M6 E - Prozentdarstellungen kritisch interpretieren

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

M6 E - Prozentdarstellungen kritisch interpretieren

Prozentangaben begegnen Dir überall: in Werbung, Umfragen, Nachrichten, Apps, Sportstatistiken, Infografiken und Diagrammen. Eine Zahl wie 80 % wirkt genau und überzeugend. Trotzdem kann sie ohne Zusammenhang fast bedeutungslos sein.

Die wichtigste Frage dieses aiMOOCs lautet deshalb:

80 % – aber 80 % wovon, von wem und unter welchen Bedingungen?

In diesem aiMOOC lernst Du auf E-Niveau der Klasse 6, Prozentdarstellungen mathematisch zu prüfen, Bezugsgrößen zu erkennen, Umfragedaten kritisch zu lesen und auffällige Diagramme zu hinterfragen.

Die Prozentzeichen auf einem Werbeplakat ziehen Aufmerksamkeit an. Für eine mathematische Bewertung reicht die große Zahl aber nicht. Du musst zusätzlich wissen, worauf sich der Prozentsatz bezieht.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du ...

1. Prozentangaben als Verhältnis zu einem Grundwert erklären.
2. Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz unterscheiden und berechnen.
3. erkennen, dass derselbe Prozentsatz zu sehr unterschiedlichen absoluten Zahlen gehören kann.
4. bei Umfragen zwischen Grundgesamtheit, Stichprobe und tatsächlich gültigen Antworten unterscheiden.
5. Kreis-, Balken-, Säulen- und Bilddiagramme auf mögliche Verzerrungen untersuchen.
6. Angaben wie „bis zu 50 %“, „50 % mehr“ oder „80 % Zustimmung“ kritisch prüfen.
7. Prozentpunkte und relative prozentuale Veränderungen auseinanderhalten.
8. begründen, welche zusätzlichen Informationen für eine faire Interpretation fehlen.

Prozent bedeutet „von Hundert“

Ein Prozent ist ein Hundertstel:

$1\mathrm{\%}=\frac{1}{100}=\mathrm{0,01}$

Damit gilt allgemein:

$p\mathrm{\%}=\frac{p}{100}$

Beispiele:

$25\mathrm{\%}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

$50\mathrm{\%}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$

$75\mathrm{\%}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

$100\mathrm{\%}=\frac{100}{100}=1$

Der Vorteil einer Prozentangabe ist der gemeinsame Vergleichsmaßstab 100. Dadurch kannst Du Anteile aus unterschiedlich großen Gruppen vergleichen. Der Nachteil: Die Prozentzahl allein verrät Dir noch nicht, wie groß die betrachtete Gruppe wirklich war.

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz

Größe	Bedeutung	Formelzeichen	Beispiel
Grundwert	Das Ganze beziehungsweise die Bezugsgröße	$G$	alle 40 befragten Kinder
Prozentwert	Der betrachtete Teil	$W$	30 Kinder stimmen zu
Prozentsatz	Anteil in Prozent	$p\mathrm{\%}$	75 %

Die drei Größen hängen zusammen:

$W=\frac{p}{100}\cdot G$

$p=\frac{W}{G}\cdot 100$

$G=\frac{W}{p/100}$

Beispiel:

Von $40$ Kindern stimmen $30$ einer Aussage zu.

$G=40$

$W=30$

$p=\frac{30}{40}\cdot 100=75$

Also stimmen

$75\mathrm{\%}$

der befragten Kinder zu.

Visueller Rechenweg

Schritt	Mathematische Darstellung	Kontrollfrage
1. Ganzes finden	$G=40$	Von wie vielen insgesamt ist die Rede?
2. Teil finden	$W=30$	Wie viele gehören zur betrachteten Gruppe?
3. Verhältnis bilden	$\frac{W}{G}=\frac{30}{40}$	Welcher Anteil des Ganzen ist das?
4. Auf Hundert beziehen	$\frac{30}{40}=\frac{75}{100}$	Wie viele wären es von 100?
5. Prozent schreiben	$75\mathrm{\%}$	Ist die Bezugsgröße noch klar?

Interaktives Prozentgitter und Stellenwertmodell

Verändere im interaktiven Modell den eingefärbten Anteil. Beobachte gleichzeitig Bruch, Dezimalzahl und Prozentdarstellung.

Achte besonders auf diese Zusammenhänge:

$\frac{1}{100}=\mathrm{0,01}=1\mathrm{\%}$

$\frac{10}{100}=\mathrm{0,10}=10\mathrm{\%}$

$\frac{50}{100}=\mathrm{0,50}=50\mathrm{\%}$

$\frac{75}{100}=\mathrm{0,75}=75\mathrm{\%}$

Bewegliche Bruch- und Prozentdarstellung

Nutze die Regler und überprüfe, ob Du denselben Anteil in unterschiedlichen Darstellungen wiedererkennst.

