M6 G - Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, positive Dezimalzahlen mit $10$, $100$ und $1000$ zu multiplizieren und durch diese Zahlen zu dividieren. Entscheidend ist dabei das Stellenwertsystem.

Eine wichtige Sprachregel begleitet den ganzen Kurs:

Nicht das Komma wandert. Die Ziffern wechseln ihre Stellenwerte.

Das Dezimalkomma bleibt die feste Grenze zwischen der Einerstelle und der Zehntelstelle. Wenn Du mit einer Zehnerpotenz multiplizierst oder durch eine Zehnerpotenz dividierst, verändern sich die Stellenwerte der Ziffern.

Rechenoperation	Wirkung auf jede Ziffer	Anzahl der Stellen
$\cdot 10$	zu einem höheren Stellenwert	eine Stelle
$\cdot 100$	zu einem höheren Stellenwert	zwei Stellen
$\cdot 1000$	zu einem höheren Stellenwert	drei Stellen
$:10$	zu einem niedrigeren Stellenwert	eine Stelle
$:100$	zu einem niedrigeren Stellenwert	zwei Stellen
$:1000$	zu einem niedrigeren Stellenwert	drei Stellen

Lernziele

Am Ende kannst Du eine Dezimalzahl in einer Stellenwerttafel darstellen, die Wirkung der Zehnerpotenzen $10=10^1$, $100=10^2$ und $1000=10^3$ erklären und passende Aufgaben sicher berechnen. Du sollst außerdem Ergebnisse überschlagen und typische Fehler erkennen können.

Das kann ich am Ende …	Selbstcheck
eine positive Dezimalzahl in Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel zerlegen	☐
erklären, warum bei $\cdot 10$ jede Ziffer einen zehnmal so großen Stellenwert erhält	☐
erklären, warum bei $:10$ jede Ziffer einen zehnmal so kleinen Stellenwert erhält	☐
mit $10$, $100$ und $1000$ multiplizieren	☐
durch $10$, $100$ und $1000$ dividieren	☐
fehlende Stellen mit Nullen sinnvoll sichtbar machen	☐
Ergebnisse mit einer Größenkontrolle prüfen	☐

Das Dezimalsystem als Stellenwertsystem

Unser Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis $10$. Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle direkt rechts daneben.

$\dots \to 1000\to 100\to 10\to 1\to \mathrm{0,1}\to \mathrm{0,01}\to \mathrm{0,001}\to \dots$

Oder als Zehnerpotenzen:

$\dots \to 10^3\to 10^2\to 10^1\to 10^0\to 10^{-1}\to 10^{-2}\to 10^{-3}\to \dots$

Die Abbildung zeigt, dass die Einerstelle die Grenze zwischen den ganzen Stellen und den Dezimalstellen bildet. Das Komma steht direkt rechts von der Einerstelle.

Die Stellenwerttafel

Tausender $10^3$	Hunderter $10^2$	Zehner $10^1$	Einer $10^0$	,	Zehntel $10^{-1}$	Hundertstel $10^{-2}$	Tausendstel $10^{-3}$
T	H	Z	E	,	z	h	t

Die Zahl $\mathrm{24,573}$ bedeutet:

$\mathrm{24,573}=2\cdot 10+4\cdot 1+5\cdot \mathrm{0,1}+7\cdot \mathrm{0,01}+3\cdot \mathrm{0,001}$

und damit

$\mathrm{24,573}=20+4+\mathrm{0,5}+\mathrm{0,07}+\mathrm{0,003}$.

H	Z	E	,	z	h	t
0	2	4	,	5	7	3

Zehntel, Hundertstel und Tausendstel als Teile eines Ganzen

Ein Ganzes kann immer wieder in zehn gleich große Teile zerlegt werden:

$1=\frac{10}{10}$

$\mathrm{0,1}=\frac{1}{10}$

$\mathrm{0,01}=\frac{1}{100}$

$\mathrm{0,001}=\frac{1}{1000}$

Beim Hunderterfeld kannst Du ein Ganzes als $100$ kleine Felder denken. Dann entspricht ein kleines Feld $\frac{1}{100}=\mathrm{0,01}$. Zehn kleine Felder entsprechen $\frac{10}{100}=\mathrm{0,1}$.

