M6 E - Die Zahl Pi experimentell entdecken

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

M6 E - Die Zahl Pi experimentell entdecken

Einleitung

Warum passt ein Faden, den Du genau einmal um einen Kreis legst, ungefähr 3,14-mal über den Durchmesser desselben Kreises? Genau diese Beobachtung führt Dich zur Kreiszahl $\pi$.

In diesem aiMOOC entdeckst Du $\pi$ nicht zuerst als fertige Formel, sondern durch ein Experiment. Du misst an mehreren runden Gegenständen den Umfang $U$ und den Durchmesser $d$. Anschließend berechnest Du jeweils den Quotienten

$\frac{U}{d}$.

Wenn sorgfältig gemessen wurde, liegen die Ergebnisse bei ganz unterschiedlichen Kreisen immer ungefähr bei

$\mathrm{3,14}$.

Das ist die entscheidende Entdeckung:

$\pi =\frac{U}{d}\approx \mathrm{3,14}$

Die Animation zeigt anschaulich, wie der Umfang eines Kreises „abgerollt“ werden kann. So kannst Du vergleichen, wie oft der Durchmesser in den Umfang passt.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Kreise in Alltagsgegenständen erkennen und passende Messstellen auswählen.
2. den Durchmesser $d$ als Strecke durch den Mittelpunkt von einer Kreisrandseite zur gegenüberliegenden Kreisrandseite messen.
3. den Umfang $U$ eines runden Gegenstands mit einem Faden oder Maßband bestimmen.
4. Messwerte übersichtlich in einer Tabelle dokumentieren.
5. für mehrere Kreise den Quotienten $\frac{U}{d}$ berechnen.
6. erkennen und begründen, dass $\frac{U}{d}$ bei allen Kreisen ungefähr gleich ist.
7. die Kreiszahl $\pi$ als Verhältnis von Umfang und Durchmesser deuten.
8. einfache Messabweichungen erklären und sinnvolle Näherungswerte verwenden.
9. aus $\pi =\frac{U}{d}$ die Beziehung $U\approx \pi \cdot d$ verstehen.

Kreis, Umfang und Durchmesser

Bevor Du misst, müssen die Größen klar sein.

Größe	Zeichen	Bedeutung	So misst Du
Umfang	$U$	Länge der Kreislinie	Faden einmal genau um den Rand legen, markieren, abnehmen und gerade messen
Durchmesser	$d$	Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand	Lineal durch die breiteste Stelle des Kreises legen
Radius	$r$	Strecke vom Mittelpunkt zum Rand	Vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie messen

Zwischen Radius und Durchmesser gilt:

$d=2r$

Für unser Experiment ist besonders wichtig, dass Du wirklich den Durchmesser misst. Eine Strecke, die zwar von Rand zu Rand geht, aber nicht durch den Mittelpunkt verläuft, ist zu kurz.

Das Verhältnis, das wir untersuchen

Wir vergleichen zwei Längen desselben Kreises:

$U$ und $d$.

Dazu bilden wir den Quotienten

$\frac{U}{d}$.

Beispiel:

$U=\mathrm{31,4}\text{ cm}$

$d=\mathrm{10,0}\text{ cm}$

$\frac{U}{d}=\frac{\mathrm{31,4}}{\mathrm{10,0}}=\mathrm{3,14}$

In manchen englisch beschrifteten Darstellungen steht $C$ für „circumference“, also für den Umfang. In diesem aiMOOC verwenden wir $U$.

Das Experiment

Material

Du brauchst möglichst mehrere verschieden große runde Gegenstände, zum Beispiel einen Klebebandring, eine Dose, einen Becher, einen Deckel oder eine CD. Außerdem brauchst Du:

1. einen dünnen, möglichst wenig dehnbaren Faden oder ein flexibles Maßband,
2. ein Lineal oder Geodreieck,
3. einen Stift,
4. eine Schere nur dann, wenn sie im Unterricht erlaubt ist,
5. einen Taschenrechner für die Quotienten,
6. die Messtabelle aus diesem aiMOOC.

