M6 E - Antiproportionale Aufgaben mit Dreisatz lösen

Einleitung

Bei vielen Sachaufgaben gilt: Je mehr von der einen Größe vorhanden ist, desto weniger wird von der anderen Größe benötigt. Wenn eine feste Arbeitsmenge von mehr gleich schnellen Personen erledigt wird, sinkt zum Beispiel die benötigte Zeit. Wenn ein Fahrzeug für eine feste Strecke schneller fährt, verkürzt sich die Fahrzeit. Solche Zusammenhänge heißen antiproportionale Zuordnungen oder umgekehrt proportionale Zuordnungen.

In diesem aiMOOC lernst Du, solche Situationen sicher zu erkennen, mit einem antiproportionalen Dreisatz zu lösen, den Rechenweg zu begründen und von einem proportionalen Dreisatz zu unterscheiden. Auf E-Niveau reicht es nicht, nur eine Rechnung aufzuschreiben: Du sollst erklären können, warum sich die zweite Größe umgekehrt verändert.

Ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung: Bleibt die Fläche gleich, werden Länge und Breite gegensinnig verändert. Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons, Daniel5Ko, CC BY-SA 4.0

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

antiproportionale Zusammenhänge in Sachtexten erkennen und begründen.
den Zusammenhang $x \cdot y = k$ als Produktgleichheit verwenden.
antiproportionale Sachaufgaben mit einem Dreisatz systematisch lösen.
die Rechenschritte über den Weg auf 1 und anschließend auf die gesuchte Anzahl erklären.
proportionale und antiproportionale Dreisatzwege unterscheiden.
Ergebnisse mit einer Überschlags-, Produkt- und Plausibilitätsprobe überprüfen.
Voraussetzungen eines Modells nennen, zum Beispiel gleiche Arbeitsgeschwindigkeit oder eine fest vorgegebene Strecke.

Grundidee: Was bedeutet antiproportional?

Bei einer antiproportionalen Zuordnung verändern sich zwei Größen entgegengesetzt mit demselben Faktor.

Wird eine Größe mit $2$ multipliziert, wird die andere durch $2$ geteilt:

$x \to 2 x$

$y \to \frac{y}{2}$

Wird eine Größe mit $3$ multipliziert, wird die andere durch $3$ geteilt:

$x \to 3 x$

$y \to \frac{y}{3}$

Das Produkt zusammengehöriger Werte bleibt gleich:

$x \cdot y = k$

Die Zahl $k$ ist konstant. Deshalb gilt auch:

$y = \frac{k}{x}$

Merksatz: Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt nicht der Quotient, sondern das Produkt der zusammengehörigen Größen gleich.

Anzahl Arbeiter	Arbeitszeit in Stunden	Produkt
$2$	$24$	$2 \cdot 24 = 48$
$3$	$16$	$3 \cdot 16 = 48$
$4$	$12$	$4 \cdot 12 = 48$
$6$	$8$	$6 \cdot 8 = 48$
$8$	$6$	$8 \cdot 6 = 48$

Hier beträgt die feste Arbeitsmenge $48$ Arbeiterstunden.

Visuelles Arbeitsmodell

Stell Dir die gesamte Arbeit als feste Menge von 48 Arbeitsbausteinen vor.

Team	Verteilung der 48 Arbeitsbausteine	Zeit pro Personengruppe
2 Arbeiter	$48 : 2 = 24$	24 Stunden
4 Arbeiter	$48 : 4 = 12$	12 Stunden
6 Arbeiter	$48 : 6 = 8$	8 Stunden
8 Arbeiter	$48 : 8 = 6$	6 Stunden

Je mehr gleich schnelle Arbeiter dieselbe feste Arbeitsmenge teilen, desto kleiner wird der Zeitanteil.

Maschinen- und Arbeitsmodelle eignen sich gut für antiproportionale Aufgaben, wenn die Leistung je Arbeiter oder Maschine gleich bleibt. Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons, Shixart1985, CC BY 2.0

Wann ist eine Situation wirklich antiproportional?

Die Formulierung „je mehr, desto weniger“ ist nur ein Hinweis. Du musst zusätzlich prüfen, ob die Situation tatsächlich durch ein konstantes Produkt beschrieben werden kann.

