M6 G - Mit proportionalen Tabellen rechnen

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M6 G - Mit proportionalen Tabellen rechnen

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Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du mit proportionalen Tabellen sicher rechnest. Das ist besonders nützlich bei Preisen, Mengen und Rezepten. Die Grundidee ist einfach: Wenn Du eine Größe vervielfachst oder teilst, musst Du die dazugehörige Größe mit demselben Faktor vervielfachen oder teilen.

Das lernst Du	Mathematisches Bild	Typische Aufgabe
Werte vervielfachen	$\times 2,\times 3,\times 4$	Mehr Stück → entsprechend höherer Preis
Werte teilen	$÷2,÷3,÷4$	Weniger Menge → entsprechend kleinerer Preis oder kleinere Zutatenmenge
Über den Wert 1 rechnen	$÷n$ und danach $\times m$	Erst Einzelpreis bestimmen, dann gewünschte Menge berechnen
Sachaufgaben lösen	Tabelle + Rechenpfeile + Antwort	Preis-, Mengen- und Rezeptaufgaben

Merksatz: In einer proportionalen Tabelle gilt beim Wechsel von einer Spalte zur nächsten oben und unten dieselbe Rechenoperation.

$\text{oben: }2\stackrel{\times 3}{\to }6\text{und}\text{unten: }4\stackrel{\times 3}{\to }12$

Beispiele für proportionale Zusammenhänge

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Medienhinweis: Die eingebundenen Bild- und Animationsdateien stammen von Wikimedia Commons. Urheber- und Lizenzangaben findest Du jeweils auf der Dateiseite. Die Videos werden über die YouTube-Einbettung aus den Originalangeboten der jeweiligen Anbieter angezeigt.

Was bedeutet proportional?

Zwei Größen sind proportional, wenn sie sich immer mit demselben Faktor verändern. Das kannst Du an Paaren in einer Wertetabelle sehen.

Anzahl Hefte	1	2	3	4
Preis in €	2	4	6	8

Hier gilt:

$1\stackrel{\times 2}{\to }2$ und $2\stackrel{\times 2}{\to }4$

$2\stackrel{\times 2}{\to }4$ und $4\stackrel{\times 2}{\to }8$

$1\stackrel{\times 3}{\to }3$ und $2\stackrel{\times 3}{\to }6$

Immer wird in beiden Zeilen dieselbe Rechenoperation verwendet.

Achtung: „Je mehr, desto mehr“ allein reicht nicht. Die Werte müssen sich mit demselben Faktor verändern.

Anzahl	1	2	3
Beispiel A	2 €	4 €	6 €
Beispiel B	2 €	4 €	7 €

Beispiel A ist proportional. Beispiel B ist nicht proportional, denn bei $1\to 3$ müsste aus $2\text{€}$ der Wert $6\text{€}$ werden.

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Der Proportionalitätsfaktor als Bonuswissen

Du kannst proportionale Zuordnungen auch mit einem festen Faktor beschreiben. Für zusammengehörige Werte $x$ und $y$ gilt

$y=k\cdot x$.

Der feste Wert $k$ heißt Proportionalitätsfaktor. Wenn ein Heft $2\text{€}$ kostet, ist $k=2$ und damit zum Beispiel

$y=2\cdot x$.

Für das G-Niveau genügt meist die Vorstellung: Gleicher Rechenpfeil in beiden Tabellenzeilen.

Direkte Proportionalität als Ursprungsgerade

Mit Rechenpfeilen vervielfachen

Wenn Du von einer bekannten Menge zu einer größeren Menge kommst, kannst Du vervielfachen.

Beispiel: Zwei Trinkflaschen kosten $6\text{€}$. Was kosten sechs Trinkflaschen?

Größe	Start	Rechenpfeil	Ziel
Anzahl	$2$	$\times 3$ →	$6$
Preis	$6\text{€}$	$\times 3$ →	$18\text{€}$

$2\cdot 3=6$

$6\text{€}\cdot 3=18\text{€}$

Antwort: Sechs Trinkflaschen kosten $18\text{€}$.

