M6 G - Körper digital drehen und falten

Einleitung

Ein Körper sieht nicht immer gleich aus, obwohl er derselbe bleibt. Wenn Du einen Würfel drehst, siehst Du andere Flächen. Wenn Du seine Oberfläche an Kanten aufschneidest und flach hinlegst, entsteht ein Netz. Wenn Du von oben, von vorne oder von der Seite schaust, entstehen verschiedene Ansichten. Genau diese Wechsel trainierst Du in diesem aiMOOC: drehen – falten – anschauen – vergleichen – begründen.

Dieser Lernweg ist für Klasse 6 auf G-Niveau gedacht. Du arbeitest möglichst oft direkt an digitalen Körpern. Lange Erklärtexte werden durch Bilder, Animationen, interaktive 3D-Modelle, Tabellen und kurze Denkaufträge ersetzt.

Du trainierst	Das kannst Du am Ende
Körper drehen	Du erkennst, welche Fläche nach einer Drehung um $90^{\circ }$, $180^{\circ }$ oder $270^{\circ }$ vorne, oben oder seitlich liegt.
Netze falten	Du entscheidest, ob ein Netz zu einem Würfel oder Quader gefaltet werden kann.
Ansichten lesen	Du unterscheidest Grundriss, Aufriss und Seitenriss.
Darstellungen wechseln	Du verbindest 3D-Körper, Körpernetz und 2D-Ansicht miteinander.
Räumlich begründen	Du erklärst mit Nachbarflächen, gegenüberliegenden Flächen und Kanten, warum Deine Lösung stimmt.

Dein Lernweg: Sehen – Handeln – Sprechen

Schritt	Aktion	Leitfrage
$1$	Sehen	Was erkennst Du sofort?
$2$	Handeln	Was ändert sich beim Drehen oder Falten?
$3$	Vorhersagen	Was müsste als Nächstes sichtbar werden?
$4$	Prüfen	Stimmt Deine Vorstellung mit dem digitalen Modell überein?
$5$	Begründen	Welche Kante, Fläche oder Ansicht beweist Deine Antwort?

Körper digital drehen

Ein Würfel besitzt $6$ quadratische Flächen, $12$ Kanten und $8$ Ecken. Ein Quader besitzt ebenfalls $6$ Flächen, $12$ Kanten und $8$ Ecken; seine Flächen sind Rechtecke. Beim Drehen ändern sich diese Eigenschaften nicht. Nur die Ansicht ändert sich.

Körper	Flächen	Kanten	Ecken	Typische Kantenlängen
Würfel	$6$ Quadrate	$12$	$8$	$a=a=a$
Quader	$6$ Rechtecke	$12$	$8$	$a,b,c$

Interaktive 3D-Manipulation: Würfel aufbauen und drehen

Ziehe, drehe und verändere den Körper direkt. Versuche zuerst im Kopf vorherzusagen, was Du sehen wirst, und prüfe erst danach am Modell.

Direkt am Modell:

1. Vierteldrehung: Drehe den Körper ungefähr um $90^{\circ }$. Welche Fläche wechselt nach vorne?
2. Halbdrehung: Drehe um $180^{\circ }$. Welche Fläche liegt nun gegenüber der Startfläche?
3. Dreivierteldrehung: Vergleiche $270^{\circ }$ in eine Richtung mit $90^{\circ }$ in die Gegenrichtung.
4. Perspektivwechsel: Stelle dieselbe Würfelanordnung so ein, dass möglichst wenige und danach möglichst viele Außenflächen sichtbar sind.

Denkwerkzeug: Eine Fläche festhalten

Wenn Dir eine Drehung schwerfällt, verfolge eine markierte Fläche und eine ihrer Nachbarflächen.

Vor der Drehung	Drehung	Nach der Drehung
Markierte Fläche ist vorne	$90^{\circ }$ nach rechts	Markierte Fläche wandert auf eine Seitenposition
Markierte Fläche ist oben	$180^{\circ }$ um eine waagerechte Achse	Markierte Fläche liegt unten
Markierte Fläche ist hinten	$180^{\circ }$ um eine senkrechte Achse	Markierte Fläche liegt vorne

Merksatz: Drehst Du einen Körper, bleiben Nachbarschaften erhalten. Zwei Flächen, die eine gemeinsame Kante haben, bleiben Nachbarflächen.

