M6 G - Brüche mit natürlichen Zahlen multiplizieren

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

M6 G - Brüche mit natürlichen Zahlen multiplizieren richtet sich an die 6. Klasse auf G-Niveau. Du lernst nicht nur eine Rechenregel, sondern verstehst zuerst mit Bildern, Bruchstreifen und der Zahlengeraden, was eine Rechnung wie $3\cdot \frac{2}{5}$ bedeutet.

Im Mittelpunkt steht die Idee der wiederholten Addition:

$3\cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$

Du erkennst	Du stellst dar	Du rechnest	Du deutest
$3\cdot \frac{2}{5}$ heißt drei gleiche Portionen $\frac{2}{5}$.	Du nutzt Bruchstreifen, Kreisbilder und Zahlengeraden.	Du multiplizierst die natürliche Zahl mit dem Zähler.	Du erkennst $\frac{6}{5}$ als ein Ganzes und $\frac{1}{5}$.

Startfrage: Wenn eine Portion $\frac{2}{5}$ einer Tafel Schokolade groß ist und Du drei solche Portionen bekommst: Reicht das für mehr als eine ganze Tafel? Die Bilder und Rechenwege dieses aiMOOCs helfen Dir, die Antwort zu begründen.

Lernziele

Lernziel	Das kannst Du am Ende zeigen
Bedeutung verstehen	Du erklärst $n\cdot \frac{a}{b}$ als wiederholte Addition desselben Bruchs.
Anschaulich darstellen	Du zeichnest oder legst Bruchstreifen und markierst passende Sprünge auf einer Zahlengeraden.
Sicher rechnen	Du nutzt $n\cdot \frac{a}{b}=\frac{n\cdot a}{b}$.
Ergebnisse deuten	Du wandelst unechte Brüche wie $\frac{6}{5}$ in gemischte Zahlen wie $1\frac{1}{5}$ um.
Sachaufgaben lösen	Du entscheidest, wann eine natürliche Zahl mit einem Bruch multipliziert werden muss.

Vorwissen: Was bedeutet ein Bruch?

Ein Bruch $\frac{a}{b}$ beschreibt gleich große Teile eines Ganzen. Der Nenner $b$ sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist. Der Zähler $a$ sagt, wie viele dieser Teile gemeint sind.

Bruch	Bedeutung	Bildidee
$\frac{1}{5}$	1 von 5 gleich großen Teilen	■ □ □ □ □
$\frac{2}{5}$	2 von 5 gleich großen Teilen	■ ■ □ □ □
$\frac{4}{5}$	4 von 5 gleich großen Teilen	■ ■ ■ ■ □

Wichtig: Bei $\frac{2}{5}$ bleibt die Größe eines Fünftels fest. Wenn Du mehrere gleich große Portionen $\frac{2}{5}$ zusammennimmst, zählst Du mehr Fünftel. Genau daraus entsteht die Multiplikation mit einer natürlichen Zahl.

Multiplikation als wiederholte Addition

Bei natürlichen Zahlen kennst Du bereits die Idee: $3\cdot 4=4+4+4$. Dieselbe Grundidee kannst Du auf Brüche übertragen.

$3\cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}$

Da die Brüche denselben Nenner haben, werden beim Addieren die Zähler zusammengezählt:

$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{2+2+2}{5}=\frac{6}{5}$

Die drei Zweien im Zähler kannst Du wieder als Multiplikation schreiben:

$\frac{2+2+2}{5}=\frac{3\cdot 2}{5}=\frac{6}{5}$

Schritt	Rechnung	Bedeutung
Eine Portion	$\frac{2}{5}$	zwei Fünftel
Zwei Portionen	$2\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$	vier Fünftel
Drei Portionen	$3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$	sechs Fünftel

Bildfolge: Aus drei Portionen entsteht sechs Fünftel

• 
  Schritt 1: $\frac{2}{5}$
• 
  Schritt 2: $\frac{4}{5}$
• 
  Schritt 3: $\frac{6}{5}$

Die Bildfolge kannst Du wie drei Einzelbilder einer kurzen Rechenanimation lesen: Eine gleich große Portion $\frac{2}{5}$ kommt jeweils hinzu. Beim dritten Bild ist bereits mehr als ein Ganzes erreicht.

Bruchstreifen: Sechs Fünftel sehen

Ein Ganzes wird in fünf gleich große Teile zerlegt.

Ein Ganzes = $\frac{5}{5}$
$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$

Für $\frac{6}{5}$ brauchst Du sechs Fünftel. Fünf Fünftel füllen den ersten Streifen vollständig; ein weiteres Fünftel beginnt den zweiten Streifen.