Die Zehnerblöcke zeigen das Prinzip des Bündelns: Zehn Einheiten eines Stellenwerts ergeben genau eine Einheit des nächsthöheren Stellenwerts.

Interaktive Stellenwerttafel

Verschiebe und untersuche Dezimalzahlen in der interaktiven Stellenwertdarstellung. Beobachte besonders, welche Ziffer auf welcher Stelle steht.

Beobachtungsauftrag: Wähle mehrere Zahlen und sprich jeweils laut: „Die Ziffer … steht auf der …stelle und hat deshalb den Wert …“.

Zehnerpotenzen verstehen

Für diesen Kurs brauchst Du drei besonders wichtige Zehnerpotenzen:

Potenz	Produkt	Zahl	Wirkung auf Stellenwerte
$10^1$	$10$	$10$	eine Stelle
$10^2$	$10\cdot 10$	$100$	zwei Stellen
$10^3$	$10\cdot 10\cdot 10$	$1000$	drei Stellen

Für unsere Rechnungen ist besonders wichtig:

$100=10\cdot 10$

und

$1000=10\cdot 10\cdot 10$.

Darum entspricht die Multiplikation mit $100$ zwei aufeinanderfolgenden Stellenwertschritten und die Multiplikation mit $1000$ drei solchen Schritten.

Multiplizieren mit 10

Nimm die Zahl $\mathrm{3,47}$.

Vor der Multiplikation:

H	Z	E	,	z	h	t
		3	,	4	7

Bei $\mathrm{3,47}\cdot 10$ erhält jede Ziffer einen zehnmal so großen Stellenwert:

H	Z	E	,	z	h	t
	3	4	,	7

Also gilt:

$\mathrm{3,47}\cdot 10=\mathrm{34,7}$.

Die Ziffer $3$ stand zuerst auf der Einerstelle und steht danach auf der Zehnerstelle. Die $4$ wird vom Zehntel zum Einer. Die $7$ wird vom Hundertstel zum Zehntel.

Merke: Bei $\cdot 10$ wechselt jede Ziffer eine Stelle nach links in der Stellenwerttafel und erhält damit den zehnfachen Stellenwert.

Visuelle Schrittfolge: $\mathrm{3,47}\cdot 10$

Schritt	Darstellung	Erklärung
1	$\mathrm{3,47}$	Ausgangszahl
2	$3_E,4_z,7_h$	Stellenwerte erkennen
3	$3_Z,4_E,7_z$	jede Ziffer eine Stelle höher
4	$\mathrm{34,7}$	Ergebnis lesen

Klick-Auflösung: Warum wird die Zahl größer?

Aus $3$ Einern werden $3$ Zehner, aus $4$ Zehnteln werden $4$ Einer und aus $7$ Hundertsteln werden $7$ Zehntel. Jeder einzelne Ziffernwert ist zehnmal so groß wie vorher.

Multiplizieren mit 100

$\mathrm{4,206}\cdot 100$ bedeutet zwei Stellenwertschritte nach links, denn

$100=10\cdot 10$.

Erster Schritt:

$\mathrm{4,206}\cdot 10=\mathrm{42,06}$

Zweiter Schritt:

$\mathrm{42,06}\cdot 10=\mathrm{420,6}$

Also:

$\mathrm{4,206}\cdot 100=\mathrm{420,6}$.

Zustand	H	Z	E	,	z	h	t
Start			4	,	2	0	6
nach $\cdot 10$		4	2	,	0	6
nach $\cdot 100$	4	2	0	,	6

Multiplizieren mit 1000

Bei $\cdot 1000$ wechseln alle Ziffern drei Stellen zu höheren Stellenwerten:

$\mathrm{0,528}\cdot 1000=528$.

