M6 E - Zwischen rationalen Zahlen weitere Zahlen finden

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

M6 E - Zwischen rationalen Zahlen weitere Zahlen finden

Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen ist niemals „kein Platz“. Auch wenn zwei Zahlen auf den ersten Blick sehr dicht beieinanderliegen, kannst Du immer noch weitere rationale Zahlen dazwischen finden. Genau diese Idee untersuchst Du in diesem aiMOOC für Klasse 6 auf E-Niveau.

Das wichtigste Beispiel begleitet Dich durch den ganzen Kurs:

$\frac{1}{2}<?<\frac{3}{4}$

Du lernst mehrere sichere Strategien kennen, findest nicht nur eine, sondern beliebig viele Zwischenzahlen und begründest am Ende, warum das immer möglich ist.

Die Zahlengerade ist dabei Dein wichtigstes Forschungswerkzeug. Das SVG-Bild ist stark vergrößerbar: Beim Zoomen bleibt die Darstellung scharf.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. rationale Zahlen als Brüche und Dezimalzahlen darstellen.
2. zwei rationale Zahlen auf einer Zahlengerade vergleichen und ordnen.
3. zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen systematisch weitere rationale Zahlen finden.
4. die Mittelwertstrategie anwenden.
5. durch Erweitern von Brüchen zusätzliche Zwischenwerte sichtbar machen.
6. Dezimalzahlen durch Verfeinern der Stellenwerte immer genauer zwischen zwei Zahlen platzieren.
7. erklären, warum zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen sogar unendlich viele rationale Zahlen liegen.
8. Deine Ergebnisse mit Zahlengeraden, Bruchbildern, Tabellen und Rechnungen begründen.

Rationale Zahlen kurz wiederholt

Eine Zahl heißt rational, wenn sie als Bruch

$\frac{p}{q}$

mit ganzen Zahlen $p$ und $q$ und mit $q\ne 0$ geschrieben werden kann.

Beispiele:

Zahl	Bruchdarstellung	Dezimaldarstellung
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\mathrm{0,5}$
$\frac{3}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\mathrm{0,75}$
$2$	$\frac{2}{1}$	$\mathrm{2,0}$
$-\mathrm{0,25}$	$-\frac{1}{4}$	$-\mathrm{0,25}$

Damit gehören ganze Zahlen, Brüche, endliche Dezimalzahlen und periodische Dezimalzahlen zu den rationalen Zahlen.

Brüche sind Punkte auf der Zahlengeraden

Ein Bruch ist nicht nur „ein Stück Pizza“. Er bezeichnet eine Zahl und damit einen eindeutig bestimmten Punkt auf der Zahlengeraden.

Zwischen $0$ und $1$ liegen zum Beispiel

$\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{5}{8},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{9}{10}$

und viele weitere Zahlen.

Je genauer Du in einen Abschnitt hineinzoomst, desto mehr rationale Zahlen kannst Du unterscheiden.

Bewegliche Bruchvorstellung

Die folgende freie Animation zeigt Bruchteile als bewegte Flächenanteile. Beobachte besonders, dass sich verschiedene Darstellungen immer auf eine Zahl beziehen.

Forscherfrage: Welche Verbindung kannst Du zwischen einem Flächenanteil, einem Bruch und dem zugehörigen Punkt auf der Zahlengeraden herstellen?

Das Kernproblem: Zwischen $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$

Wir suchen Zahlen $x$ mit

$\frac{1}{2}<x<\frac{3}{4}$.

Zuerst kannst Du die beiden Randzahlen als Bruchbilder vergleichen.

• 
  $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
• 
  $\frac{5}{8}$
• 
  $\frac{3}{4}$

Schon die Bilder zeigen:

$\frac{1}{2}<\frac{5}{8}<\frac{3}{4}$.

Aber wie findet man $\frac{5}{8}$ sicher und systematisch?

Strategie 1: Die Zahl genau in der Mitte

Zwischen zwei Zahlen $a$ und $b$ liegt ihr Mittelwert:

$m=\frac{a+b}{2}$.

Für

$a=\frac{1}{2}$

und

$b=\frac{3}{4}$

ergibt sich:

Schritt	Rechnung	Idee
1	$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$	gemeinsamer Nenner
2	$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$	beide Zahlen addieren
3	$\frac{\frac{5}{4}}{2}=\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{8}$	Summe durch $2$ teilen
Ergebnis	$\frac{1}{2}<\frac{5}{8}<\frac{3}{4}$	$\frac{5}{8}$ liegt genau in der Mitte

Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Klicke zum Aufklappen des Rechenwegs.