$\frac{5}{5}$
■	■	■	■	■

noch $\frac{1}{5}$
■	□	□	□	□

Damit wird anschaulich:

$\frac{6}{5}=\frac{5}{5}+\frac{1}{5}=1+\frac{1}{5}=1\frac{1}{5}$

Zahlengerade: Gleiche Sprünge sichtbar machen

Auch auf einer Zahlengeraden bedeutet Multiplikation mit einer natürlichen Zahl: gleich große Sprünge wiederholen.

Für $3\cdot \frac{2}{5}$ startest Du bei $0$ und springst dreimal um $\frac{2}{5}$ nach rechts:

$0⟶\frac{2}{5}⟶\frac{4}{5}⟶\frac{6}{5}$

Sprung	Start	Ziel
erster Sprung um $\frac{2}{5}$	$0$	$\frac{2}{5}$
zweiter Sprung um $\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{4}{5}$
dritter Sprung um $\frac{2}{5}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$

Visuelle Schrittfolge auf einer Zahlengeraden

Die folgenden freien Commons-Grafiken zeigen an einem anderen Beispiel, wie Multiplikation als wiederholter Sprung aufgebaut wird. Übertrage die Idee anschließend auf $3\cdot \frac{2}{5}$.

Übertragung auf unser Beispiel: Die Sprunglänge wäre nicht $1\frac{1}{2}$, sondern $\frac{2}{5}$. Statt zwei Sprüngen würdest Du drei gleich lange Sprünge zeichnen.

Die Rechenregel entdecken

Vergleiche die drei Rechnungen:

$2\cdot \frac{3}{7}=\frac{3}{7}+\frac{3}{7}=\frac{6}{7}$

$4\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

$3\cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$

Du erkennst: Die natürliche Zahl vervielfacht die Anzahl der Bruchteile. Deshalb wird der Zähler multipliziert. Die Größe jedes Bruchteils bleibt gleich. Deshalb bleibt der Nenner unverändert.

Regel	Bedeutung
$n\cdot \frac{a}{b}=\frac{n\cdot a}{b}$	$n$-mal dieselbe Menge von $b$-tel-Teilen

Merksatz: Multiplizierst Du einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, multiplizierst Du die natürliche Zahl mit dem Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

Warum wird der Nenner nicht mitmultipliziert?

Nimm $3\cdot \frac{2}{5}$. Wenn Du fälschlich oben und unten mit $3$ multiplizierst, erhältst Du

$\frac{3\cdot 2}{3\cdot 5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.

Das wäre nur eine Erweiterung des ursprünglichen Bruchs. Der Wert würde gar nicht dreimal so groß werden. Für die Multiplikation mit $3$ muss dagegen gelten:

$3\cdot \frac{2}{5}=\frac{3\cdot 2}{5}=\frac{6}{5}$.

Die Grafik zu gleichwertigen Brüchen erinnert Dich daran: Wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden, ändert sich der Wert nicht. Genau deshalb darfst Du beim Vervielfachen eines Bruchs nicht einfach beide Zahlen mitmultiplizieren.

Unechter Bruch und gemischte Zahl

Wenn der Zähler größer als der Nenner ist, kann das Ergebnis mehr als ein Ganzes sein. Bei $\frac{6}{5}$ sind fünf Fünftel ein Ganzes; ein Fünftel bleibt übrig.

$\frac{6}{5}=\frac{5}{5}+\frac{1}{5}=1\frac{1}{5}$

Unechter Bruch	Zerlegung	Gemischte Zahl
$\frac{6}{5}$	$\frac{5}{5}+\frac{1}{5}$	$1\frac{1}{5}$
$\frac{7}{3}$	$\frac{6}{3}+\frac{1}{3}$	$2\frac{1}{3}$
$\frac{11}{4}$	$\frac{8}{4}+\frac{3}{4}$	$2\frac{3}{4}$

Die Commons-Grafik zeigt dieses Prinzip an einem anderen unechten Bruch: Derselbe Wert kann als unechter Bruch oder als gemischte Zahl dargestellt werden.