Tipp: Wähle Gegenstände mit gut erkennbarem, kreisförmigem Rand. Verformte oder ovale Gegenstände eignen sich nicht.

Visueller Messweg: Umfang mit Faden

Schritt	Handlung	Mathematische Idee
1	Lege den Faden genau einmal um den Kreisrand.	Der Faden nimmt die Länge $U$ an.
2	Markiere am Faden den Punkt, an dem eine vollständige Runde endet.	Der markierte Fadenabschnitt entspricht einem Kreisumfang.
3	Nimm den Faden ab und ziehe ihn gerade, ohne ihn zu dehnen.	Die gekrümmte Kreislinie wird als gerade Strecke messbar.
4	Miss die markierte Länge mit dem Lineal.	Du erhältst einen Näherungswert für $U$.

Fadenmodell:

$\text{Kreisrand}$ ⟲ $⟶$ ──────────── $=U$

Die folgende Animation zeigt dieselbe Grundidee digital:

Visueller Messweg: Durchmesser

Nicht ausreichend	Besser
Eine beliebige Strecke von Rand zu Rand	Die längste Strecke von Rand zu Rand durch den Mittelpunkt
Lineal nur ungefähr anlegen	Lineal verschieben, bis die größte Breite gefunden ist
Ablesen mit schrägem Blick	Möglichst senkrecht über der Skala ablesen

Mathematisch sollst Du messen:

d=Abstand von Kreisrand zu Kreisrand durch den Mittelpunkt

Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Angenommen, Du misst bei einem Deckel:

$U=\mathrm{25,2}\text{ cm}$

$d=\mathrm{8,0}\text{ cm}$

Dann gehst Du so vor:

Schritt	Rechnung	Ergebnis
1. Quotient aufschreiben	$\frac{U}{d}$	$\frac{\mathrm{25,2}}{\mathrm{8,0}}$
2. Dividieren	$\mathrm{25,2}:\mathrm{8,0}$	$\mathrm{3,15}$
3. Mit $\pi$ vergleichen	$\mathrm{3,15}\approx \mathrm{3,14}$	sehr nahe
4. Deuten	$U\approx \mathrm{3,14}\cdot d$	Der Umfang ist etwa 3,14-mal so groß wie der Durchmesser.

Eigene Messreihe

Miss mindestens fünf verschieden große Kreise. Trage Deine Werte ein.

Gegenstand	Durchmesser $d$ in cm	Umfang $U$ in cm	Quotient $\frac{U}{d}$	Beobachtung
1
2
3
4
5
6

Wichtig: Miss $U$ und $d$ in derselben Einheit, zum Beispiel beide in Zentimetern.

Beispielmessdaten zum Vergleichen

Die folgenden Werte sind Beispieldaten. Deine echten Messwerte dürfen etwas anders aussehen.

Gegenstand	$d$ in cm	$U$ in cm	$\frac{U}{d}$
Münze	2,3	7,2	$\frac{\mathrm{7,2}}{\mathrm{2,3}}\approx \mathrm{3,13}$
Glasdeckel	7,4	23,3	$\frac{\mathrm{23,3}}{\mathrm{7,4}}\approx \mathrm{3,15}$
Becher	8,0	25,2	$\frac{\mathrm{25,2}}{\mathrm{8,0}}=\mathrm{3,15}$
Klebebandrolle	10,1	31,7	$\frac{\mathrm{31,7}}{\mathrm{10,1}}\approx \mathrm{3,14}$
CD	12,0	37,7	$\frac{\mathrm{37,7}}{\mathrm{12,0}}\approx \mathrm{3,14}$
Papierkreis	15,0	47,1	$\frac{\mathrm{47,1}}{\mathrm{15,0}}=\mathrm{3,14}$

Was fällt auf? Obwohl die Durchmesser sehr verschieden sind, liegen die Quotienten nahe beieinander.

$\mathrm{3,13},\mathrm{3,15},\mathrm{3,15},\mathrm{3,14},\mathrm{3,14},\mathrm{3,14}$

Die Messreihe deutet auf einen ungefähr konstanten Wert hin.

