M6 E - Erweiterte Teilbarkeitsregeln untersuchen

Einleitung

In diesem aiMOOC erforschst Du Teilbarkeitsregeln auf E-Niveau für Klasse 6. Du wiederholst bekannte Regeln und leitest daraus neue Regeln für die Teilbarkeit durch $6$ und $9$ ab. Dabei arbeitest Du mit natürlichen Zahlen, Stellenwerten, Quersummen, Zahlenmustern, Zahlengeraden und großen Zahlen.

Eine natürliche Zahl $a$ teilt eine natürliche Zahl $b$, wenn es eine natürliche Zahl $k$ mit

$b=a\cdot k$

gibt. Kurz schreibt man:

$a\mid b$.

Beispiel:

$6\mid 42$, denn $42=6\cdot 7$.

Dagegen gilt:

$6\nmid 44$, denn bei $44:6$ bleibt ein Rest.

Das kannst Du nach diesem aiMOOC	Mathematisches Werkzeug
Teilbarkeit durch $2$, $3$, $5$, $6$, $9$ und $10$ sicher prüfen	Endziffer und Quersumme
die Regel für $6$ aus bekannten Regeln begründen	gemeinsame Vielfache von $2$ und $3$
die Regel für $9$ aus dem Stellenwertsystem begründen	$10=9+1$, $100=99+1$, $1000=999+1$
große Zahlen ohne schriftliche Division untersuchen	systematische Prüfschritte
Vermutungen prüfen und Gegenbeispiele finden	mathematisches Argumentieren

Freie Stellenwertdarstellung auf Wikimedia Commons, CC0.

Bekannte Teilbarkeitsregeln als Startpunkt

Bevor Du neue Regeln untersuchst, brauchst Du vier bekannte Werkzeuge:

Teiler	Regel	Beispiel
$2$	Die letzte Ziffer ist $0,2,4,6$ oder $8$.	$538$ ist durch $2$ teilbar.
$3$	Die Quersumme ist durch $3$ teilbar.	$471$: $4+7+1=12$.
$5$	Die letzte Ziffer ist $0$ oder $5$.	$12345$ ist durch $5$ teilbar.
$10$	Die letzte Ziffer ist $0$.	$84730$ ist durch $10$ teilbar.

Merke: Teilbarkeitsregeln ersetzen nicht die Bedeutung von Teilbarkeit. Sie sind schnelle Tests dafür, ob eine Division ohne Rest möglich ist.

Freie Zahlengerade auf Wikimedia Commons, CC0.

Dynamische Zahlengerade: Vielfache sichtbar machen

Auf einer Zahlengerade kannst Du Vielfache als gleich große Sprünge verstehen. Die Vielfachen von $6$ entstehen zum Beispiel durch Sprünge der Länge $6$:

$0,6,12,18,24,30,36,\dots$

Untersuche im interaktiven Material, wann eine Zahl gleichzeitig in der Vielfachenmenge von $2$ und von $3$ liegt.

Forscherauftrag: Stelle verschiedene Werte ein. Notiere fünf Zahlen, die gleichzeitig Vielfache von $2$ und $3$ sind. Welche Zahlenfolge entsteht?

Zahlenmuster-Labor: Was verrät die Quersumme?

Die Quersumme einer Zahl erhältst Du, indem Du ihre Ziffern addierst.

Für $n=7431012$ gilt:

$Q(n)=7+4+3+1+0+1+2=18$.

Untersuche die folgende Tabelle:

Zahl $n$	Quersumme $Q(n)$	Differenz $n-Q(n)$	Darstellung der Differenz
$27$	$9$	$18$	$2\cdot 9$
$54$	$9$	$45$	$5\cdot 9$
$126$	$9$	$117$	$13\cdot 9$
$738$	$18$	$720$	$80\cdot 9$
$5409$	$18$	$5391$	$599\cdot 9$

Muster: Die Differenz $n-Q(n)$ ist immer durch $9$ teilbar. Deshalb haben eine Zahl und ihre Quersumme bei der Division durch $9$ denselben Rest.