Schritt-für-Schritt-Rechenweg ausklappen

Schritt	Frage	Rechnung
1	Wie komme ich von $2$ zu $6$?	$2\cdot 3=6$
2	Was mache ich mit dem Preis?	Genau denselben Faktor verwenden
3	Preis berechnen	$6\text{€}\cdot 3=18\text{€}$

Animation zu Multiplikationstabellen

Mit Rechenpfeilen teilen

Wenn Du zu einer kleineren Menge wechselst, kannst Du teilen.

Beispiel: Sechs Brötchen kosten $3\text{€}$. Was kosten zwei Brötchen?

Größe	Start	Rechenpfeil	Ziel
Anzahl	$6$	$÷3$ →	$2$
Preis	$3\text{€}$	$÷3$ →	$1\text{€}$

$6:3=2$

$3\text{€}:3=1\text{€}$

Antwort: Zwei Brötchen kosten $1\text{€}$.

Pfeilregel:

$\text{oben }÷3⟹\text{unten ebenfalls }÷3$

Über 1 rechnen

Nicht immer kommst Du mit einem einzigen Pfeil ans Ziel. Dann ist der Wert 1 besonders praktisch.

Beispiel: Vier Kinokarten kosten $20\text{€}$. Was kosten sieben Kinokarten?

Größe	4	Pfeil	1	Pfeil	7
Karten	$4$	$÷4$ →	$1$	$\times 7$ →	$7$
Preis	$20\text{€}$	$÷4$ →	$5\text{€}$	$\times 7$ →	$35\text{€}$

$20\text{€}:4=5\text{€}$

$5\text{€}\cdot 7=35\text{€}$

Antwort: Sieben Kinokarten kosten $35\text{€}$.

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Interaktiver Rechenweg zum Aufklappen

Aufgabe: Drei Packungen Nudeln kosten $\mathrm{4,50}\text{€}$. Berechne den Preis für fünf Packungen.

Größe	3	Pfeil	1	Pfeil	5
Packungen	$3$	$÷3$ →	$1$	$\times 5$ →	$5$
Preis	$\mathrm{4,50}\text{€}$	$÷3$ →	$\mathrm{1,50}\text{€}$	$\times 5$ →	$\mathrm{7,50}\text{€}$

$\mathrm{4,50}\text{€}:3=\mathrm{1,50}\text{€}$

$\mathrm{1,50}\text{€}\cdot 5=\mathrm{7,50}\text{€}$

Lösung: Fünf Packungen kosten $\mathrm{7,50}\text{€}$.

Visuelles Zahlenband: gleiche Schritte

Auf einem Zahlenband kannst Du sehen, dass sich Anzahl und Preis gemeinsam verändern.

Zahlengerade als Orientierung

Anzahl Stück	0	1	2	3	4	5	6
Preis bei $\mathrm{1,50}\text{€}$ pro Stück	0 €	1,50 €	3,00 €	4,50 €	6,00 €	7,50 €	9,00 €

Jeder Schritt um $1$ Stück bedeutet hier einen Preisschritt um $\mathrm{1,50}\text{€}$.

Zahlenband-Auftrag ausklappen

Starte bei $2$ Stück und springe um zwei Stück nach rechts. Du landest bei $4$ Stück. Beim Preis springst Du gleichzeitig von $3\text{€}$ auf $6\text{€}$. Beide Werte wurden verdoppelt.

Interaktives Stellenwertmodell für Geld

Bei Preisen helfen Dir Euro und Cent. Besonders wichtig ist die Schreibweise mit zwei Nachkommastellen.

Einer-Euro	Zehntel-Euro	Hundertstel-Euro	Geldbetrag
1	5	0	$\mathrm{1,50}\text{€}$
7	5	0	$\mathrm{7,50}\text{€}$

$\mathrm{1,50}\text{€}=150\text{ct}$

$\mathrm{7,50}\text{€}=750\text{ct}$

Warum ist $\mathrm{1,50}\text{€}\cdot 5=\mathrm{7,50}\text{€}$?

