M6 G - Gleichnamige Brüche subtrahieren

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, gleichnamige positive Brüche zu subtrahieren. Gleichnamig bedeutet: Die Brüche haben denselben Nenner. Du entwickelst das Rechnen nicht nur als Regel, sondern aus zwei wichtigen Vorstellungen:

1. Wegnehmen: Von einem vorhandenen Bruchteil wird etwas weggenommen.
2. Unterschied bestimmen: Zwei Bruchteile werden miteinander verglichen. Gesucht ist der Abstand zwischen ihnen.

Wir arbeiten mit Bruchstreifen, Kreismodellen, Zahlengeraden, Rechenwegen und interaktiven Darstellungen. Am Ende sollst Du Ergebnisse sicher kürzen können.

Das kannst Du nach dem aiMOOC	Mathematische Kurzform
Gleichnamige Brüche erkennen	$\frac{a}{n},\frac{b}{n}$
Zähler subtrahieren und Nenner beibehalten	$\frac{a}{n}-\frac{b}{n}=\frac{a-b}{n}$
Eine Wegnehmsituation darstellen	$\frac{6}{8}-\frac{2}{8}=\frac{4}{8}$
Eine Differenz bestimmen	$\frac{7}{10}-\frac{4}{10}=\frac{3}{10}$
Das Ergebnis vollständig kürzen	$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Beobachte: Jeder Bruchstreifen stellt dasselbe Ganze dar. Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt ist.

Vorwissen: Zähler und Nenner

Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich und Nenner:

$$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$$

Beispiel:

$$\frac{5}{8}$$

Bestandteil	Bedeutung bei $\frac{5}{8}$
Zähler	$5$ Teile sind gemeint.
Nenner	Das Ganze ist in $8$ gleich große Teile geteilt.

Wichtig: Bei gleichnamigen Brüchen sind die Teilstücke gleich groß. Deshalb kann man ihre Anzahlen direkt voneinander abziehen.

$$\frac{5}{8}\text{und}\frac{2}{8}$$

Beide Brüche bestehen aus Achteln.

Was bedeutet gleichnamig?

Zwei Brüche sind gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben.

$$\frac{3}{7}\text{und}\frac{5}{7}\Rightarrow \text{gleichnamig}$$

$$\frac{3}{7}\text{und}\frac{5}{8}\Rightarrow \text{nicht gleichnamig}$$

Bruchpaar	Gleichnamig?	Begründung
$\frac{4}{9}$ und $\frac{7}{9}$	Ja	Beide Nenner sind $9$.
$\frac{2}{5}$ und $\frac{2}{7}$	Nein	Die Nenner sind verschieden.
$\frac{11}{12}$ und $\frac{5}{12}$	Ja	Beide Brüche bestehen aus Zwölfteln.

Wegnehmen mit Bruchstreifen

Stell Dir vor, von einer Tafel sind noch $\frac{6}{8}$ vorhanden. Du gibst $\frac{2}{8}$ ab. Wie viel bleibt?

$$\frac{6}{8}-\frac{2}{8}$$

Bruchstreifen in Achteln

Zustand	1	2	3	4	5	6	7	8
Anfang: $\frac{6}{8}$	■	■	■	■	■	■	□	□
Weg: $\frac{2}{8}$	■	■	■	■	×	×	□	□
Rest: $\frac{4}{8}$	■	■	■	■	□	□	□	□

Die Größe der Teilstücke ändert sich nicht: Es bleiben Achtel. Nur die Anzahl der vorhandenen Achtel wird kleiner.

$$\frac{6}{8}-\frac{2}{8}=\frac{6-2}{8}=\frac{4}{8}$$

Danach kürzt Du:

$$\frac{4}{8}=\frac{4:4}{8:4}=\frac{1}{2}$$

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{6}{8}-\frac{2}{8}=\frac{1}{2}}}

Wegnehmen am Kuchenmodell

Ein Ganzes kann in vier Viertel zerlegt werden. Wird von $\frac{4}{4}$ genau $\frac{1}{4}$ weggenommen, bleiben:

$$\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Sprich die Rechnung:

$$\text{vier Viertel minus ein Viertel sind drei Viertel}$$

Das ist derselbe Gedanke wie:

$$4\text{ Äpfel}-1\text{ Apfel}=3\text{ Äpfel}$$

Bei gleichnamigen Brüchen heißen die gleich großen Einheiten eben zum Beispiel Viertel, Achtel oder Zehntel.