Schritt	Rechnung	Stellenwertbewegung
Start	$\mathrm{0,528}$	Ausgangslage
1	$\mathrm{0,528}\cdot 10=\mathrm{5,28}$	eine Stelle höher
2	$\mathrm{5,28}\cdot 10=\mathrm{52,8}$	noch eine Stelle höher
3	$\mathrm{52,8}\cdot 10=528$	noch eine Stelle höher

Dividieren durch 10

Jetzt wird der Stellenwert jeder Ziffer zehnmal so klein.

Beispiel:

$\mathrm{62,5}:10=\mathrm{6,25}$.

Vorher:

H	Z	E	,	z	h	t
	6	2	,	5

Nach der Division durch $10$:

H	Z	E	,	z	h	t
		6	,	2	5

Die $6$ wird vom Zehner zum Einer, die $2$ vom Einer zum Zehntel und die $5$ vom Zehntel zum Hundertstel.

Merke: Bei $:10$ wechselt jede Ziffer eine Stelle nach rechts in der Stellenwerttafel und erhält damit ein Zehntel ihres vorherigen Stellenwerts.

Dividieren durch 100

$\mathrm{83,4}:100$ sind zwei Schritte zu niedrigeren Stellenwerten:

$\mathrm{83,4}:10=\mathrm{8,34}$

$\mathrm{8,34}:10=\mathrm{0,834}$

Daher:

$\mathrm{83,4}:100=\mathrm{0,834}$.

Zustand	Z	E	,	z	h	t
Start	8	3	,	4
nach $:10$		8	,	3	4
nach $:100$		0	,	8	3	4

Hier ist die Null wichtig: Links vom Komma muss bei einer Zahl kleiner als $1$ die Einerstelle sichtbar sein.

Dividieren durch 1000

$\mathrm{7,2}:1000$ bedeutet drei Stellenwertschritte nach rechts:

$\mathrm{7,2}:10=\mathrm{0,72}$

$\mathrm{0,72}:10=\mathrm{0,072}$

$\mathrm{0,072}:10=\mathrm{0,0072}$

Also:

$\mathrm{7,2}:1000=\mathrm{0,0072}$.

Die zusätzlichen Nullen sind Platzhalter. Sie sorgen dafür, dass die Ziffern auf den richtigen Stellen stehen.

Visuelle Schrittfolge: $\mathrm{7,2}:1000$

Rechnung	E	,	z	h	t	zt
$\mathrm{7,2}$	7	,	2
$:10$	0	,	7	2
$:100$	0	,	0	7	2
$:1000$	0	,	0	0	7	2

Die wichtigste Grundidee

Bei jeder Verschiebung um genau eine Stelle ändert sich der Wert um den Faktor $10$.

$\text{Tausender}\leftrightarrow \text{Hunderter}\leftrightarrow \text{Zehner}\leftrightarrow \text{Einer}\leftrightarrow \text{Zehntel}\leftrightarrow \text{Hundertstel}\leftrightarrow \text{Tausendstel}$

Nach links in der Tabelle:

$\cdot 10$

Nach rechts in der Tabelle:

$:10$

Zwei Stellen:

$\cdot 100\text{oder}:100$

Drei Stellen:

$\cdot 1000\text{oder}:1000$

Warum „Komma wandert“ keine gute Erklärung ist

Das Dezimalkomma markiert immer dieselbe Grenze:

$\text{Einer}|\text{Zehntel}$.

Bei $\mathrm{5,34}\cdot 10=\mathrm{53,4}$ sieht es auf dem Papier so aus, als hätte sich das Komma bewegt. Tatsächlich stehen aber die Ziffern danach auf anderen Stellen:

	Z	E	,	z	h
$\mathrm{5,34}$		5	,	3	4
$\mathrm{53,4}$	5	3	,	4

Die $5$ wechselt vom Einer zum Zehner, die $3$ vom Zehntel zum Einer und die $4$ vom Hundertstel zum Zehntel.

Das ist die mathematische Ursache für das Ergebnis.

Größenkontrolle

Bevor Du rechnest, kannst Du vorhersagen, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss.

