2\cdot 2$	$4$
$3$	$3^2$	$3\cdot 3$	$9$
$4$	$4^2$	$4\cdot 4$	$16$
$5$	$5^2$	$5\cdot 5$	$25$
$6$	$6^2$	$6\cdot 6$	$36$
$7$	$7^2$	$7\cdot 7$	$49$
$8$	$8^2$	$8\cdot 8$	$64$
$9$	$9^2$	$9\cdot 9$	$81$
$10$	$10^2$	$10\cdot 10$	$100$
$11$	$11^2$	$11\cdot 11$	$121$
$12$	$12^2$	$12\cdot 12$	$144$
$13$	$13^2$	$13\cdot 13$	$169$
$14$	$14^2$	$14\cdot 14$	$196$
$15$	$15^2$	$15\cdot 15$	$225$

Merkblöcke statt einer langen Reihe

Lerne in kleinen Gruppen und rufe dabei immer die passende Basis mit ab.

Block	Quadratzahlen
Basis 1 bis 5	$1,4,9,16,25$
Basis 6 bis 10	$36,49,64,81,100$
Basis 11 bis 15	$121,144,169,196,225$

Sprechkette: $11^2=121$, $12^2=144$, $13^2=169$, $14^2=196$, $15^2=225$.

Stellenwertblick auf die größeren Quadratzahlen

Achte bei den Quadratzahlen ab $100$ auf Hunderter, Zehner und Einer.

Quadratzahl	Hunderter	Zehner	Einer
$100$	1	0	0
$121$	1	2	1
$144$	1	4	4
$169$	1	6	9
$196$	1	9	6
$225$	2	2	5

Nutze die Stellenwerte nur als Gedächtnisstütze. Entscheidend bleibt die Rechnung $n\cdot n$.

Quadratzahlen im Einmaleins erkennen

In einer Multiplikationstabelle stehen Quadratzahlen dort, wo beide Faktoren gleich sind: $1\cdot 1$, $2\cdot 2$, $3\cdot 3$ und so weiter. Sie liegen deshalb auf der Diagonalen der Tabelle.

Suchauftrag: Fahre gedanklich die Diagonale entlang und nenne die Quadratzahlen bis $10^2$.

Quadratzahlen wachsen mit ungeraden Zahlen

Von einer Quadratzahl zur nächsten kommt immer eine ungerade Zahl dazu.

Start	Zuwachs	Neue Quadratzahl
$1=1^2$	$+3$	$4=2^2$
$4=2^2$	$+5$	$9=3^2$
$9=3^2$	$+7$	$16=4^2$
$16=4^2$	$+9$	$25=5^2$
$25=5^2$	$+11$	$36=6^2$

Das Muster lässt sich kurz schreiben als $1+3+5+\dots +(2n-1)=n^2$.

Die verschiedenfarbigen Randstücke zeigen, wie aus einem kleineren Quadrat Schritt für Schritt ein größeres Quadrat wird.

Animierter Rechenweg mit GeoGebra

In dieser Animation kannst Du beobachten, wie Quadratzahlen durch das Hinzufügen passender ungerader Zahlen wachsen.

Vorhersage: Wenn Du bei $10^2=100$ bist, musst Du $21$ ergänzen, um $11^2=121$ zu erhalten.

Quadratzahlen auf der Zahlengeraden

Auf der Zahlengeraden werden die Abstände zwischen den Quadratzahlen immer größer:

$1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225$

Die Sprünge lauten: $+3,+5,+7,+9,+11,+13,+15,+17,+19,+21,+23,+25,+27,+29$.

Dynamische Zahlengerade

Nutze die verschiebbaren Markierungen und stelle nacheinander einige Quadratzahlen dar. Beginne mit $1$, $4$, $9$, $16$ und $25$. Vergrößere danach den Zahlenbereich.

Auftrag: Schätze zuerst die Lage von $49$, $81$, $121$ und $196$. Prüfe dann mit der Zahlengeraden.

Schnell erkennen: hilfreiche Muster

Muster helfen beim Prüfen. Sie ersetzen aber nicht die Bedeutung $n^2=n\cdot n$.

Muster	Beispiel	Was Du daraus lernen kannst
Gerade Basis → gerade Quadratzahl	$8^2=64$	Eine gerade Zahl bleibt beim Quadrieren gerade.
Ungerade Basis → ungerade Quadratzahl	$9^2=81$	Eine ungerade Zahl bleibt beim Quadrieren ungerade.
Einerziffer	$13^2=169$	Quadratzahlen ganzer Zahlen können auf $0,1,4,5,6,9$ enden.
Kein sicherer Rückschluss nur aus der Einerziffer	$21$ endet auf $1$, ist aber keine Quadratzahl.