Dynamische Prozent-Zahlengerade

Orientierungspunkte auf der Zahlengeraden:

$0\mathrm{\%}⟷0$

$25\mathrm{\%}⟷\frac{1}{4}$

$50\mathrm{\%}⟷\frac{1}{2}$

$75\mathrm{\%}⟷\frac{3}{4}$

$100\mathrm{\%}⟷1$

Derselbe Prozentsatz kann sehr Unterschiedliches bedeuten

Die Aussage „50 % haben zugestimmt“ kann zu völlig verschiedenen Situationen gehören.

Situation	Zustimmung	Gesamtzahl	Rechnung	Ergebnis
A	1 Kind	2 Kinder	$\frac{1}{2}\cdot 100$	$50\mathrm{\%}$
B	15 Kinder	30 Kinder	$\frac{15}{30}\cdot 100$	$50\mathrm{\%}$
C	250 Personen	500 Personen	$\frac{250}{500}\cdot 100$	$50\mathrm{\%}$

Die Prozentzahl ist gleich, die Informationsmenge aber nicht.

Eine Aussage auf Grundlage von nur zwei Antworten ist viel empfindlicher gegenüber einzelnen Personen als eine Aussage auf Grundlage von 500 Antworten.

Der Nenner entscheidet

Vergleiche:

$\frac{9}{10}=90\mathrm{\%}$

und

$\frac{90}{100}=90\mathrm{\%}$

Beide Male steht dort 90 %. Trotzdem stammen die Werte aus unterschiedlich großen Gruppen.

Darum gehört zu einer guten Prozentangabe möglichst auch die Bezugsgröße:

90 % von 10 ist informativer als nur 90 %.

Mini-Labor: Eine Zahl, zwei Bezugsgrößen

Angenommen, zu einer Schulveranstaltung werden 100 Kinder eingeladen. 60 Kinder beantworten anschließend einen Fragebogen. Davon sagen 42: „Die Veranstaltung hat mir gefallen.“

Je nach Grundwert entstehen zwei unterschiedliche Prozentangaben.

Bezogen auf die 60 Antworten:

$\frac{42}{60}\cdot 100=70\mathrm{\%}$

Bezogen auf alle 100 eingeladenen Kinder:

$\frac{42}{100}\cdot 100=42\mathrm{\%}$

Beide Rechnungen sind mathematisch korrekt. Sie beantworten aber verschiedene Fragen.

Aussage	Passender Grundwert
70 % der Antwortenden fanden die Veranstaltung gut.	$G=60$
42 % aller eingeladenen Kinder gaben eine positive Antwort ab.	$G=100$

Kritische Frage: Welche Formulierung wäre irreführend, wenn nur „70 % der Kinder fanden die Veranstaltung gut“ geschrieben würde?

Grundgesamtheit, Stichprobe und gültige Antworten

Bei Umfragen musst Du mehrere Gruppen unterscheiden.

Begriff	Bedeutung	Beispiel
Grundgesamtheit	Alle Personen oder Fälle, über die eine Aussage gemacht werden soll	alle Kinder einer Schule
Stichprobe	Die tatsächlich ausgewählte Teilgruppe	80 ausgewählte Kinder
gültige Antworten	Antworten, die in die Berechnung eingehen	72 ausgefüllte Fragebögen

Eine Prozentangabe kann sich auf die Stichprobe, auf die gültigen Antworten oder auf eine andere Teilgruppe beziehen. Deshalb solltest Du immer nach dem Nenner suchen.

Beispielumfrage: Pausenangebot

Eine fiktive Klasse mit 30 Kindern darf jeweils genau eine Lieblingsaktivität nennen.

Aktivität	Anzahl	Rechnung	Anteil
Ballspiele	12	$\frac{12}{30}\cdot 100$	$40\mathrm{\%}$
Lesen	8	$\frac{8}{30}\cdot 100$	$\mathrm{26,7}\mathrm{\%}$
Zeichnen	6	$\frac{6}{30}\cdot 100$	$20\mathrm{\%}$
Brettspiele	4	$\frac{4}{30}\cdot 100$	$\mathrm{13,3}\mathrm{\%}$

Kontrolle:

$40+\mathrm{26,7}+20+\mathrm{13,3}=100$

Die Anteile ergeben hier 100 %, weil jedes Kind genau einer Kategorie zugeordnet wurde.

Wenn Prozentwerte nicht genau 100 % ergeben

Nicht jede Summe von 99,9 % oder 100,1 % ist automatisch falsch.