$\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$

$\Downarrow$

$\frac{2}{4}$ und $\frac{3}{4}$

$\Downarrow$

$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$

$\Downarrow$

$\frac{5}{4}:2=\frac{5}{8}$

$\Downarrow$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac12<\frac58<\frac34}}

Warum liegt der Mittelwert wirklich dazwischen?

Wenn $a<b$ gilt, dann ist der Abstand

$b-a>0$.

Die Mitte erhältst Du auch durch

$m=a+\frac{b-a}{2}$.

Damit gehst Du von $a$ genau die Hälfte des Abstandes in Richtung $b$. Also gilt:

$a<m<b$.

Weil Summe und Division durch $2$ aus rationalen Zahlen wieder rationale Zahlen erzeugen, ist $m$ ebenfalls rational.

Strategie 2: Erweitern schafft sichtbare Zwischenräume

Manchmal haben zwei Brüche denselben Nenner, aber zwischen ihren Zählern liegt keine ganze Zahl.

Zum Beispiel:

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$

und

$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$.

Zwischen $2$ und $3$ gibt es keinen ganzen Zähler. Das bedeutet aber nicht, dass zwischen den Brüchen keine rationale Zahl liegt.

Erweitere beide Brüche:

$\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$

und

$\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$.

Jetzt ist sofort sichtbar:

$\frac{4}{8}<\frac{5}{8}<\frac{6}{8}$.

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac12<\frac58<\frac34}} .

Noch stärker erweitern

Erweitern wir mit $4$ statt mit $2$:

$\frac{1}{2}=\frac{8}{16}$

und

$\frac{3}{4}=\frac{12}{16}$.

Dann liegen gleich drei Sechzehntel-Brüche dazwischen:

$\frac{8}{16}<\frac{9}{16}<\frac{10}{16}<\frac{11}{16}<\frac{12}{16}$.

Dabei ist

$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$.

Du hast also zusätzlich

$\frac{9}{16}$

und

$\frac{11}{16}$

gefunden.

Forscherregel zum Erweitern

Wenn Du mehr Zwischenzahlen brauchst, kannst Du beide Randbrüche immer weiter erweitern.

Aus

$\frac{1}{2}=\frac{50}{100}$

und

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}$

folgen zum Beispiel:

$\frac{51}{100},\frac{52}{100},\frac{53}{100},\dots ,\frac{74}{100}$.

Alle diese Zahlen liegen zwischen $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$.

Strategie 3: Mit Dezimalzahlen hineinzoomen

Brüche können oft als Dezimalzahlen dargestellt werden:

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$

und

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$.

Nun ist leicht zu sehen:

$\mathrm{0,5}<\mathrm{0,6}<\mathrm{0,75}$

und

$\mathrm{0,5}<\mathrm{0,7}<\mathrm{0,75}$.

Aber auch zwischen $\mathrm{0,6}$ und $\mathrm{0,7}$ liegen weitere Dezimalzahlen:

$\mathrm{0,61},\mathrm{0,62},\mathrm{0,63},\dots ,\mathrm{0,69}$.

Und zwischen $\mathrm{0,61}$ und $\mathrm{0,62}$ liegen wieder weitere:

$\mathrm{0,611},\mathrm{0,612},\dots$.

Zoomen bedeutet mathematisch: Du betrachtest immer feinere Stellenwerte.

Interaktives Stellenwertmodell

Nutze die Stellenwerttabelle, um Zehntel, Hundertstel und Tausendstel sichtbar zu machen.

Forscherauftrag: Stelle $\mathrm{0,5}$ und $\mathrm{0,75}$ dar. Suche anschließend drei Zahlen mit zwei Dezimalstellen und drei Zahlen mit drei Dezimalstellen dazwischen.

Dezimalbrüche in der Stellenwerttabelle

Untersuche, wie aus

$\mathrm{0,5}$

durch das Anhängen einer Null

$\mathrm{0,50}$

wird. Der Zahlenwert verändert sich nicht. Die zusätzliche Stelle ermöglicht aber feinere Vergleiche, zum Beispiel:

$\mathrm{0,50}<\mathrm{0,51}<\mathrm{0,52}<\dots <\mathrm{0,74}<\mathrm{0,75}$.