Teilbarkeit durch $9$: die Quersummenregel

Regel: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.

In Zeichen:

$9\mid n⟺9\mid Q(n)$.

Beispiel 1:

$52004718$

$Q=5+2+0+0+4+7+1+8=27$

und

$27=3\cdot 9$.

Also gilt:

$9\mid 52004718$.

Beispiel 2:

$987654$

$Q=9+8+7+6+5+4=39$.

Da $39$ nicht durch $9$ teilbar ist, gilt:

$9\nmid 987654$.

Freie Darstellung eines Neunermusters auf Wikimedia Commons. Untersuche, wie wiederholtes Addieren von Ziffern Zahlen vereinfacht.

Interaktive Forscherfrage: Gib nacheinander $243$, $729$, $1008$, $4563$ und $12345$ ein. Vergleiche Zahl, Zerlegung und Quersumme. Formuliere danach die Neunerregel mit Deinen eigenen Worten.

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Warum funktioniert die Neunerregel?

Die Begründung steckt im dezimalen Stellenwertsystem:

$10=9+1$

$100=99+1=11\cdot 9+1$

$1000=999+1=111\cdot 9+1$.

Jede Zehnerpotenz lässt sich also als

$\text{Vielfaches von }9+1$

schreiben.

Betrachte die Zahl $5742$:

$5742=5\cdot 1000+7\cdot 100+4\cdot 10+2$.

Setze die Zerlegungen der Stellenwerte ein:

$5742=5(999+1)+7(99+1)+4(9+1)+2$.

Sortiere die Teile:

$5742=9(5\cdot 111+7\cdot 11+4)+(5+7+4+2)$.

Damit erhältst Du:

$5742=9\cdot 636+18$.

Die Zahl besteht aus einem durch $9$ teilbaren Teil und der Quersumme $18$. Da $18$ ebenfalls durch $9$ teilbar ist, ist auch $5742$ durch $9$ teilbar.

Der gleiche Gedanke erklärt auch die Dreierregel: Jeder durch $9$ teilbare Anteil ist ebenfalls durch $3$ teilbar. Deshalb genügt auch für die Teilbarkeit durch $3$ die Quersumme.

Stellenwerte im Dezimalsystem auf einem Abakus; Wikimedia Commons, CC BY 3.0.

Interaktives Stellenwertmodell

Verändere im Modell die Ziffern einer Zahl. Beobachte, wie sich Einer, Zehner, Hunderter und Tausender zusammensetzen.

Forscherauftrag: Baue eine vierstellige Zahl mit Quersumme $18$. Erzeuge anschließend durch Verschieben der Ziffern zwei weitere Zahlen mit denselben Ziffern. Prüfe, ob sich die Teilbarkeit durch $9$ ändert. Begründe Deine Beobachtung.

Visueller Schritt-für-Schritt-Weg zur Neunerregel

Schritt	Beispiel $8126415$	Bedeutung
1. Ziffern lesen	$8,1,2,6,4,1,5$	Stellenwerte erkennen
2. Quersumme bilden	$8+1+2+6+4+1+5=27$	große Zahl auf kleine Prüfsumme reduzieren
3. Prüfsumme testen	$27=3\cdot 9$	$27$ ist durch $9$ teilbar
4. Entscheidung	$9\mid 8126415$	die Ausgangszahl ist durch $9$ teilbar

Teilbarkeit durch $6$: zwei bekannte Regeln verbinden

Es gilt:

$6=2\cdot 3$.

Die Zahlen $2$ und $3$ haben außer $1$ keinen gemeinsamen Teiler. Ihre gemeinsamen Vielfachen sind genau die Vielfachen von $6$:

Vielfache von $2$	Vielfache von $3$	gemeinsame Vielfache
$2,4,6,8,10,12,14,16,18,\dots$	$3,6,9,12,15,18,21,\dots$	$6,12,18,24,30,\dots$

Daraus folgt die Sechserregel:

$6\mid n$

genau dann, wenn

$2\mid n$

und gleichzeitig

$3\mid n$.

