M6 E - Mathematische Simulationen selbst untersuchen

Einleitung

Mathematik wird besonders spannend, wenn Du nicht nur rechnest, sondern selbst untersuchst: Du veränderst eine Größe, beobachtest die Folgen, hältst Messwerte fest und formulierst eine Vermutung. Genau das ist eine mathematische Simulation. In diesem aiMOOC für die Klasse 6 auf E-Niveau arbeitest Du mit dynamischen Flächen, proportional veränderlichen Größen, Diagrammen, Körpermodellen und Schiebereglern.

Das Grundprinzip lautet:

Schritt	Forscherfrage	Mathematische Handlung
1	Parameter wählen	Welche Größe darf verändert werden?
2	Systematisch verändern	Ändere möglichst nur einen Parameter.
3	Beobachten	Was bleibt gleich, was wächst, was wird kleiner?
4	Dokumentieren	Nutze Wertetabelle, Skizze, Term oder Diagramm.
5	Vermuten	Formuliere einen Zusammenhang.
6	Prüfen	Teste die Vermutung mit neuen Werten.

Eine gute mathematische Vermutung klingt zum Beispiel so: „Wenn ich bei einem Rechteck die Länge $a$ verdopple und die Breite $b$ gleich lasse, dann verdoppelt sich der Flächeninhalt $A$.“

$A=a\cdot b$

Aus $a\to 2a$ folgt bei konstantem $b$:

$A^{\prime }=2a\cdot b=2\cdot (a\cdot b)=2A$

Du sollst solche Zusammenhänge nicht nur auswendig lernen, sondern an Simulationen entdecken, prüfen und begründen.

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien sind frei lizenziert oder gemeinfrei; die jeweilige Lizenz und Urheberschaft findest Du auf der anklickbaren Dateibeschreibungsseite. Externe GeoGebra- und YouTube-Inhalte werden eingebettet und nicht in den aiMOOC kopiert.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du Zusammenhänge zwischen veränderlichen Größen untersuchen und Ergebnisse in verschiedenen Darstellungen erklären.

Du kannst …	Beispiel
Parameter systematisch verändern	$a=1,2,3,4,\dots$
Auswirkungen dokumentieren	Wertetabelle mit $a$ und $A$
proportionale Zusammenhänge erkennen	$y=k\cdot x$
geometrische Zusammenhänge untersuchen	$A=a\cdot b$, $V=a\cdot b\cdot c$
Graphen als „Spuren“ einer Veränderung lesen	Punkte $(x|y)$ im Koordinatensystem
Vermutungen formulieren und testen	„Verdoppeln von $x$ verdoppelt $y$.“
Gegenbeispiele suchen	Einen Wert finden, bei dem eine Vermutung scheitert

Was ist eine mathematische Simulation?

Eine Simulation ist ein Modell, mit dem Du untersuchen kannst, wie sich ein Ergebnis verändert, wenn Du Eingaben veränderst. In einer mathematischen Simulation heißen veränderbare Eingaben oft Parameter.

Ein einfaches Modell ist

$y=3x$.

Hier ist $x$ die veränderbare Größe. Der Faktor $3$ bleibt zunächst gleich. Wenn Du nacheinander $x=1,2,3,4,5$ einsetzt, entsteht eine Wertetabelle:

$x$	1	2	3	4	5
$y=3x$	3	6	9	12	15

Beobachtung: Wird $x$ verdoppelt, wird auch $y$ verdoppelt. Der Quotient bleibt gleich:

$\frac{y}{x}=3$.

Das ist ein Kennzeichen einer proportionalen Zuordnung.

Forscherregel: Immer nur gezielt verändern

Wenn Du mehrere Parameter gleichzeitig veränderst, weißt Du oft nicht, welche Veränderung welche Wirkung hatte. Deshalb gilt bei vielen Untersuchungen:

eine Eingabe verändern → Wirkung beobachten

Dann kannst Du Ergebnisse vergleichen.

Versuch	$a$	$b$	$A=a\cdot b$	Aussage
1	2 cm	4 cm	8 cm²	Ausgangswert
2	4 cm	4 cm	16 cm²	Nur $a$ verdoppelt
3	6 cm	4 cm	24 cm²	Nur $a$ verdreifacht

So kannst Du die Wirkung von $a$ isoliert untersuchen.