Strategie 4: Die Mitte immer wieder halbieren

Hast Du eine Zwischenzahl gefunden, kannst Du sofort weitere erzeugen.

Start:

$\frac{1}{2}<\frac{5}{8}<\frac{3}{4}$.

Nun bestimmst Du die Mitte zwischen $\frac{1}{2}$ und $\frac{5}{8}$:

$\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{8}}{2}=\frac{\frac{4}{8}+\frac{5}{8}}{2}=\frac{\frac{9}{8}}{2}=\frac{9}{16}$.

Außerdem bestimmst Du die Mitte zwischen $\frac{5}{8}$ und $\frac{3}{4}$:

$\frac{\frac{5}{8}+\frac{3}{4}}{2}=\frac{\frac{5}{8}+\frac{6}{8}}{2}=\frac{\frac{11}{8}}{2}=\frac{11}{16}$.

Damit erhältst Du:

$\frac{1}{2}<\frac{9}{16}<\frac{5}{8}<\frac{11}{16}<\frac{3}{4}$.

Wiederholst Du dieses Verfahren, entstehen immer mehr rationale Zwischenzahlen.

Warum liegen immer weitere rationale Zahlen dazwischen?

Nimm zwei verschiedene rationale Zahlen $a$ und $b$ mit

$a<b$.

Dann ist

$m_1=\frac{a+b}{2}$

eine rationale Zahl mit

$a<m_1<b$.

Nun kannst Du zwischen $a$ und $m_1$ wieder die Mitte bilden:

$m_2=\frac{a+m_1}{2}$.

Dann gilt:

$a<m_2<m_1<b$.

Danach wieder:

$m_3=\frac{a+m_2}{2}$.

So kannst Du ohne Ende fortfahren.

Ergebnis:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen.}}}

Für diese Eigenschaft sagt man auch: Die rationalen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden dicht.

Dynamische Zahlengerade: hineinzoomen und verschieben

Forscherauftrag:

1. Stelle $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ ein.
2. Zoome in den Abschnitt zwischen den beiden Zahlen.
3. Markiere $\frac{5}{8}$, $\frac{9}{16}$ und $\frac{11}{16}$.
4. Zoome erneut zwischen zwei dieser Punkte.
5. Formuliere, was Du beobachtest.

Bewegliche rationale Zahlen auf der Zahlengeraden

Verschiebe die Zahlen an ihre richtigen Positionen. Nutze dabei zuerst eine grobe Schätzung und kontrolliere dann durch Umwandeln in Brüche oder Dezimalzahlen.

Ungleichnamige Brüche dynamisch platzieren

Hier kannst Du besonders gut trainieren, dass der Nenner allein nicht entscheidet, welcher Bruch größer ist.

E-Niveau: Noch eine Zwischenstrategie mit Brüchen

Für positive Nenner gilt: Liegen zwei Brüche

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$,

dann liegt der sogenannte Mediant

$\frac{a+c}{b+d}$

dazwischen.

Beim Beispiel:

$\frac{1}{2}<\frac{3}{4}$

erhältst Du:

$\frac{1+3}{2+4}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Und tatsächlich:

$\frac{1}{2}<\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$.

Diese Strategie ist ein Forscherbonus. Für die sichere Grundmethode genügt die Mittelwertstrategie.

Negative rationale Zahlen

Die Idee funktioniert auch bei negativen Zahlen.

Beispiel:

$-\frac{3}{4}<-\frac{1}{2}$.

Die Mitte ist:

$\frac{-\frac{3}{4}+(-\frac{1}{2})}{2}=\frac{-\frac{3}{4}-\frac{2}{4}}{2}=\frac{-\frac{5}{4}}{2}=-\frac{5}{8}$.

Also:

$-\frac{3}{4}<-\frac{5}{8}<-\frac{1}{2}$.

Achte bei negativen Zahlen auf die Richtung der Zahlengeraden: Weiter rechts bedeutet immer größer.

