Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

M6 G - Brüche kürzen

Einleitung

Beim Bruchrechnen kannst Du ein und dieselbe Menge mit verschiedenen Brüchen beschreiben. Ein halber Kuchen kann zum Beispiel als $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ oder $\frac{3}{6}$ dargestellt werden. Die Schreibweisen sehen verschieden aus, haben aber denselben Wert.

Kürzen bedeutet: Du teilst Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl. Dadurch wird die Schreibweise einfacher, der Wert des Bruchs bleibt gleich.

Darstellung	Gleichwertiger Bruch	Bedeutung
$\frac{2}{4}$	$\frac{1}{2}$	Zwei von vier gleich großen Teilen sind genau die Hälfte.
$\frac{4}{6}$	$\frac{2}{3}$	Vier Sechstel bedecken genauso viel wie zwei Drittel.
$\frac{6}{9}$	$\frac{2}{3}$	Beide Brüche markieren denselben Anteil.

Die Bruchstreifen zeigen gleich lange Ganze, die unterschiedlich fein unterteilt sind. Suche waagerecht nach gleich langen farbigen Anteilen: So kannst Du gleichwertige Brüche sehen, bevor Du rechnest.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Gleichwertige Brüche in Flächenmodellen, Bruchstreifen und am Zahlenstrahl erkennen.
gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner finden.
einfache Brüche mit $2$ , $3$ , $4$ , $5$ oder $10$ sicher kürzen.
erklären, warum beim Kürzen der Wert eines Bruchs gleich bleibt.
einen Bruch schrittweise oder direkt vollständig kürzen.
typische Kürzungsfehler erkennen und verbessern.

Vom Bild zum Kürzen

Ein Bruch beschreibt einen Anteil

Bei $\frac{3}{4}$ ist $3$ der Zähler und $4$ der Nenner.

Wort	Aufgabe	Beispiel bei $\frac{3}{4}$
Nenner	In wie viele gleich große Teile ist das Ganze geteilt?	$4$
Zähler	Wie viele dieser Teile werden betrachtet?	$3$
Bruchstrich	Er bedeutet auch Division.	$3 : 4$

Das Flächenmodell hilft Dir: Ein Bruch ist nicht nur eine Rechenaufgabe. Er beschreibt eine Größe beziehungsweise einen Anteil.

Gleichwertige Darstellungen entdecken

Schau Dir die Animation an. Die Darstellung wechselt, aber der markierte Anteil bleibt gleich.

Hier wird sichtbar:

$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Warum? Je zwei Sechstel werden zu einem Drittel zusammengefasst. Zähler und Nenner werden gleichzeitig durch $2$ geteilt:

$\frac{4}{6} = \frac{4 : 2}{6 : 2} = \frac{2}{3}$

Merksatz: Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt.

Bewegliche Bruchdarstellung

Verschiebe in der GeoGebra-Darstellung die Regler und beobachte, wie ein Bruch in mehr oder weniger Teilstücke zerlegt wird. Suche verschiedene Darstellungen mit demselben Flächenanteil.

Interaktive Darstellung: GeoGebra „Equivalent Fractions“ von Edward Knote.

Arbeitsauftrag: Stelle nacheinander die Werte $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ und $\frac{3}{6}$ her. Beschreibe, was gleich bleibt und was sich verändert.

Dynamisches Flächenmodell

Beim Kürzen darf sich die markierte Fläche nicht ändern. Verändere in der folgenden Darstellung die Unterteilung des Rechtecks und beobachte, wie Zähler und Nenner mit der Zerlegung zusammenhängen.

Interaktive Darstellung: GeoGebra „Teile des Rechtecks“ von Hubert Pöchtrager.

Auftrag: Erzeuge zuerst einen halben Anteil. Stelle denselben Anteil danach mit mehr Teilstücken dar. Notiere zwei passende Brüche und kürze den Bruch mit dem größeren Nenner.