Dynamische Zahlengeraden und Stellenwerte

Auch bekannte Zahlvorstellungen können als Simulation untersucht werden. Verschiebe Punkte auf einer Zahlengeraden und beobachte, wie sich Position und Zahlenwert gemeinsam verändern.

Forscherauftrag: Verändere den zweiten Summanden mehrfach. Dokumentiere mindestens fünf Fälle in der Form

$z+n=\text{Endpunkt}$.

Prüfe danach die Vermutung: „Wenn ich $n$ um $1$ erhöhe, wandert der Endpunkt genau eine Einheit nach rechts.“

Für Brüche kannst Du dieselbe Idee nutzen:

Untersuche zum Beispiel

$\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8}$.

Wenn alle Brüche denselben Punkt auf dem Zahlenstrahl markieren, sind sie wertgleich.

Interaktives Stellenwertmodell

Verändere eine Ziffer systematisch und beobachte die Änderung des Zahlenwertes. Verschiebst Du eine Ziffer um eine Stelle nach links, wird ihr Stellenwert mit $10$ multipliziert:

$7\to 70\to 700\to 7000$.

Das lässt sich als Veränderungsfolge schreiben:

$7\cdot 10=70,70\cdot 10=700,700\cdot 10=7000$.

Bewegliche Bruchdarstellungen

Brüche lassen sich als Anteil einer Fläche, einer Strecke oder eines Kreises darstellen. Eine Simulation hilft Dir zu unterscheiden zwischen Zähler und Nenner.

Halte zuerst den Nenner konstant, zum Beispiel $n=8$, und verändere nur den Zähler:

$\frac{1}{8},\frac{2}{8},\frac{3}{8},\frac{4}{8},\frac{5}{8},\frac{6}{8},\frac{7}{8},\frac{8}{8}$.

Änderung	Was bleibt gleich?	Was verändert sich?
Zähler wächst	Größe eines Einzelteils	Anzahl markierter Teile
Nenner wächst bei festem Zähler	Zähler	Größe eines Einzelteils

Ein zweites Modell vergleicht Strecke, Rechteck und Kreis:

Vermutung: Die Darstellung ändert sich, der Wert des Bruchs aber nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden.

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}(k\ne 0)$

Teste die Vermutung mit mindestens drei selbst gewählten Beispielen.

Dynamische Flächen: Rechtecke untersuchen

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist

$A=a\cdot b$.

Das ist nicht nur eine Formel, sondern ein Modell für eine Veränderung.

Ändere zuerst nur $a$ und halte $b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ fest.

$a$ in cm	1	2	3	4	5	6
$b$ in cm	3	3	3	3	3	3
$A$ in cm²	3	6	9	12	15	18

Hier gilt:

$A=3a$.

Der Flächeninhalt ist bei festem $b=3$ proportional zu $a$.

Visueller Rechenweg

Ein Rechteck mit $a=5$ und $b=3$ kann als $3$ Reihen mit je $5$ Einheitsquadraten gedacht werden:

$5+5+5=3\cdot 5=15$.

Vergrößerst Du nur die Länge auf $a=8$, entsteht

$8+8+8=3\cdot 8=24$.

So wird sichtbar: Bei konstanter Breite wächst die Fläche immer um denselben Betrag, wenn die Länge in gleichen Schritten wächst.

Rechteck bei konstantem Umfang

Jetzt wird die Untersuchung anspruchsvoller. Der Umfang bleibt konstant:

$U=2a+2b$.

Bei $U=20$ gilt

$a+b=10$

und damit

$b=10-a$.

Die Fläche lautet dann

$A=a\cdot (10-a)$.

Fülle eine eigene Tabelle:

$a$	1	2	3	4	5
$b=10-a$	9	8	7	6	5
$A=a\cdot b$	9	16	21	24	25

Vermutung: Bei festem Umfang wird der Flächeninhalt besonders groß, wenn die Seitenlängen möglichst ähnlich sind. Prüfe auch $a=6,7,8,9$ und erkläre die Symmetrie der Ergebnisse.