Beispiel:

$\frac{1}{3}\approx \mathrm{33,3}\mathrm{\%}$

Drei gleich große Gruppen ergeben gerundet:

$\mathrm{33,3}+\mathrm{33,3}+\mathrm{33,3}=\mathrm{99,9}$

Die Abweichung entsteht durch Rundung.

Darum gilt:

Prüfe zuerst, ob gerundet wurde, bevor Du einen Fehler vermutest.

Mehrfachantworten: Mehr als 100 % kann korrekt sein

20 Kinder dürfen bei einer Umfrage mehrere Freizeitangebote auswählen.

Angebot	Nennungen	Anteil an 20 Kindern
Musik	12	$\frac{12}{20}\cdot 100=60\mathrm{\%}$
Sport	10	$\frac{10}{20}\cdot 100=50\mathrm{\%}$
Kunst	8	$\frac{8}{20}\cdot 100=40\mathrm{\%}$

Summe:

$60+50+40=150\mathrm{\%}$

Das ist kein Rechenfehler, wenn Mehrfachantworten erlaubt waren. Ein Kind kann dann in mehreren Kategorien vorkommen.

Ohne den Hinweis „Mehrfachantworten möglich“ könnte die Darstellung aber verwirrend sein.

Freies Beispiel für Umfragedarstellung

Untersuche bei einer echten Umfragegrafik niemals nur die farbigen Linien oder Balken. Suche nach Informationen zu:

1. Zeitraum der Befragung
2. Anzahl der Antworten
3. Auswahl der Teilnehmenden
4. genauer Fragestellung
5. fehlenden oder ungültigen Antworten
6. verwendeter Skala

Selbstselektion erkennen

Eine Umfrage kann verzerrt werden, wenn vor allem Menschen teilnehmen, die sich von einem Thema besonders angesprochen fühlen. Dann ist die Gruppe der Antwortenden möglicherweise nicht repräsentativ für die gewünschte Grundgesamtheit.

Prüffrage: Wer konnte teilnehmen – und wer hat tatsächlich teilgenommen?

Kreisdiagramme richtig lesen

Ein Kreisdiagramm stellt ein Ganzes als Kreis dar.

Für eine vollständige Aufteilung gilt:

$100\mathrm{\%}⟷360^{\circ }$

Damit berechnest Du den Winkel eines Sektors:

$\alpha =\frac{p}{100}\cdot 360^{\circ }$

Beispiele:

$25\mathrm{\%}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,25}\cdot 360^{\circ }=90^{\circ }$

$40\mathrm{\%}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,40}\cdot 360^{\circ }=144^{\circ }$

$10\mathrm{\%}\Rightarrow \alpha =\mathrm{0,10}\cdot 360^{\circ }=36^{\circ }$

Wann passt ein Kreisdiagramm?

Ein Kreisdiagramm ist besonders passend, wenn ...

1. die Kategorien Teile eines gemeinsamen Ganzen sind.
2. sich die Kategorien möglichst nicht überschneiden.
3. die Gesamtmenge sinnvoll als $100\mathrm{\%}$ verstanden werden kann.
4. nicht zu viele kleine Sektoren gleichzeitig verglichen werden müssen.

Ein Kreisdiagramm ist problematisch, wenn mehrere Antworten pro Person möglich sind, aber so getan wird, als wären die Kategorien Teile eines einzigen Ganzen.

Dynamisches Kreisdiagramm

Verändere die Anteile und beobachte, wie sich die Winkel der Kreissektoren verändern.

Merke:

$1\mathrm{\%}⟷\mathrm{3,}{6}^{\circ }$

Denn:

$\frac{360^{\circ }}{100}=\mathrm{3,}{6}^{\circ }$

Vorsicht bei 3D-Kuchendiagrammen

Eine perspektivische 3D-Darstellung kann Kreissektoren optisch vergrößern oder verkleinern. Ein vorn liegender Sektor kann größer wirken als ein gleich großer Sektor im Hintergrund.

Für einen fairen Vergleich ist eine flache 2D-Darstellung meistens leichter zu lesen.

Mathematische Kontrolle:

Wenn zwei Kategorien beide $25\mathrm{\%}$ besitzen, müssen sie im Kreis denselben Winkel haben:

$\mathrm{0,25}\cdot 360^{\circ }=90^{\circ }$

Wirken die Sektoren deutlich verschieden groß, obwohl dieselben Prozentwerte angegeben sind, solltest Du die Darstellung hinterfragen.

Balken- und Säulendiagramme kritisch prüfen

Bei einem Balken- oder Säulendiagramm wird eine Zahl meist durch die Länge eines Balkens dargestellt.