Vom Messwert zur Zahl Pi

Für jeden idealen Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich:

$\frac{U}{d}=\pi$

Damit ist

$\pi \approx \mathrm{3,14159}\dots$

In Klasse 6 reicht bei vielen Näherungsrechnungen:

$\pi \approx \mathrm{3,14}$

Das bedeutet anschaulich:

$U\approx \mathrm{3,14}\cdot d$

Der Umfang eines Kreises ist also etwas mehr als dreimal so lang wie sein Durchmesser.

Pi auf dem Zahlenstrahl

$3<\pi <4$

Genauer:

$\mathrm{3,1}<\pi <\mathrm{3,2}$

Noch genauer:

$\mathrm{3,14}<\pi <\mathrm{3,15}$

Dynamische Zahlengerade: Bewege im folgenden GeoGebra-Modell den Regler. Ein Kreis mit Durchmesser $1$ wird auf dem Zahlenstrahl abgerollt und endet ungefähr bei $\mathrm{3,14}$.

Stellenwertmodell für die Näherung 3,14

Einer	Zehntel	Hundertstel
3	1	4

$\mathrm{3,14}=3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}$

Das Stellenwertmodell hilft beim Ablesen: $\mathrm{3,14}$ bedeutet drei Ganze, ein Zehntel und vier Hundertstel. Beim Experiment solltest Du nicht erwarten, immer exakt $\mathrm{3,14}$ zu erhalten, denn jede Messung hat eine begrenzte Genauigkeit.

Dynamische Geometrie: Rolle den Kreis ab

In dieser GeoGebra-Aktivität kannst Du den Durchmesser verändern und den Kreis abrollen. Beobachte, wie sich $U$ und $d$ gemeinsam verändern.

Untersuche mindestens drei Einstellungen:

1. Stelle einen kleinen Durchmesser ein und beobachte $U$.
2. Vergrößere den Durchmesser und beobachte, wie auch $U$ wächst.
3. Prüfe jeweils den Quotienten $\frac{U}{d}$.
4. Formuliere Deine Entdeckung mit einem Satz und einer Formel.

Bewegliches Fadenmodell

Die folgende GeoGebra-Aktivität veranschaulicht den Umfang wie einen Faden, der um den Kreis gelegt wird. Verändere den Durchmesser und vergleiche erneut $U$ mit $d$.

Messdaten als Diagramm

Ein Diagramm macht sichtbar, dass größere Durchmesser zu größeren Umfängen gehören. Trage auf der waagerechten Achse $d$ und auf der senkrechten Achse $U$ ein.

Beispielhafte Punkte aus der Messreihe sind:

$(\mathrm{2,3}\mid \mathrm{7,2})$, $(\mathrm{7,4}\mid \mathrm{23,3})$, $(\mathrm{8,0}\mid \mathrm{25,2})$, $(\mathrm{10,1}\mid \mathrm{31,7})$, $(\mathrm{12,0}\mid \mathrm{37,7})$, $(\mathrm{15,0}\mid \mathrm{47,1})$.

U in cm
50 |                              ●
45 |
40 |                        ●
35 |
30 |                    ●
25 |             ●  ●
20 |
15 |
10 |   ●
 5 |
 0 +------------------------------------ d in cm
    0    3    6    9    12    15

Die Punkte liegen näherungsweise auf einer Geraden durch den Ursprung. Das passt zu

$U\approx \pi \cdot d$.

Verdoppelst Du den Durchmesser ungefähr, verdoppelt sich auch der Umfang ungefähr:

$d\to 2d$

führt zu

$U\to 2U$.

Warum sind unsere Quotienten nicht genau gleich?

Beim Messen entstehen kleine Abweichungen. Typische Ursachen sind:

1. Der Faden liegt nicht genau auf dem Kreisrand.
2. Der Faden wird gedehnt oder bleibt locker.
3. Die Markierung am Faden ist zu breit.
4. Der Durchmesser wird nicht durch den Mittelpunkt gemessen.
5. Das Lineal wird schräg abgelesen.
6. Die Werte werden auf Millimeter oder Zehntelzentimeter gerundet.