Rechteck bei konstantem Flächeninhalt

Nun bleibt statt des Umfangs die Fläche gleich:

$A=20$.

Dann muss gelten

$a\cdot b=20$

und daher

$b=\frac{20}{a}$.

Untersuche mögliche Paare:

$a$	1	2	4	5	10	20
$b$	20	10	5	4	2	1
$a\cdot b$	20	20	20	20	20	20

Je größer $a$ wird, desto kleiner muss $b$ werden, damit das Produkt gleich bleibt. Das ist ein anderes Veränderungsmuster als Proportionalität.

Proportional veränderliche Größen und Diagramme

Bei einer proportionalen Zuordnung gilt

$y=kx$.

Der konstante Faktor $k$ heißt Proportionalitätsfaktor.

Das Bild zeigt verschiedene Geraden der Form $y=kx$. Wenn $k$ verändert wird, ändert sich die Steilheit der Geraden.

Simulationsexperiment:

Runde	Parameter	Veränderung	Beobachtung
A	$x$	$1,2,3,4,5$	$y$ mitnotieren
B	$k$	kleiner wählen	Gerade wird weniger steil
C	$k$	größer wählen	Gerade wird steiler

Für $k=2$:

$y=2x$.

Für $k=5$:

$y=5x$.

Bei gleichem $x>0$ ist der zweite $y$-Wert größer. Der Graph macht die Veränderung sofort sichtbar.

Vom Wertetisch zum Graphen

Zu jeder Tabellenzeile gehört ein Punkt $(x|y)$. Für $y=2x$ erhältst Du etwa:

$(0|0),(1|2),(2|4),(3|6),(4|8)$.

Trägst Du diese Punkte ein, liegen sie auf einer Geraden durch den Ursprung.

Eine Simulation hilft Dir, die Verbindung zwischen drei Darstellungen gleichzeitig zu sehen:

Tabelle	Term	Graph
$x=3,y=6$	$y=2x$	Punkt $(3|6)$
$x=5,y=10$	$y=2x$	Punkt $(5|10)$

Diagramm-Animation: Parameter verändern

Verändere im Applet den steuernden Wert und beobachte den Graphen. Notiere nach jeder Veränderung mindestens einen Punkt und eine Aussage.

Ein sinnvoller Protokollsatz lautet:

$k\uparrow ⟹\text{Gerade steiler}$.

Das Symbol $\uparrow$ bedeutet hier: „wird größer“.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Das Video kann zur Wiederholung proportionaler Zuordnungen genutzt werden. Stoppe an Beispielen und berechne die fehlenden Werte zunächst selbst.

Körpermodelle: Quader verändern

Ein Quader besitzt die Kantenlängen $a$, $b$ und $c$. Sein Volumen ist

$V=a\cdot b\cdot c$.

Bei festem $b$ und $c$ ist $V$ proportional zu $a$.

Beispiel mit $b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $c=2\mathrm{c}\mathrm{m}$:

$V=a\cdot 3\cdot 2=6a$.

$a$ in cm	1	2	3	4	5
$V$ in cm³	6	12	18	24	30

Verdoppelst Du nur $a$, verdoppelt sich das Volumen.

Rotierbares 3D-Körpermodell mit Schiebereglern

Verändere Breite, Tiefe und Höhe nacheinander. Nutze Einheitswürfel als Kontrolle.

Experimentplan:

Versuch	$a$	$b$	$c$	$V$
1	2	3	4	$24$
2	4	3	4	$48$
3	2	6	4	$48$
4	2	3	8	$48$

Was fällt auf? In den Versuchen 2 bis 4 wurde jeweils genau eine Kante gegenüber Versuch 1 verdoppelt. Das Volumen verdoppelt sich in jedem Fall.

Wenn dagegen alle drei Kanten verdoppelt werden, gilt

$V^{\prime }=(2a)(2b)(2c)=8abc=8V$.

Das Volumen wird also achtmal so groß.

Oberfläche und Netz dynamisch untersuchen

Die Oberfläche eines Quaders ist

$O=2ab+2ac+2bc$.