Rechne in Cent: $150\cdot 5=750$. Danach wandelst Du zurück: $750\text{ct}=\mathrm{7,50}\text{€}$.

Freie 1-Euro-Darstellung für Arbeitsblätter

Preisaufgaben

Beispiel 1: Drei Kilogramm Äpfel kosten $\mathrm{7,50}\text{€}$. Was kosten fünf Kilogramm?

Größe	3 kg	Pfeil	1 kg	Pfeil	5 kg
Masse	$3$	$÷3$ →	$1$	$\times 5$ →	$5$
Preis	$\mathrm{7,50}\text{€}$	$÷3$ →	$\mathrm{2,50}\text{€}$	$\times 5$ →	$\mathrm{12,50}\text{€}$

$\mathrm{7,50}\text{€}:3=\mathrm{2,50}\text{€}$

$\mathrm{2,50}\text{€}\cdot 5=\mathrm{12,50}\text{€}$

Antwort: Fünf Kilogramm Äpfel kosten $\mathrm{12,50}\text{€}$.

Euro-Münzen als Alltagsbezug

Preisaufgabe zum Selbstprüfen

Aufgabe: Vier Müsliriegel kosten $6\text{€}$. Berechne den Preis für zehn Müsliriegel.

Größe	4	1	10
Müsliriegel	$4$	?	$10$
Preis	$6\text{€}$	?	?

Lösung anzeigen

$6\text{€}:4=\mathrm{1,50}\text{€}$

$\mathrm{1,50}\text{€}\cdot 10=15\text{€}$

Müsliriegel	4	1	10
Preis	6 €	1,50 €	15 €

Mengenaufgaben

Proportionale Tabellen brauchst Du nicht nur bei Geld.

Beispiel: Eine Maschine füllt in zwei Minuten sechs Flaschen. Wie viele Flaschen füllt sie bei gleichbleibendem Tempo in fünf Minuten?

Größe	2	Pfeil	1	Pfeil	5
Minuten	$2$	$÷2$ →	$1$	$\times 5$ →	$5$
Flaschen	$6$	$÷2$ →	$3$	$\times 5$ →	$15$

Antwort: Bei gleichbleibendem Tempo werden in fünf Minuten $15$ Flaschen gefüllt.

Wichtig: Die Aussage „bei gleichbleibendem Tempo“ sorgt dafür, dass das proportionale Modell passt.

Rezeptaufgaben

Beim Vergrößern oder Verkleinern eines Rezepts werden alle Zutaten mit demselben Faktor verändert.

Ein Messbecher unterstützt beim Abmessen von Zutaten

Beispiel: Für vier Personen brauchst Du $300\text{g}$ Nudeln. Wie viele Nudeln brauchst Du für sechs Personen?

Größe	4 Personen	Pfeil	2 Personen	Pfeil	6 Personen
Personen	$4$	$÷2$ →	$2$	$\times 3$ →	$6$
Nudeln	$300\text{g}$	$÷2$ →	$150\text{g}$	$\times 3$ →	$450\text{g}$

$300\text{g}:2=150\text{g}$

$150\text{g}\cdot 3=450\text{g}$

Antwort: Für sechs Personen brauchst Du $450\text{g}$ Nudeln.

Bruchbild beim Halbieren

Beim Halbieren hilft Dir die Vorstellung von zwei gleich großen Teilen.

Ausgangsmenge	Operation	Neue Menge
■ ■ ■ ■	$\times \frac{1}{2}$	■ ■
$300\text{g}$	$\times \frac{1}{2}$	$150\text{g}$

Halbieren und wieder vervielfachen

$300\text{g}\times \frac{1}{2}=150\text{g}$ und anschließend $150\text{g}\times 3=450\text{g}$. So kommst Du von vier Personen über zwei Personen zu sechs Personen.