Systematische Beispiele

Randzahlen	Strategie	Beispiel für eine Zwischenzahl	Kontrolle
$\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$	Mittelwert	$\frac{5}{8}$	$\frac{1}{2}<\frac{5}{8}<\frac{3}{4}$
$\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$	Mittelwert	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{3}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$
$\mathrm{0,4}$ und $\mathrm{0,5}$	Dezimalzahl verfeinern	$\mathrm{0,45}$	$\mathrm{0,4}<\mathrm{0,45}<\mathrm{0,5}$
$-\mathrm{0,7}$ und $-\mathrm{0,6}$	Mittelwert	$-\mathrm{0,65}$	$-\mathrm{0,7}<-\mathrm{0,65}<-\mathrm{0,6}$
$\frac{2}{5}$ und $\frac{3}{5}$	Erweitern	$\frac{5}{10}$	$\frac{4}{10}<\frac{5}{10}<\frac{6}{10}$

Typische Fehler und Gegenstrategien

Typischer Fehler	Warum ist er falsch?	Sichere Gegenstrategie
„Zwischen $\frac{2}{4}$ und $\frac{3}{4}$ passt kein Bruch.“	Man betrachtet nur Viertel.	Beide Brüche erweitern, zum Beispiel auf Achtel.
„Zwischen $\mathrm{0,5}$ und $\mathrm{0,6}$ liegt nichts.“	Man betrachtet nur Zehntel.	Hundertstel verwenden: $\mathrm{0,51}$, $\mathrm{0,52}$ usw.
„Ein größerer Nenner bedeutet immer einen größeren Bruch.“	Der Wert hängt von Zähler und Nenner ab.	Brüche gleichnamig machen oder auf der Zahlengeraden vergleichen.
„Bei negativen Zahlen ist $-\mathrm{0,7}$ größer als $-\mathrm{0,6}$.“	Auf der Zahlengeraden liegt $-\mathrm{0,7}$ weiter links.	Zahlengerade nutzen.
„Ich habe eine Zwischenzahl gefunden, also bin ich fertig.“	Eine Zwischenzahl beweist noch nicht anschaulich die Unendlichkeit.	Zwischen einer Randzahl und Deiner Zwischenzahl erneut eine Mitte bestimmen.

Videos

Ein Video, das genau das Finden eines Bruchs zwischen zwei Brüchen erklärt:

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Ein Video zum Vergleichen und Ordnen von Dezimalzahlen am Zahlenstrahl:

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Ein weiteres Beispiel zur Darstellung rationaler Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen auf der Zahlengeraden:

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Forscherlabor

Die folgenden Aufgaben sind bewusst offen angelegt.

1. Zoom-Forschung: Starte mit $\mathrm{0,5}$ und $\mathrm{0,75}$. Finde zuerst zwei, dann fünf, dann zehn Zwischenzahlen.
2. Mittelwert-Kette: Beginne mit $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$. Bilde immer wieder die Mitte zwischen der linken Randzahl und der zuletzt gefundenen Mitte.
3. Darstellungswechsel: Schreibe jede gefundene Zwischenzahl als Bruch und – wenn möglich – als endliche Dezimalzahl.
4. Gegenbeispiel-Suche: Versuche zwei verschiedene rationale Zahlen zu finden, zwischen denen keine rationale Zahl liegt. Dokumentiere, warum jeder Versuch scheitert.
5. Negative Zahlen: Untersuche dasselbe Prinzip zwischen $-1$ und $-\frac{1}{2}$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl liegt zwischen ein Halb und drei Viertel? (fünf Achtel) (!drei Achtel) (!sieben Achtel) (!ein Viertel)

Welche Strategie liefert immer eine Zahl genau in der Mitte zweier verschiedener rationaler Zahlen? (Mittelwert bilden) (!Zähler addieren) (!Nenner addieren) (!beide Zahlen runden)

Welche Aussage über zwei verschiedene rationale Zahlen ist richtig? (Zwischen ihnen liegen unendlich viele rationale Zahlen) (!Zwischen ihnen liegt immer genau eine rationale Zahl) (!Zwischen ihnen liegen höchstens zehn rationale Zahlen) (!Zwischen ihnen liegt nie eine weitere rationale Zahl)

Welche Zahl liegt zwischen 0 Komma 5 und 0 Komma 75? (0 Komma 6) (!0 Komma 4) (!0 Komma 8) (!1 Komma 5)

Warum hilft das Erweitern von Brüchen beim Finden von Zwischenzahlen? (Es macht feinere Unterteilungen sichtbar) (!Es verändert den Wert des Bruchs) (!Es macht jeden Bruch größer) (!Es entfernt den Nenner)

Was ist die Mitte zwischen 0 Komma 4 und 0 Komma 6? (0 Komma 5) (!0 Komma 45) (!0 Komma 55) (!1 Komma 0)

Welche Dezimalzahl ist gleich fünf Achtel? (0 Komma 625) (!0 Komma 58) (!0 Komma 85) (!0 Komma 25)