Ein Netz macht sichtbar, warum jede der drei Rechtecksflächen zweimal vorkommt.

Klappe den Quader auf und zu. Verändere jeweils nur eine Kante. Beobachte: Die Oberfläche reagiert anders als das Volumen, weil in $O$ immer Produkte aus zwei Kanten vorkommen.

Für einen Würfel mit $a=b=c=s$ gilt:

$O=6s^2$

und

$V=s^3$.

Verdoppelst Du die Kantenlänge eines Würfels:

$O^{\prime }=6(2s{)}^2=24s^2=4O$,

aber

$V^{\prime }=(2s{)}^3=8s^3=8V$.

So zeigt die Simulation einen wichtigen Unterschied zwischen Fläche und Volumen.

Viele Würfelnetze vergleichen

Nicht jede Anordnung aus sechs Quadraten lässt sich zu einem Würfel falten. Untersuche verschiedene Netze und formuliere Kriterien. Ein Kriterium kann durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Nutze das Video als Kontrolle für Begriffe zu Quader, Oberfläche und Volumen. Halte dabei die Formeln $O=2ab+2ac+2bc$ und $V=abc$ sichtbar in Deinem Heft.

Von Beobachtungen zu mathematischen Vermutungen

Eine mathematische Vermutung ist mehr als „Ich glaube, dass …“. Sie muss so genau sein, dass man sie testen kann.

Ungeeignet	Besser
„Die Fläche wird irgendwie größer.“	„Bei festem $b$ verdoppelt sich $A$, wenn $a$ verdoppelt wird.“
„Der Graph verändert sich.“	„Wenn $k$ in $y=kx$ wächst, wird die Gerade steiler.“
„Der Quader wird viel größer.“	„Wenn alle Kanten verdoppelt werden, wird $V$ mit $8$ multipliziert.“

Ein gutes Forscherschema lautet:

Beobachtung → Vermutung → Test → Begründung.

Vermutungen mit Gegenbeispielen prüfen

Vermutung: „Wenn der Umfang eines Rechtecks gleich bleibt, bleibt auch die Fläche gleich.“

Teste:

$a=1,b=9\Rightarrow U=20,A=9$

$a=5,b=5\Rightarrow U=20,A=25$.

Der gleiche Umfang führt hier zu verschiedenen Flächen. Damit ist die Vermutung widerlegt.

Das ist mathematisch wertvoll: Ein einziges passendes Gegenbeispiel genügt, um eine allgemeine Aussage zu widerlegen.

Dokumentieren wie ein mathematisches Forschungsteam

Für jede Simulation solltest Du nicht nur das Endergebnis notieren. Verwende ein Protokoll.

Abschnitt	Beispiel
Forschungsfrage	Wie verändert sich $A$, wenn $a$ wächst?
Konstante Größe	$b=4$
Veränderter Parameter	$a=1,2,3,4,5$
Messwerte	$A=4,8,12,16,20$
Darstellung	Tabelle und Graph
Vermutung	$A=4a$
Testwert	$a=7\Rightarrow A=28$
Begründung	$A=a\cdot 4=4a$

Wichtig: Ein Diagramm ersetzt nicht die Rechnung und eine Rechnung ersetzt nicht die Beobachtung. Starke mathematische Dokumentationen verbinden mehrere Darstellungen.

Visualisiere Veränderungsfaktoren

Wenn eine Größe mit einem Faktor $r$ vervielfacht wird, kannst Du mit Pfeilen arbeiten:

$x\stackrel{\cdot r}{\to }rx$.

Bei proportionalen Größen gilt gleichzeitig:

$y\stackrel{\cdot r}{\to }ry$.

Beim Würfel mit Kantenfaktor $r$ gilt:

$s\stackrel{\cdot r}{\to }rs$

$O\stackrel{\cdot r^2}{\to }{r}^{2}O$

$V\stackrel{\cdot r^3}{\to }{r}^{3}V$.

Für $r=2$:

$s\stackrel{\cdot 2}{\to }2s,O\stackrel{\cdot 4}{\to }4O,V\stackrel{\cdot 8}{\to }8V$.