Rechnung	Erwartung	Beispiel
positive Zahl $\cdot 10,\cdot 100,\cdot 1000$	Ergebnis wird größer	$\mathrm{2,4}\cdot 100=240$
positive Zahl $:10,:100,:1000$	Ergebnis wird kleiner	$24:100=\mathrm{0,24}$

Schnelltest: Wenn bei $\mathrm{6,8}:100$ das Ergebnis $680$ herauskommt, kann es nicht stimmen. Division durch $100$ muss die positive Zahl kleiner machen.

Zahlengerade und Maßstab

Die Stellenwertverschiebung kann auch als Änderung des Maßstabs verstanden werden.

$\mathrm{0,37}\cdot 10=\mathrm{3,7}$

$\mathrm{0,37}\cdot 100=37$

$\mathrm{0,37}\cdot 1000=370$

Ausgangszahl	mal $10$	mal $100$	mal $1000$
$\mathrm{0,37}$	$\mathrm{3,7}$	$37$	$370$

Auf einer Zahlengeraden liegen diese Zahlen immer weiter rechts. Bei einer Division durch eine Zehnerpotenz geschieht das Umgekehrte: Der Zahlenwert wird kleiner und liegt näher bei $0$.

Dynamische Zahlengerade

Nutze die interaktive Zahlengerade. Zoome in Zehntel und Hundertstel hinein und beobachte, wie dieselbe Dezimaldarstellung an verschiedenen Maßstäben gelesen wird.

Forscherauftrag: Markiere zuerst $\mathrm{0,42}$. Berechne dann $\mathrm{0,42}\cdot 10$ und markiere auch das Ergebnis. Wiederhole das mit $\cdot 100$. Beschreibe, wie sich der Abstand von $0$ verändert.

Schritt-für-Schritt-Rechenwege

Beispiel A: $\mathrm{6,305}\cdot 100$

Schritt 1: Zehnerpotenz erkennen

$100=10^2$

Also brauchen wir zwei Stellenwertschritte.

Schritt 2: Ausgangszahl eintragen

H	Z	E	,	z	h	t
		6	,	3	0	5

Schritt 3: jede Ziffer zwei Stellen höher setzen

H	Z	E	,	z	h	t
6	3	0	,	5

Schritt 4: Ergebnis lesen

$\mathrm{6,305}\cdot 100=\mathrm{630,5}$.

Beispiel B: $\mathrm{48,2}:1000$

Schritt 1: Zehnerpotenz erkennen

$1000=10^3$

Also brauchen wir drei Stellenwertschritte zu niedrigeren Stellenwerten.

Schritt 2 und 3: Stellenwerte verschieben

Z	E	,	z	h	t	zt
4	8	,	2
	0	,	0	4	8	2

Schritt 4: Ergebnis lesen

$\mathrm{48,2}:1000=\mathrm{0,0482}$.

Fehlende Stellen und Nullen

Nullen können in einer Stellenwerttafel wichtige Platzhalter sein.

Beispiel:

$\mathrm{5,6}:100=\mathrm{0,056}$.

Die $5$ wechselt von der Einerstelle zur Hundertstelstelle. Die $6$ wechselt von der Zehntelstelle zur Tausendstelstelle.

E	,	z	h	t
5	,	6
0	,	0	5	6

Dagegen darfst Du unwichtige Endnullen nach der letzten Dezimalziffer weglassen:

$\mathrm{3,700}=\mathrm{3,7}$.

Aber:

$\mathrm{0,037}\ne \mathrm{0,37}$.

Die Null direkt nach dem Komma kann also entscheidend sein.

Rechenmuster entdecken

Untersuche die Muster:

Rechnung	Ergebnis
$\mathrm{2,5}\cdot 10$	$25$
$\mathrm{2,5}\cdot 100$	$250$
$\mathrm{2,5}\cdot 1000$	$2500$

und umgekehrt:

Rechnung	Ergebnis
$2500:10$	$250$
$2500:100$	$25$
$2500:1000$	$\mathrm{2,5}$

Daran erkennst Du auch den Zusammenhang von Multiplikation und Division als Umkehroperationen.