Vom Körper zum Netz – und zurück

Ein Körpernetz zeigt die Oberfläche eines Körpers flach in der Ebene. Es entsteht, wenn genügend Kanten gedanklich aufgeschnitten und die Flächen auseinandergeklappt werden. Beim Zurückfalten müssen die passenden Kanten wieder zusammentreffen.

Beobachtungsauftrag zur Animation: Stoppe gedanklich an drei Stellen: ganz geschlossen, halb geöffnet und ganz flach. Welche Flächen bleiben während des Faltens Nachbarn?

Interaktiv: Würfel auf- und zusammenfalten

Bewege den Regler langsam. Drehe zusätzlich die 3D-Ansicht. So kannst Du Falten und Drehen gleichzeitig untersuchen.

Experiment	Vorhersage	Prüfen am Modell
Eine Seitenfläche hochklappen	Welche Kante wird zur Würfelkante?	Regler nur wenig bewegen
Zwei benachbarte Flächen hochklappen	Werden sie Nachbarn oder gegenüberliegend?	Ansicht drehen
Netz fast schließen	Welche Fläche schließt zuletzt?	Regler bis kurz vor das Ende bewegen

Die 11 Würfelnetze

Es gibt genau $11$ verschiedene Würfelnetze, wenn Drehungen und Spiegelungen nicht als neue Form gezählt werden.

In der folgenden interaktiven Ansicht kannst Du verschiedene Würfelnetze auswählen und mit einem Schieberegler zusammenfalten.

Falt-Check statt Raten:

1. Gegenüberliegende Flächen: Suche zwei Flächen, die beim Falten niemals eine gemeinsame Kante bekommen.
2. Kollision: Prüfe, ob zwei Quadrate beim Falten auf dieselbe Stelle gelangen würden.
3. Viererstreifen: Bei vielen Würfelnetzen bildet eine Reihe aus vier Quadraten den „Mantel“ des Würfels.
4. Probehandlung: Sage zuerst voraus, dann falte digital.

Mini-Challenge: Welche Fläche liegt gegenüber?

Stelle Dir ein Würfelnetz vor, bei dem vier Quadrate in einer Reihe liegen. An das zweite Quadrat ist oben ein Quadrat angefügt, an das dritte unten ein Quadrat.

Schritt	Deine Handlung
$1$	Markiere das zweite Quadrat als Startfläche.
$2$	Falte die vier Quadrate gedanklich zu einem Ring.
$3$	Klappe obere und untere Zusatzfläche zu.
$4$	Nenne ein Paar gegenüberliegender Flächen und begründe es.

Quadernetze digital verändern

Beim Quader sind gegenüberliegende Flächen jeweils gleich groß. Bei Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ kommen die Rechteckstypen $a\cdot b$, $a\cdot c$ und $b\cdot c$ jeweils zweimal vor.

Interaktiv: Länge, Breite und Höhe verändern

Verändere die Maße mit den Schiebereglern. Beobachte, welche Rechtecke im Netz gleichzeitig ihre Form ändern.

Änderung	Was bleibt?	Was ändert sich?
Nur $a$ wird größer	Anzahl der Flächen bleibt $6$	Rechtecke mit Seitenlänge $a$ werden länger
$a=b=c$	$6$ Flächen	Der Quader wird zum Würfel
$c$ wird sehr klein	Gegenüberliegende Flächen bleiben gleich groß	Der Körper wird flacher

Interaktiv: Quadernetz räumlich untersuchen

Nutze die 3D-Ansicht und drehe den Quader. Verfolge ein Rechteck vom flachen Netz bis zur Seitenfläche.

3D-Auftrag: Wähle eine Fläche als Ankerfläche. Sage vor dem Drehen voraus, welche Fläche nach einer Vierteldrehung oben liegen wird. Prüfe anschließend am Modell.