Gleichwertige Brüche am Zahlenstrahl

Wenn zwei Brüche gleichwertig sind, liegen sie am Zahlenstrahl an derselben Stelle. Deshalb gilt zum Beispiel:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}$

Das Bild zeigt einen wichtigen Gedanken: Beim Kürzen bewegst Du den Punkt auf dem Zahlenstrahl nicht. Du änderst nur die Schreibweise.

Dynamischer Zahlenstrahl

Bewege den Punkt im GeoGebra-Zahlenstrahl. Suche verschiedene Brüche, die dieselbe Position beschreiben.

Interaktiver Zahlenstrahl: GeoGebra „Zahlenstrahl für Brüche“ von Matthias Giger.

Suche am Zahlenstrahl	Eine passende Gleichung
Hälfte	$\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$
ein Drittel	$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$
drei Viertel	$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$

Die Kürzungsregel

Für einen Bruch $\frac{a}{b}$ gilt beim Kürzen mit einer Zahl $k$ :

$\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}$

Das funktioniert nur, wenn $k$ Zähler und Nenner ohne Rest teilt.

Visueller Rechenweg: Kürzen mit 2

Schritt	Rechnung	Denkfrage
1. Bruch ansehen	$\frac{8}{12}$	Sind Zähler und Nenner gerade?
2. gemeinsamen Teiler wählen	$8 : 2 = 4, 12 : 2 = 6$	Die $2$ teilt beide Zahlen.
3. gleichzeitig kürzen	$\frac{8}{12} = \frac{8 : 2}{12 : 2} = \frac{4}{6}$	Der Wert bleibt gleich.
4. weiter prüfen	$\frac{4}{6} = \frac{4 : 2}{6 : 2} = \frac{2}{3}$	Noch einmal mit $2$ kürzen.
5. Stopp	$\frac{2}{3}$	$2$ und $3$ haben keinen gemeinsamen Teiler größer als $1$ .

Damit gilt:

$\frac{8}{12} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Animierter Blick auf gleichwertige Brüche

Die Animation macht sichtbar, dass ein Ganzes immer feiner unterteilt werden kann. Beim Kürzen denkst Du diesen Vorgang rückwärts: Mehrere kleine gleich große Teile werden zu größeren Gruppen zusammengefasst.

Gemeinsame Teiler finden

Zum Kürzen brauchst Du einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.

Beispiel $\frac{12}{18}$ :

Zahl	Teiler
$12$	$1, 2, 3, 4, 6, 12$
$18$	$1, 2, 3, 6, 9, 18$
gemeinsame Teiler	$1, 2, 3, 6$

Du kannst also mit $2$ , $3$ oder $6$ kürzen. Mit dem größten gemeinsamen Teiler $6$ bist Du sofort fertig:

$\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}$

Schnelle Teilbarkeits-Hilfen

Kürzen mit	Woran erkennst Du es?	Beispiel
$2$	Beide Zahlen sind gerade.	$\frac{14}{20} = \frac{7}{10}$
$3$	Bei beiden Zahlen ist die Quersumme durch $3$ teilbar.	$\frac{15}{21} = \frac{5}{7}$
$5$	Beide Zahlen enden auf $0$ oder $5$ .	$\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$
$10$	Beide Zahlen enden auf $0$ .	$\frac{30}{50} = \frac{3}{5}$

Schrittweise oder direkt kürzen

Beide Wege sind richtig.

Weg	Rechnung mit $\frac{24}{36}$	Ergebnis
schrittweise	$\frac{24}{36} \overset{: 2}{\to} \frac{12}{18} \overset{: 2}{\to} \frac{6}{9} \overset{: 3}{\to} \frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$
direkt	$\frac{24}{36} \overset{: 12}{\to} \frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$

Für das G-Niveau ist die sichere Strategie besonders wichtig: Wenn Du den größten gemeinsamen Teiler nicht sofort siehst, kürze in kleinen Schritten.