Rechnen in vier sichtbaren Schritten

Schritt	Frage	Beispiel $4\cdot \frac{3}{8}$
1	Was wird wiederholt?	$\frac{3}{8}$ wird viermal genommen.
2	Welcher Teil wird vervielfacht?	$4\cdot 3=12$
3	Was bleibt gleich?	Der Nenner $8$ bleibt gleich.
4	Kannst Du vereinfachen?	$\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$

Also:

$4\cdot \frac{3}{8}=\frac{4\cdot 3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$

Kürzen: Das Ergebnis einfacher schreiben

Nach dem Multiplizieren darfst Du das Ergebnis kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

$4\cdot \frac{3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

Manchmal kannst Du schon vor dem endgültigen Ergebnis geschickt denken:

$6\cdot \frac{2}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$

Für das G-Niveau ist besonders wichtig: Erst richtig vervielfachen, dann prüfen, ob sich das Ergebnis kürzen oder als gemischte Zahl schreiben lässt.

Dynamische Erkundung mit GeoGebra

Das folgende GeoGebra-Material ist speziell zum Thema Natürliche Zahl mit Bruchzahl multiplizieren aufgebaut. Es enthält Entdeckungs- und Übungsphasen zu Addition, Multiplikation und der Rechenregel. Verändere die Werte und beobachte, wie sich Darstellung und Ergebnis ändern.

Forscherauftrag: Stelle nacheinander $2\cdot \frac{3}{4}$, $3\cdot \frac{2}{5}$ und $5\cdot \frac{1}{6}$ dar. Notiere jeweils die passende wiederholte Addition und das Produkt.

Sachaufgaben: Wo steckt die Multiplikation?

Beispiel 1: Trinkflaschen

Eine Trinkflasche fasst $\frac{3}{4}$ Liter. Für einen Ausflug werden 4 gleich große Flaschen vollständig gefüllt.

$4\cdot \frac{3}{4}=\frac{12}{4}=3$

Insgesamt sind es 3 Liter.

Anzahl	Inhalt je Flasche	Gesamtmenge
4	$\frac{3}{4}$ Liter	$4\cdot \frac{3}{4}=3$ Liter

Beispiel 2: Laufstrecke

Eine Runde ist $\frac{2}{5}$ Kilometer lang. Mira läuft 3 Runden.

$3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$

Mira läuft $1\frac{1}{5}$ Kilometer.

Interaktive Sachaufgabe: Picknick

Ergänze die passende Größe.	Sachaufgabe
$\frac{8}{5}$ Liter	Vier Krüge enthalten jeweils $\frac{2}{5}$ Liter Saft. Insgesamt sind es ...
$\frac{9}{4}$ Meter	Drei Bänder sind jeweils $\frac{3}{4}$ Meter lang. Zusammen sind sie ...
$\frac{10}{6}$ Kilogramm	Fünf Packungen wiegen jeweils $\frac{2}{6}$ Kilogramm. Zusammen wiegen sie ...
$\frac{12}{5}$ Kilometer	Vier Runden sind jeweils $\frac{3}{5}$ Kilometer lang. Die Strecke beträgt ...
$\frac{14}{8}$ Liter	Sieben Becher enthalten jeweils $\frac{2}{8}$ Liter. Zusammen sind es ...

Fehlerwerkstatt

Behauptung	Richtig oder falsch?	Begründung
$3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{15}$	Falsch	Hier wurden Zähler und Nenner mit 3 multipliziert. Das erweitert nur den Bruch.
$3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$	Richtig	Drei Portionen mit je zwei Fünfteln sind sechs Fünftel.
$\frac{6}{5}<1$	Falsch	Fünf Fünftel sind bereits 1. Ein weiteres Fünftel kommt hinzu.
$\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$	Richtig	$\frac{6}{5}=\frac{5}{5}+\frac{1}{5}$.

Erklärvideos

Das erste Video behandelt genau das Multiplizieren von Brüchen mit natürlichen Zahlen in Klasse 6.

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Das zweite Video wiederholt die Bruchmultiplikation und enthält auch den Fall Bruch mal natürliche Zahl.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet $3\cdot \frac{2}{5}$ als wiederholte Addition? (2/5 + 2/5 + 2/5) (!3/5 + 3/5) (!2/5 + 3/5) (!2/5 + 2/5)

Wie lautet $3\cdot \frac{2}{5}$? (6/5) (!6/15) (!2/5) (!3/5)

Welcher Teil des Bruchs bleibt bei $4\cdot \frac{3}{7}$ unverändert? (Der Nenner) (!Der Zähler) (!Beide Zahlen werden verdoppelt) (!Kein Teil bleibt gleich)

Welche gemischte Zahl entspricht $\frac{6}{5}$? (1 1/5) (!1 6/5) (!2 1/5) (!1/5)

Wie lautet $4\cdot \frac{3}{8}$ vor dem Kürzen? (12/8) (!7/12) (!12/32) (!3/8)