In Alltagssprache:

Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

Freie Multiplikationsdarstellung auf Wikimedia Commons, CC0. Suche darin nach gemeinsamen Vielfachen.

Beispiele zur Sechserregel

Beispiel 1: $4572$

1. Endziffer: $2$ ist gerade, also $2\mid 4572$.
2. Quersumme: $4+5+7+2=18$, also $3\mid 4572$.
3. Beide Bedingungen gelten, also $6\mid 4572$.

Beispiel 2: $9999$

1. Quersumme: $9+9+9+9=36$, also ist die Zahl durch $3$ teilbar.
2. Die Endziffer $9$ ist ungerade.
3. Deshalb gilt $6\nmid 9999$.

Beispiel 3: $8734$

1. Die Endziffer $4$ ist gerade.
2. Die Quersumme ist $8+7+3+4=22$ und damit nicht durch $3$ teilbar.
3. Deshalb gilt $6\nmid 8734$.

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Große Zahlen schnell prüfen

Bei großen Zahlen ist eine schriftliche Division oft unnötig. Verwende gezielt die passende Regel.

Beispiel: $9876543210$

Prüffrage	Rechnung	Ergebnis
Durch $2$?	letzte Ziffer $0$	ja
Durch $3$?	$9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45$	ja
Durch $6$?	durch $2$ und $3$	ja
Durch $9$?	$45=5\cdot 9$	ja
Durch $10$?	letzte Ziffer $0$	ja

Zweites Beispiel: $7431012$

$Q=7+4+3+1+0+1+2=18$.

Die Zahl ist gerade und $18$ ist durch $3$ und $9$ teilbar. Daher gilt gleichzeitig:

$6\mid 7431012$

und

$9\mid 7431012$.

Schnelltest-Tabelle für große Zahlen

Zahl	gerade?	Quersumme	durch $6$?	durch $9$?
$52004718$	ja	$27$	ja	ja
$987654$	ja	$39$	ja	nein
$8731245$	nein	$30$	nein	nein
$6666666$	ja	$42$	ja	nein
$12345678$	ja	$36$	ja	ja

Kontrolliere mindestens zwei Zeilen selbst durch Division. So überprüfst Du, ob die Regel und Deine Anwendung übereinstimmen.

Fehlerdetektiv: typische Denkfehler

Behauptung	Urteil	Begründung
„Wenn die Quersumme durch $3$ teilbar ist, ist die Zahl automatisch durch $6$ teilbar.“	falsch	$15$ hat die Quersumme $6$, ist aber ungerade.
„Wenn eine Zahl gerade ist, ist sie durch $6$ teilbar.“	falsch	$14$ ist gerade, aber $Q(14)=5$.
„Wenn die Quersumme durch $9$ teilbar ist, ist die Zahl durch $9$ teilbar.“	richtig	Das ist die Neunerregel.
„Eine Zahl mit Quersumme $12$ ist durch $9$ teilbar.“	falsch	$12$ ist nicht durch $9$ teilbar.
„Vertauscht man die Ziffern einer Zahl, bleibt ihre Quersumme gleich.“	richtig	Die Summe der Ziffern ändert sich durch die Reihenfolge nicht.

E-Niveau: Regeln begründen statt nur auswendig lernen

Eine Teilbarkeitsregel ist besonders nützlich, wenn Du erklären kannst, warum sie funktioniert.

Für $9$ lautet die Begründung:

$10^k=9\cdot m+1$

für eine passende natürliche Zahl $m$. Deshalb kann jeder Stellenwert durch „ein Vielfaches von $9$ plus $1$“ ersetzt werden. Übrig bleibt beim Teilbarkeitstest nur die Summe der Ziffern.

Für $6$ lautet die Begründung:

$6=2\cdot 3$

und die gemeinsamen Vielfachen von $2$ und $3$ sind die Vielfachen von $6$. Deshalb müssen beide Tests gleichzeitig erfüllt sein.

Transfer: Was folgt für $18$?

Aus

$18=2\cdot 9$

kannst Du eine neue Vermutung entwickeln:

Eine Zahl ist durch $18$ teilbar, wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.