Flächenmodell: gleiche Menge, einfachere Schreibweise

Das Flächenmodell zeigt verschiedene Unterteilungen eines gleich großen Anteils. Genau darauf beruht das Kürzen: Die Anzahl der Teilstücke ändert sich, die dargestellte Menge nicht.

Wann ist ein Bruch vollständig gekürzt?

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner außer $1$ keinen gemeinsamen Teiler mehr haben.

Beispiele:

Bruch	vollständig gekürzt?	Begründung
$\frac{2}{3}$	Ja	Gemeinsame Teiler nur $1$ .
$\frac{4}{6}$	Nein	$2$ teilt beide Zahlen.
$\frac{5}{8}$	Ja	Kein gemeinsamer Teiler größer als $1$ .
$\frac{9}{12}$	Nein	$3$ teilt beide Zahlen.

Kürzungs-Ampel

Prüfschritt	Frage	Beispiel
1	Sind beide Zahlen durch $2$ teilbar?	$\frac{18}{24} \to \frac{9}{12}$
2	Sind beide durch $3$ teilbar?	$\frac{9}{12} \to \frac{3}{4}$
3	Enden beide auf $0$ oder $5$ ?	Dann prüfe $5$ .
4	Gibt es noch einen gemeinsamen Teiler?	Wenn nein: Stopp.

Typische Fehler

Fehler	Warum falsch?	Richtig
$\frac{8}{12} \to \frac{4}{12}$	Nur der Zähler wurde geteilt.	$\frac{8}{12} = \frac{4}{6}$
$\frac{6}{9} \to \frac{5}{8}$	Zähler und Nenner wurden jeweils um $1$ verkleinert. Das ist kein Kürzen.	$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
$\frac{10}{15} \to \frac{2}{3}$ mit „ $: 5$ “ nur beim Nenner	Die Kürzungszahl muss auf beide Zahlen angewendet werden.	$10 : 5 = 2, 15 : 5 = 3$
$\frac{7}{12} \to \frac{1}{6}$	$7$ und $12$ haben keinen gemeinsamen Teiler größer als $1$ .	$\frac{7}{12}$ bleibt so.

Interaktive GeoGebra-Übung: Brüche kürzen

Interaktive Übung: GeoGebra „Brüche kürzen“ von Cornelia Grünberger.

Arbeite zuerst ohne Taschenrechner. Suche jeweils eine Zahl, die Zähler und Nenner teilt. Kontrolliere danach mit der Darstellung.

Video: Kürzen in Bewegung

Das folgende Lernvideo zeigt Kürzen und Erweitern an mehreren einfachen Beispielen für die Klassen 5 und 6.

Stoppe das Video nach jedem Kürzungsbeispiel und rechne den nächsten Schritt selbst, bevor Du weiter schaust.

Zweite Video-Erklärung

Dieses Video verbindet Kürzen und Erweitern mit der Frage, warum beide Umformungen den Wert eines Bruchs nicht verändern.

Notiere zu einem Beispiel aus dem Video eine Gleichung der Form:

$\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}$

Training: kurze Rechenwege

Berechne zuerst im Kopf. Schreibe bei Unsicherheit die Divisionen daneben.

Aufgabe	passende Kürzungszahl	Ergebnis
$\frac{6}{8}$	$2$	$\frac{3}{4}$
$\frac{10}{15}$	$5$	$\frac{2}{3}$
$\frac{12}{16}$	$4$	$\frac{3}{4}$
$\frac{15}{25}$	$5$	$\frac{3}{5}$
$\frac{18}{24}$	$6$	$\frac{3}{4}$
$\frac{21}{28}$	$7$	$\frac{3}{4}$

Mini-Check ohne Lösungstabelle

Kürze vollständig:

