M6 E - Brüche vollständig kürzen und effizient erweitern

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

M6 E - Brüche vollständig kürzen und effizient erweitern

Freie Visualisierung zum Erweitern und Kürzen von Brüchen; Wikimedia Commons.

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, Brüche nicht nur irgendwie, sondern vollständig und effizient zu kürzen und gezielt zu erweitern. Auf dem E-Niveau begründest Du Deinen Rechenweg: Warum ist ein bestimmter Teiler geschickt? Wann lohnt sich eine Primfaktorzerlegung? Wann hilft die Teilbarkeit schneller? Und wie findest Du einen Erweiterungsfaktor, ohne unnötige Zwischenschritte?

Der zentrale Gedanke lautet:

$\frac{a\cdot k}{b\cdot k}=\frac{a}{b}(b\ne 0,k\ne 0)$

Von links nach rechts wird gekürzt, von rechts nach links erweitert. Der Wert des Bruchs bleibt gleich; nur seine Darstellung ändert sich.

Gleichwertige Brüche liegen auf dem Zahlenstrahl an derselben Stelle.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Kompetenz	Das kannst Du konkret
Teilbarkeit	Du erkennst schnell gemeinsame Teiler mit Teilbarkeitsregeln.
Teilermenge	Du vergleichst Teilermengen und bestimmst daraus den ggT.
Primfaktorzerlegung	Du zerlegst größere Zahlen in Primfaktoren und erkennst gemeinsame Faktoren.
Kürzen	Du kürzt einen Bruch vollständig und weist mit $\mathrm{ggT}(a,b)=1$ nach, dass er nicht weiter kürzbar ist.
Erweitern	Du bestimmst einen passenden Erweiterungsfaktor zu einem vorgegebenen Zielnenner.
Strategie	Du vergleichst mehrere Rechenwege und begründest, welcher Weg effizient ist.

Grundidee: Gleichwertige Brüche

Beim Kürzen und Erweitern bleibt die dargestellte Zahl gleich:

$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{10}{15}=\frac{20}{30}$

Ein Bruchmodell macht sichtbar, warum das funktioniert: Werden alle Teile eines Ganzen noch einmal gleichmäßig unterteilt, entstehen mehr Stücke, aber die markierte Gesamtfläche bleibt gleich.

Bewegliche Bruchdarstellung

Verändere im GeoGebra-Modell den Ausgangsbruch und die Erweiterungszahl. Beobachte gleichzeitig Zähler, Nenner und gefärbte Fläche.

Forscherauftrag: Stelle nacheinander $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{6}$ und $\frac{5}{10}$ ein. Formuliere in einem Satz, was gleich bleibt und was sich verändert.

Dynamischer Zahlenstrahl

Brüche mit gleichem Wert müssen auf dem Zahlenstrahl denselben Punkt beschreiben. Nutze den Schieberegler und verschiebe die Brüche.

E-Niveau-Frage: Warum beweist die gleiche Lage auf dem Zahlenstrahl, dass Kürzen und Erweitern den Wert nicht verändern?

Vollständig kürzen

Vollständig gekürzt bedeutet: Zähler und Nenner besitzen außer $1$ keinen gemeinsamen Teiler mehr.

Für $\frac{a}{b}$ gilt:

$\frac{a}{b}\text{ ist vollständig gekürzt}⟺\mathrm{ggT}(a,b)=1$

Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler ist besonders effizient:

$\frac{a}{b}=\frac{a:\mathrm{ggT}(a,b)}{b:\mathrm{ggT}(a,b)}$

Weg 1: Teilbarkeit schnell nutzen

Teilbarkeitsregeln sind ein Schnelltest. Prüfe zuerst einfache gemeinsame Teiler.