Differenzsituationen: Wie groß ist der Unterschied?

Subtraktion bedeutet nicht immer Wegnehmen. Sie kann auch den Unterschied zwischen zwei Größen beschreiben.

Mira läuft $\frac{7}{10}$ km, Nils $\frac{4}{10}$ km. Wie viel weiter läuft Mira?

$$\frac{7}{10}-\frac{4}{10}=\frac{3}{10}$$

Strecke	Zehntelstreifen
Mira: $\frac{7}{10}$	■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ □ □ □
Nils: $\frac{4}{10}$	■ ■ ■ ■ □ □ □ □ □ □
Unterschied	□ □ □ □ ■ ■ ■ □ □ □

Der Abstand zwischen beiden Werten beträgt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{3}{10}\text{ km}}}

Merke: Bei einer Differenzfrage suchst Du nicht unbedingt einen Rest. Du suchst den Abstand zwischen zwei Werten.

Die Rechenregel entdecken

Vergleiche:

$$\frac{8}{11}-\frac{3}{11}=\frac{5}{11}$$

$$\frac{7}{12}-\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$$

$$\frac{5}{9}-\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Was bleibt immer gleich? Der Nenner.

Was wird gerechnet? Die Zähler.

Schritt	Allgemein	Beispiel
1. Nenner prüfen	$n=n$	$8=8$
2. Zähler subtrahieren	$a-b$	$6-2=4$
3. Nenner beibehalten	$n$	$8$
4. Ergebnis kürzen	wenn möglich	$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Rechenregel:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{a}{n}-\frac{b}{n}=\frac{a-b}{n}}}

Für diesen aiMOOC wählen wir Aufgaben mit $a>b>0$, sodass auch das Ergebnis positiv ist.

Warum darf man die Nenner nicht subtrahieren?

Ein typischer Fehler wäre:

$$\frac{6}{8}-\frac{2}{8}\ne \frac{4}{0}$$

Der Nenner beschreibt die Größe der Teilstücke. Wenn Du Achtel voneinander abziehst, bleiben die Teilstücke Achtel.

$$6\text{ Achtel}-2\text{ Achtel}=4\text{ Achtel}$$

Also:

$$\frac{6}{8}-\frac{2}{8}=\frac{4}{8}$$

Nicht:

$$\frac{6-2}{8-8}$$

Ein Nenner $0$ ist bei einem Bruch außerdem nicht erlaubt.

Kürzen gehört zum Ergebnis

Nach dem Subtrahieren prüfst Du, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler größer als $1$ besitzen.

Beispiel:

$$\frac{9}{12}-\frac{3}{12}=\frac{6}{12}$$

Zähler und Nenner sind durch $6$ teilbar:

$$\frac{6}{12}=\frac{6:6}{12:6}=\frac{1}{2}$$

Damit:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{9}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{2}}}

Gleichwertige Brüche liegen am Zahlenstrahl an derselben Stelle. Deshalb ändert Kürzen den Wert des Bruchs nicht.

Kürz-Check mit mehreren Beispielen

Aufgabe	Erst subtrahieren	Dann kürzen	Endergebnis
$\frac{6}{8}-\frac{2}{8}$	$\frac{4}{8}$	$\frac{4:4}{8:4}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{7}{10}-\frac{2}{10}$	$\frac{5}{10}$	$\frac{5:5}{10:5}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{11}{12}-\frac{5}{12}$	$\frac{6}{12}$	$\frac{6:6}{12:6}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{5}{6}-\frac{1}{6}$	$\frac{4}{6}$	$\frac{4:2}{6:2}$	$\frac{2}{3}$
$\frac{7}{9}-\frac{1}{9}$	$\frac{6}{9}$	$\frac{6:3}{9:3}$	$\frac{2}{3}$

Arbeitsroutine:

$$\text{Nenner prüfen}\to \text{Zähler minus Zähler}\to \text{Nenner behalten}\to \text{kürzen}$$

Subtrahieren auf der Zahlengeraden

Subtrahieren kann als Bewegung nach links dargestellt werden.