Beispiel:

$1458$

ist gerade und

$1+4+5+8=18$.

Tatsächlich gilt:

$1458=18\cdot 81$.

Dieser Transfer zeigt, wie aus bekannten Teilbarkeitseigenschaften neue Regeln entstehen können.

Gemeinfreie Darstellung von Teilbarkeitsbeziehungen auf Wikimedia Commons.

Interaktive Forschungsstationen

Forschungsstation 1: Vielfache auf der Zahlengeraden

Untersuche die Vielfachen von $2$, $3$, $6$ und $9$. Suche Schnittstellen und beschreibe sie mit mathematischen Sätzen.

Forschungsstation 2: Teilbarkeit durch $3$ und $9$

Verändere die Zahl mehrfach. Formuliere eine Vermutung, teste sie mit mindestens zehn Beispielen und suche gezielt nach einem Gegenbeispiel. Wenn Du keines findest, begründe, warum die Regel allgemein gelten sollte.

Forschungsstation 3: Teilbarkeitsregeln vergleichen

Erstelle eine Tabelle mit fünf selbst gewählten Zahlen. Prüfe jede Zahl auf Teilbarkeit durch $2$, $3$, $6$ und $9$. Markiere anschließend, welche Tests voneinander abhängen.

Forschungsstation 4: Stellenwerte bewegen

Baue Zahlen mit gleicher Quersumme, aber verschiedener Endziffer. Untersuche damit den Unterschied zwischen der Sechserregel und der Neunerregel.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist eine natürliche Zahl durch 6 teilbar? (Wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist) (!Wenn ihre letzte Ziffer 6 ist) (!Wenn ihre Quersumme durch 6 teilbar ist) (!Wenn sie durch 2 oder durch 3 teilbar ist)

Welche Regel prüft die Teilbarkeit durch 9? (Die Quersumme muss durch 9 teilbar sein) (!Die letzte Ziffer muss 9 sein) (!Die letzten beiden Ziffern müssen durch 9 teilbar sein) (!Die Zahl muss gerade sein)

Warum ist die Quersummenregel auch für die Teilbarkeit durch 3 geeignet? (Weil die Differenz aus Zahl und Quersumme durch 9 und damit auch durch 3 teilbar ist) (!Weil jede Zahl mit mindestens drei Ziffern durch 3 teilbar ist) (!Weil die Einerziffer allein über die Teilbarkeit durch 3 entscheidet) (!Weil 3 ein Teiler von 10 ist)

Ist 52 004 718 durch 6 teilbar? (Ja, die Zahl ist gerade und ihre Quersumme 27 ist durch 3 teilbar) (!Nein, weil die Zahl mehr als sechs Ziffern hat) (!Nein, weil ihre Quersumme nicht 6 ist) (!Ja, nur weil die letzte Ziffer 8 ist)

Ist 7 431 012 durch 9 teilbar? (Ja, denn die Quersumme ist 18) (!Nein, denn die letzte Ziffer ist 2) (!Nein, denn die Zahl ist gerade) (!Ja, denn jede siebenstellige Zahl ist durch 9 teilbar)

Welche Zahl zeigt, dass eine durch 3 teilbare Quersumme allein für die Teilbarkeit durch 6 nicht genügt? (15) (!18) (!24) (!42)

Welche Zahl ist durch 9 teilbar? (729) (!728) (!731) (!734)

Was muss für jede durch 6 teilbare Zahl gelten? (Sie ist gerade und ihre Quersumme ist durch 3 teilbar) (!Sie endet immer auf 6) (!Ihre Quersumme ist immer 6) (!Sie ist immer durch 9 teilbar)

Was bleibt gleich, wenn die Ziffern einer Zahl nur umgeordnet werden? (Die Quersumme) (!Die Endziffer) (!Der Zahlenwert) (!Die Teilbarkeit durch 10)

Welche Aussage gilt für 9 876 543 210? (Die Zahl ist durch 6 und durch 9 teilbar) (!Die Zahl ist weder durch 6 noch durch 9 teilbar) (!Die Zahl ist nur durch 6 teilbar) (!Die Zahl ist nur durch 9 teilbar)

