M6 G - Absolute und relative Häufigkeit verstehen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

M6 G - Absolute und relative Häufigkeit verstehen führt Dich in eine wichtige Idee der Statistik ein: Du lernst, Daten nicht nur zu zählen, sondern auch als Anteil am Ganzen zu beschreiben. Das hilft Dir besonders dann, wenn Du Gruppen unterschiedlicher Größe vergleichen möchtest.

Im Mittelpunkt stehen zwei Begriffe:

Begriff	Frage	Bedeutung	Beispiel
Absolute Häufigkeit	Wie oft?	gezählte Anzahl	$H(A)=8$
Relative Häufigkeit	Welcher Anteil?	Anzahl geteilt durch Gesamtzahl	$h(A)=\frac{8}{20}=\mathrm{0,4}=40\mathrm{\%}$

Merksatz:

$\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Gesamtzahl}}$

oder kurz:

$h(A)=\frac{H(A)}{n}$

Dabei ist $H(A)$ die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses oder Merkmals und $n$ die Gesamtzahl aller Beobachtungen.

Hundertfeld: 25 von 100 Feldern sind markiert.

Das Hundertfeld zeigt besonders anschaulich:

$\frac{25}{100}=\mathrm{0,25}=25\mathrm{\%}$

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Absolute Häufigkeit: gezählte Anzahlen aus Daten, Strichlisten und Tabellen bestimmen.
2. Relative Häufigkeit: einen Anteil als Bruch und Dezimalzahl berechnen.
3. Prozent: einfache relative Häufigkeiten als Prozentangabe ausdrücken.
4. Häufigkeitstabelle: absolute und relative Häufigkeiten übersichtlich eintragen.
5. Daten vergleichen: erkennen, warum bei unterschiedlich großen Gruppen oft die relative Häufigkeit aussagekräftiger ist.
6. Diagramm: Häufigkeiten aus einfachen Diagrammen ablesen und deuten.
7. Plausibilitätsprüfung: kontrollieren, ob absolute Häufigkeiten zusammen $n$ und relative Häufigkeiten zusammen $1$ beziehungsweise $100\mathrm{\%}$ ergeben.

Absolute Häufigkeit: Wie oft kommt etwas vor?

Die absolute Häufigkeit ist eine Anzahl. Du zählst, wie oft ein bestimmtes Ergebnis vorkommt.

Beispiel: 20 Kinder nennen ihr bevorzugtes Pausenobst.

Obst	Strichliste	Absolute Häufigkeit
Apfel					$8$
Banane			|	$6$
Trauben				$4$
Birne			$2$
Summe		$20$

Für „Apfel“ gilt:

$H(\text{Apfel})=8$

Das bedeutet: 8 Kinder haben Apfel genannt.

Die absolute Häufigkeit ist immer eine Zählzahl:

$0\le H(A)\le n$

Zählmodell: Anzahl sichtbar machen

Kategorie	Mengenmodell	Zählung
Apfel	● ● ● ● ● ● ● ●	$8$
Banane	● ● ● ● ● ●	$6$
Trauben	● ● ● ●	$4$
Birne	● ●	$2$

Kontrolle:

$8+6+4+2=20$

Die Summe aller absoluten Häufigkeiten muss zur Gesamtzahl passen.

Relative Häufigkeit: Welcher Anteil ist das?

Die relative Häufigkeit vergleicht die gezählte Anzahl mit der Gesamtzahl.

Für „Apfel“:

$h(\text{Apfel})=\frac{8}{20}$

Kürzen:

$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$

Als Dezimalzahl:

$\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}$

Als Prozentangabe:

$\mathrm{0,4}\cdot 100\mathrm{\%}=40\mathrm{\%}$

Damit gilt:

$\frac{8}{20}=\mathrm{0,4}=40\mathrm{\%}$

Die Zahl $8$ beschreibt die absolute Anzahl. Die Zahl $40\mathrm{\%}$ beschreibt den relativen Anteil.

Drei Darstellungen desselben Anteils

Bruch	Dezimalzahl	Prozent	Bedeutung
$\frac{1}{10}$	$\mathrm{0,1}$	$10\mathrm{\%}$	1 von 10
$\frac{1}{5}$	$\mathrm{0,2}$	$20\mathrm{\%}$	1 von 5
$\frac{1}{4}$	$\mathrm{0,25}$	$25\mathrm{\%}$	1 von 4
$\frac{1}{2}$	$\mathrm{0,5}$	$50\mathrm{\%}$	die Hälfte
$\frac{3}{4}$	$\mathrm{0,75}$	$75\mathrm{\%}$	drei Viertel
$\frac{1}{1}$	$1$	$100\mathrm{\%}$	das Ganze

Kreisdiagramm als Modell für Anteile.