Beispiel:

$$\frac{6}{8}-\frac{2}{8}$$

Start bei:

$$\frac{6}{8}$$

Gehe zwei Achtelschritte nach links:

$$\frac{6}{8}\to \frac{5}{8}\to \frac{4}{8}$$

Dann kürzen:

$$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

Dynamische Zahlengerade: Verschiebe in der folgenden GeoGebra-Darstellung Brüche auf dem Zahlenstrahl und beobachte, wie gleiche Teilabstände entstehen.

Bewegliche Bruchmodelle und dynamische Geometrie

Die folgende GeoGebra-Aktivität ist speziell für die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche gedacht. Du kannst Bruchteile einstellen, Kreise verschieben und das Ergebnis sichtbar machen.

Forscherauftrag:

1. Stelle $\frac{5}{8}-\frac{2}{8}$ dar.
2. Bewege die Bruchteile so, dass Du das Wegnehmen erkennen kannst.
3. Lies das Ergebnis am Modell ab.
4. Prüfe anschließend rechnerisch mit $\frac{5-2}{8}$.

Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Beispiel:

$$\frac{10}{12}-\frac{4}{12}$$

Schritt	Was Du tust	Rechnung
1	Prüfe den Nenner.	$12=12$
2	Ziehe die Zähler ab.	$10-4=6$
3	Behalte den Nenner.	$\frac{6}{12}$
4	Suche einen gemeinsamen Teiler.	$6$
5	Kürze vollständig.	$\frac{6:6}{12:6}=\frac{1}{2}$

Damit:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{10}{12}-\frac{4}{12}=\frac{1}{2}}}

Erklärvideo

Dieses Erklärvideo behandelt das Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche. Achte besonders darauf, was mit Zähler und Nenner geschieht.

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Fortfahren Ausblenden

Videoauftrag: Notiere nach dem Video einen Merksatz mit den Wörtern Zähler, Nenner und kürzen.

Wegnehmen oder Unterschied?

Ordne die Situation zuerst gedanklich ein.

Situation	Vorstellung	Rechnung
Von $\frac{7}{8}$ einer Flasche werden $\frac{3}{8}$ verbraucht.	Wegnehmen	$\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
Lea liest $\frac{9}{10}$ eines Buches, Tom $\frac{6}{10}$. Wie groß ist der Unterschied?	Differenz	$\frac{9}{10}-\frac{6}{10}=\frac{3}{10}$
Von $\frac{11}{12}$ einer Strecke werden $\frac{5}{12}$ gestrichen.	Wegnehmen	$\frac{11}{12}-\frac{5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
Zwei Messwerte sind $\frac{7}{9}$ und $\frac{4}{9}$. Wie groß ist ihr Abstand?	Differenz	$\frac{7}{9}-\frac{4}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Plausibilitätscheck

Nach einer Subtraktion positiver Brüche mit größerem ersten Bruch muss das Ergebnis:

1. positiv sein,
2. kleiner als der erste Bruch sein,
3. beim Kürzen denselben Wert behalten.

Beispiel:

$$\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

Der Check passt:

$$0<\frac{1}{2}<\frac{7}{8}$$

Ein Ergebnis wie $\frac{10}{8}$ wäre hier unplausibel, weil es größer als der Ausgangsbruch $\frac{7}{8}$ wäre.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann sind zwei Brüche gleichnamig? (Wenn sie denselben Nenner haben) (!Wenn sie denselben Zähler haben) (!Wenn beide Brüche kleiner als eins sind) (!Wenn beide Brüche bereits gekürzt sind)

Was ist $\frac{7}{9}-\frac{2}{9}$? (!$\frac{5}{18}$) ($\frac{5}{9}$) (!$\frac{9}{9}$) (!$\frac{7}{7}$)

Was geschieht beim Subtrahieren gleichnamiger Brüche mit dem Nenner? (!Er wird subtrahiert) (!Er wird verdoppelt) (Er bleibt gleich) (!Er wird immer halbiert)

Welches vollständig gekürzte Ergebnis gehört zu $\frac{6}{8}-\frac{2}{8}$? ($\frac{1}{2}$) (!$\frac{4}{6}$) (!$\frac{4}{16}$) (!$\frac{2}{8}$)

Welche Rechnung beschreibt eine Wegnehmsituation? (!Zwei Strecken werden auf ihren Unterschied verglichen) ($\frac{7}{10}$ einer Flasche sind da und $\frac{2}{10}$ werden verbraucht) (!Ein Bruch wird nur gekürzt) (!Zwei Nenner werden miteinander verglichen)