Ein Wert wie $\mathrm{3,13}$ oder $\mathrm{3,16}$ kann bei einem Schulversuch also vorkommen. Entscheidend ist die Mustererkennung: Die Quotienten sammeln sich in der Nähe von $\mathrm{3,14}$.

Messgenauigkeit verbessern

Führe eine Messung mehrfach durch und vergleiche die Ergebnisse.

Beispiel für drei Umfangsmessungen desselben Gegenstands:

$\mathrm{31,6}\text{ cm},\mathrm{31,7}\text{ cm},\mathrm{31,8}\text{ cm}$

Ein sinnvoller Näherungswert ist dann ungefähr

$\mathrm{31,7}\text{ cm}$.

Wichtig ist nicht, durch „passendes“ Messen unbedingt $\mathrm{3,14}$ zu erhalten. Gute Mathematik bedeutet, Messwerte ehrlich zu dokumentieren und Abweichungen zu erklären.

Merksätze

Aussage	Mathematische Schreibweise
Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius.	$d=2r$
Pi ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser.	$\pi =\frac{U}{d}$
Pi ist ungefähr 3,14.	$\pi \approx \mathrm{3,14}$
Der Kreisumfang ist Pi-mal so groß wie der Durchmesser.	$U=\pi d$
Mit dem Radius geschrieben gilt für den Umfang:	$U=2\pi r$

Video: Pi im Überblick

Das folgende Video von Terra X plus erklärt die Bedeutung von $\pi$ und ordnet die Kreiszahl anschaulich ein.

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Als zweite Wiederholung kannst Du Dir einen kurzen Überblick zu Kreisumfang, Radius, Durchmesser und $\pi$ ansehen:

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welcher Quotient führt bei einem Kreis zur Zahl Pi? (U geteilt durch d) (!d geteilt durch U) (!U mal d) (!U plus d)

Was beschreibt der Durchmesser eines Kreises? (Eine Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand) (!Die Länge einmal um den Kreis herum) (!Eine Strecke vom Mittelpunkt bis zum Rand) (!Die Fläche innerhalb des Kreises)

Welchen Wert erwartest Du bei einer sorgfältigen Messung ungefähr für U geteilt durch d? (3,14) (!1,57) (!2,00) (!6,28)

Wie lässt sich der Umfang eines runden Gegenstands experimentell gut messen? (Mit einem Faden einmal um den Rand) (!Nur mit einem geraden Lineal quer durch den Kreis) (!Durch Zählen der Kreisflächen) (!Durch Messen einer beliebigen Sehne)

Warum ergeben Schulmessungen nicht immer genau denselben Quotienten? (Weil beim Messen kleine Abweichungen entstehen) (!Weil Pi für jeden Kreis einen anderen Wert hat) (!Weil nur große Kreise Pi besitzen) (!Weil der Durchmesser keine Länge ist)

Was geschieht ungefähr mit dem Umfang, wenn sich der Durchmesser verdoppelt? (Der Umfang verdoppelt sich) (!Der Umfang halbiert sich) (!Der Umfang bleibt gleich) (!Der Umfang vervierfacht sich immer)

Welche Formel beschreibt den Kreisumfang mit dem Durchmesser? (U gleich Pi mal d) (!U gleich d geteilt durch Pi) (!U gleich Pi plus d) (!U gleich d minus Pi)

Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm. Welcher Umfang ist näherungsweise zu erwarten? (31,4 cm) (!3,14 cm) (!13,14 cm) (!314 cm)

Welche Messung passt am besten zu einem Kreis mit Durchmesser 6 cm? (Ein Umfang von ungefähr 18,8 cm) (!Ein Umfang von ungefähr 6,0 cm) (!Ein Umfang von ungefähr 3,1 cm) (!Ein Umfang von ungefähr 60,0 cm)