Teiler	Schnelltest	Beispiel
$2$	letzte Ziffer ist gerade	$756$ und $1134$ sind beide gerade
$3$	Quersumme ist durch $3$ teilbar	$7+5+6=18$
$5$	letzte Ziffer ist $0$ oder $5$	$945$ und $1575$
$9$	Quersumme ist durch $9$ teilbar	$9+4+5=18$
$10$	letzte Ziffer ist $0$	$840$ und $1260$

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Strategie: Wenn Du sofort einen großen gemeinsamen Teiler erkennst, nutze ihn. Wenn nicht, helfen Teilermengen oder Primfaktoren.

Weg 2: Teilermengen vergleichen

Für überschaubare Zahlen kannst Du alle Teiler notieren.

$T_{84}=\{1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84\}$

$T_{126}=\{1,2,3,6,7,9,14,18,21,42,63,126\}$

Die gemeinsamen Teiler sind:

$\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist also:

$\mathrm{ggT}(84,126)=42$

Damit:

$\frac{84}{126}=\frac{84:42}{126:42}=\frac{2}{3}$

Weg 3: Primfaktoren für größere Zahlen

Jede natürliche Zahl größer als $1$ lässt sich eindeutig bis auf die Reihenfolge als Produkt von Primzahlen schreiben. Für das vollständige Kürzen sind gemeinsame Primfaktoren besonders nützlich.

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Beispiel: $\frac{756}{1134}$ vollständig kürzen

$756=2^2\cdot 3^3\cdot 7$

$1134=2\cdot 3^4\cdot 7$

Gemeinsam sind genau:

$2\cdot 3^3\cdot 7=378$

Also:

$\mathrm{ggT}(756,1134)=378$

und damit in einem einzigen großen Kürzungsschritt:

$\frac{756}{1134}=\frac{756:378}{1134:378}=\frac{2}{3}$

Da $\mathrm{ggT}(2,3)=1$, ist das Ergebnis vollständig gekürzt.

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Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Aufklappen: Warum ist $\frac{462}{1078}=\frac{3}{7}$?

Schritt	Rechnung	Gedanke
1	$462=2\cdot 3\cdot 7\cdot 11$	Zähler vollständig in Primfaktoren zerlegen.
2	$1078=2\cdot 7^2\cdot 11$	Nenner vollständig in Primfaktoren zerlegen.
3	$2\cdot 7\cdot 11=154$	Gemeinsame Primfaktoren genau einmal pro gemeinsamem Vorkommen nehmen.
4	$\frac{462}{1078}=\frac{462:154}{1078:154}=\frac{3}{7}$	Direkt mit dem ggT kürzen.
5	$\mathrm{ggT}(3,7)=1$	Vollständigkeit prüfen.

Effizient erweitern

Beim Erweitern multiplizierst Du Zähler und Nenner mit derselben Zahl:

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$

Soll der Nenner von $b$ auf einen Zielnenner $z$ gebracht werden, suchst Du:

$k=\frac{z}{b}$

Das funktioniert direkt nur, wenn $b$ ein Teiler von $z$ ist.

Beispiel: gezielt auf den Nenner 180 erweitern

Ausgangsbruch:

$\frac{7}{12}$

Gesucht ist der Faktor:

$k=\frac{180}{12}=15$

Also:

$\frac{7}{12}=\frac{7\cdot 15}{12\cdot 15}=\frac{105}{180}$

Effizienzidee: Nicht mehrfach mit $3$ und $5$ erweitern, wenn Du den Gesamtfaktor $15$ sofort erkennst.

Zielnenner über Primfaktoren planen

Bei größeren Zielnennern hilft der Vergleich der Primfaktorzerlegungen.

Beispiel:

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$

$1260=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$

Vom Nenner $84$ zum Nenner $1260$ fehlen die Faktoren:

$3\cdot 5=15$

Deshalb gilt:

$\frac{5}{84}=\frac{5\cdot 15}{84\cdot 15}=\frac{75}{1260}$

Erst kürzen, dann gezielt erweitern

Manchmal ist der gewünschte Nenner kein Vielfaches des ursprünglichen Nenners. Dann kann vollständiges Kürzen den Weg öffnen.