$\mathrm{3,8}\cdot 100=380$

und

$380:100=\mathrm{3,8}$.

Video: Stellenwerte sicher verstehen

Das folgende Video erklärt die Stellenwerttafel für Dezimalzahlen mit Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel. Achte beim Anschauen darauf, dass jede Ziffer einen Wert durch ihre Position erhält.

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Videoauftrag: Schreibe eine Beispielzahl aus dem Video in eine eigene Stellenwerttafel und markiere die Einer-, Zehntel-, Hundertstel- und Tausendstelstelle.

Video: Rechnen mit 10, 100 und 1000

Im nächsten Video wird das Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen mit $10$, $100$ und $1000$ geübt.

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Sprachauftrag: Formuliere jeden gezeigten Rechenschritt anschließend in unserer Stellenwertsprache: „Die Ziffern wechseln um … Stellen zu höheren oder niedrigeren Stellenwerten.“ So begründest Du das Verfahren fachlich.

Übungsstrecke

Training 1: eine Stelle

Berechne zuerst im Kopf und kontrolliere anschließend mit einer Stellenwerttafel.

Aufgabe	Dein Ergebnis
$\mathrm{4,8}\cdot 10$
$\mathrm{0,63}\cdot 10$
$\mathrm{72,1}:10$
$\mathrm{5,09}:10$

Lösungen anzeigen

$\mathrm{4,8}\cdot 10=48$
$\mathrm{0,63}\cdot 10=\mathrm{6,3}$
$\mathrm{72,1}:10=\mathrm{7,21}$
$\mathrm{5,09}:10=\mathrm{0,509}$

Training 2: zwei Stellen

Aufgabe	Dein Ergebnis
$\mathrm{3,72}\cdot 100$
$\mathrm{0,084}\cdot 100$
$615:100$
$\mathrm{9,6}:100$

Lösungen anzeigen

$\mathrm{3,72}\cdot 100=372$
$\mathrm{0,084}\cdot 100=\mathrm{8,4}$
$615:100=\mathrm{6,15}$
$\mathrm{9,6}:100=\mathrm{0,096}$

Training 3: drei Stellen

Aufgabe	Dein Ergebnis
$\mathrm{0,407}\cdot 1000$
$\mathrm{12,03}\cdot 1000$
$\mathrm{84,7}:1000$
$507:1000$

Lösungen anzeigen

$\mathrm{0,407}\cdot 1000=407$
$\mathrm{12,03}\cdot 1000=12030$
$\mathrm{84,7}:1000=\mathrm{0,0847}$
$507:1000=\mathrm{0,507}$

Training 4: Welche Zehnerpotenz fehlt?

Finde den passenden Faktor oder Divisor.

Rechnung	Gesuchte Zahl
$\mathrm{3,4}\cdot ◻=34$	$◻=$
$\mathrm{0,72}\cdot ◻=72$	$◻=$
$640:◻=\mathrm{0,64}$	$◻=$
$\mathrm{8,1}:◻=\mathrm{0,081}$	$◻=$

Lösungen anzeigen

$10,100,1000,100$

Sachaufgaben

Längen und Einheiten

Beim Umrechnen von metrischen Einheiten begegnen Dir ebenfalls Zehnerpotenzen.

$1\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}$

Wenn ein Band $\mathrm{2,35}\mathrm{m}$ lang ist, dann gilt:

$\mathrm{2,35}\cdot 100=235$

also

$\mathrm{2,35}\mathrm{m}=235\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Umgekehrt:

$235:100=\mathrm{2,35}$

also

$235\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{2,35}\mathrm{m}$.

Geld als Stellenwertmodell

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1\,€=100\,\text{Cent}} .

Deshalb gilt zum Beispiel:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 4{,}79\,€\cdot 100=479\,\text{Cent}} .

Auch hier helfen Stellenwerte: Euro und Cent hängen über den Faktor $100$ zusammen.