Welche Aussage beschreibt Pi anschaulich am besten? (Pi gibt an wie oft der Durchmesser ungefähr in den Umfang passt) (!Pi ist immer gleich dem Radius) (!Pi ist der Durchmesser eines Einheitskreises) (!Pi ist die Anzahl der Ecken eines Kreises)

Memory

Umfang	Länge der Kreislinie
Durchmesser	Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand
Radius	Hälfte des Durchmessers
Pi	Verhältnis von Umfang zu Durchmesser
Fadenmethode	Kreisumfang durch Abwickeln messen
Quotient	Ergebnis einer Division
Näherungswert	ungefährer Zahlenwert
Messabweichung	Unterschied zwischen Messwert und idealem Wert

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Kreislinie	Umfang
Mittelpunktstrecke	Durchmesser
Halber Durchmesser	Radius
Umfang geteilt durch Durchmesser	Pi
Gerade gelegter Faden	Umfangsmessung
Ungefähr 3,14	Näherungswert für Pi

...

Kreuzworträtsel

Umfang	Welche Länge misst Du einmal rund um den Kreis?
Durchmesser	Welche Strecke geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Konstante	Wie nennt man einen Wert, der sich nicht verändert?
Kreislinie	Auf welcher Linie liegt der Umfang eines Kreises?
Messfehler	Welches Wort bezeichnet eine kleine Abweichung beim Messen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Länge einmal um einen Kreis heißt .

Die längste Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand heißt .

Für das Experiment wird der Umfang zum Beispiel mit einem gemessen.

Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist die Zahl .

Als Formel schreibt man $\pi =\frac{U}{d}$, wobei im Nenner der steht.

Für einfache Näherungsrechnungen verwenden wir häufig den Wert .

Wenn der Durchmesser größer wird, wird auch der größer.

Die Quotienten verschiedener Kreise liegen trotz kleiner Messabweichungen ungefähr beim gleichen .

Eine Ursache für unterschiedliche Ergebnisse kann eine ungenaue sein.

Aus $\pi =\frac{U}{d}$ folgt für den Kreisumfang die Beziehung $U=\pi \cdot d$; dabei wird mit dem multipliziert.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kreissuche: Finde zu Hause oder im Klassenraum fünf runde Gegenstände und fotografiere oder skizziere sie. Markiere jeweils, wo Du den Durchmesser messen würdest.
2. Fadenmessung: Miss den Umfang von drei runden Gegenständen mit einem Faden. Dokumentiere Deine Messmethode mit drei Bildern oder Skizzen.
3. Durchmessertraining: Zeichne vier unterschiedlich große Kreise und markiere bei jedem Kreis Mittelpunkt, Radius und Durchmesser.
4. Pi-Plakat: Gestalte ein Lernplakat mit den drei Kernaussagen $d=2r$, $\pi =\frac{U}{d}$ und $\pi \approx \mathrm{3,14}$.

Standard

1. Messprotokoll: Führe eine Messreihe mit mindestens sechs Kreisgegenständen durch. Berechne für jeden Kreis $\frac{U}{d}$ und kommentiere auffällige Werte.
2. Diagrammprojekt: Trage Deine Messpunkte $(d\mid U)$ in ein Koordinatensystem ein. Beschreibe, welches Muster Du erkennst.
3. Messgenauigkeit: Miss denselben Kreisumfang fünfmal. Vergleiche die Werte und erkläre, welche Arbeitsschritte die Unterschiede verursachen könnten.
4. Erklärvideo: Produziere ein ein- bis zweiminütiges Video, in dem Du mit Faden, Lineal und einem runden Gegenstand erklärst, wie man $\pi$ experimentell entdeckt.

Schwer

1. Vergleich zweier Messmethoden: Bestimme den Umfang eines Gegenstands einmal mit Faden und einmal durch Abrollen auf einer geraden Linie. Vergleiche die Ergebnisse.
2. Modellversuch: Schneide drei Papierkreise mit deutlich verschiedenen Durchmessern aus. Rolle jeden Kreisrand gedanklich oder mithilfe einer Markierung entlang einer Geraden ab und untersuche $\frac{U}{d}$.
3. Fehleranalyse: Erfinde drei typische Messfehler absichtlich, zum Beispiel einen lockeren Faden oder einen falsch gemessenen Durchmesser. Untersuche, wie sich dadurch $\frac{U}{d}$ verändert.
4. Forschungsfrage: Prüfe experimentell die Aussage „Je größer ein Kreis ist, desto näher liegt mein gemessener Quotient bei $\mathrm{3,14}$.“ Plane eine faire Untersuchung und entscheide anhand Deiner Daten, ob Deine Messreihe die Aussage stützt.