Warum bleibt der Nenner bei der Multiplikation mit einer natürlichen Zahl gleich? (Die Größe der Bruchteile bleibt gleich) (!Die Anzahl der Ganzen bleibt immer gleich) (!Der Nenner darf grundsätzlich nie verändert werden) (!Der Zähler beschreibt die Größe eines Bruchteils)

Welche Rechnung passt zu drei Runden mit je $\frac{2}{5}$ Kilometer? (3 mal 2/5) (!3 plus 2/5) (!3/2 mal 5) (!2/5 geteilt durch 3)

Welches Ergebnis ist größer als ein Ganzes? (6/5) (!4/5) (!3/5) (!2/5)

Welche Rechnung zeigt eine falsche Vorgehensweise bei $3\cdot \frac{2}{5}$? (6/15) (!2/5 + 2/5 + 2/5) (!3 mal 2 geteilt durch 5) (!6/5)

Wie viel sind fünf Portionen zu je $\frac{1}{6}$? (5/6) (!5/30) (!1/6) (!6/5)

Memory

Wiederholte Addition	Multiplikation mit natürlicher Zahl
Zähler	Anzahl der Bruchteile
Nenner	Größe der Bruchteile
$\frac{6}{5}$	$1\frac{1}{5}$
Bruchstreifen	Flächenmodell
Zahlengerade	Gleiche Sprünge
Unechter Bruch	Mehr als ein Ganzes möglich
Kürzen	Gleichwertige einfachere Darstellung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Wiederholte Addition	Gleiche Brüche werden mehrfach addiert.
Zähler vervielfachen	Die natürliche Zahl wird mit dem Zähler multipliziert.
Nenner beibehalten	Die Größe der Bruchteile bleibt unverändert.
Unechter Bruch	Das Ergebnis kann größer als ein Ganzes sein.
Gemischte Zahl	Ein unechter Bruch wird als Ganze und Restbruch geschrieben.

Kreuzworträtsel

Zaehler	Welche Zahl im Bruch gibt die Anzahl der ausgewählten Bruchteile an?
Nenner	Welche Zahl im Bruch legt die Größe eines einzelnen Bruchteils fest?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Bruchstreifen	Welches Modell zeigt Brüche als gleich große Abschnitte eines Balkens?
Zahlengerade	Auf welcher Darstellung können gleiche Sprünge nach rechts gezeigt werden?
Fuenftel	Wie heißt ein einzelner Teil, wenn ein Ganzes in fünf gleich große Teile geteilt wird?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Multiplikation mit einer natürlichen Zahl kann als desselben Bruchs verstanden werden.

Bei $3\cdot \frac{2}{5}$ wird der Bruch $\frac{2}{5}$ insgesamt genommen.

Beim Multiplizieren einer natürlichen Zahl mit einem Bruch wird die natürliche Zahl mit dem multipliziert.

Der bleibt dabei unverändert.

Das Ergebnis von $3\cdot \frac{2}{5}$ heißt gesprochen .

Der Bruch $\frac{6}{5}$ ist größer als .

Als gemischte Zahl wird $\frac{6}{5}$ zu .

Auf einer Zahlengeraden zeigt die Multiplikation mehrere gleich große .

Wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler besitzen, kann man das Ergebnis .

Ein Bruchstreifen macht sichtbar, dass fünf Fünftel ein ergeben.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchstreifen legen: Stelle $3\cdot \frac{2}{5}$ mit Papierstreifen dar. Markiere zuerst drei einzelne Portionen zu je $\frac{2}{5}$ und lege sie anschließend zu $\frac{6}{5}$ zusammen.
2. Sprungbild zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $2$ und trage drei Sprünge der Länge $\frac{2}{5}$ ein.
3. Bild und Rechnung verbinden: Zeichne ein Kreismodell für $\frac{2}{5}$, $\frac{4}{5}$ und $\frac{6}{5}$. Schreibe unter jedes Bild die passende Multiplikation.
4. Eigene Mini-Sachaufgabe: Erfinde eine Alltagssituation zu $4\cdot \frac{1}{3}$ und löse sie mit Rechnung und Skizze.

Standard

1. Erklärclip planen: Erstelle ein Storyboard mit vier Bildern, das erklärt, warum $3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$ gilt.
2. Fehlerdetektiv: Erkläre mit einem Gegenbild, warum $3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{15}$ falsch ist.
3. Darstellungen vergleichen: Finde drei Aufgaben, deren Produkt größer als $1$ ist, und stelle jedes Ergebnis als unechten Bruch und als gemischte Zahl dar.
4. Messprojekt: Suche zu Hause oder in der Schule drei Größen, die sich sinnvoll als Bruchteile einer Einheit beschreiben lassen. Formuliere dazu je eine Multiplikationsaufgabe mit einer natürlichen Zahl.