Wenn die Balkenlänge proportional zum Wert sein soll, ist die Null als Ausgangspunkt besonders wichtig.

Abgeschnittene Achsen

Angenommen, zwei Werte lauten:

$A=80$

$B=100$

Der tatsächliche Unterschied beträgt:

$100-80=20$

Relativ zu 80 ist das:

$\frac{20}{80}\cdot 100=25\mathrm{\%}$

Beginnt eine Balkenachse erst bei 75, erscheinen die sichtbaren Balkenlängen ungefähr wie:

$80-75=5$

und

$100-75=25$

Der zweite sichtbare Balken wäre dann fünfmal so lang wie der erste:

$\frac{25}{5}=5$

Obwohl die ursprünglichen Werte nur 80 und 100 sind.

Darum: Prüfe bei Balken- und Säulendiagrammen immer den Achsenanfang und die Skalierung.

Bilddiagramme: Wenn nicht die Zahl, sondern die Fläche wächst

Bei Bildsymbolen kann eine Darstellung besonders täuschen.

Wird ein Symbol in der Breite verdoppelt und gleichzeitig in der Höhe verdoppelt, wächst seine Fläche ungefähr auf das Vierfache:

$2\cdot 2=4$

Soll eigentlich nur „doppelt so viel“ gezeigt werden, wirkt die Darstellung dadurch übertrieben.

Faustregel: Wenn Mengen durch Bilder dargestellt werden, prüfe, ob ihre Länge, Fläche oder Anzahl den Wert darstellt.

Mehrere Skalen in einer Grafik

Bei Grafiken mit mehreren Linien kann jede Linie eine eigene Skala besitzen. Zwei Kurven können dann ähnlich aussehen, obwohl ihre Zahlenwerte in völlig unterschiedlichen Größenordnungen liegen.

Prüfe:

1. Welche Achse gehört zu welcher Linie?
2. Haben beide Achsen dieselben Einheiten?
3. Beginnen und enden die Skalen an vergleichbaren Stellen?
4. Wird durch die Skalierung ein Zusammenhang stärker dargestellt, als er zahlenmäßig ist?

Werbung mit Prozenten untersuchen

Werbung nutzt Prozentangaben oft, weil große Prozentzeichen schnell Aufmerksamkeit erzeugen.

Eine Aussage wie „bis zu 50 % reduziert“ bedeutet nicht, dass jeder Artikel 50 % günstiger ist.

„Bis zu“ gibt nur eine mögliche Obergrenze an.

Beispiel:

Alter Preis	Rabatt	Rechnung	Neuer Preis
40 €	10 %	$40-\mathrm{0,10}\cdot 40$	36 €
40 €	25 %	$40-\mathrm{0,25}\cdot 40$	30 €
40 €	50 %	$40-\mathrm{0,50}\cdot 40$	20 €

Nur der letzte Artikel nutzt im Beispiel tatsächlich die vollen 50 %.

Werbeaussagen als Prüfaufgabe

Aussage	Was musst Du zusätzlich wissen?
„50 % mehr Inhalt“	Im Vergleich zu welcher früheren Menge?
„80 % Zustimmung“	Wie viele Personen wurden befragt und wie wurden sie ausgewählt?
„30 % günstiger“	Gegenüber welchem Preis?
„Bis zu 60 % Rabatt“	Wie viele Produkte erreichen tatsächlich 60 %?
„Jedes zweite Kind bevorzugt Produkt A“	Wie groß war die Gruppe und wie lautete die Frage?

Werbung mathematisch rückwärts prüfen

Ein Produkt kostet nach einem Rabatt von $25\mathrm{\%}$ noch 30 €.

Dann entsprechen 30 € noch:

$100\mathrm{\%}-25\mathrm{\%}=75\mathrm{\%}$

Der ursprüngliche Preis ist:

$G=\frac{30}{\mathrm{0,75}}=40$

Kontrolle:

$25\mathrm{\%}\text{ von }40=10$

$40-10=30$

So kannst Du prüfen, ob eine Werbeaussage rechnerisch zu den angegebenen Preisen passt.

Prozent oder Prozentpunkte?

Dieser Unterschied ist besonders wichtig, wenn zwei Prozentwerte miteinander verglichen werden.

Ein Anteil steigt von

$20\mathrm{\%}$

auf

$30\mathrm{\%}$.

Die Differenz beträgt:

$30\mathrm{\%}-20\mathrm{\%}=10$ Prozentpunkte.

Die relative Zunahme bezogen auf den alten Wert beträgt dagegen:

$\frac{30-20}{20}\cdot 100=50\mathrm{\%}$

Also:

von 20 % auf 30 % = plus 10 Prozentpunkte = relative Zunahme um 50 %.