Welche Zahl liegt zwischen minus 0 Komma 7 und minus 0 Komma 6? (minus 0 Komma 65) (!minus 0 Komma 8) (!minus 0 Komma 5) (!0 Komma 65)

Was passiert, wenn Du zwischen zwei rationalen Zahlen immer wieder den Mittelwert bildest? (Es entstehen immer weitere rationale Zwischenzahlen) (!Nach zwei Schritten gibt es keine neue Zahl mehr) (!Alle Zahlen werden ganze Zahlen) (!Die Randzahlen werden gleich)

Welche Beschreibung passt zur Dichtheit der rationalen Zahlen? (Zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt eine weitere rationale Zahl) (!Jede rationale Zahl hat einen direkten Nachfolger) (!Rationale Zahlen liegen nur bei ganzen Zahlen) (!Rationale Zahlen können nicht geordnet werden)

Memory

Mittelwert	Zahl genau in der Mitte zweier Randzahlen
Erweitern	Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren
Zahlengerade	Geordnete Darstellung von Zahlen als Punkte
Hundertstel	Zweite Stelle nach dem Komma
Dichtheit	Zwischen zwei verschiedenen Zahlen liegt wieder eine Zahl
Bruch	Quotient aus Zähler und Nenner
Dezimalzahl	Schreibweise mit Komma und Stellenwerten
Zwischenzahl	Zahl größer als die linke und kleiner als die rechte Randzahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Mittelwert	Zahl genau zwischen zwei Randzahlen
Erweitern	Gleichen Bruch mit größerem Nenner schreiben
Zahlengerade	Lage und Reihenfolge von Zahlen darstellen
Hundertstel	Feinere Dezimalunterteilung als Zehntel
Dichtheit	Immer weitere rationale Zwischenzahlen finden

Kreuzworträtsel

Mittelwert	Wie heißt die Zahl genau in der Mitte zweier Zahlen?
Rational	Wie nennt man eine Zahl, die als Bruch ganzer Zahlen geschrieben werden kann?
Erweitern	Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben Zahl?
Zahlengerade	Worauf werden Zahlen der Größe nach als Punkte dargestellt?
Dezimalzahl	Wie heißt eine Zahl in Kommaschreibweise?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine rationale Zahl kann als Bruch aus ganzen Zahlen geschrieben werden, wobei der Nenner nicht sein darf.

Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen kann man immer den bilden.

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl .

Zwischen $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ liegt zum Beispiel $\frac{5}{8}$.

Die Dezimalzahl $\mathrm{0,5}$ kann auch als $\mathrm{0,50}$ geschrieben werden, ohne ihren zu verändern.

Durch zusätzliche Dezimalstellen kann man immer Zwischenwerte sichtbar machen.

Das wiederholte Bilden von Mittelwerten zeigt, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen viele rationale Zahlen liegen.

Für diese Eigenschaft verwendet man auch das Wort .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $1$ und markiere $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{8}$ und $\frac{3}{4}$.
2. Zwischenzahlen sammeln: Finde fünf Dezimalzahlen zwischen $\mathrm{0,5}$ und $\mathrm{0,75}$.
3. Bruchbilder gestalten: Zeichne drei gleich große Rechtecke für $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{8}$ und $\frac{3}{4}$ und färbe die jeweiligen Anteile.
4. Mittelwert erklären: Erkläre mit einer Skizze, warum $\frac{5}{8}$ genau zwischen $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$ liegt.

Standard

1. Strategien vergleichen: Löse die Aufgabe „Finde eine Zahl zwischen $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$“ einmal mit dem Mittelwert und einmal durch Erweitern.
2. Zoom-Plakat: Erstelle ein Plakat mit drei Zoomstufen: zuerst $\mathrm{0,5}$ bis $\mathrm{0,75}$, dann einen kleineren Teilabschnitt und schließlich einen noch kleineren.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde drei typische falsche Aussagen über Zwischenzahlen und korrigiere sie mit Rechnung oder Zahlengerade.
4. Mini-Erklärvideo: Produziere ein ein- bis zweiminütiges Video, in dem Du zeigst, wie man zwischen $\frac{2}{5}$ und $\frac{3}{5}$ mindestens drei rationale Zahlen findet.