$\frac{4}{10}$
$\frac{9}{12}$
$\frac{14}{21}$
$\frac{20}{30}$
$\frac{16}{24}$

Kontrollidee: Prüfe am Ende, ob Zähler und Nenner noch einen gemeinsamen Teiler größer als $1$ haben.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen? (Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen) (!Nur den Zähler verkleinern) (!Nur den Nenner verkleinern) (!Zähler und Nenner addieren)

Welcher Bruch entsteht, wenn Du 6/8 mit 2 kürzt? (3/4) (!4/6) (!3/6) (!5/7)

Welche Zahl ist ein gemeinsamer Teiler von 12 und 18? (6) (!5) (!7) (!8)

Welcher Bruch ist gleichwertig zu 4/6? (2/3) (!3/4) (!4/5) (!1/3)

Warum bleibt der Wert eines Bruchs beim Kürzen gleich? (Zähler und Nenner werden im gleichen Verhältnis verkleinert) (!Nur der Nenner wird kleiner) (!Der Bruchstrich verändert seinen Wert) (!Jeder kleinere Bruch hat denselben Wert)

Welcher Bruch ist bereits vollständig gekürzt? (5/8) (!4/6) (!6/10) (!9/12)

Mit welcher Zahl kannst Du 15/25 direkt vollständig kürzen? (5) (!2) (!3) (!4)

Was gilt für gleichwertige Brüche am Zahlenstrahl? (Sie liegen an derselben Stelle) (!Sie liegen immer nebeneinander) (!Sie liegen immer rechts von 1) (!Sie haben immer denselben Nenner)

Welcher Rechenweg ist korrekt? (12/18 = 12:6 / 18:6 = 2/3) (!12/18 = 12:2 / 18:3 = 6/6) (!12/18 = 11/17) (!12/18 = 6/18)

Wann darfst Du mit einer Zahl kürzen? (Wenn sie Zähler und Nenner ohne Rest teilt) (!Wenn sie nur den Zähler teilt) (!Wenn sie größer als der Nenner ist) (!Wenn der Bruch kleiner als 1 ist)

Memory

Kürzen	Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
gemeinsamer Teiler	Zahl, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt
gleichwertige Brüche	verschiedene Schreibweisen mit demselben Wert
vollständig gekürzt	kein gemeinsamer Teiler größer als eins
Zähler	Anzahl der betrachteten Teile
Nenner	Anzahl der gleich großen Teile des Ganzen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen	Kürzen
teilt beide Zahlen ohne Rest	gemeinsamer Teiler
liegen am Zahlenstrahl an derselben Stelle	gleichwertige Brüche
kein gemeinsamer Teiler größer als eins	vollständig gekürzt
zeigt denselben Anteil bei anderer Unterteilung	Flächenmodell

...

Kreuzworträtsel

Kürzen	Wie heißt das Teilen von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl?
Zähler	Wie heißt die Zahl oberhalb des Bruchstrichs?
Nenner	Wie heißt die Zahl unterhalb des Bruchstrichs?
Teiler	Wie heißt eine Zahl, die eine andere Zahl ohne Rest teilt?
Bruchstrich	Wie heißt die Linie zwischen Zähler und Nenner?
gleichwertig	Wie nennt man Brüche mit verschiedenem Aussehen, aber gleichem Wert?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Bruchstreifen: Schneide aus Papier gleich lange Streifen und teile sie in Hälften, Viertel und Achtel. Lege gleichwertige Anteile übereinander und fotografiere zwei passende Paare.
Flächenmodell: Zeichne $\frac{2}{4}$ und $\frac{1}{2}$ als zwei gleich große Rechtecke. Erkläre mit zwei Sätzen, warum die Flächen gleich groß sind.
Kürzungskarten: Erstelle sechs Karten mit einfachen Brüchen. Schreibe auf die Rückseite die vollständig gekürzte Form und die verwendete Kürzungszahl.
Fehlersuche: Erfinde einen falschen Kürzungsweg, markiere den Fehler und verbessere ihn.