Memory

Quersummenregel	Teilbarkeit durch Neun
Sechserregel	Gerade Zahl mit Dreierquersumme
Endzifferprüfung	Entscheidung über Zweierteilbarkeit
Ziffernsumme	Addition aller Stellenziffern
Vielfaches	Produkt mit einer natürlichen Zahl
Restfreiheit	Exakte Division

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Sechserregel	Kombination aus Geradheit und Dreierregel
Neunerregel	Quersumme als Teilbarkeitstest
Zweierregel	Endziffer entscheidet über Geradheit
Dreierregel	Quersumme wird auf Dreierteilbarkeit geprüft
Stellenwertargument	Zehnerpotenzen werden als Neunervielfaches plus Eins zerlegt

Kreuzworträtsel

Quersumme	Wie heißt die Summe aller Ziffern einer Zahl?
Endziffer	Welche Stelle prüfst Du zuerst bei der Teilbarkeit durch Zwei?
Vielfaches	Wie heißt eine Zahl, die durch Multiplikation einer Ausgangszahl mit einer natürlichen Zahl entsteht?
Stellenwert	Welcher Begriff beschreibt den Wert einer Ziffer abhängig von ihrer Position?
Rest	Was muss bei einer exakten Division gleich null sein?
Teiler	Wie heißt eine Zahl, durch die ohne Rest dividiert werden kann?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn sie ist und zugleich die Dreierregel erfüllt.

Die Teilbarkeit durch $3$ wird mithilfe der geprüft.

Für die Teilbarkeit durch $9$ muss die Quersumme ein von neun sein.

Die Zahl $10$ lässt sich als $9$ plus schreiben.

Auch jede höhere Zehnerpotenz unterscheidet sich von eins um ein .

Darum haben eine Zahl und ihre Quersumme bei Division durch neun denselben .

Bei der Sechserregel müssen die Regeln für zwei und drei gelten.

Eine große Zahl kann durch Teilbarkeitsregeln oft ohne schriftliche untersucht werden.

Eine gerade Zahl besitzt an der Einerstelle eine Ziffer.

Zum Widerlegen einer falschen allgemeinen Behauptung genügt ein passendes .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Quersummen-Forscherkarte: Erstelle eine Karte mit zehn selbst gewählten drei- bis sechsstelligen Zahlen. Berechne jeweils die Quersumme und entscheide über die Teilbarkeit durch $3$ und $9$.
2. Endziffer-Sortierung: Schreibe zwanzig Zahlen auf kleine Karten und sortiere sie nach „durch $2$ teilbar“ und „nicht durch $2$ teilbar“. Erkläre das entstehende Muster.
3. Zahlenmuster: Notiere die ersten fünfzehn positiven Vielfachen von $6$. Markiere, welche davon zusätzlich durch $9$ teilbar sind, und beschreibe das Muster.
4. Mathe-Erklärbild: Gestalte ein Bild oder Plakat, das die Sechserregel mit den beiden Prüfschritten „gerade?“ und „Quersumme durch drei?“ sichtbar macht.

Standard

1. Forscherprotokoll Teilbarkeit: Untersuche mindestens zwanzig zufällig gewählte Zahlen auf Teilbarkeit durch $6$ und dokumentiere Vermutung, Test, Ergebnis und Kontrolle.
2. Fehleranalyse Teilbarkeitsregel: Erfinde drei typische falsche Aussagen zu $6$ oder $9$. Finde zu jeder Aussage ein Gegenbeispiel und erkläre den Fehler.
3. Große Zahlen untersuchen: Wähle fünf Zahlen mit mindestens zehn Ziffern. Prüfe sie ohne schriftliche Division auf Teilbarkeit durch $2$, $3$, $6$ und $9$.
4. Erklärvideo Teilbarkeitsregeln: Plane ein höchstens zweiminütiges Erklärvideo zur Neunerregel. Zeige darin eine Stellenwertzerlegung, eine Quersumme und ein großes Zahlenbeispiel.