Interaktive Forschungsstationen

Die Stationen können einzeln oder als Lernzirkel bearbeitet werden.

Station	Interaktive Darstellung	Forschungsziel
Zahlengerade	bewegliche Punkte	Veränderung als Weg verstehen
Stellenwert	verschiebbare Ziffern	Faktor $10$ erkennen
Brüche	veränderbare Teilungen	Wertgleichheit untersuchen
Rechteck	Schieberegler für Seiten	$A=a\cdot b$ erforschen
Proportionalität	dynamischer Graph	$y=kx$ untersuchen
Quader	3D-Modell	$V=abc$ untersuchen
Quadernetz	faltbares Modell	$O=2ab+2ac+2bc$ verstehen

Station: animierte Rechenwege

Nutze die interaktiven Multiplikationsdarstellungen, um Produkte nicht nur als Ergebnis, sondern als Struktur zu sehen:

Verbinde die Darstellung mit Rechtecksflächen:

$a\cdot b=\underset{b\text{ Summanden}}{\underbrace{a+a+\dots +a}}$.

Beispiel:

$7\cdot 4=7+7+7+7=28$.

Mini-Forschungsprojekt: Von Daten zur Regel

Wähle eine der Simulationen aus und führe mindestens acht Versuche durch. Deine Dokumentation soll eine Tabelle, mindestens eine mathematische Formel, eine grafische Darstellung und eine überprüfbare Vermutung enthalten.

Ein mögliches Thema ist „Wie hängt die Fläche eines Rechtecks von einer Seitenlänge ab, wenn die andere Seite fest bleibt?“

Für $b=5$ gilt:

$A=5a$.

$a$	1	2	3	4	5	6	7	8
$A$	5	10	15	20	25	30	35	40

Aus den Daten kannst Du vermuten:

$\frac{A}{a}=5$

und damit

$A=5a$.

Prüfe die Regel mit einem neuen Wert, zum Beispiel $a=11$:

$A=5\cdot 11=55$.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Nutze die Erklärung zur Rechtecksfläche als Rückblick. Übertrage anschließend selbstständig auf eine Simulation mit veränderlichen Seitenlängen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist bei einer systematischen Simulation besonders sinnvoll? (Nur einen ausgewählten Parameter verändern und andere Bedingungen festhalten) (!Alle Parameter zufällig gleichzeitig verändern) (!Nur das Endergebnis ansehen) (!Auf das Dokumentieren verzichten)

Welche Formel beschreibt den Flächeninhalt eines Rechtecks? ($A=a\cdot b$) (!$A=2a+2b$) (!$A=a+b$) (!$A=a\cdot b\cdot c$)

Was geschieht mit $A=a\cdot b$, wenn nur $a$ verdoppelt wird? (Der Flächeninhalt verdoppelt sich) (!Der Flächeninhalt halbiert sich) (!Der Flächeninhalt vervierfacht sich) (!Der Flächeninhalt bleibt immer gleich)

Welche Gleichung beschreibt eine proportionale Zuordnung? ($y=kx$) (!$y=k+x$) (!$y=k-x$) (!$y=\frac{k}{x}+1$)

Was bleibt bei einer proportionalen Zuordnung $y=kx$ konstant? (Der Quotient $\frac{y}{x}$) (!Die Differenz $y-x$) (!Der Wert von $x$) (!Der Wert von $y$)

Wie lautet die Volumenformel für einen Quader? ($V=a\cdot b\cdot c$) (!$V=2a+2b+2c$) (!$V=a+b+c$) (!$V=2ab+2ac+2bc$)

Was geschieht mit dem Volumen eines Quaders, wenn nur eine Kante verdoppelt wird? (Das Volumen verdoppelt sich) (!Das Volumen vervierfacht sich) (!Das Volumen verachtfacht sich) (!Das Volumen bleibt gleich)

Was geschieht mit dem Volumen eines Würfels, wenn alle Kanten verdoppelt werden? (Das Volumen wird achtmal so groß) (!Das Volumen wird zweimal so groß) (!Das Volumen wird viermal so groß) (!Das Volumen wird sechsmal so groß)