Typische Fehler

Fehler	Beispiel	Warum falsch?	Richtig
falsche Richtung	$\mathrm{6,4}:10=64$	Division durch $10$ muss eine positive Zahl kleiner machen	$\mathrm{6,4}:10=\mathrm{0,64}$
zu wenige Stellen	$\mathrm{3,5}:100=\mathrm{0,35}$	$:100$ bedeutet zwei Stellenwertschritte	$\mathrm{3,5}:100=\mathrm{0,035}$
Null vergessen	$\mathrm{7,2}:1000=\mathrm{0,72}$	drei Stellenwertschritte brauchen passende Platzhalter	$\mathrm{7,2}:1000=\mathrm{0,0072}$
Ergebnis nicht geprüft	$\mathrm{0,9}\cdot 100=\mathrm{0,009}$	Multiplikation mit $100$ muss vergrößern	$\mathrm{0,9}\cdot 100=90$

Strategie für jede Aufgabe

Schritt	Frage an Dich selbst
1	Multipliziere oder dividiere ich?
2	Rechne ich mit $10$, $100$ oder $1000$?
3	Wie viele Stellenwertschritte sind das?
4	Müssen die Ziffern zu höheren oder niedrigeren Stellenwerten?
5	Brauche ich Nullen als Platzhalter?
6	Passt die Größe des Ergebnisses?

Medien- und Lizenzhinweise

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Die Datei Decimal Place Value Chart ist als CC0 freigegeben. Die Datei Base ten blocks (transparent) ist ebenfalls CC0. Die Datei 100 grid.svg steht unter CC BY-SA 4.0. Die Datei Powers chart.png ist als gemeinfreies Werk gekennzeichnet. Die interaktiven GeoGebra-Materialien werden über ihre öffentlich zugänglichen Materialseiten eingebunden. Die YouTube-Videos werden über die offizielle Einbettungsfunktion wiedergegeben.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was passiert bei der Multiplikation einer positiven Dezimalzahl mit $10$? (Jede Ziffer erhält einen zehnmal so großen Stellenwert) (!Das Komma springt unabhängig von den Ziffern) (!Jede Ziffer erhält einen zehnmal so kleinen Stellenwert) (!Die Zahl bleibt gleich)

Wie viele Stellenwertschritte entsprechen der Multiplikation mit $100$? (Zwei Stellenwertschritte zu höheren Stellenwerten) (!Ein Stellenwertschritt zu höheren Stellenwerten) (!Drei Stellenwertschritte zu niedrigeren Stellenwerten) (!Kein Stellenwertschritt)

Was ist $\mathrm{4,7}\cdot 10$? (47) (!4,07) (!0,47) (!470)

Was ist $\mathrm{0,36}\cdot 100$? (36) (!3,6) (!0,0036) (!360)

Was ist $\mathrm{8,2}\cdot 1000$? (8200) (!820) (!82) (!0,0082)

Was ist $\mathrm{54,3}:10$? (5,43) (!543) (!0,543) (!54,03)

Was ist $\mathrm{7,5}:100$? (0,075) (!0,75) (!0,0075) (!750)

Was ist $42:1000$? (0,042) (!0,42) (!4,2) (!42000)

Warum ist $\mathrm{6,4}:10=64$ unmöglich? (Division durch zehn muss eine positive Zahl kleiner machen) (!Weil jede Division immer eine ganze Zahl ergeben muss) (!Weil Dezimalzahlen nicht dividiert werden dürfen) (!Weil 64 kleiner als 6,4 ist)

Welche Aussage beschreibt das Verfahren fachlich richtig? (Die Ziffern wechseln ihre Stellenwerte) (!Das Komma bewegt sich von selbst durch die Zahl) (!Die Ziffern bleiben immer auf denselben Stellen) (!Bei jeder Aufgabe wird nur eine Null angehängt)

Memory

Multiplikation mit zehn	eine Stelle zu höherem Stellenwert
Multiplikation mit hundert	zwei Stellen zu höherem Stellenwert
Multiplikation mit tausend	drei Stellen zu höherem Stellenwert
Division durch zehn	eine Stelle zu niedrigerem Stellenwert
Division durch hundert	zwei Stellen zu niedrigerem Stellenwert
Division durch tausend	drei Stellen zu niedrigerem Stellenwert
Zehntelstelle	direkt rechts vom Dezimalkomma
Hundertstelstelle	zweite Stelle rechts vom Dezimalkomma