Damit kannst Du manche falschen Kandidaten schnell ausschließen: Eine ganze Quadratzahl endet nie auf $2$, $3$, $7$ oder $8$.

Erkennstrategie in vier Schritten

Schritt	Frage	Beispiel mit $144$
1	Kennst Du die Zahl aus der Quadratzahlen-Tabelle?	$144$ gehört zu $12^2$.
2	Findest Du zwei gleiche natürliche Faktoren?	$12\cdot 12=144$.
3	Passt ein quadratisches Flächenmodell?	Quadrat mit Seitenlänge $12$ hat Fläche $144$.
4	Kannst Du eine Nachbarquadratzahl nutzen?	$11^2=121$ und $121+23=144$.

Zahlenspiel: Quadratzahl oder nicht?

Entscheide zuerst im Kopf und begründe dann mit einer Rechnung.

Zahl	Entscheidung	Begründung
$36$	Quadratzahl	$6\cdot 6=36$
$45$	keine Quadratzahl	liegt zwischen $6^2=36$ und $7^2=49$
$64$	Quadratzahl	$8\cdot 8=64$
$99$	keine Quadratzahl	liegt zwischen $9^2=81$ und $10^2=100$
$121$	Quadratzahl	$11\cdot 11=121$
$150$	keine Quadratzahl	liegt zwischen $12^2=144$ und $13^2=169$
$196$	Quadratzahl	$14\cdot 14=196$

Zahlen-Bingo für zwei Personen

Zeichnet je ein $3\times 3$-Feld und tragt neun verschiedene Quadratzahlen von $1$ bis $225$ ein. Eine Person nennt eine Basis, zum Beispiel „dreizehn“. Wer $13^2=169$ im Feld hat, darf die Zahl markieren. Gewonnen hat, wer zuerst eine Reihe, Spalte oder Diagonale vollständig markiert hat.

Zwei Erklärvideos

Das erste Video erklärt, was eine Quadratzahl ist und wie Du Quadratzahlen von anderen Zahlen unterscheidest.

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Das zweite Video eignet sich zum Einprägen wichtiger Quadratzahlen.

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Verbindung zur Quadratfläche

Für ein Quadrat mit Seitenlänge $a$ gilt der Flächeninhalt

$A=a^2$.

Seitenlänge $a$	Flächeninhalt $A=a^2$	Quadratzahl
$3\mathrm{c}\mathrm{m}$	$3\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 3\mathrm{c}\mathrm{m}=9{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$9$
$5\mathrm{c}\mathrm{m}$	$5\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 5\mathrm{c}\mathrm{m}=25{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$25$
$10\mathrm{c}\mathrm{m}$	$10\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 10\mathrm{c}\mathrm{m}=100{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$100$
$15\mathrm{c}\mathrm{m}$	$15\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 15\mathrm{c}\mathrm{m}=225{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$225$

Wichtig: Die Zahl $25$ ist eine Quadratzahl. Der Flächeninhalt $25{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ ist eine Größe. Beides hängt zusammen, ist aber sprachlich nicht dasselbe.

Rückwärts denken

Wenn die Fläche eines Quadrats bekannt ist, kannst Du fragen: „Welche Seitenlänge mal sich selbst ergibt diese Fläche?“

Fläche	Gesuchte Seitenlänge	Prüfung
$36$	$6$	$6^2=36$
$81$	$9$	$9^2=81$
$144$	$12$	$12^2=144$
$225$	$15$	$15^2=225$

Später wird dafür die Quadratwurzel-Schreibweise verwendet, zum Beispiel $\sqrt{81}=9$. Hier genügt zunächst: Finde die passende Quadratzahl.

Häufige Fehler vermeiden

Fehler	Warum falsch?	Richtig
$7^2=14$	Es wurde nur verdoppelt.	$7^2=7\cdot 7=49$
$12^2=24$	„hoch zwei“ wurde mit „mal zwei“ verwechselt.	$12^2=12\cdot 12=144$
$50$ sei Quadratzahl, weil sie gerade ist.	Gerade zu sein reicht nicht.	$7^2=49<50<64=8^2$
$81=8^2$	Basis und Ergebnis wurden vertauscht.	$9^2=81$

Mini-Training vor den interaktiven Aufgaben

Rechne möglichst ohne Taschenrechner.