Wozu dient ein Gegenbeispiel? (Eine allgemeine Vermutung kann damit widerlegt werden) (!Eine Formel wird damit automatisch bewiesen) (!Eine Wertetabelle wird dadurch überflüssig) (!Ein Parameter wird dadurch konstant)

Welche Dokumentation ist für eine Simulation besonders aussagekräftig? (Tabelle, passende Formel, Diagramm und begründete Vermutung) (!Nur ein einzelner Zahlenwert) (!Nur eine Überschrift) (!Nur ein Screenshot ohne Erklärung)

Memory

Parameter	veränderbare Eingabe einer Simulation
Wertetabelle	geordnete Dokumentation zusammengehöriger Werte
Proportionalitätsfaktor	konstanter Quotient bei $y=kx$
Gegenbeispiel	widerlegt eine allgemeine Vermutung
Volumen	Rauminhalt eines Körpers
Oberfläche	Summe aller äußeren Flächen eines Körpers
Schieberegler	Werkzeug zum systematischen Verändern eines Wertes

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Parameter	gezielt veränderbare Größe
Konstante	bewusst festgehaltener Wert
Wertetabelle	Dokumentation mehrerer Versuchswerte
Vermutung	überprüfbare Aussage über einen Zusammenhang
Gegenbeispiel	Testfall, der eine allgemeine Aussage widerlegt

Kreuzworträtsel

Parameter	Wie heißt eine veränderbare Eingabe in einer Simulation?
Tabelle	Worin werden zusammengehörige Zahlenwerte oft geordnet?
Graph	Wie heißt die zeichnerische Darstellung einer Zuordnung im Koordinatensystem?
Quader	Welcher Körper hat sechs rechteckige Seitenflächen?
Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Vermutung	Wie heißt eine überprüfbare mathematische Aussage, die aus Beobachtungen entsteht?

Lückentext

Vervollständige den Text.

In einer mathematischen Simulation heißt eine gezielt veränderbare Eingabe . Wenn Du nur eine Größe veränderst und andere Werte festhältst, kannst Du die besser erkennen. Zusammengehörige Versuchswerte lassen sich in einer dokumentieren. Für ein Rechteck gilt für den Flächeninhalt die Beziehung . Bei einer proportionalen Zuordnung hat der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert den konstanten Wert . Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den . Für einen Quader gilt für das Volumen die Formel . Werden alle Kanten eines Würfels verdoppelt, wird sein Volumen mit dem Faktor vervielfacht. Eine überprüfbare Aussage über einen beobachteten Zusammenhang nennt man . Ein einzelner passender Testfall kann eine falsche allgemeine Aussage als widerlegen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Parameter: Untersuche ein Rechteck mit fester Breite $b=4$. Verändere $a$ von $1$ bis $8$ und dokumentiere $A$ in einer Tabelle.
2. Zahlengerade: Verändere in einer dynamischen Zahlengerade einen Summanden in gleich großen Schritten und beschreibe die Bewegung des Endpunkts.
3. Bruchdarstellung: Stelle drei wertgleiche Brüche in zwei verschiedenen visuellen Modellen dar und erkläre, was gleich bleibt.
4. Stellenwertsystem: Untersuche an der Stellenwerttafel, was mit einer Zahl geschieht, wenn eine Ziffer um eine Stelle nach links verschoben wird.

Standard

1. Proportionale Zuordnung: Erzeuge eine Wertetabelle zu $y=4x$, zeichne den Graphen und erkläre, wie Tabelle, Term und Graph zusammenpassen.
2. Flächeninhalt: Untersuche Rechtecke mit Umfang $U=24$. Finde mindestens sechs Seitenpaare und formuliere eine Vermutung über die größte Fläche.
3. Quader: Halte zwei Kanten konstant und variiere die dritte. Dokumentiere Volumen und Oberfläche getrennt und vergleiche ihre Veränderungen.
4. Diagramm: Erfinde eine proportionale Alltagssituation, sammle mindestens sechs Werte und stelle sie als Tabelle und Graph dar.