Netz und Oberfläche – visuell rechnen

Das Netz macht sichtbar, warum die Oberfläche eines Quaders aus drei Rechteckspaaren besteht:

$O=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c$

gleichbedeutend mit

$O=2\cdot (ab+ac+bc)$.

Für einen Würfel gilt wegen $a=b=c$:

$O=6\cdot a^2$.

Visueller Schritt	Beispiel mit $a=2\mathrm{c}\mathrm{m}$
Eine Quadratfläche	$A=a^2=(2\mathrm{c}\mathrm{m}{)}^2=4{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
Sechs gleiche Quadratflächen	$O=6\cdot 4{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
Oberfläche	$O=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Wichtig: Die Formel soll nicht auswendig „heruntergesagt“ werden. Zeige am Netz, woher jeder Flächenanteil kommt.

Weitere Körper falten

Das Grundprinzip gilt auch für andere Polyeder: Flächen werden an Kanten verbunden und zu einem räumlichen Körper gefaltet.

Körper	Typische Flächen im Netz	Denkfrage
Würfel	$6$ Quadrate	Welche Quadrate werden gegenüberliegend?
Quader	$6$ Rechtecke	Welche Rechtecke sind gleich groß?
Quadratische Pyramide	$1$ Quadrat und $4$ Dreiecke	Welche Kanten der Dreiecke treffen sich an der Spitze?
Dreiecksprisma	$2$ Dreiecke und $3$ Rechtecke	Welche beiden Flächen werden Grund- und Deckfläche?

Entdeckeransicht: verschiedene Körpernetze

Drehe die 3D-Körper und spiele die Faltbewegung ab. Nutze Pause, um Zwischenstellungen zu betrachten.

Forscherauftrag: Wähle zwei verschiedene Körper. Beschreibe nicht zuerst ihren Namen, sondern nur ihre Flächen. Lass eine Partnerperson erraten, welcher Körper gemeint ist.

Grundriss, Aufriss und Seitenriss

Ein Körper kann in verschiedenen 2D-Ansichten dargestellt werden. Für diesen Lernweg genügt zunächst:

Ansicht	Blickrichtung	Denkbild
Grundriss	von oben	„Drohnenblick“
Aufriss	von vorne	„Blick auf die Vorderseite“
Seitenriss	von links oder rechts	„Blick von der Seite“

Interaktiv: 3D-Körper und drei Risse gleichzeitig

Drehe die 3D-Sicht. Vergleiche die Projektionen. Achte darauf: Ein Würfel, der hinter einem anderen steht, kann in einer Ansicht verdeckt sein.

Manipulationsauftrag:

1. Grundriss: Suche eine Stellung, in der zwei Würfel im Grundriss nebeneinander erscheinen.
2. Aufriss: Drehe die Körperanordnung so, dass im Aufriss möglichst viele Höhen sichtbar werden.
3. Seitenriss: Vergleiche linken und rechten Seitenblick. Welche Informationen bleiben gleich?
4. Verdeckung: Finde ein Beispiel, bei dem eine Ansicht nicht verrät, ob hinter einem sichtbaren Würfel noch ein Würfel steht.

Video: Grundriss und Aufriss

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Video-Stopp-Auftrag: Halte vor einer Lösung an und zeichne zuerst Deine Vermutung. Vergleiche dann mit der Erklärung.

Schrägbilder lesen und mit Ansichten verbinden

Ein Schrägbild soll räumlich wirken, obwohl es auf einer ebenen Fläche gezeichnet wird. Für viele Schulaufgaben werden nach hinten laufende Kanten schräg gezeichnet; häufig nutzt man dafür einen Winkel von $45^{\circ }$ und eine verkürzte Tiefendarstellung. Entscheidend ist: Ein Schrägbild ist eine Darstellung des Körpers, nicht der Körper selbst.

Video: Würfel und Quader als Schrägbild

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Vom Körper ...	... zur Darstellung	Prüffrage
drehen	anderes Schrägbild	Ist der Körper noch derselbe?
von oben ansehen	Grundriss	Welche Flächen liegen übereinander?
aufschneiden und aufklappen	Körpernetz	Welche Flächen bleiben verbunden?
Netz zusammenfalten	3D-Körper	Welche Kanten treffen sich?