Diese beiden Aussagen meinen nicht dasselbe.

Zweites Beispiel

Ein Anteil sinkt von $80\mathrm{\%}$ auf $60\mathrm{\%}$.

Differenz:

$60-80=-20$ Prozentpunkte.

Relative Veränderung:

$\frac{60-80}{80}\cdot 100=-25\mathrm{\%}$

Der Anteil ist also um 20 Prozentpunkte beziehungsweise relativ um 25 % gesunken.

Prozentdarstellungen vergleichen

Dasselbe Datenmaterial kann unterschiedlich dargestellt werden.

Beispieldaten:

Kategorie	Anzahl	Prozent
A	10	50 %
B	6	30 %
C	4	20 %

Gesamtzahl:

$G=10+6+4=20$

Kontrolle:

$\frac{10}{20}=50\mathrm{\%}$

$\frac{6}{20}=30\mathrm{\%}$

$\frac{4}{20}=20\mathrm{\%}$

Welche Darstellung zeigt was besonders gut?

Darstellung	Stärke	Kritische Frage
Tabelle	genaue Werte	Sind alle Werte und Einheiten angegeben?
Balkendiagramm	Größen gut vergleichbar	Beginnt die Skala sinnvoll und ist sie gleichmäßig?
Kreisdiagramm	Teile eines Ganzen	Sind die Kategorien wirklich Teile derselben 100 %?
Piktogramm	schnell und anschaulich	Wird durch größere Bildflächen übertrieben?
Infografik	verbindet Zahlen, Bilder und Text	Welche Informationen werden hervorgehoben oder weggelassen?

Beispiel einer Infografik

Betrachte eine Infografik nicht nur als Bild. Lies sie wie eine mathematische Argumentation:

Daten → Auswahl → Berechnung → Darstellung → Aussage

An jeder Stelle kann Information verloren gehen oder besonders stark hervorgehoben werden.

Der Prozent-Check

Bevor Du eine Prozentangabe glaubst oder weitergibst, prüfe diese sieben Fragen:

1. Bezugsgröße: Wovon werden die Prozente berechnet?
2. Absolute Zahl: Wie viele Fälle stecken tatsächlich hinter dem Prozentwert?
3. Grundgesamtheit: Über wen oder was soll die Aussage gelten?
4. Stichprobe: Wer wurde tatsächlich untersucht oder befragt?
5. Erhebung: Wie wurde gefragt, gemessen oder ausgewählt?
6. Darstellung: Sind Achsen, Flächen, 3D-Effekte und Farben fair gewählt?
7. Kontext: Welcher Zeitraum, Vergleichswert oder Zusatzhinweis fehlt möglicherweise?

Entscheidungsweg als visuelle Schrittfolge

Schritt	Frage	Wenn die Antwort fehlt ...
1	Ist ein Prozentsatz angegeben?	Suche die Ausgangsdaten.
2	Ist der Grundwert $G$ bekannt?	Die Prozentzahl ist nur eingeschränkt interpretierbar.
3	Ist der Prozentwert $W$ bekannt?	Frage nach der absoluten Zahl.
4	Passt $p=\frac{W}{G}\cdot 100$?	Rechne nach.
5	Ist die Gruppe sinnvoll ausgewählt?	Hinterfrage die Verallgemeinerung.
6	Ist das Diagramm proportional dargestellt?	Prüfe Skalen, Flächen und Perspektive.
7	Ist die Formulierung präzise?	Formuliere die Aussage genauer.

Interaktive Vertiefung

Prozentrechnung interaktiv erkunden

Nutze besonders Prozentstreifen, Prozentkreis und Aufgaben zu Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz.

Rechenwege im Video

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Beim Ansehen gilt: Übernimm nicht nur die Formel. Markiere bei jedem Beispiel zuerst $G$, $W$ und $p$.

Kreisdiagramme als Prozentdarstellung

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Stoppe das Video an geeigneten Stellen und überprüfe selbst:

$\alpha =\frac{p}{100}\cdot 360^{\circ }$

Wie Grafiken täuschen können

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Das Video ist englischsprachig. Nutze bei Bedarf Untertitel. Achte besonders auf abgeschnittene Achsen und ungewöhnliche Skalierungen.

Falllabor: Prozentangaben prüfen

Fall A: Sehr hohe Zustimmung

Auf einem Plakat steht:

„90 % unserer Testgruppe sind begeistert!“

Zusatzinformation: Es nahmen 10 Personen teil.

Dann gilt:

$W=\mathrm{0,90}\cdot 10=9$

Die Werbeaussage basiert also auf 9 positiven Antworten.