Interaktive Wertetabellen

Tabelle 1: Preise ergänzen

Ordne den passenden Preis zu.	Anzahl
4 €	2 Hefte
8 €	4 Hefte
12 €	6 Hefte
16 €	8 Hefte
20 €	10 Hefte

Grundlage: Ein Heft kostet $2\text{€}$.

Tabelle 2: Rezeptmengen ergänzen

Ordne die passende Nudelmenge zu.	Personen
150 g	2 Personen
300 g	4 Personen
450 g	6 Personen
600 g	8 Personen
750 g	10 Personen

Grundlage: Für vier Personen werden $300\text{g}$ Nudeln benötigt.

Typische Fehler vermeiden

Fehler	Warum falsch?	So machst Du es richtig
Nur eine Tabellenzeile verändern	Dann passen die Wertepaare nicht mehr zusammen.	Nutze in beiden Zeilen denselben Rechenpfeil.
Beim Verdoppeln addieren	$+2$ ist nicht dasselbe wie $\times 2$.	Prüfe zuerst den Faktor.
Geldbetrag falsch lesen	$\mathrm{1,50}\text{€}$ bedeutet 1 Euro und 50 Cent.	Rechne bei Bedarf vorübergehend in Cent.
Einheit vergessen	Eine Zahl ohne Einheit kann unklar sein.	Schreibe $\text{€}$, $\text{g}$, $\text{kg}$ oder eine passende Einheit dazu.
Unpassende Situation als proportional behandeln	Nicht jede Sachaufgabe ist proportional.	Prüfe, ob gleiche Faktoren auf beide Größen wirken.

Fehlerdetektiv

Behauptung: „Drei Flaschen kosten $6\text{€}$. Sechs Flaschen kosten $9\text{€}$. Das ist proportional.“

Prüfung ausklappen

Von drei zu sechs Flaschen wird die Anzahl verdoppelt: $3\cdot 2=6$. Dann müsste auch der Preis verdoppelt werden: $6\text{€}\cdot 2=12\text{€}$. $9\text{€}$ passt also nicht. Die angegebenen Werte sind nicht proportional.

Blick auf ein Diagramm

Bei einer proportionalen Zuordnung liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung. Für das G-Niveau musst Du vor allem erkennen: $0$ Stück kosten $0\text{€}$, und bei gleichem Faktor wachsen beide Größen gemeinsam.

Proportionale Größen im Koordinatensystem

Freie Darstellung von Multiplikationen von 0 bis 10

Lernstrategie: Drei Fragen

Frage	Dein Check
1. Ist die Situation proportional?	Gleicher Faktor muss für beide Größen gelten.
2. Welcher Rechenpfeil führt zum Ziel?	Zum Beispiel $\times 2$, $÷3$ oder zuerst über $1$.
3. Habe ich beide Tabellenzeilen gleich verändert?	Ja → Ergebnis mit Einheit notieren und auf Plausibilität prüfen.

Kurzformel für den Kopf:

gleicher Pfeil oben und unten

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist eine Zuordnung proportional? (Wenn sich zusammengehörige Werte mit demselben Faktor verändern) (!Wenn immer nur addiert wird) (!Wenn die zweite Zahl immer größer ist) (!Wenn alle Zahlen gerade sind)

Du verdoppelst in einer proportionalen Tabelle die Anzahl. Was passiert mit dem zugehörigen Preis? (Der Preis wird ebenfalls verdoppelt) (!Der Preis bleibt gleich) (!Der Preis wird halbiert) (!Der Preis wird um einen Euro erhöht)

Drei Hefte kosten sechs Euro. Was kosten sechs Hefte bei proportionaler Zuordnung? (Zwölf Euro) (!Acht Euro) (!Neun Euro) (!Achtzehn Euro)

Fünf Flaschen kosten zehn Euro. Wie viel kostet eine Flasche? (Zwei Euro) (!Fünf Euro) (!Ein Euro) (!Zehn Euro)

Für vier Personen braucht ein Rezept dreihundert Gramm Nudeln. Wie viel braucht man für acht Personen? (Sechshundert Gramm) (!Vierhundert Gramm) (!Achthundert Gramm) (!Dreihundertvier Gramm)