Vom Anteil zur Prozentangabe

Prozent bedeutet „von hundert“.

$1\mathrm{\%}=\frac{1}{100}$

Darum ist ein Hundertfeld besonders nützlich. Jedes Kästchen steht für:

$\frac{1}{100}=1\mathrm{\%}$

Hundertfeld: 25 Prozent sehen

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Legende: ■ markiert, □ nicht markiert.

$25$ von $100$ Feldern sind markiert:

$\frac{25}{100}=25\mathrm{\%}$

Schnelle Prozentwege für einfache Gesamtzahlen

Gesamtzahl $n$	Ein einzelner Fall entspricht	Beispiel
$10$	$10\mathrm{\%}$	$\frac{3}{10}=30\mathrm{\%}$
$20$	$5\mathrm{\%}$	$\frac{8}{20}=40\mathrm{\%}$
$25$	$4\mathrm{\%}$	$\frac{10}{25}=40\mathrm{\%}$
$50$	$2\mathrm{\%}$	$\frac{15}{50}=30\mathrm{\%}$
$100$	$1\mathrm{\%}$	$\frac{37}{100}=37\mathrm{\%}$

Visueller Rechenweg in vier Schritten

Beispiel: 6 von 20 Kindern wählen ein bestimmtes Spiel.

Schritt	Rechenweg	Bedeutung
Zählen	$H(A)=6$	6 Kinder
Gesamtzahl finden	$n=20$	20 Kinder insgesamt
Teilen	$h(A)=\frac{6}{20}=\mathrm{0,3}$	Anteil am Ganzen
In Prozent umwandeln	$\mathrm{0,3}\cdot 100\mathrm{\%}=30\mathrm{\%}$	30 von 100

Rechenkette:

$6\text{ von }20⟶\frac{6}{20}⟶\mathrm{0,3}⟶30\mathrm{\%}$

Diagramm-Kino: vom Zählen zum Anteil

Bild	Darstellung	Aussage
1	██████	6 Treffer wurden gezählt.
2	██████□□□□□□□□□□□□□□	6 von insgesamt 20.
3	██████□□□□□□□□□□□□□□ $=30\mathrm{\%}$	Der relative Anteil beträgt 30 Prozent.

So entsteht aus einer absoluten Anzahl schrittweise eine relative Häufigkeit.

Beispiel für ein Häufigkeitsdiagramm.

Interaktive Zahlengerade für Anteile

Die Anteilsskala reicht von $0$ bis $1$. Das entspricht $0\mathrm{\%}$ bis $100\mathrm{\%}$.

$0⟶\mathrm{0,25}⟶\mathrm{0,5}⟶\mathrm{0,75}⟶1$

$0\mathrm{\%}⟶25\mathrm{\%}⟶50\mathrm{\%}⟶75\mathrm{\%}⟶100\mathrm{\%}$

Trage die passenden Prozentwerte auf der Anteilsskala ein.

$0$ entspricht . $\mathrm{0,25}$ entspricht . $\mathrm{0,5}$ entspricht . $\mathrm{0,75}$ entspricht . $1$ entspricht .

Interaktives Stellenwertmodell

Bei Dezimalzahlen hilft die Stellenwerttafel.

Einer	Zehntel	Hundertstel	Zahl
0	3	5	$\mathrm{0,35}$

$\mathrm{0,35}=\frac{35}{100}=35\mathrm{\%}$

Untersuche die Zahl 0,35.

Die Ziffer an der Zehntelstelle ist . Die Ziffer an der Hundertstelstelle ist . Als Prozentangabe entspricht die Zahl .