Kritische Bewertung: Die 90 % sind rechnerisch möglich, aber ohne Angabe der kleinen Testgruppe wirkt die Zahl stärker, als die Datengrundlage vermuten lässt.

Fall B: Mehr oder weniger?

Eine Fehlerquote sinkt von $2\mathrm{\%}$ auf $1\mathrm{\%}$.

Unterschied:

$2-1=1$ Prozentpunkt.

Relative Senkung:

$\frac{2-1}{2}\cdot 100=50\mathrm{\%}$

Die Formulierung „um 50 % gesunken“ kann korrekt sein, obwohl der Abstand nur einen Prozentpunkt beträgt.

Fall C: Zwei Schulen

Schule A: 15 von 25 Kindern wählen Angebot X.

$\frac{15}{25}\cdot 100=60\mathrm{\%}$

Schule B: 300 von 500 Kindern wählen Angebot X.

$\frac{300}{500}\cdot 100=60\mathrm{\%}$

Beide Schulen haben denselben Prozentsatz. Die absoluten Zahlen unterscheiden sich aber stark.

Fall D: Die fehlende Vergleichsgröße

Eine Verpackung wirbt mit:

„30 % mehr!“

Ohne alten Inhalt kannst Du die neue Menge nicht bestimmen.

Wenn vorher 200 g enthalten waren:

$30\mathrm{\%}\text{ von }200=\mathrm{0,30}\cdot 200=60$

Dann wären es:

$200+60=260\text{ g}$

Wenn vorher aber 150 g enthalten waren:

$150+\mathrm{0,30}\cdot 150=195\text{ g}$

Die gleiche Prozentangabe führt wegen unterschiedlicher Grundwerte zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Medienkompetenz und Mathematik verbinden

Prozentdarstellungen sind nicht nur Rechenaufgaben. Sie sind auch Formen von Kommunikation.

Wer eine Grafik gestaltet, entscheidet zum Beispiel:

1. welche Daten gezeigt werden,
2. welche Daten weggelassen werden,
3. welche Reihenfolge gewählt wird,
4. wie groß Symbole erscheinen,
5. wo eine Achse beginnt,
6. welche Überschrift darübersteht,
7. ob absolute Zahlen zusätzlich genannt werden.

Eine mathematisch korrekte Zahl kann deshalb trotzdem in einer einseitigen oder missverständlichen Darstellung stehen.

Deine Aufgabe als kritische Leserin oder kritischer Leser: Trenne die Zahl von der Wirkung ihrer Darstellung.

Freie Medien und Lizenzhinweis

Die in diesem aiMOOC eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Informationen zu Urheberinnen und Urhebern sowie zu den jeweiligen freien Lizenzen findest Du auf den Dateiseiten der eingebundenen Medien. Die Videos werden über YouTube eingebettet und nicht kopiert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist bei einer Prozentangabe die Bezugsgröße des Ganzen? (Grundwert) (!Prozentwert) (!Prozentpunkt) (!Kreissektor)

Wie viel Prozent sind 15 von 20? (75 Prozent) (!35 Prozent) (!60 Prozent) (!80 Prozent)

Warum ist die Aussage 80 Prozent Zustimmung ohne weitere Angaben unvollständig? (Die Bezugsgröße und Datengrundlage fehlen) (!Prozentwerte dürfen nur bis 50 gehen) (!80 Prozent können nicht aus einer Umfrage stammen) (!Jede Prozentzahl braucht ein Kreisdiagramm)

Welche Aussage beschreibt den Unterschied von 20 Prozent auf 30 Prozent richtig? (Die Zunahme beträgt 10 Prozentpunkte) (!Die Zunahme beträgt 10 Personen) (!Die Zunahme beträgt immer 30 Prozent) (!Es gibt keine Veränderung)

Wann können Prozentwerte verschiedener Kategorien zusammen mehr als 100 Prozent ergeben? (Wenn Mehrfachantworten erlaubt sind) (!Wenn jede Person genau eine Antwort geben darf) (!Wenn Prozentrechnung grundsätzlich falsch angewendet wird) (!Wenn ein Kreisdiagramm verwendet wird)

Was kann eine abgeschnittene Achse bei einem Balkendiagramm bewirken? (Unterschiede wirken größer als sie sind) (!Alle Werte werden automatisch halbiert) (!Der Grundwert wird immer 100) (!Die Prozentzeichen verschwinden)

Was bedeutet die Werbung bis zu 50 Prozent Rabatt? (50 Prozent ist die mögliche Obergrenze des Rabatts) (!Jeder Artikel ist genau 50 Prozent günstiger) (!Mindestens die Hälfte aller Artikel ist kostenlos) (!Alle Preise wurden halbiert)