Sechs Brötchen kosten drei Euro. Was kosten zwei Brötchen? (Ein Euro) (!Zwei Euro) (!Drei Euro) (!Sechs Euro)

Zwei Kilogramm Obst kosten fünf Euro. Was kosten sechs Kilogramm? (Fünfzehn Euro) (!Zehn Euro) (!Zwölf Euro) (!Dreißig Euro)

Welcher Rechenweg ist beim Rechnen über den Wert eins sinnvoll? (Erst teilen bis eins erreicht ist und dann passend vervielfachen) (!Immer nur eins addieren) (!Nur die obere Tabellenzeile verändern) (!Die Einheiten weglassen)

Vier Eintrittskarten kosten acht Euro. Was kosten zehn Karten? (Zwanzig Euro) (!Sechzehn Euro) (!Achtzehn Euro) (!Vierzig Euro)

Welche Wertfolge ist nicht proportional zu eins zwei drei Stück? (Zwei Euro vier Euro sieben Euro) (!Zwei Euro vier Euro sechs Euro) (!Drei Euro sechs Euro neun Euro) (!Fünf Euro zehn Euro fünfzehn Euro)

Memory

Proportional	Gleicher Faktor in beiden Größen
Verdoppeln	Mal zwei
Halbieren	Durch zwei
Einzelpreis	Preis für ein Stück
Wertetabelle	Zusammengehörige Wertepaare
Rezeptmenge	Zutaten passend zur Personenzahl anpassen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Verdoppeln	beide Tabellenwerte mal zwei
Halbieren	beide Tabellenwerte durch zwei
Einzelpreis	Preis für genau ein Stück
Rezeptmenge	Zutatenmenge für eine bestimmte Personenzahl
Proportional	gleiche Veränderung mit demselben Faktor

Kreuzworträtsel

Tabelle	Wie heißt eine Darstellung, in der zusammengehörige Werte in Zeilen und Spalten stehen?
Faktor	Wie heißt die Zahl, mit der Du vervielfachst oder teilst?
Einzelpreis	Wie heißt der Preis für genau ein Stück?
Menge	Welcher Begriff beschreibt zum Beispiel die Zahl der Flaschen oder die Masse der Äpfel?
Rezept	Wobei passt Du Zutatenmengen an die Personenzahl an?
Proportional	Wie heißt eine Zuordnung mit demselben Veränderungsfaktor?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Zuordnung verändern sich zusammengehörige Werte mit demselben Faktor. Eine Übersicht aus zusammengehörigen Werten heißt . Wenn Du die Anzahl verdoppelst, musst Du auch den zugehörigen Wert . Beim Halbieren teilst Du beide zusammengehörigen Werte durch . Wenn ein direkter Rechenpfeil nicht passt, kannst Du zuerst den Wert für bestimmen. Der Preis für genau ein Stück heißt . Bei Geldaufgaben helfen Dir die Einheiten Euro und . In Rezeptaufgaben wird die Zutatenmenge passend zur Zahl der verändert. Beim Rechnen in einer Tabelle muss oben und unten derselbe verwendet werden. Am Ende einer Sachaufgabe gehört eine Antwort mit passender dazu.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Wertetabelle: Erstelle eine Wertetabelle für Stifte, wenn ein Stift 2 € kostet. Trage die Preise für ein bis sechs Stifte ein und markiere zwei Rechenpfeile.
2. Proportionalität: Fotografiere oder zeichne eine Alltagssituation, die proportional sein könnte. Erkläre in zwei Sätzen, warum der gleiche Faktor passt.
3. Preisrechnung: Erfinde eine einfache Preisaufgabe mit ganzen Eurobeträgen und löse sie mit einer proportionalen Tabelle.
4. Rezept: Nimm ein Rezept für vier Personen und berechne eine Zutat für zwei und acht Personen.