Raumvorstellung gezielt trainieren

Räumliches Denken wird besser, wenn Du nicht sofort „drauflos klickst“, sondern einen festen Ablauf nutzt.

Strategie	Kurzregel	Beispiel
Vorhersagen	Erst denken, dann bewegen	„Nach $90^{\circ }$ rechts müsste die blaue Fläche seitlich liegen.“
Ankerfläche	Eine Fläche gedanklich verfolgen	„Rot war oben; nach der Halbdrehung ist Rot unten.“
Nachbarschaft	Gemeinsame Kanten beachten	„Diese beiden Flächen bleiben beim Falten Nachbarn.“
Gegenüber	Paare merken	„Gegenüberliegende Würfelflächen berühren sich nicht an einer Kante.“
Ansichten trennen	Blickrichtung zuerst nennen	„Ich schaue von oben, also zeichne ich den Grundriss.“

30-Sekunden-Training

Nutze einen echten Spielwürfel oder einen selbst gebastelten Papierwürfel. Markiere drei benachbarte Flächen mit A, B und C.

1. Drehvorhersage: Schließe die Augen und sage voraus, wo A nach einer Vierteldrehung liegt.
2. Faltvorhersage: Öffne ein Papiernetz nur teilweise und sage voraus, welche Flächen beim Schließen zusammentreffen.
3. Ansichtenwechsel: Zeichne denselben kleinen Würfelturm von oben und von vorne.
4. Fehlerjagd: Lass eine andere Person absichtlich einen falschen Riss zeichnen und finde den Fehler.

Medien- und Lizenzhinweise

Die statischen und animierten Abbildungen stammen aus Wikimedia Commons und werden über ihre dortigen freien beziehungsweise gemeinfreien Lizenzangaben eingebunden. Die GeoGebra-Materialien werden als externe interaktive Materialien eingebettet; GeoGebra dokumentiert die Einbettung per iframe offiziell.

1. : GergMelon, CC BY 4.0, Wikimedia Commons.
2. : Rectas, CC0, Wikimedia Commons.
3. : Ruleroll, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons.
4. : gemeinfreie geometrische Vorlage, Vektorisierung durch Stannered, Wikimedia Commons.
5. : einfache geometrische Form, auf Wikimedia Commons als Public-Domain-Shape gekennzeichnet.
6. : auf Wikimedia Commons als gemeinfrei dokumentiert.
7. : einfache geometrische Darstellung, auf Wikimedia Commons als gemeinfrei gekennzeichnet.
8. GeoGebra: cube net unfold von b.caplan.
9. GeoGebra: Die 11 Netze eines Würfels von R. Herzog.
10. GeoGebra: Cuboid Net Generator von Jennifer Gottschalk.
11. GeoGebra: Cuboid Net von Patrick Cobb.
12. GeoGebra: Risse von Jo Strebel.
13. GeoGebra: Cube Create von Lee W Fisher.
14. GeoGebra-Dokumentation zur Material-Einbettung.
15. Die eingebetteten YouTube-Videos werden über die YouTube-Einbettung abgespielt; es wird keine Videodatei in den aiMOOC kopiert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ändert sich sicher, wenn Du einen Würfel nur drehst? (Die Ansicht des Würfels) (!Die Anzahl seiner Flächen) (!Die Anzahl seiner Kanten) (!Die Anzahl seiner Ecken)

Wie viele Flächen hat ein Würfel? (6) (!4) (!8) (!12)

Woraus besteht ein Würfelnetz? (Aus sechs Quadraten) (!Aus vier Quadraten) (!Aus sechs Dreiecken) (!Aus acht Rechtecken)

Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es ohne Drehungen und Spiegelungen als neue Form zu zählen? (11) (!6) (!8) (!12)

Welche Ansicht zeigt einen Körper von oben? (Grundriss) (!Aufriss) (!Seitenriss) (!Schrägbild)

Welche Ansicht zeigt einen Körper von vorne? (Aufriss) (!Grundriss) (!Körpernetz) (!Draufsicht von oben)