Was ist die Differenz zwischen $\frac{9}{12}$ und $\frac{5}{12}$? (!$\frac{14}{12}$) (!$\frac{4}{24}$) (!$\frac{5}{12}$) ($\frac{4}{12}$)

Warum kann $\frac{4}{8}$ zu $\frac{1}{2}$ gekürzt werden? (Weil Zähler und Nenner durch 4 teilbar sind) (!Weil nur der Nenner durch 4 geteilt wird) (!Weil 4 plus 8 gleich 12 ist) (!Weil bei jedem Bruch der Nenner halbiert werden darf)

Welcher Rechenweg ist richtig? (!$\frac{8}{11}-\frac{3}{11}=\frac{5}{0}$) ($\frac{8}{11}-\frac{3}{11}=\frac{5}{11}$) (!$\frac{8}{11}-\frac{3}{11}=\frac{11}{11}$) (!$\frac{8}{11}-\frac{3}{11}=\frac{8}{8}$)

Was bedeutet die Frage nach dem Unterschied zweier Brüche? (!Man soll beide Nenner addieren) (!Man soll beide Brüche verdoppeln) (Man soll ihren Abstand bestimmen) (!Man soll nur den größeren Bruch kürzen)

Welche Reihenfolge ist sinnvoll? (!Nenner subtrahieren, Zähler behalten, erweitern) (!Erweitern, Nenner addieren, Ergebnis verdoppeln) (!Zähler addieren, Nenner subtrahieren, kürzen) (Nenner prüfen, Zähler subtrahieren, Nenner behalten, Ergebnis kürzen)

Memory

Gleichnamige Brüche	gleicher Nenner
Zähler	Anzahl der betrachteten Teile
Nenner	Größe der gleich großen Teilung
Differenz	Ergebnis einer Subtraktion
Kürzen	Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Wegnehmen	von einer vorhandenen Menge etwas entfernen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gleichnamig	gleicher Nenner
Zählerrechnung	obere Zahlen voneinander abziehen
Nenner bleibt	die Größe der Teilstücke ändert sich nicht
Kürzen	gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner verwenden
Plausibilitätscheck	das Ergebnis muss kleiner als der erste positive Bruch sein

Kreuzworträtsel

Zaehler	Welche Zahl eines Bruchs gibt an, wie viele Teile gemeint sind?
Nenner	Welche Zahl eines Bruchs beschreibt die Teilung des Ganzen?
Differenz	Wie heißt das Ergebnis einer Subtraktion?
Kuerzen	Wie heißt das Teilen von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl?
Minuend	Wie heißt die Zahl oder der Bruch, von dem etwas abgezogen wird?
Subtrahend	Wie heißt die Zahl oder der Bruch, der abgezogen wird?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Zwei Brüche sind gleichnamig, wenn sie denselben haben.

Beim Subtrahieren gleichnamiger Brüche werden die voneinander abgezogen.

Der gemeinsame Nenner bleibt bei der Rechnung .

Die Rechnung $\frac{7}{10}-\frac{4}{10}$ ergibt .

Nach dem Subtrahieren soll das Ergebnis möglichst vollständig werden.

Beim Kürzen teilt man Zähler und Nenner durch denselben .

Eine Wegnehmsituation beschreibt, dass von einer vorhandenen Menge etwas wird.

Eine Differenzsituation fragt nach dem zwischen zwei Werten.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchstreifen: Zeichne einen Streifen für $\frac{7}{8}$. Streiche $\frac{3}{8}$ weg und notiere Rechnung und gekürztes Ergebnis.
2. Kreismodell: Teile einen Kreis in sechs gleich große Teile. Markiere $\frac{5}{6}$ und stelle $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}$ zeichnerisch dar.
3. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $1$ in Achteln. Starte bei $\frac{7}{8}$ und gehe drei Achtelschritte nach links.
4. Fehlersuche: Erkläre mit einer Zeichnung, warum $\frac{6}{9}-\frac{2}{9}$ nicht $\frac{4}{0}$ sein kann.