Standard

1. Einkauf: Erstelle einen Mini-Supermarkt mit drei Produkten. Lege jeweils einen einfachen Stückpreis fest und baue zu jedem Produkt eine Wertetabelle mit mindestens vier Spalten.
2. Rechenpfeil: Gestalte ein Lernplakat mit den Pfeilen „mal zwei“, „durch zwei“, „mal drei“ und „durch drei“. Ergänze zu jedem Pfeil ein passendes Zahlenpaar.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche proportionale Tabelle. Tausche sie mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner und lasse den Fehler finden und verbessern.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du eine Preisaufgabe zuerst über den Wert eins und danach zur Zielmenge rechnest.

Schwer

1. Proportionalitätsfaktor: Vergleiche zwei Angebote für dasselbe Produkt, bestimme jeweils den Preis pro Stück und begründe, welches Angebot günstiger ist.
2. Sachaufgabe: Entwickle eine Aufgabe, bei der zunächst entschieden werden muss, ob ein proportionaler Zusammenhang sinnvoll ist. Begründe Deine Entscheidung.
3. Rezeptplanung: Plane eine einfache Mahlzeit für zwölf Personen aus einem Rezept für vier Personen. Berechne mindestens vier Zutatenmengen und stelle sie in einer Tabelle dar.
4. Mathematik im Alltag: Führe eine kleine Untersuchung durch, zum Beispiel zu Obstpreisen oder Kopierkosten. Sammle Werte, prüfe die Proportionalität und präsentiere Dein Ergebnis als Tabelle und Diagramm.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Vier Flaschen Saft kosten 6 €. Erkläre zwei mögliche Rechenwege, um den Preis für zehn Flaschen zu bestimmen. Entscheide, welcher Weg für Dich übersichtlicher ist.
2. Fehleranalyse: Jemand rechnet von drei Heften zu neun Heften mit „mal drei“, verändert den Preis aber nur mit „plus drei“. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
3. Modellieren: Ein Geschäft verlangt zusätzlich zum Stückpreis einmalig 2 € Verpackungsgebühr. Begründe, warum die Gesamtkosten dann nicht einfach proportional zur Stückzahl sind.
4. Transfer: Ein Rezept für sechs Personen benötigt 450 g Reis. Berechne die Menge für vier Personen und zeige Deinen Rechenweg in einer Tabelle.
5. Vergleichen: Angebot A: vier Flaschen für 6 €. Angebot B: sechs Flaschen für 8,40 €. Bestimme jeweils den Preis pro Flasche und begründe, welches Angebot günstiger ist.
6. Darstellen: Erfinde selbst eine proportionale Preiszuordnung, stelle mindestens fünf Wertepaare in einer Tabelle dar und beschreibe, wie die zugehörigen Punkte im Koordinatensystem liegen würden.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du proportionale Zusammenhänge nicht nur erkennst, sondern auch sicher nutzt.

1. Proportionalität: Du erklärst mit eigenen Worten, was „gleicher Faktor“ bedeutet.
2. Wertetabelle: Du ergänzt fehlende Werte mit passenden Rechenpfeilen.
3. Multiplikation: Du vervielfachst beide Tabellenzeilen mit demselben Faktor.
4. Division: Du teilst beide Tabellenzeilen durch denselben Faktor.
5. Einzelpreis: Du rechnest bei Bedarf über den Wert eins.
6. Preisrechnung: Du löst einfache Aufgaben mit Euro und Cent.
7. Mengenrechnung: Du passt Mengen bei gleichbleibendem Verhältnis an.
8. Rezept: Du vergrößerst und verkleinerst Zutatenmengen passend zur Personenzahl.
9. Fehleranalyse: Du erkennst typische Fehler und begründest Verbesserungen.
10. Sachaufgabe: Du notierst einen nachvollziehbaren Rechenweg und eine Antwort mit Einheit.

Verknüpfte Lernbereiche

M6 G - Mit proportionalen Tabellen rechnen Proportionalität Wertetabelle Rechenpfeil Dreisatz Proportionalitätsfaktor Preisrechnung Mengenrechnung Rezept Sachaufgabe

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