Welche Aussage über gegenüberliegende Flächen eines Quaders stimmt? (Sie sind gleich groß) (!Sie müssen Quadrate sein) (!Sie haben nie parallele Kanten) (!Sie berühren sich an einer Kante)

Was bleibt beim Falten eines Netzes erhalten? (Flächen, die an einer Faltkante verbunden sind, bleiben Nachbarn) (!Jede Fläche wird zu einer Kante) (!Die Zahl der Flächen verdoppelt sich) (!Alle Flächen liegen danach in einer Ebene)

Welche Drehung entspricht einer halben Umdrehung? (180 Grad) (!45 Grad) (!90 Grad) (!270 Grad)

Warum kann ein Grundriss Informationen über versteckte Würfel verlieren? (Würfel können aus dieser Blickrichtung hintereinander liegen) (!Ein Grundriss zeigt immer nur Kreise) (!Im Grundriss gibt es keine Kanten) (!Ein Grundriss ist dasselbe wie ein Körpernetz)

Memory

Würfel	sechs quadratische Flächen
Quader	sechs rechteckige Flächen
Körpernetz	aufgeklappte Oberfläche
Grundriss	Blick von oben
Aufriss	Blick von vorne
Seitenriss	Blick von der Seite
Drehung	verändert die Ansicht
Faltkante	verbindet benachbarte Flächen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Draufsicht	Grundriss
Vorderansicht	Aufriss
Blick von der Seite	Seitenriss
Sechs Quadrate	Würfelnetz
Drei Paare gleich großer Rechtecke	Quadernetz

Kreuzworträtsel

Würfelnetz	Wie heißt eine ebene Faltvorlage aus sechs passenden Quadraten?
Quader	Welcher Körper besitzt sechs rechteckige Flächen?
Grundriss	Wie heißt die Ansicht eines Körpers von oben?
Aufriss	Wie heißt die Ansicht eines Körpers von vorne?
Seitenriss	Wie heißt die Ansicht eines Körpers von links oder rechts?
Pyramide	Welcher Körper kann ein Quadrat als Grundfläche und Dreiecke als Seitenflächen haben?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Würfel hat Flächen.

Beim Drehen eines Körpers verändert sich seine .

Ein flach ausgebreiteter Körper heißt als Darstellung .

Der Blick von oben heißt .

Der Blick von vorne heißt .

Ein Blick von links oder rechts kann als dargestellt werden.

Gegenüberliegende Flächen eines Quaders sind .

Beim Falten treffen passende wieder aufeinander.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Würfel drehen: Nimm einen Spielwürfel. Lege eine bestimmte Zahl nach oben, drehe den Würfel um $90^{\circ }$ und zeichne vorher auf, welche Zahl danach oben liegen könnte. Prüfe durch Ausführen der Drehung.
2. Würfelnetz markieren: Zeichne ein gültiges Würfelnetz auf Karopapier. Färbe zwei Flächen, die beim gefalteten Würfel gegenüberliegen, verschieden und überprüfe Deine Vermutung durch Falten.
3. Quader im Alltag: Finde drei quaderförmige Verpackungen. Fotografiere oder skizziere sie und markiere je Grundfläche, Deckfläche und eine Seitenfläche.
4. Ansichten zeichnen: Baue aus vier Würfeln einen kleinen Körper und zeichne Grundriss und Aufriss auf kariertes Papier.

Standard

1. Digitales Würfelnetz: Nutze ein digitales Faltmodell. Wähle drei verschiedene Würfelnetze und protokolliere jeweils ein Paar gegenüberliegender Flächen.
2. Quadernetz verändern: Verändere in einem digitalen Quadernetz nacheinander $a$, $b$ und $c$. Erkläre mit Screenshots oder Skizzen, welche Flächen sich jeweils verändern.
3. Risse vergleichen: Baue zwei verschiedene Würfelkörper, die denselben Grundriss haben. Zeige durch Aufriss oder Seitenriss, worin sie sich unterscheiden.
4. Fehlerwerkstatt: Erfinde ein falsches Würfelnetz, das fast richtig aussieht. Markiere die Stelle, an der beim Falten eine Kollision entsteht, und begründe den Fehler.