Standard

1. Sachaufgabe: Erfinde eine Wegnehmsituation zu $\frac{9}{10}-\frac{3}{10}$. Löse sie und kürze das Ergebnis.
2. Differenz: Erfinde eine Vergleichssituation zu $\frac{11}{12}-\frac{5}{12}$. Erkläre, warum hier eine Differenz und kein Rest gesucht wird.
3. Erklärvideo: Produziere ein höchstens 90 Sekunden langes Lernvideo, in dem Du die Regel zur Subtraktion gleichnamiger Brüche an einem selbst gezeichneten Bruchstreifen erklärst.
4. Fehleranalyse: Eine Schülerin rechnet $\frac{8}{12}-\frac{2}{12}=\frac{6}{12}$ und hört auf. Bewerte das Ergebnis und verbessere es vollständig.

Schwer

1. Darstellungswechsel: Zeige $\frac{10}{12}-\frac{4}{12}$ als Bruchstreifen, auf einer Zahlengeraden und als Rechnung. Beschreibe, was in allen drei Darstellungen gleich bleibt.
2. Aufgabenfamilie: Finde vier verschiedene Subtraktionen gleichnamiger Brüche, die nach dem Kürzen alle $\frac{1}{2}$ ergeben. Begründe Deine Auswahl.
3. Interview: Befrage zwei Mitschülerinnen oder Mitschüler, wie sie sich $\frac{7}{9}-\frac{4}{9}$ vorstellen. Vergleiche die Vorstellungen Wegnehmen und Differenz.
4. Mini-Lernstation: Entwickle eine Lernstation mit Bruchkarten, Zahlengerade und Selbstkontrolle. Sie soll mindestens drei Aufgaben mit Kürzen enthalten und von einer anderen Person getestet werden.

Lernkontrolle

1. Darstellung und Rechnung: Stelle $\frac{8}{10}-\frac{3}{10}$ mit einem Bruchstreifen dar. Erkläre, weshalb der Nenner nicht verändert wird, und kürze das Ergebnis.
2. Transfer Wegnehmen: In einer Flasche befinden sich $\frac{11}{12}$ Liter. $\frac{5}{12}$ Liter werden verbraucht. Entwickle eine Rechnung, löse sie und erkläre jeden Rechenschritt.
3. Transfer Differenz: Zwei Personen haben $\frac{7}{8}$ und $\frac{3}{8}$ einer Strecke geschafft. Bestimme den Unterschied und erkläre, woran man erkennt, dass eine Differenz gesucht wird.
4. Fehlerdiagnose: Jemand behauptet $\frac{9}{10}-\frac{4}{10}=\frac{5}{0}$. Widerlege die Behauptung mit einem Modell und mit einer mathematischen Begründung.
5. Kürzen begründen: Begründe mit einer Zahlengerade oder einem Bruchstreifen, warum $\frac{6}{12}$ und $\frac{1}{2}$ denselben Wert besitzen.
6. Umkehraufgabe: Finde einen passenden Subtrahenden $\frac{x}{12}$, sodass $\frac{9}{12}-\frac{x}{12}=\frac{1}{3}$ gilt. Begründe Deinen Lösungsweg.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Vorgehensweise erklären und darstellen kannst.

1. Du erkennst sicher, ob zwei Brüche gleichnamig sind.
2. Du kannst eine Subtraktion als Wegnehmen darstellen.
3. Du kannst eine Subtraktion als Unterschied zweier Werte deuten.
4. Du nutzt die Regel $\frac{a}{n}-\frac{b}{n}=\frac{a-b}{n}$ richtig.
5. Du veränderst den gemeinsamen Nenner beim Subtrahieren nicht.
6. Du kürzt das Ergebnis vollständig, wenn ein gemeinsamer Teiler vorhanden ist.
7. Du kannst einen Rechenweg mit Bruchstreifen oder Zahlengerade erklären.
8. Du prüfst, ob Dein Ergebnis zur Ausgangssituation passt.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Bruchrechnung bietet Hintergrundwissen zu Brüchen und Rechenoperationen.

Weitere frei zugängliche Lernmöglichkeiten:

1. GeoGebra: Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche
2. GeoGebra: Interaktive Materialien zur Subtraktion
3. Wikimedia Commons: freie Bruchdarstellungen

Verknüpfte Lernbereiche

Bruchrechnung Bruch Zähler und Nenner Gleichnamige Brüche Subtraktion Differenz Kürzen Zahlengerade Bruchstreifen