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
höherer Stellenwert	Multiplikation mit einer Zehnerpotenz
niedrigerer Stellenwert	Division durch eine Zehnerpotenz
eine Stellenverschiebung	Rechnen mit zehn
zwei Stellenverschiebungen	Rechnen mit hundert
drei Stellenverschiebungen	Rechnen mit tausend

Kreuzworträtsel

Zehntel	Wie heißt die erste Stelle rechts vom Dezimalkomma?
Hundertstel	Wie heißt die zweite Stelle rechts vom Dezimalkomma?
Tausendstel	Wie heißt die dritte Stelle rechts vom Dezimalkomma?
Stellenwert	Welcher Wert entsteht durch die Position einer Ziffer in einer Zahl?
Multiplikation	Welche Rechenart mit einer Zehnerpotenz macht eine positive Zahl größer?
Division	Welche Rechenart durch eine Zehnerpotenz macht eine positive Zahl kleiner?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Unser Zahlensystem ist ein zur Basis zehn.

Das Dezimalkomma steht zwischen der und der Zehntelstelle.

Bei der Multiplikation mit zehn erhält jede Ziffer einen Stellenwert.

Bei der Division durch zehn erhält jede Ziffer einen Stellenwert.

Die Multiplikation mit hundert entspricht Stellenwertschritten.

Die Division durch tausend entspricht Stellenwertschritten.

Bei einer Zahl kleiner als eins steht links vom Komma häufig eine als sichtbare Einerstelle.

Die Zahl $\mathrm{0,01}$ heißt ein .

Die Zahl $\mathrm{0,001}$ heißt ein .

Multiplikation und Division mit derselben Zehnerpotenz sind .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stellenwerttafel zeichnen: Zeichne eine Stellenwerttafel von Hunderter bis Tausendstel und trage die Zahlen $\mathrm{4,37}$, $\mathrm{0,508}$ und $\mathrm{12,04}$ ein.
2. Ziffern auf Reisen: Schreibe auf kleine Papierkarten die Ziffern von $\mathrm{3,46}$. Verschiebe die Karten für $\cdot 10$, $\cdot 100$ und $:10$ in einer selbst gezeichneten Stellenwerttafel und fotografiere die drei Zustände.
3. Erklärbild: Gestalte ein Bild, das zeigt, warum bei $\mathrm{2,7}\cdot 10$ aus $2$ Einern $2$ Zehner werden.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde drei typische falsche Rechnungen mit $10$, $100$ oder $1000$ und schreibe jeweils eine kurze Korrektur dazu.

Standard

1. Stellenwert-Stop-Motion: Erstelle mit Papierkarten eine kurze Stop-Motion-Folge zu $\mathrm{4,205}\cdot 100$. Die Ziffern sollen sichtbar zwei Stellen zu höheren Stellenwerten wechseln.
2. Zahlengeraden-Projekt: Zeichne drei passende Zahlengeraden, auf denen $\mathrm{0,34}$, $\mathrm{3,4}$ und $34$ markiert sind. Erkläre den Zusammenhang mit $\cdot 10$ und $\cdot 100$.
3. Sachaufgaben sammeln: Finde im Alltag drei Situationen mit metrischen Einheiten oder Geld, in denen ein Faktor $10$, $100$ oder $1000$ vorkommt. Formuliere daraus eigene Aufgaben und Lösungen.
4. Lernvideo erstellen: Produziere ein höchstens zweiminütiges Erklärvideo zu $\mathrm{6,3}:100$. Nutze ausdrücklich die Wörter „Ziffer“, „Stellenwert“ und „Platzhalter“.