Warum kann ein 3D-Kreisdiagramm problematisch sein? (Perspektive kann Sektoren unterschiedlich groß wirken lassen) (!Ein Kreis hat dann weniger als 360 Grad) (!Prozentwerte können in 3D nicht berechnet werden) (!Jeder Sektor wird automatisch verdoppelt)

Welche Information hilft bei der Bewertung einer Umfrage besonders? (Anzahl und Auswahl der Befragten) (!Schriftart der Überschrift) (!Farbe des Hintergrunds allein) (!Länge des Dateinamens)

Was gilt für 25 Prozent eines Kreises? (Der Mittelpunktswinkel beträgt 90 Grad) (!Der Mittelpunktswinkel beträgt 25 Grad) (!Der Mittelpunktswinkel beträgt 180 Grad) (!Der Mittelpunktswinkel beträgt 360 Grad)

Memory

Grundwert	gesamte Bezugsmenge
Prozentwert	betrachteter Anteil als absolute Zahl
Prozentsatz	Anteil von Hundert
Stichprobe	tatsächlich untersuchte Teilgruppe
Grundgesamtheit	Zielgruppe einer statistischen Aussage
Prozentpunkt	Differenz zweier Prozentangaben
Rundung	mögliche Ursache für 99,9 Prozent
Selbstselektion	freiwillige Teilnahme kann Auswahl verzerren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Grundwert	Ganzes oder Bezugsgröße
Prozentwert	betrachteter Teil als Anzahl oder Menge
Prozentsatz	Verhältnis bezogen auf Hundert
Stichprobe	tatsächlich untersuchte Gruppe
Prozentpunkt	Abstand zwischen zwei Prozentwerten
Skalierung	Festlegung der Abstände auf einer Diagrammachse

Kreuzworträtsel

Grundwert	Wie heißt die Bezugsgröße des Ganzen?
Prozentsatz	Wie heißt ein Anteil, der auf Hundert bezogen wird?
Prozentwert	Wie heißt der betrachtete Teil des Grundwerts?
Stichprobe	Wie heißt die tatsächlich untersuchte Teilgruppe?
Bezugsgröße	Welche Größe muss zu einer Prozentangabe klar sein?
Rundung	Was kann erklären, warum Anteile zusammen 99,9 Prozent ergeben?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Prozentangabe beschreibt einen Anteil bezogen auf gleiche Teile.

Das Ganze einer Prozentrechnung heißt .

Der betrachtete Teil des Ganzen heißt .

Der Anteil in Prozent heißt .

Bei einer Umfrage heißt die tatsächlich untersuchte Teilgruppe .

Eine Prozentzahl ohne nachvollziehbare Bezugsmenge ist nur eingeschränkt .

Eine abgeschnittene Achse kann Unterschiede optisch .

Bei erlaubten Mehrfachantworten kann die Summe der Prozentwerte über liegen.

Der Unterschied zwischen 40 Prozent und 55 Prozent beträgt 15 .

Bei Werbeaussagen wie bis zu 50 Prozent ist 50 Prozent nur die mögliche .

Ein dreidimensionales Kreisdiagramm kann durch die Perspektive Größen optisch .

Vor einer Bewertung solltest Du immer nach Bezugsgröße, Stichprobe und fragen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Prozent-Fundstücke: Fotografiere oder notiere fünf Prozentangaben aus Deinem Alltag. Schreibe zu jeder Angabe auf, welche Bezugsgröße gemeint ist oder welche Information fehlt.
2. Werbung prüfen: Suche eine frei zugängliche Werbeanzeige mit einer Prozentangabe. Erkläre in drei Sätzen, was die Angabe sicher aussagt und was nicht.
3. Prozentstreifen gestalten: Zeichne für 10 %, 25 %, 40 %, 60 % und 75 % je einen Prozentstreifen und schreibe den passenden Bruch dazu.
4. Zwei Grundwerte: Erfinde zwei Situationen mit demselben Prozentsatz, aber sehr unterschiedlichen Grundwerten. Stelle beide Rechnungen mit $p=\frac{W}{G}\cdot 100$ dar.

Standard

1. Klassenumfrage: Plane eine anonyme Mini-Umfrage mit genau einer Antwort pro Person. Stelle die Ergebnisse als absolute Zahlen und als Prozentwerte dar und prüfe die Summe.
2. Mehrfachantworten: Führe eine zweite Umfrage durch, bei der mehrere Antworten erlaubt sind. Erkläre, warum die Prozentwerte zusammen über 100 % liegen können.
3. Diagramm-Duell: Stelle denselben kleinen Datensatz einmal als Tabelle, einmal als Balkendiagramm und einmal als Kreisdiagramm dar. Vergleiche, welche Unterschiede jeweils besonders auffallen.
4. Irreführendes Diagramm reparieren: Entwirf absichtlich ein verzerrendes Balkendiagramm mit abgeschnittener Achse. Erstelle danach eine faire Version und erkläre die Wirkung beider Darstellungen.