Beispiel: Bringe $\frac{14}{21}$ auf den Nenner $180$.

Direkt geht es nicht, denn:

$\frac{180}{21}\notin \mathbb{N}$

Aber:

$\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$

und jetzt:

$\frac{180}{3}=60$

also:

$\frac{14}{21}=\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 60}{3\cdot 60}=\frac{120}{180}$

E-Niveau-Schluss: Vor einem gezielten Erweitern lohnt sich die Frage, ob der Bruch zuerst sinnvoll gekürzt werden kann.

Brüche auf Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel bringen

Zielnenner $10$, $100$ und $1000$ verbinden Brüche mit Dezimalzahlen und dem Stellenwertsystem.

Beispiel:

$\frac{3}{20}=\frac{3\cdot 5}{20\cdot 5}=\frac{15}{100}=\mathrm{0,15}$

Aber nicht jeder vollständig gekürzte Nenner lässt sich nur durch Erweitern auf $10$, $100$ oder $1000$ bringen. Damit ein vollständig gekürzter Bruch durch Erweitern auf irgendeine Zehnerpotenz $10^n$ gebracht werden kann, darf der Nenner nur die Primfaktoren $2$ und $5$ enthalten. Für einen konkreten Zielnenner muss der Nenner zusätzlich ein Teiler dieses Zielnenners sein.

Interaktives Stellenwertmodell: Prüfe anschließend, wie Zehntel, Hundertstel und Tausendstel in einer Stellenwerttabelle zusammenhängen.

Strategie-Werkzeugkasten

Situation	Sinnvolles Werkzeug	Warum?
Kleine Zahlen, wenige Teiler	Teilermengen	Alle gemeinsamen Teiler sind schnell sichtbar.
Gerade Zahlen oder auffällige Quersummen	Teilbarkeitsregeln	Ein gemeinsamer Faktor wird ohne vollständige Zerlegung erkannt.
Große Zahlen mit verstecktem gemeinsamen Faktor	Primfaktorzerlegung	Gemeinsame Primfaktoren liefern den ggT systematisch.
Vorgegebener Zielnenner	Quotient $z:b$	Der Erweiterungsfaktor wird direkt bestimmt.
Zielnenner nicht direkt erreichbar	Erst vollständig kürzen	Ein kleinerer Nenner kann Teiler des Zielnenners sein.
Vergleich mehrerer Brüche	geeigneter gemeinsamer Nenner	Primfaktoren helfen, unnötig große Nenner zu vermeiden.

Optimierungsaufgabe 1: Welcher Weg ist kürzer?

Kürze $\frac{945}{1575}$ vollständig.

Weg A: Schrittweise durch $5$, dann durch $3$, dann erneut durch $3$ und $7$ kürzen.

Weg B: Primfaktoren bestimmen:

$945=3^3\cdot 5\cdot 7$

$1575=3^2\cdot 5^2\cdot 7$

Daraus:

$\mathrm{ggT}(945,1575)=3^2\cdot 5\cdot 7=315$

und:

$\frac{945}{1575}=\frac{3}{5}$

Deine Begründung: Weg B ist hier effizienter, weil der größte gemeinsame Teiler direkt gefunden wird und nur ein Kürzungsschritt nötig ist.

Optimierungsaufgabe 2: Der kleinste sinnvolle Umweg

Ziel: Stelle $\frac{28}{42}$ mit dem Nenner $300$ dar.

Zuerst vollständig kürzen:

$\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$

Dann gezielt erweitern:

$300:3=100$

$\frac{2}{3}=\frac{200}{300}$

Warum effizient? Ein direktes Erweitern von $42$ auf $300$ ist unmöglich. Das vollständige Kürzen erzeugt einen Nenner, der den Zielnenner teilt.