Häufigkeitstabelle vollständig ausfüllen

Zur Obstumfrage mit insgesamt 20 Kindern gehören folgende relativen Häufigkeiten:

Obst	Absolute Häufigkeit	Rechnung	Relative Häufigkeit	Prozent
Apfel	$8$	$\frac{8}{20}$	$\mathrm{0,4}$	$40\mathrm{\%}$
Banane	$6$	$\frac{6}{20}$	$\mathrm{0,3}$	$30\mathrm{\%}$
Trauben	$4$	$\frac{4}{20}$	$\mathrm{0,2}$	$20\mathrm{\%}$
Birne	$2$	$\frac{2}{20}$	$\mathrm{0,1}$	$10\mathrm{\%}$
Summe	$20$		$1$	$100\mathrm{\%}$

Doppelte Kontrolle:

$8+6+4+2=20$

und

$40\mathrm{\%}+30\mathrm{\%}+20\mathrm{\%}+10\mathrm{\%}=100\mathrm{\%}$

Warum relative Häufigkeiten beim Vergleichen wichtig sind

Zwei Klassen haben unterschiedlich viele Lernende.

Gruppe	Gesamtzahl	Kinder mit Fahrrad	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit
Klasse A	$20$	$8$	$8$	$\frac{8}{20}=40\mathrm{\%}$
Klasse B	$30$	$9$	$9$	$\frac{9}{30}=30\mathrm{\%}$

Klasse B hat mit $9$ zwar die größere absolute Häufigkeit. Der Anteil ist dort aber nur $30\mathrm{\%}$. In Klasse A beträgt der Anteil $40\mathrm{\%}$.

Wichtig: Bei verschieden großen Gruppen beantwortet die absolute Häufigkeit die Frage „Wie viele?“. Die relative Häufigkeit beantwortet die Frage „Welcher Anteil?“.

$9>8\text{aber}30\mathrm{\%}<40\mathrm{\%}$

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Eine relative Häufigkeit beschreibt, was beobachtet wurde. Eine Wahrscheinlichkeit beschreibt dagegen, wie wahrscheinlich ein Ergebnis in einem Zufallsexperiment nach einem mathematischen Modell ist.

Beispiel: Du wirfst einen Würfel 20-mal und erhältst 7-mal eine gerade Zahl.

$H(\text{gerade})=7$

$h(\text{gerade})=\frac{7}{20}=\mathrm{0,35}=35\mathrm{\%}$

Die $35\mathrm{\%}$ sind die relative Häufigkeit in dieser Versuchsreihe. Sie müssen nicht genau mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit übereinstimmen.

Typische Fehler erkennen

Fehler	Beispiel	Korrektur
Anzahl und Anteil verwechseln	„8 bedeutet 40 Prozent.“	Erst die Gesamtzahl beachten: $\frac{8}{20}=40\mathrm{\%}$.
Durch die falsche Zahl teilen	$\frac{20}{8}$	Immer: $\frac{\text{Teil}}{\text{Ganzes}}$.
Prozentzeichen vergessen	$40$ statt $40\mathrm{\%}$	Prozentangaben benötigen das Prozentzeichen.
Gruppen nur mit Anzahlen vergleichen	9 gegen 8	Bei verschiedenen Gruppengrößen zusätzlich relative Häufigkeiten vergleichen.
Summe nicht prüfen	Prozentwerte ergeben 90 Prozent	Alle Kategorien müssen zusammen $100\mathrm{\%}$ ergeben.

Medien zum Wiederholen

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Ein Kreisdiagramm stellt Anteile eines Ganzen dar.

Die eingebundenen Bilder stammen von Wikimedia Commons. Die jeweiligen Lizenzangaben stehen auf den Dateiseiten. Die ausgewählten Medien dienen der fachlichen Veranschaulichung von Anteilen, Prozenten und Häufigkeiten.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

In einer Umfrage wählen 7 von 20 Kindern die Antwort A. Wie groß ist die absolute Häufigkeit für A? (7) (!20) (!35) (!0,35)

5 von 20 Ergebnissen gehören zur Kategorie B. Wie groß ist die relative Häufigkeit als Dezimalzahl? (0,25) (!0,5) (!4) (!25)

8 von 20 Kindern wählen Apfel. Wie viel Prozent sind das? (40 Prozent) (!8 Prozent) (!20 Prozent) (!80 Prozent)

Was beschreibt die relative Häufigkeit? (Den Anteil einer Kategorie an der Gesamtzahl) (!Nur die gezählte Anzahl einer Kategorie) (!Immer die größte Zahl in einer Tabelle) (!Die Reihenfolge der Daten)

10 von 25 Lernenden fahren mit dem Fahrrad. Wie groß ist die relative Häufigkeit in Prozent? (40 Prozent) (!10 Prozent) (!25 Prozent) (!250 Prozent)