Schwer

1. Prozentpunkte untersuchen: Erfinde drei Veränderungen von Prozentwerten und gib jeweils die Veränderung in Prozentpunkten und die relative prozentuale Veränderung an.
2. Infografik-Check: Wähle eine frei lizenzierte Infografik. Prüfe sie mit dem Sieben-Fragen-Prozent-Check und formuliere ein begründetes Urteil.
3. Umfragekritik: Entwickle ein Beispiel, bei dem dieselben Antworten je nach gewähltem Nenner zu zwei unterschiedlichen Prozentangaben führen. Formuliere beide Aussagen so, dass klar wird, worauf sie sich beziehen.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video oder eine Stop-Motion-Sequenz mit dem Titel „80 % – aber wovon?“. Zeige mindestens ein Beispiel für eine fehlende Bezugsgröße und eine faire Verbesserung.

Lernkontrolle

1. Unvollständige Prozentangabe: Eine Website schreibt „92 % empfehlen uns weiter“. Entwickle mindestens fünf Fragen, die Du beantworten müsstest, bevor Du die Aussage bewertest. Begründe, warum jede Frage wichtig ist.
2. Zwei Darstellungen vergleichen: Ein Datensatz wird einmal mit einer bei 0 beginnenden Balkenachse und einmal mit einer bei 70 beginnenden Achse dargestellt. Erkläre, wie sich die Wahrnehmung verändert, obwohl die Zahlen gleich bleiben.
3. Umfrage übertragen: 36 von 60 befragten Kindern wählen Angebot A. Prüfe die Aussage „60 % aller Kinder der Schule wählen Angebot A“. Erkläre, welche zusätzliche Information für diese Verallgemeinerung nötig wäre.
4. Prozentpunkte und Prozente: Ein Anteil steigt von 40 % auf 50 %. Berechne den Unterschied in Prozentpunkten und die relative Zunahme. Erkläre, warum beide Zahlen nicht verwechselt werden dürfen.
5. Mehrfachantworten deuten: Drei Kategorien einer Umfrage ergeben zusammen 165 %. Entwickle zwei mögliche Erklärungen: eine, bei der die Darstellung korrekt sein kann, und eine, bei der tatsächlich ein Fehler vorliegt.
6. Werbeaussage rekonstruieren: Ein Produkt kostet nach 20 % Rabatt 48 €. Bestimme den ursprünglichen Preis und formuliere eine klare, überprüfbare Werbeaussage mit altem Preis, neuem Preis und Rabatt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur rechnen, sondern auch begründen und bewerten kannst.

1. Du kannst $G$, $W$ und $p$ in einer Sachsituation bestimmen.
2. Du kannst $p=\frac{W}{G}\cdot 100$ sicher verwenden.
3. Du kannst erklären, warum eine Prozentangabe ohne Bezugsgröße unvollständig sein kann.
4. Du kannst absolute Zahlen und Prozentangaben gemeinsam interpretieren.
5. Du kannst Grundgesamtheit, Stichprobe und gültige Antworten unterscheiden.
6. Du kannst erklären, warum Prozentwerte bei Mehrfachantworten mehr als 100 % ergeben können.
7. Du kannst Rundungsabweichungen erkennen.
8. Du kannst Prozent und Prozentpunkte unterscheiden.
9. Du kannst Kreisdiagramme über $\alpha =\frac{p}{100}\cdot 360^{\circ }$ überprüfen.
10. Du kannst abgeschnittene Achsen, ungleichmäßige Skalen, 3D-Effekte und übergroße Piktogramme kritisch beurteilen.
11. Du kannst bei Werbung und Infografiken fehlende Vergleichs- und Bezugsgrößen benennen.
12. Du kannst eine Prozentdarstellung so überarbeiten, dass sie fairer und nachvollziehbarer wird.

OERs zum Thema

Weitere freie Lernmedien:

1. Wikimedia Commons: Misleading graphs
2. GeoGebra: Prozentrechnung
3. Wikimedia Commons: Pie chart

Verknüpfte Lernbereiche

Prozentrechnung Prozent Grundwert Prozentwert Prozentsatz Bruchrechnung Dezimalzahl Dreisatz Kreisdiagramm Balkendiagramm Statistik Stichprobe Grundgesamtheit Medienkompetenz Datenkompetenz