Schwer

1. Begründung der Neunerregel: Leite für eine beliebige vierstellige Zahl $1000a+100b+10c+d$ her, warum Zahl und Quersumme bei Division durch $9$ denselben Rest besitzen.
2. Begründung der Sechserregel: Erkläre mit gemeinsamen Vielfachen, weshalb „durch $2$ und durch $3$ teilbar“ genau zur Teilbarkeit durch $6$ führt.
3. Ziffernrätsel: Erfinde drei Rätsel der Form $47x2$, bei denen eine fehlende Ziffer so bestimmt werden muss, dass die Zahl durch $6$ oder $9$ teilbar ist. Gib jeweils eine begründete Lösung an.
4. Transfer zur Teilbarkeit durch 18: Entwickle aus den Regeln für $2$ und $9$ eine Regel für $18$. Prüfe sie an mindestens zehn Zahlen und begründe sie mit gemeinsamen Vielfachen.

Lernkontrolle

1. Regeln verknüpfen: Eine sehr große Zahl endet auf $8$ und besitzt die Quersumme $42$. Entscheide ohne vollständige Zahl, welche Aussagen über Teilbarkeit durch $2$, $3$, $6$ und $9$ sicher möglich sind. Begründe jede Entscheidung.
2. Gegenbeispiel konstruieren: Konstruiere eine fünfstellige Zahl, die durch $3$, aber nicht durch $6$ teilbar ist. Erkläre systematisch, wie Du vorgegangen bist.
3. Zwei Regeln vergleichen: Erkläre, warum die Sechserregel zwei verschiedene Informationen benötigt, während die Neunerregel allein mit der Quersumme auskommt.
4. Unbekannte Ziffer bestimmen: Bestimme alle Ziffern $x$, für die $53x7$ durch $9$ teilbar ist. Begründe, warum Deine Lösung vollständig ist.
5. Unbekannte Ziffern kombinieren: Bestimme alle Ziffern $x$, für die $81x4$ durch $6$ teilbar ist. Nutze beide Teilbedingungen und erkläre Deinen Lösungsweg.
6. Transferleistung: Eine Person behauptet: „Wenn eine Zahl durch $6$ und durch $9$ teilbar ist, ist sie durch $54$ teilbar.“ Prüfe die Aussage, finde gegebenenfalls ein Gegenbeispiel und formuliere eine korrekte Folgerung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Regeln aufsagst, sondern sie sicher anwendest und begründest. Du solltest zeigen können, dass Du Teilbarkeit als Division ohne Rest verstehst, die Regeln für $2$, $3$, $5$ und $10$ beherrschst, die Regel für $6$ aus den Teilbarkeiten durch $2$ und $3$ ableitest und die Regel für $9$ mit Stellenwerten und Quersumme erklärst.

Außerdem solltest Du große Zahlen effizient prüfen, richtige von falschen Begründungen unterscheiden, Gegenbeispiele konstruieren und eine bekannte Regel auf eine neue Situation übertragen können. Zu einem guten Lernnachweis gehört ein nachvollziehbarer Rechenweg mit passenden mathematischen Zeichen wie $\mid$, $\nmid$, $Q(n)$ und klaren Schlussfolgerungen.

OERs zum Thema

Weitere freie und interaktive Lernmedien

1. Wikimedia Commons: Die im aiMOOC verwendeten Abbildungen stammen von Wikimedia Commons; die jeweilige freie Lizenz oder Gemeinfreiheit ist auf der Dateibeschreibungsseite dokumentiert.
2. GeoGebra: Die eingebetteten interaktiven Materialien ermöglichen dynamische Zahlengeraden, Teilbarkeitstests und Stellenwertdarstellungen.
3. Wikipedia: Die Artikel zu Teilbarkeit und Quersumme liefern weiterführende mathematische Hintergrundinformationen.

Verknüpfte Lernbereiche

Teilbarkeit Natürliche Zahlen Teiler und Vielfache Stellenwertsystem Quersumme Teilbarkeitsregeln Primzahlen Größter gemeinsamer Teiler Kleinstes gemeinsames Vielfaches