Welche Summe ergeben alle relativen Häufigkeiten einer vollständigen Häufigkeitstabelle in Prozent? (100 Prozent) (!10 Prozent) (!50 Prozent) (!200 Prozent)

In Gruppe A wählen 12 von 30 Kindern Rot. In Gruppe B wählen 10 von 20 Kindern Rot. Welche Gruppe hat den größeren relativen Anteil? (Gruppe B) (!Gruppe A) (!Beide Gruppen haben denselben Anteil) (!Das kann man nie vergleichen)

Die relative Häufigkeit beträgt 0,3 und die Gesamtzahl ist 20. Wie groß ist die absolute Häufigkeit? (6) (!3) (!20) (!60)

Welche Rechnung bestimmt die relative Häufigkeit? (Absolute Häufigkeit geteilt durch Gesamtzahl) (!Gesamtzahl geteilt durch absolute Häufigkeit) (!Absolute Häufigkeit plus Gesamtzahl) (!Absolute Häufigkeit mal Gesamtzahl)

Wie viele Felder sind in einem Hundertfeld markiert, wenn 25 Prozent dargestellt werden? (25) (!4) (!50) (!75)

Memory

Absolute Häufigkeit	gezählte Anzahl
Relative Häufigkeit	Anteil am Ganzen
Grundmenge	alle betrachteten Fälle
Prozent	Hundertstelangabe
Häufigkeitstabelle	geordnete Zusammenfassung
Bruch	Anteilsschreibweise
Hundertfeld	Modell mit hundert Kästchen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Anzahl	absolute Häufigkeit
Anteil	relative Häufigkeit
Ganzes	Bezugsmenge
Hundertstel	Prozent
Auswertung	Häufigkeitstabelle

Bewegliche Bruchdarstellung: Ordne passende Schreibweisen zu

Ziehe den passenden Ausdruck.	Gleicher Anteil
Viertel	fünfundzwanzig Prozent
Hälfte	fünfzig Prozent
Dreiviertel	fünfundsiebzig Prozent
Zehntel	zehn Prozent
Fünftel	zwanzig Prozent

Kreuzworträtsel

Anzahl	Wie heißt die gezählte Menge eines Ergebnisses?
Anteil	Welches Wort beschreibt die relative Häufigkeit besonders einfach?
Prozent	Welche Schreibweise bedeutet von hundert?
Tabelle	Worin werden Häufigkeiten oft geordnet dargestellt?
Diagramm	Wie heißt eine grafische Darstellung von Daten?
Stichprobe	Wie nennt man eine untersuchte Auswahl von Fällen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die absolute Häufigkeit gibt eine an.

Die relative Häufigkeit beschreibt einen am Ganzen.

Zur Berechnung teilst Du die absolute Häufigkeit durch die .

Eine relative Häufigkeit liegt als Dezimalzahl zwischen null und .

Eine Prozentangabe bezieht einen Anteil auf .

Acht von zwanzig entsprechen .

Alle absoluten Häufigkeiten einer vollständigen Tabelle ergeben zusammen die .

Alle Prozentanteile einer vollständigen Häufigkeitstabelle ergeben zusammen .

Bei unterschiedlich großen Gruppen hilft besonders die beim Vergleichen.

Ein Hundertfeld besitzt gleich große Kästchen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Strichliste: Befrage zehn Personen nach einer von drei vorgegebenen Pausenaktivitäten. Erstelle eine Strichliste und bestimme die absoluten Häufigkeiten.
2. Hundertfeld: Zeichne ein Hundertfeld und markiere 10 Prozent, 25 Prozent, 40 Prozent und 50 Prozent jeweils in einer eigenen Skizze.
3. Häufigkeitstabelle: Erfinde eine kleine Datensammlung mit insgesamt 20 Beobachtungen und stelle sie als Tabelle mit absoluten Häufigkeiten dar.
4. Prozentkarten: Gestalte Kartenpaare zu $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ mit den passenden Prozentangaben.