Optimierungsaufgabe 3: Fehlerdiagnose

Ein Schüler schreibt:

$\frac{36}{54}=\frac{18}{27}=\frac{6}{9}=\frac{3}{4}$

Bis $\frac{6}{9}$ ist der Weg richtig. Der letzte Schritt ist falsch, denn Zähler und Nenner wurden nicht durch dieselbe Zahl geteilt.

Richtig ist:

$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Kontrollfrage: Prüfe zusätzlich mit Dezimalzahlen oder einem Bruchmodell, warum $\frac{3}{4}$ nicht gleichwertig ist.

Medienwerkstatt: Sehen, bewegen, begründen

Bruchkreis-Auftrag: Beschreibe zuerst nur, was Du siehst. Formuliere danach einen passenden Bruch und erzeuge zwei gleichwertige Brüche durch Erweitern.

Streifentafel-Auftrag: Stelle einen Bruch ein und suche mindestens drei gleichwertige Darstellungen. Notiere jedes Mal den Erweiterungs- oder Kürzungsfaktor.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist ein Bruch vollständig gekürzt? (Wenn der ggT von Zähler und Nenner 1 ist) (!Wenn der Nenner eine Primzahl ist) (!Wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist) (!Wenn Zähler und Nenner gerade sind)

Mit welchem Faktor wird der Bruch 7/12 auf den Nenner 180 erweitert? (15) (!12) (!18) (!168)

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 84 und 126? (42) (!21) (!14) (!6)

Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 180? (180 = 2 mal 2 mal 3 mal 3 mal 5) (!180 = 2 mal 3 mal 5) (!180 = 2 mal 2 mal 2 mal 3 mal 5) (!180 = 2 mal 2 mal 3 mal 5 mal 5)

Welcher Bruch ist zu 18/30 vollständig gekürzt gleichwertig? (3/5) (!6/15) (!9/10) (!2/5)

Warum darf man beim Kürzen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen? (Der Wert des Bruchs bleibt dadurch gleich) (!Der Nenner muss immer kleiner werden als der Zähler) (!Jeder Bruch wird dadurch zu einer ganzen Zahl) (!Die beiden Zahlen werden dadurch automatisch Primzahlen)

Welcher Weg bringt 14/21 effizient auf den Nenner 180? (Zuerst auf 2/3 kürzen und dann mit 60 erweitern) (!Direkt mit 21 erweitern) (!Nur den Nenner mit 60 multiplizieren) (!Zähler und Nenner jeweils um 159 erhöhen)

Welche Aussage über einen Zielnenner z und einen Nenner b ist für direktes Erweitern richtig? (b muss ein Teiler von z sein) (!z muss ein Teiler von b sein) (!b und z müssen Primzahlen sein) (!b und z müssen gleich groß sein)

Welche Methode zeigt bei großen Zahlen systematisch alle gemeinsamen Primfaktoren? (Primfaktorzerlegung) (!Runden) (!Subtrahieren) (!Stellenwerttafel)

Warum ist Kürzen mit dem ggT besonders effizient? (Weil der Bruch damit in einem Schritt vollständig gekürzt wird) (!Weil der Nenner danach immer 10 ist) (!Weil man dabei nur den Zähler verändert) (!Weil jeder ggT eine Primzahl ist)

Memory

vollständig gekürzt	ggT von Zähler und Nenner ist 1
Erweiterungsfaktor	multipliziert Zähler und Nenner mit derselben Zahl
Kürzungszahl	gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner
Primfaktorzerlegung	Produkt aus Primzahlen
Teilermenge	enthält alle positiven Teiler einer Zahl
Zielnenner	gewünschter Nenner nach dem Erweitern
gleichwertige Brüche	verschiedene Brüche mit demselben Wert

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Teilbarkeitsregel	Schneller Test auf einen möglichen gemeinsamen Teiler
Teilermenge	Geeignet für überschaubare Zahlen mit wenigen Teilern
Primfaktorzerlegung	Systematischer Weg bei größeren Zahlen
ggT	Größte mögliche Kürzungszahl
Erweiterungsfaktor	Quotient aus Zielnenner und aktuellem Nenner