Aufgabe	Denkweg	Lösung zum Kontrollieren
$6^2$	$6\cdot 6$	$36$
$11^2$	$11\cdot 11$	$121$
Welche Basis gehört zu $169$?	Suche $n\cdot n=169$.	$n=13$
Liegt $72$ zwischen zwei Quadratzahlen?	Suche die Nachbarquadratzahlen.	$64<72<81$
Nächste Quadratzahl nach $196$?	$15^2$	$225$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl ist $7^2$? (49) (!14) (!28) (!77)

Welche Rechnung beschreibt $9^2$? (9 mal 9) (!9 plus 9) (!9 mal 2) (!2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2)

Welche Zahl ist eine Quadratzahl? (121) (!120) (!122) (!132)

Welche Basis gehört zur Quadratzahl 64? (8) (!6) (!7) (!9)

Welche Quadratzahl folgt direkt auf 81? (100) (!90) (!99) (!121)

Was zeigt ein quadratisches Punktefeld zu $5^2$? (5 Reihen mit je 5 Punkten) (!5 Reihen mit je 2 Punkten) (!2 Reihen mit je 5 Punkten) (!10 Punkte in einer Reihe)

Wie groß ist $12^2$? (144) (!24) (!124) (!142)

Welche Aussage zu $14^2$ stimmt? (14 mal 14 ergibt 196) (!14 mal 2 ergibt 196) (!14 plus 14 ergibt 196) (!196 ist kleiner als 169)

Welche Zahl liegt zwischen $10^2$ und $11^2$ und ist keine Quadratzahl? (110) (!100) (!121) (!144)

Warum heißt 225 eine Quadratzahl? (15 mal 15 ergibt 225) (!225 ist eine gerade Zahl) (!225 hat drei Stellen) (!225 endet auf 5)

Memory

zwei zum Quadrat	vier
fünf zum Quadrat	fünfundzwanzig
sieben zum Quadrat	neunundvierzig
zehn zum Quadrat	einhundert
zwölf zum Quadrat	einhundertvierundvierzig
dreizehn zum Quadrat	einhundertneunundsechzig
vierzehn zum Quadrat	einhundertsechsundneunzig
fünfzehn zum Quadrat	zweihundertfünfundzwanzig

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Quadratzahl	Produkt einer natürlichen Zahl mit sich selbst
Basis	Zahl, die quadriert wird
Exponent	kleine hochgestellte Zwei
Punktefeld	gleich viele Reihen wie Spalten
Flächenmodell	Quadrat mit Seitenlänge und Flächeninhalt

Kreuzworträtsel

Quadrat	Welche geometrische Figur gibt den Quadratzahlen ihren Namen?
Potenz	Wie heißt eine Schreibweise wie fünf hoch zwei als Oberbegriff?
Exponent	Wie heißt die kleine hochgestellte Zahl bei einer Potenz?
Punktefeld	Wie heißt eine Darstellung aus geordneten Punkten in Reihen und Spalten?
Flaeche	Welche Größe eines Quadrats wird mit Seitenlänge mal Seitenlänge berechnet?
ungerade	Wie heißt die Zahlenart der Zuwächse zwischen aufeinanderfolgenden Quadratzahlen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Quadratzahl entsteht, wenn eine natürliche Zahl mit multipliziert wird.

Die Kurzschreibweise für fünf mal fünf lautet .

Das Ergebnis von sechs zum Quadrat ist .

In einem quadratischen Punktefeld sind Anzahl der Reihen und Spalten .

Die Quadratzahl zu neun ist .

Auf einhundert folgt in der Quadratzahlenreihe .

Die Quadratzahl zu zwölf lautet .

Von einer Quadratzahl zur nächsten wächst das Punktequadrat um eine Anzahl von Punkten.

Ein Quadrat mit der Seitenlänge vier hat den Flächeninhalt Flächeneinheiten.

Die größte in diesem Grundkurs fest zu sichernde Quadratzahl ist .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Quadratzahlen-Karten: Gestalte Karteikarten für $1^2$ bis $10^2$. Vorne steht die Basis als Potenz, hinten stehen Malaufgabe, Ergebnis und ein kleines Punktequadrat.
2. Punktefeld: Lege mit Münzen, Knöpfen oder Papierpunkten die Quadrate $2^2$, $3^2$, $4^2$ und $5^2$. Fotografiere oder zeichne Deine Ergebnisse.
3. Quadratzahlen-Bingo: Entwickle ein eigenes Bingo-Feld mit neun Quadratzahlen und spiele eine Runde mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde fünf typische falsche Aussagen wie „$8^2=16$“ und korrigiere jede mit einer passenden Rechnung.