Schwer

1. Regel begründen: Begründe die Formel $n\cdot \frac{a}{b}=\frac{n\cdot a}{b}$ zuerst mit wiederholter Addition und dann mit einem Bruchstreifen.
2. Modelle vergleichen: Löse $5\cdot \frac{3}{7}$ mit Bruchstreifen und Zahlengerade. Erkläre, welche Darstellung Dir welche Information besonders deutlich zeigt.
3. Rückwärts denken: Finde mindestens drei verschiedene Aufgaben der Form $n\cdot \frac{a}{b}$, die das Ergebnis $\frac{6}{5}$ haben. Begründe Deine Lösungen.
4. Interaktive Lernstation: Entwickle eine kleine Lernstation mit einer Bildaufgabe, einer Zahlengeradenaufgabe, einer Sachaufgabe und einer Fehleranalyse für Mitschülerinnen und Mitschüler.

Lernkontrolle

1. Darstellung wechseln: Erkläre $4\cdot \frac{3}{5}$ als wiederholte Addition, als Bruchstreifen und als Sprungfolge auf der Zahlengeraden. Zeige, dass alle drei Darstellungen zum selben Ergebnis führen.
2. Fehler begründen: Eine Schülerin rechnet $5\cdot \frac{2}{7}=\frac{10}{35}$. Erkläre genau, welcher Gedanke falsch ist, und verbessere die Rechnung mit einer anschaulichen Begründung.
3. Sachproblem modellieren: Eine Wandergruppe läuft fünf gleich lange Abschnitte zu je $\frac{3}{4}$ Kilometer. Formuliere die Rechnung, bestimme die Gesamtstrecke und deute das Ergebnis als gemischte Zahl.
4. Vor dem Rechnen abschätzen: Entscheide ohne vollständige Rechnung, ob $3\cdot \frac{4}{9}$ kleiner, gleich oder größer als $1$ ist. Begründe zuerst anschaulich und rechne danach zur Kontrolle.
5. Regel übertragen: Vergleiche $2\cdot \frac{5}{6}$ und $4\cdot \frac{5}{12}$. Untersuche, warum beide Ergebnisse gleich sein können, obwohl die Aufgaben verschieden aussehen.
6. Passendes Modell wählen: Entscheide, ob Du für eine Aufgabe mit Weglängen eher Bruchstreifen oder Zahlengerade verwenden würdest. Begründe Deine Wahl an einem selbst gewählten Beispiel.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Rechenwege verständlich darstellst.

1. Du erklärst Multiplikation mit einer natürlichen Zahl als wiederholte Addition.
2. Du stellst mindestens eine Aufgabe mit Bruchstreifen oder Zahlengerade dar.
3. Du verwendest sicher $n\cdot \frac{a}{b}=\frac{n\cdot a}{b}$.
4. Du deutest unechte Brüche als Größen über einem Ganzen und wandelst sie bei Bedarf in gemischte Zahlen um.
5. Du erkennst typische Fehler wie das gleichzeitige Multiplizieren von Zähler und Nenner.
6. Du löst eine Sachaufgabe, nennst eine passende Einheit und erklärst, was das Ergebnis in der Situation bedeutet.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Bruchrechnung fasst Grundbegriffe und Rechenregeln zusammen.

Freie Medien und weitere Lernangebote

Die im aiMOOC verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien sind frei nachnutzbar. Die konkreten Lizenzangaben stehen jeweils auf der Dateibeschreibungsseite.

1. Frac25.svg, Frac45.svg und Frac65.svg: Bruchkreise von Yomomo, CC0.
2. Vorbereitung, Schritt 1 und Ergebnis: Zahlengeradenfolge von Stephan Kulla, CC BY 3.0.
3. Gleichwertige Brüche am Zahlenstrahl und Unechter und gemischter Bruch: Grafiken von Mabit1, CC BY-SA 4.0.
4. GeoGebra: Natürliche Zahl mit Bruchzahl multiplizieren: interaktives Lernmaterial des FLINK-Teams.
5. Die eingebetteten YouTube-Videos werden über die jeweilige Plattform wiedergegeben; Rechte und Verfügbarkeit verbleiben bei den jeweiligen Anbietern.

Verknüpfte Lernbereiche

Bruchrechnung Bruch Zähler und Nenner Gleichnamige Brüche addieren Multiplikation Zahlengerade Bruchstreifen Unechter Bruch Gemischte Zahl Kürzen Sachaufgabe