Standard

1. Klassenumfrage: Führe eine anonyme Umfrage mit mindestens vier Antwortmöglichkeiten durch. Berechne zu jeder Antwort absolute und relative Häufigkeit.
2. Diagramm: Erstelle zu Deinen Umfragedaten ein Säulen- oder Kreisdiagramm und erkläre, welche Information man darin besonders schnell erkennt.
3. Gruppenvergleich: Erfinde zwei unterschiedlich große Gruppen, bei denen die größere absolute Häufigkeit nicht zum größeren relativen Anteil führt. Begründe mit Rechnungen.
4. Fehlersuche: Formuliere drei typische Fehler beim Berechnen relativer Häufigkeiten und schreibe jeweils eine passende Korrektur dazu.

Schwer

1. Datenprojekt: Sammle mindestens 30 Beobachtungen aus Deinem Alltag, ordne sie in Kategorien und stelle absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und Prozentanteil dar.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du den Weg von „6 von 20“ über einen Bruch bis zur Prozentangabe erklärst.
3. Vergleich von Stichproben: Untersuche zwei Datensätze mit verschiedenen Gesamtzahlen. Beschreibe, welche Aussage aus den absoluten und welche aus den relativen Häufigkeiten folgt.
4. Zufallsexperiment: Würfle mindestens 60-mal. Bestimme die absoluten und relativen Häufigkeiten der sechs Augenzahlen und vergleiche Deine Ergebnisse mit einer zweiten Versuchsreihe.

Lernkontrolle

1. Transfer zwischen Darstellungen: Eine Tabelle zeigt nur absolute Häufigkeiten. Ergänze relative Häufigkeiten, Prozentwerte und ein passendes Diagramm. Begründe, warum alle drei Darstellungen dieselben Daten unterschiedlich sichtbar machen.
2. Vergleich unterschiedlicher Gruppen: Zwei Schulklassen melden unterschiedliche Anzahlen für dasselbe Merkmal. Entscheide anhand selbst berechneter relativer Häufigkeiten, welche Aussage ein fairer Vergleich erlaubt.
3. Fehleranalyse: Ein Kind berechnet bei 8 Treffern aus 20 Versuchen $\frac{20}{8}$. Erkläre den Denkfehler und entwickle eine Merkhilfe, die solche Fehler verhindert.
4. Plausibilitätsprüfung: Du erhältst eine Häufigkeitstabelle, deren Prozentwerte zusammen 110 Prozent ergeben. Erkläre, warum das nicht stimmen kann, und beschreibe systematisch, wie Du den Fehler suchst.
5. Modellwechsel: Stelle den Anteil $\frac{6}{20}$ als Dezimalzahl, Prozentangabe, Hundertfeld und Balkenmodell dar. Erkläre, welche Darstellung Du für eine sechste Klasse besonders verständlich findest und warum.
6. Datendeutung: In einer Gruppe steigt die absolute Häufigkeit eines Merkmals, während die relative Häufigkeit sinkt. Erfinde ein mögliches Zahlenbeispiel und erkläre, wie das geschehen kann.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Begriffe nennen, sondern zwischen Anzahl und Anteil sicher wechseln kannst.

1. Absolute Häufigkeit: Du kannst Ergebnisse zählen und als $H(A)$ angeben.
2. Gesamtzahl: Du erkennst die Bezugsgröße $n$.
3. Relative Häufigkeit: Du verwendest $h(A)=\frac{H(A)}{n}$ korrekt.
4. Prozentrechnung: Du kannst einfache relative Häufigkeiten in Prozent ausdrücken.
5. Häufigkeitstabelle: Du kannst absolute und relative Häufigkeiten vollständig darstellen.
6. Kontrolle: Du prüfst $\sum H=n$ und $\sum h=1=100\mathrm{\%}$.
7. Vergleich: Du kannst erklären, wann ein Vergleich mit relativen Häufigkeiten sinnvoller ist als ein Vergleich mit absoluten Anzahlen.
8. Darstellungswechsel: Du kannst zwischen Bruch, Dezimalzahl, Prozent, Hundertfeld und Diagramm wechseln.
9. Begründung: Du kannst Deine Rechenwege mit Worten und mathematischen Zeichen verständlich erklären.

OERs zum Thema

Weitere passende Lernbereiche sind Absolute Häufigkeit, Relative Häufigkeit, Häufigkeitsverteilung, Prozentrechnung, Bruchrechnung und Diagramm.

Verknüpfte Lernbereiche

Absolute und relative Häufigkeit Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Häufigkeitstabelle Prozentrechnung Bruchrechnung Dezimalzahl Hundertfeld Diagramm Statistik Zufallsexperiment