Schwer

1. Körper rekonstruieren: Erfinde einen Würfelbau aus höchstens acht Einheitswürfeln. Gib nur Grundriss, Aufriss und Seitenriss weiter. Eine Partnerperson soll den Körper rekonstruieren.
2. Netzfamilien untersuchen: Sortiere die $11$ Würfelnetze nach selbst gewählten Merkmalen, zum Beispiel langer Viererstreifen, T-Form oder Lage der Zusatzquadrate. Begründe Deine Sortierung.
3. Perspektivwechsel erklären: Erstelle ein kurzes Erklärvideo, in dem Du denselben Körper als 3D-Modell, Netz, Grundriss und Aufriss zeigst und die Übergänge erklärst.
4. Eigene Falt-Challenge: Entwirf ein Netz für eine quadratische Pyramide oder ein Dreiecksprisma. Baue den Körper aus Papier und dokumentiere, welche Kanten beim Falten zusammentreffen.

Lernkontrolle

1. Drehung begründen: Ein Würfel hat die markierte Fläche A vorne und B oben. Beschreibe eine Drehung, nach der B vorne liegt. Begründe ohne Ausprobieren, wohin A wandern kann.
2. Netz prüfen: Du erhältst zwei verschiedene Anordnungen aus sechs Quadraten. Entwickle eine Strategie, mit der Du entscheidest, welches davon ein Würfelnetz ist. Erkläre die Strategie so, dass eine andere Person sie anwenden kann.
3. Darstellungen verbinden: Zu einem Würfelbau sind Grundriss und Aufriss gegeben. Nenne mindestens zwei Möglichkeiten, wie der Körper aussehen könnte, und erkläre, welche zusätzliche Ansicht die Mehrdeutigkeit verringert.
4. Fehleranalyse: Eine Person behauptet: „Wenn zwei Flächen im Netz weit auseinanderliegen, liegen sie am Würfel immer gegenüber.“ Widerlege die Aussage mit einem Gegenbeispiel oder einer Faltargumentation.
5. Transfer auf Quader: Erkläre, welche Idee vom Würfelnetz auf ein Quadernetz übertragbar ist und was sich wegen verschiedener Kantenlängen ändert.
6. Modell und Wirklichkeit: Vergleiche Schrägbild, Grundriss und Körpernetz desselben Quaders. Erkläre, welche Information jede Darstellung besonders gut zeigt und welche sie weniger gut zeigt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Begriffe kennst, sondern räumliche Beziehungen sicher erklären kannst.

1. Körper erkennen: Würfel, Quader, quadratische Pyramide und Dreiecksprisma an ihren Flächen beschreiben.
2. Drehungen: Vorhersagen, wie sich sichtbare Flächen bei einfachen Drehungen verändern.
3. Körpernetze: gültige und ungültige Netze unterscheiden und die Entscheidung mit Faltkanten oder Kollisionen begründen.
4. Würfelnetze: wissen, dass es $11$ verschiedene Würfelnetze gibt, und mit mindestens mehreren davon sicher arbeiten.
5. Quadernetze: die drei Paare gegenüberliegender Rechtecke erkennen.
6. Ansichten: Grundriss, Aufriss und Seitenriss unterscheiden und zu einfachen Würfelbauten zeichnen.
7. Darstellungswechsel: zwischen 3D-Körper, Netz, Schrägbild und Riss wechseln.
8. Fachsprache: Fläche, Kante, Ecke, Nachbarfläche, gegenüberliegende Fläche und Faltkante korrekt verwenden.
9. Begründungen: Lösungen mit räumlichen Beziehungen erklären statt nur zu raten.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zum Körpernetz bietet zusätzliche Beispiele für Netze verschiedener geometrischer Körper.

Ergänzend:

1. Wikipedia: Würfel
2. Wikipedia: Quader
3. Wikipedia: Netz (Geometrie)

Verknüpfte Lernbereiche

M6 G - Körper digital drehen und falten Würfel Quader Körpernetz Schrägbild Grundriss Aufriss Seitenriss Räumliches Vorstellungsvermögen Geometrische Körper