Schwer

1. Unendlichkeitsargument: Formuliere in eigenen Worten einen Beweis dafür, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen unendlich viele rationale Zahlen liegen.
2. Negative Zwischenzahlen: Untersuche den Bereich zwischen $-1$ und $-\frac{1}{2}$ und finde zehn rationale Zwischenzahlen in mindestens zwei Darstellungen.
3. Strategie-Matrix: Erstelle eine Tabelle, in der Du Mittelwert, Erweitern, Dezimaldarstellung und Mediant nach Schnelligkeit, Sicherheit und Anschaulichkeit vergleichst.
4. Forscherinterview: Befrage mindestens drei Mitschülerinnen oder Mitschüler zu der Frage „Gibt es zwei rationale Zahlen ohne rationale Zahl dazwischen?“ Dokumentiere Vermutungen, Gegenargumente und die mathematische Klärung.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Mittelwert: Gegeben sind $\frac{7}{20}$ und $\frac{9}{20}$. Finde drei rationale Zahlen dazwischen und begründe, warum Deine Strategie funktioniert.
2. Darstellungswechsel begründen: Eine Schülerin sagt: „Zwischen $\mathrm{0,34}$ und $\mathrm{0,35}$ liegt nichts.“ Widerlege die Aussage mit mindestens drei Beispielen und erkläre die Rolle weiterer Dezimalstellen.
3. Strategiewahl: Entscheide bei den Paaren $\frac{2}{5},\frac{3}{5}$; $\mathrm{0,41},\mathrm{0,42}$; $-\frac{3}{4},-\frac{1}{2}$, welche Methode Du jeweils wählen würdest. Begründe Deine Entscheidung.
4. Allgemeines Argument: Erkläre mit der Formel $m=\frac{a+b}{2}$, warum $m$ zwischen $a$ und $b$ liegt, wenn $a<b$ gilt.
5. Mehrfaches Zoomen: Starte mit zwei selbst gewählten rationalen Zahlen. Erzeuge durch viermaliges Mittelwertbilden eine geordnete Kette von mindestens sechs rationalen Zahlen.
6. Fehleranalyse: Prüfe die Aussage „Wenn zwei Brüche denselben Nenner haben und ihre Zähler aufeinanderfolgen, gibt es keinen Bruch dazwischen.“ Erkläre, warum diese Aussage falsch ist, und zeige ein Gegenbeispiel.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du

1. zwei rationale Zahlen sicher vergleichst und auf einer Zahlengeraden anordnest.
2. mindestens zwei unterschiedliche Verfahren zum Finden von Zwischenzahlen anwenden kannst.
3. den Mittelwert zweier rationaler Zahlen korrekt berechnest.
4. Brüche durch Erweitern so umformst, dass Zwischenwerte sichtbar werden.
5. zwischen Bruch- und Dezimaldarstellung sinnvoll wechselst.
6. auch bei negativen rationalen Zahlen Zwischenwerte findest.
7. nachvollziehbar begründest, warum zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen unendlich viele rationale Zahlen liegen.
8. Rechnungen, Skizzen, Zahlengeraden und Tabellen als mathematische Begründungen verwendest.
9. typische Fehlvorstellungen erkennst und korrigierst.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur rationalen Zahl:

Interaktive OER-Materialien

1. GeoGebra: Die großen Fragen der Forschungskiste – Wie viele Bruchzahlen gibt es?
2. GeoGebra: Brüche am Zahlenstrahl darstellen – ungleichnamige Brüche
3. GeoGebra: Grafische Darstellung – Brüche und Dezimalzahlen
4. GeoGebra: Brüche und Dezimalzahlen am Zahlenstrahl
5. GeoGebra: Dezimalzahl am Zahlenstrahl markieren
6. GeoGebra-Sammlung: Rationale Zahlen

Freie Medien und Lizenzhinweise

Die im aiMOOC verwendeten Wikimedia-Commons-Medien sind frei lizenziert oder gemeinfrei. Die genauen Lizenzangaben stehen jeweils auf der verlinkten Dateiseite.

1. Number line - integers, rational and irrational numbers.svg – CC BY 4.0.
2. Rational numbers.png – CC BY-SA 4.0.
3. Frac24.svg, Frac58.svg und Frac34.svg – CC0.
4. Fracciones.gif – gemeinfrei.
5. Number-line.svg – CC0.
6. Mediant on the number line.png – CC BY-SA 4.0.

Verknüpfte Lernbereiche

Rationale Zahlen Bruchrechnung Dezimalzahlen Zahlengerade Brüche erweitern Brüche vergleichen Mittelwert Zahlen ordnen Negative Zahlen