Lernkontrolle

1. Versuchsplanung: Du erhältst eine Dose, einen Faden und ein Lineal. Beschreibe einen Messplan, mit dem Du ohne vorgegebenen Pi-Wert untersuchen kannst, ob $\frac{U}{d}$ ungefähr konstant ist. Begründe jeden Schritt.
2. Daten beurteilen: Eine Gruppe misst $d=\mathrm{9,0}\text{ cm}$ und $U=\mathrm{20,0}\text{ cm}$. Erkläre anhand des erwarteten Verhältnisses, warum mindestens einer der Messwerte wahrscheinlich problematisch ist, und schlage eine Kontrollmessung vor.
3. Transfer auf große Kreise: Ein kreisförmiges Beet hat ungefähr den Durchmesser $4\text{ m}$. Schätze den Umfang mit $\pi \approx \mathrm{3,14}$ und erkläre, wie das Schulexperiment diese Rechnung begründet.
4. Diagramm deuten: In einem $d$-$U$-Diagramm liegen fast alle Messpunkte nahe einer Geraden durch den Ursprung. Erkläre, was dies über den Zusammenhang von Umfang und Durchmesser aussagt.
5. Messmethoden vergleichen: Eine Person misst den Umfang mit einem elastischen Gummiband, eine andere mit einem dünnen Baumwollfaden. Beurteile, welche Methode wahrscheinlich zuverlässiger ist, und begründe Deine Entscheidung.
6. Unbekannten Durchmesser bestimmen: Ein runder Gegenstand ist so eingebaut, dass Du seinen Durchmesser nicht direkt messen kannst. Sein Umfang beträgt ungefähr $\mathrm{62,8}\text{ cm}$. Nutze $\pi \approx \mathrm{3,14}$, um den Durchmesser zu bestimmen, und erkläre den Rechenweg ausgehend von $\pi =\frac{U}{d}$.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur $\mathrm{3,14}$ auswendig kennst, sondern die Zahl $\pi$ aus einem Versuch erklären kannst.

Bereich	Das solltest Du zeigen können
Begriffe	Umfang, Durchmesser und Radius sicher unterscheiden
Messen	$U$ und $d$ mit geeigneten Werkzeugen sorgfältig bestimmen
Dokumentieren	Messwerte mit Einheiten in einer Tabelle festhalten
Rechnen	den Quotienten $\frac{U}{d}$ korrekt berechnen
Entdecken	erkennen, dass die Quotienten verschiedener Kreise ungefähr konstant sind
Deuten	erklären, warum dieser konstante Wert $\pi$ heißt
Nähern	$\pi \approx \mathrm{3,14}$ sinnvoll verwenden und zwischen exaktem Symbol $\pi$ und Näherungswert unterscheiden
Fehleranalyse	mögliche Ursachen für Messabweichungen nennen und Verbesserungen vorschlagen
Transfer	aus $\pi =\frac{U}{d}$ die Beziehung $U=\pi d$ nutzen

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Kreiszahl bietet weiterführende Informationen. Für Klasse 6 ist besonders die geometrische Definition über Umfang und Durchmesser wichtig.

Weitere frei nutzbare Medien in diesem aiMOOC stammen aus Wikimedia Commons. Besonders hilfreich sind die Animation zum Abrollen des Umfangs und die Kreisdiagramme zu Radius, Durchmesser und Umfang.

Verknüpfte Lernbereiche

Kreiszahl Kreis Kreisumfang Durchmesser Radius Quotient Proportionalität Messen Messfehler Koordinatensystem Diagramm