Standard

Zahlenstrahl: Zeichne einen Zahlenstrahl von $0$ bis $1$ . Markiere $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{6}$ und $\frac{4}{8}$ . Beschreibe Deine Beobachtung.
Erklärvideo: Produziere ein höchstens zweiminütiges Video, in dem Du $\frac{12}{18}$ schrittweise kürzt und jeden gemeinsamen Teiler erklärst.
Bruchplakat: Gestalte ein Lernplakat mit dem Merksatz zum Kürzen, einem Flächenmodell, einem Beispiel und einem typischen Fehler.
Alltagsbruch: Suche in Deiner Umgebung ein Beispiel für einen Anteil, etwa bei einer Pizza, einer Tafel Schokolade oder einem Messbecher. Stelle denselben Anteil mit zwei gleichwertigen Brüchen dar.

Schwer

Kürzungsstrategie: Vergleiche für $\frac{24}{36}$ den schrittweisen Weg und den direkten Weg mit dem größten gemeinsamen Teiler. Entscheide, welcher für Dich sicherer ist, und begründe.
Interview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler: „Woran erkennst Du, ob ein Bruch noch gekürzt werden kann?“ Werte die Erklärung aus und ergänze fehlende Punkte.
Aufgabenwerkstatt: Entwickle fünf Kürzungsaufgaben in drei Schwierigkeitsstufen. Gib zu jeder Aufgabe eine Musterlösung mit Rechenweg an.
Bruch-Galerie: Erstelle eine digitale oder analoge Galerie mit mindestens vier verschiedenen Darstellungen desselben Bruchwerts: Flächenmodell, Bruchstreifen, Zahlenstrahl und Rechnung.

Lernkontrolle

Darstellungen verknüpfen: Erkläre mit einem Flächenmodell und einer Rechnung, warum $\frac{6}{9}$ und $\frac{2}{3}$ denselben Wert haben.
Fehler analysieren: Jemand behauptet $\frac{8}{12} = \frac{7}{11}$ , weil bei Zähler und Nenner jeweils $1$ abgezogen wurde. Erkläre den Denkfehler und gib einen richtigen Kürzungsweg an.
Strategie wählen: Kürze $\frac{18}{30}$ vollständig. Zeige einen schrittweisen und einen direkten Weg und vergleiche beide.
Transfer: Eine Schokolade hat $12$ gleich große Stücke. $8$ Stücke sind noch da. Stelle den Anteil zuerst als $\frac{8}{12}$ dar und kürze. Erkläre, was das Ergebnis im Sachzusammenhang bedeutet.
Begründen: Entscheide, ob $\frac{7}{15}$ noch gekürzt werden kann. Begründe Deine Entscheidung mithilfe gemeinsamer Teiler.
Zahlenstrahl-Transfer: Zwei Kinder markieren $\frac{3}{4}$ und $\frac{6}{8}$ an unterschiedlichen Stellen. Beurteile die Zeichnung und erkläre, wo beide Punkte liegen müssen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

Du erkennst gleichwertige Brüche in Bildern und am Zahlenstrahl.
Du findest einfache gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner.
Du kürzt einfache Brüche sicher und vollständig.
Du kannst einen schrittweisen Kürzungsweg verständlich notieren.
Du erklärst, warum Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden müssen.
Du begründest, wann ein Bruch nicht weiter gekürzt werden kann.
Du erkennst typische Fehler und kannst sie korrigieren.
Du überträgst das Kürzen auf einfache Alltagssituationen.

OERs zum Thema

Freie und interaktive Medien

Die eingebundenen Grafiken und Animationen stammen aus Wikimedia Commons. Die interaktiven GeoGebra-Materialien werden über GeoGebra eingebettet. Die beiden Lernvideos werden über den offiziellen YouTube-Player angezeigt.