Kreuzworträtsel

Primzahl	Wie heißt eine natürliche Zahl größer als eins, die nur eins und sich selbst als positive Teiler hat?
Kürzen	Wie heißt das Dividieren von Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Teiler	Wie heißt eine Zahl, durch die eine andere Zahl ohne Rest dividiert werden kann?
Faktor	Wie heißt eine Zahl, mit der beim Erweitern Zähler und Nenner multipliziert werden?
teilerfremd	Wie nennt man zwei Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler eins ist?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch denselben dividiert.

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn der größte gemeinsame Teiler ist.

Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben multipliziert.

Eine Primfaktorzerlegung schreibt eine Zahl als Produkt aus .

Die Quersumme hilft besonders beim Prüfen der Teilbarkeit durch .

Der größte gemeinsame Teiler ist die größte mögliche .

Ein Zielnenner kann direkt erreicht werden, wenn der alte Nenner ein des Zielnenners ist.

Der Erweiterungsfaktor ergibt sich aus Zielnenner geteilt durch aktuellen .

Gleichwertige Brüche liegen auf dem Zahlenstrahl am selben .

Vor dem gezielten Erweitern kann vollständiges den Rechenweg verkürzen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchmodell zeichnen: Zeichne $\frac{3}{4}$ als Rechteckmodell und unterteile jedes Viertel noch einmal in zwei gleich große Teile. Notiere den dadurch entstandenen gleichwertigen Bruch.
2. Teilbarkeit prüfen: Untersuche die Zahlenpaare $48$ und $72$, $75$ und $120$ sowie $77$ und $121$. Notiere jeweils einen gemeinsamen Teiler und begründe ihn mit einer Teilbarkeitsregel.
3. Teilermengen erstellen: Bestimme $T_{36}$ und $T_{54}$. Markiere alle gemeinsamen Teiler und bestimme den ggT.
4. Zielnenner finden: Erweitere $\frac{5}{8}$ auf die Nenner $40$, $120$ und $1000$. Notiere jeweils den Erweiterungsfaktor.

Standard

1. Faktorbaum gestalten: Erstelle einen Faktorbaum für $360$ und für $540$. Bestimme daraus den ggT und kürze $\frac{360}{540}$ vollständig.
2. Rechenwege vergleichen: Kürze $\frac{432}{756}$ einmal schrittweise mit kleinen Teilern und einmal über Primfaktoren. Vergleiche die Anzahl Deiner Rechenschritte.
3. Gleichwertigkeit zeigen: Stelle $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{6}$ und $\frac{10}{15}$ auf demselben Zahlenstrahl dar. Begründe, warum nur ein Punkt markiert werden muss.
4. Fehler erklären: Erfinde zwei typische falsche Kürzungsrechnungen und erkläre jeweils schriftlich, welche Regel verletzt wurde und wie die Rechnung korrekt lautet.

Schwer

1. Optimierungsduell: Finde für $\frac{924}{1386}$ mindestens zwei vollständige Kürzungswege. Bewerte sie nach Rechenaufwand, Fehlerrisiko und Nachvollziehbarkeit.
2. Erreichbare Zielnenner: Entscheide für $\frac{18}{42}$, welche der Nenner $35$, $70$, $120$, $210$ und $250$ nach vorherigem vollständigem Kürzen erreichbar sind. Begründe jede Entscheidung.
3. Primfaktor-Code: Entwickle eine eigene Farbcodierung für Primfaktoren und visualisiere damit, wie aus $\frac{840}{1260}$ der vollständig gekürzte Bruch entsteht. Erstelle dazu ein Poster, eine Animation oder ein kurzes Erklärvideo.
4. Strategieregel formulieren: Formuliere eine allgemeine Regel dafür, wann Du beim gezielten Erweitern zuerst kürzen solltest. Prüfe Deine Regel an drei selbst gewählten Beispielen und einem Gegenbeispiel.