Schwer

1. Forschungsprotokoll: Vergleiche ein Rechteck mit konstantem Umfang mit einem Rechteck mit konstantem Flächeninhalt. Beschreibe die unterschiedlichen Veränderungsmuster.
2. Würfel: Untersuche die Kantenfaktoren $2$, $3$ und $4$. Ermittle jeweils den Faktor für Oberfläche und Volumen und formuliere eine allgemeine Regel.
3. Gegenbeispiel: Formuliere drei plausible, aber falsche Vermutungen zu Flächen oder Körpern und widerlege jede durch ein passendes Gegenbeispiel.
4. Mathematische Modellierung: Entwickle selbst eine digitale oder analoge Simulation mit mindestens einem veränderlichen Parameter, dokumentiere acht Versuche und präsentiere Deine Vermutung mit Begründung.

Lernkontrolle

1. Transfer Rechteck: Ein Rechteck hat zunächst $a=6$ cm und $b=4$ cm. Entwickle zwei verschiedene Veränderungen der Seitenlängen, bei denen die Fläche größer wird, und erkläre, warum Deine Veränderungen wirken.
2. Vergleich Oberfläche und Volumen: Ein Würfel wird in jeder Richtung dreimal so lang. Leite ohne bloßes Einsetzen her, mit welchen Faktoren sich Oberfläche und Volumen verändern.
3. Proportionalität erkennen: Zwei Messreihen lauten $(1,3),(2,6),(4,12)$ und $(1,4),(2,7),(4,13)$. Entscheide begründet, welche Reihe proportional sein kann, und nenne ein geeignetes Prüfverfahren.
4. Vermutungen prüfen: Eine Schülerin behauptet: „Wenn der Umfang eines Rechtecks größer wird, muss auch die Fläche größer werden.“ Entwickle zwei Rechtecke, mit denen Du die Aussage untersuchst, und begründe Deine Schlussfolgerung.
5. Darstellungen verknüpfen: Zu $y=5x$ sollst Du eine Wertetabelle, drei Punkte im Koordinatensystem und eine Erklärung des Faktors $5$ erstellen. Zeige, wie alle drei Darstellungen denselben Zusammenhang ausdrücken.
6. Simulation planen: Plane eine Untersuchung zur Frage „Wie hängt das Volumen eines Quaders von seiner Höhe ab?“. Lege fest, welche Größen konstant bleiben, welche Werte Du testest und wie Du die Ergebnisse dokumentierst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du mathematische Zusammenhänge nicht nur berechnen, sondern untersuchen, darstellen und begründen kannst.

1. Du kannst einen sinnvollen Parameter auswählen und andere Bedingungen kontrolliert konstant halten.
2. Du kannst Mess- und Rechenwerte korrekt in einer Wertetabelle dokumentieren.
3. Du kannst Zusammenhänge mit Termen wie $A=a\cdot b$, $y=kx$ und $V=a\cdot b\cdot c$ beschreiben.
4. Du kannst aus Daten eine mathematische Vermutung formulieren und sie mit neuen Werten prüfen.
5. Du kannst Tabellen, Formeln, geometrische Darstellungen und Diagramme miteinander verknüpfen.
6. Du kannst erklären, wie sich Flächen und Volumina bei veränderten Längen verhalten.
7. Du kannst ein Gegenbeispiel verwenden, um eine allgemeine Aussage zu widerlegen.
8. Du kannst Deine Untersuchung so dokumentieren, dass andere Deinen Gedankengang nachvollziehen können.

OERs zum Thema

Als offene und frei zugängliche Hintergrundinformationen eignen sich insbesondere Wikipedia-Artikel zu den mathematischen Grundbegriffen.

Verknüpfte Lernbereiche

Die wichtigsten Lernbereiche greifen ineinander: Zahlen und Operationen liefern die Rechenwerkzeuge, funktionale Zusammenhänge beschreiben Veränderungen, Geometrie liefert Flächen und Körper, und Daten/Diagramme helfen beim Dokumentieren.

M6 E - Mathematische Simulationen selbst untersuchen Parameter Wertetabelle Proportionale Zuordnung Koordinatensystem Flächeninhalt Umfang Rechteck Quader Volumen Oberfläche Bruchrechnung Zahlengerade Mathematische Modellierung Gegenbeispiel