Standard

1. Quadratzahlen-Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $225$ und markiere alle Quadratzahlen von $1^2$ bis $15^2$. Beschreibe, wie sich die Abstände verändern.
2. Flächenmodell: Zeichne auf kariertem Papier Quadrate zu $6^2$, $8^2$ und $10^2$. Beschrifte Seitenlänge, Malaufgabe und Flächeninhalt.
3. Quadratzahlen-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du an einem selbst gelegten Punktefeld erklärst, warum $49$ oder $81$ eine Quadratzahl ist.
4. Quadratzahlen-Interview: Befrage drei Personen, welche Quadratzahlen sie spontan kennen. Vergleiche die Antworten und entwickle daraus einen Lerntipp.

Schwer

1. Ungerade Zahlen und Quadrate: Zeige mit einer Zeichnung, warum $1+3+5+7+9=25$ gilt und wie daraus ein $5\times 5$-Quadrat entsteht.
2. Nachbarquadrate: Erkläre an drei Beispielen die Regel $(n+1{)}^2=n^2+2n+1$ mit einem Flächenbild statt nur mit einer Rechnung.
3. Quadratzahlen-Spiel: Entwickle ein Kartenspiel, bei dem Basiskarten, Potenzkarten, Malaufgaben und Ergebnis-Karten passend zusammengelegt werden müssen. Teste das Spiel mit einer Gruppe und verbessere die Regeln.
4. Quadratzahlen-Forschungsauftrag: Untersuche die Einerziffern der Quadratzahlen von $1^2$ bis $30^2$. Formuliere eine Vermutung, welche Endziffern möglich sind, und erkläre, warum die Endziffer allein keine Quadratzahl garantiert.

Lernkontrolle

1. Quadratzahl begründen: Eine Person behauptet, $144$ sei eine Quadratzahl, weil die Zahl gerade ist. Erkläre, warum diese Begründung nicht ausreicht, und gib eine richtige Begründung.
2. Darstellungen verknüpfen: Zeichne ein quadratisches Punktefeld mit $36$ Punkten und notiere dazu die passende Malaufgabe und Potenzschreibweise.
3. Zwischen Quadratzahlen: Ohne alle Zahlen einzeln zu testen: Begründe, warum $70$ keine Quadratzahl ist. Nutze zwei benachbarte Quadratzahlen.
4. Muster übertragen: Von $12^2=144$ ausgehend sollst Du $13^2$ ohne schriftliche Multiplikation bestimmen. Nutze den passenden ungeraden Zuwachs und erkläre Deinen Weg.
5. Fläche und Zahl: Ein quadratischer Schulhof aus gleich großen Platten hat $196$ Platten. Begründe, wie viele Platten an einer Seite liegen, wenn alle Reihen und Spalten gleich lang sind.
6. Fehleranalyse: Jemand rechnet $15^2=30$. Erkläre den Denkfehler mit Worten, einer Rechnung und einer geometrischen Skizzenidee.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du Zahl, Rechnung und Quadrat miteinander verbindest.

1. Grundvorstellung: Du erklärst mit eigenen Worten, was eine Quadratzahl ist.
2. Potenzschreibweise: Du deutest $n^2$ als $n\cdot n$.
3. Quadratzahlen bis 15: Du ordnest $1^2$ bis $15^2$ den Ergebnissen $1$ bis $225$ sicher zu.
4. Geometrische Darstellung: Du stellst eine Quadratzahl als Punktefeld oder Quadratfläche dar.
5. Erkennen und Ausschließen: Du begründest, ob eine gegebene Zahl eine Quadratzahl ist oder zwischen welchen Quadratzahlen sie liegt.
6. Muster: Du nutzt die ungeraden Zuwächse zwischen aufeinanderfolgenden Quadratzahlen als Denk- und Kontrollhilfe.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel bietet weiterführende Informationen zur Quadratzahl.

Weitere freie Visualisierungen findest Du in der Wikimedia-Commons-Kategorie zu Square numbers. Die in diesem aiMOOC eingebundenen Commons-Dateien können über ihre Dateiseiten mit Lizenz- und Urheberangaben geprüft werden.

Verknüpfte Lernbereiche

Quadratzahlen Potenzrechnung Multiplikation Einmaleins Quadrat Flächeninhalt Zahlengerade Figurierte Zahlen Quadratwurzel