Lernkontrolle

1. Strategie begründen: Für $\frac{693}{1155}$ stehen die Methoden „Teilermengen“, „schrittweise kürzen“ und „Primfaktorzerlegung“ zur Wahl. Entscheide Dich für eine Methode, führe sie aus und begründe, warum sie hier effizient ist.
2. Zielnenner planen: Ein Bruch hat die vollständig gekürzte Form $\frac{7}{12}$. Er soll einen Nenner zwischen $200$ und $260$ erhalten. Finde alle möglichen Zielnenner in diesem Bereich und begründe systematisch.
3. Behauptung prüfen: „Wenn zwei Zahlen beide durch 3 teilbar sind, ist 3 immer ihr ggT.“ Widerlege die Aussage mit einem Beispiel und formuliere eine korrekte Aussage.
4. Bruchmodell erklären: Eine Fläche ist zu $\frac{3}{5}$ gefärbt. Entwickle zwei unterschiedliche Unterteilungen, die zu zwei verschiedenen gleichwertigen Brüchen führen. Erkläre, warum die gefärbte Fläche gleich bleibt.
5. Primfaktoren nutzen: Ohne schriftliche Division: Entscheide, ob $\frac{2^3\cdot 3^2\cdot 5}{2^2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7}$ kürzbar ist, kürze vollständig und begründe, warum keine weitere Kürzung möglich ist.
6. Rechenweg bewerten: Zwei Lernende bringen $\frac{28}{42}$ auf den Nenner $300$. Person A probiert mehrere Erweiterungsfaktoren, Person B kürzt zuerst vollständig. Vergleiche beide Strategien und begründe, welche verlässlicher ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse angibst, sondern Deine Strategie sichtbar machst.

1. Du kannst Brüche vollständig kürzen und die Vollständigkeit mit $\mathrm{ggT}(a,b)=1$ begründen.
2. Du kannst Teilbarkeitsregeln gezielt einsetzen, statt wahllos mögliche Teiler zu testen.
3. Du kannst Teilermengen bei geeigneten Zahlen bilden und daraus den ggT bestimmen.
4. Du kannst größere Zahlen in Primfaktoren zerlegen und gemeinsame Faktoren erkennen.
5. Du kannst einen Erweiterungsfaktor aus aktuellem Nenner und Zielnenner bestimmen.
6. Du kannst entscheiden, ob ein Zielnenner direkt erreichbar ist oder ob vorheriges Kürzen sinnvoll ist.
7. Du kannst gleichwertige Brüche mit Bruchmodell und Zahlenstrahl erklären.
8. Du kannst verschiedene Rechenwege hinsichtlich Effizienz, Fehlerrisiko und Nachvollziehbarkeit vergleichen.

OERs zum Thema

Weiterführende freie oder öffentlich zugängliche Lernressourcen:

1. Bruchrechnung
2. Primfaktorzerlegung
3. Größter gemeinsamer Teiler
4. Wikimedia Commons: Erweitern und Kürzen
5. Wikimedia Commons: Gleichwertige Brüche am Zahlenstrahl
6. Wikimedia Commons: Faktorbaum 42
7. GeoGebra: Teilbarkeit und Primfaktoren
8. GeoGebra: Brüche erweitern

Medienhinweis: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien verweisen über ihre Dateiseiten auf Urheber und freie Lizenz. YouTube-Videos werden nur über den Standard-Player eingebettet; GeoGebra-Materialien werden als externe interaktive Lernressourcen eingebunden.

Verknüpfte Lernbereiche

Bruchrechnung Bruch Kürzen Erweitern Teilbarkeit Teiler Vielfache Primzahl Primfaktorzerlegung Größter gemeinsamer Teiler Kleinstes gemeinsames Vielfaches Zahlenstrahl Dezimalzahl