Schwer

1. Regel begründen: Erkläre mit der Darstellung $\mathrm{4,27}=4\cdot 1+2\cdot \mathrm{0,1}+7\cdot \mathrm{0,01}$, warum $\mathrm{4,27}\cdot 10=\mathrm{42,7}$ gilt.
2. Umkehraufgaben entwickeln: Erstelle fünf Aufgabenpaare nach dem Muster $a\cdot 100=b$ und $b:100=a$. Verwende dabei auch Zahlen kleiner als $1$.
3. Erklärmodell bauen: Baue aus Karten, Würfeln oder Legosteinen ein Modell für Einer, Zehntel und Hundertstel. Dokumentiere, wie zehn Einheiten eines Stellenwerts zu einer Einheit des nächsthöheren Stellenwerts gebündelt werden.
4. Mini-Unterricht planen: Plane eine fünfminütige Unterrichtsphase für eine andere Lerngruppe. Dein Ziel ist, die Aussage „Das Komma wandert“ durch die genauere Vorstellung der Stellenwertverschiebung zu ersetzen.

Lernkontrolle

1. Begründen statt nur rechnen: Erkläre ohne die Formulierung „Komma verschieben“, warum $\mathrm{0,407}\cdot 100=\mathrm{40,7}$ gilt. Nutze mindestens drei Stellenwertbegriffe.
2. Fehleranalyse: Ein Schüler behauptet $\mathrm{5,2}:100=\mathrm{0,52}$. Erkläre genau, welcher Denkfehler vorliegt, und stelle die Rechnung mit einer Stellenwerttafel richtig.
3. Transfer auf Größen: Ein Band ist $\mathrm{3,75}\mathrm{m}$ lang. Begründe mithilfe der Stellenwerte, warum die Länge $375\mathrm{c}\mathrm{m}$ entspricht.
4. Umkehroperation nutzen: Ohne neu zu rechnen ist bekannt: $\mathrm{6,24}\cdot 100=624$. Leite daraus zwei passende Divisionsaussagen ab und erkläre den Zusammenhang.
5. Größenkontrolle: Entscheide vor dem Rechnen, ob die Ergebnisse von $\mathrm{8,04}\cdot 1000$, $\mathrm{8,04}:1000$ und $\mathrm{8,04}:10$ größer oder kleiner als $\mathrm{8,04}$ sind. Begründe und berechne anschließend.
6. Muster übertragen: Beschreibe, was bei $\cdot 10^n$ allgemein mit den Stellenwerten geschieht, wenn $n$ eine positive ganze Zahl ist. Nutze anschließend Deine Regel für $n=3$.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du das Verfahren nicht nur ausführst, sondern verstehst. Wichtig sind sichere Rechnungen mit positiven Dezimalzahlen und $10$, $100$ und $1000$, eine korrekte Stellenwerttafel, das Erkennen benötigter Null-Platzhalter, eine sinnvolle Größenkontrolle sowie eine Erklärung mit Stellenwerten.

Du solltest insbesondere zeigen können:

1. Stellenwertsystem: Du ordnest Ziffern den Stellen Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel richtig zu.
2. Zehnerpotenzen: Du erkennst $10=10^1$, $100=10^2$ und $1000=10^3$.
3. Multiplikation mit Zehnerpotenzen: Du erklärst die Verschiebung zu höheren Stellenwerten.
4. Division durch Zehnerpotenzen: Du erklärst die Verschiebung zu niedrigeren Stellenwerten.
5. Null als Platzhalter: Du setzt notwendige Nullen korrekt.
6. Plausibilitätsprüfung: Du entscheidest, ob ein Ergebnis zur Rechenart und Größenordnung passt.
7. Fachsprache: Du beschreibst das Verfahren als Stellenwertverschiebung und nicht als Bewegung des Kommas.

OERs zum Thema

Wikipedia bietet Hintergrundinformationen zu Dezimalzahlen, Dezimalbrüchen und Zehnerpotenzen:

Zusätzliche interaktive OER-Materialien:

Verknüpfte Lernbereiche

Dezimalzahlen Stellenwertsystem Dezimalsystem Zehntel Hundertstel Tausendstel Zehnerpotenz Multiplikation Division Umkehroperation Zahlengerade Größen umrechnen