Eine antiproportionale Modellierung ist sinnvoll, wenn zum Beispiel:

dieselbe Arbeitsmenge erledigt wird.
alle Arbeiter oder Maschinen gleich schnell arbeiten.
eine feste Strecke zurückgelegt wird.
eine feste Menge Futter, Wasser oder Material verteilt wird.
sich die Leistung beim Hinzufügen weiterer Arbeiter oder Maschinen nicht verändert.

Nicht jede Alltagssituation erfüllt diese Voraussetzungen. Zehn Personen erledigen eine Aufgabe nicht automatisch exakt doppelt so schnell wie fünf Personen. In der Wirklichkeit können Absprachen, Wartezeiten oder begrenzte Arbeitsplätze eine Rolle spielen. In einer Schulaufgabe wird häufig ein idealisiertes Modell verwendet.

Der antiproportionale Dreisatz

Der antiproportionale Dreisatz führt meist zuerst auf 1 und danach auf die gesuchte Anzahl.

Beispiel: Vier Arbeiter benötigen für eine Aufgabe 15 Stunden. Wie lange benötigen sechs gleich schnelle Arbeiter?

Arbeiter	Zeit	Veränderung
$4$	$15 h$	Ausgangssituation
$1$	$15 \cdot 4 = 60 h$	Arbeiterzahl durch 4, Zeit mal 4
$6$	$60 : 6 = 10 h$	Arbeiterzahl mal 6, Zeit durch 6

Der entscheidende Gedanke lautet:

$4 \cdot 15 = 60$

$6 \cdot 10 = 60$

Das Produkt bleibt gleich.

Warum wird beim Schritt auf 1 multipliziert?

Wenn vier Arbeiter 15 Stunden benötigen, muss ein einzelner Arbeiter im idealisierten Modell viermal so lange arbeiten:

$15 h \cdot 4 = 60 h$

Weniger Arbeiter bedeuten mehr Zeit. Deshalb läuft die Rechnung in der zweiten Spalte entgegengesetzt.

Vom einen Arbeiter zu sechs Arbeitern steigt die Arbeiterzahl mit dem Faktor $6$ . Die Zeit wird deshalb durch $6$ geteilt:

$60 h : 6 = 10 h$

Aufklappbarer Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Schritt 1: Größen benennen
Größe 1: Anzahl der Arbeiter. Größe 2: Arbeitszeit.

Schritt 2: Zusammenhang prüfen
Mehr gleich schnelle Arbeiter teilen dieselbe Arbeitsmenge. Deshalb wird die benötigte Zeit kleiner. Das Modell ist antiproportional.

Schritt 3: Auf 1 rechnen
$15 \cdot 4 = 60$ . Ein Arbeiter würde 60 Stunden benötigen.

Schritt 4: Auf 6 rechnen
$60 : 6 = 10$ . Sechs Arbeiter benötigen 10 Stunden.

Schritt 5: Probe
$4 \cdot 15 = 60$ und $6 \cdot 10 = 60$ . Beide Produkte stimmen überein.

Video: Antiproportionaler Dreisatz

Das Video zeigt antiproportionale Dreisatzaufgaben anhand von Textaufgaben und Zuordnungstabellen. Stoppe das Video zwischendurch und rechne einzelne Schritte selbst, bevor Du die Lösung ansiehst.

Ein festes Lösungsschema

Nutze bei Sachaufgaben immer dieselbe Reihenfolge.

Schritt	Leitfrage	Mathematische Handlung
1. Größen finden	Welche zwei Größen werden verglichen?	Größen mit Einheit notieren.
2. Zusammenhang entscheiden	Werden beide Größen gemeinsam größer oder verändert sich eine entgegengesetzt?	proportional oder antiproportional begründen.
3. Auf 1 rechnen	Was würde bei genau einer Einheit gelten?	Bei antiproportionalen Aufgaben wird die zweite Größe mit der Ausgangsanzahl multipliziert.
4. Auf den Zielwert rechnen	Wie komme ich von 1 zur gesuchten Anzahl?	Die zweite Größe wird durch die Zielanzahl geteilt.
5. Prüfen	Ist das Ergebnis sinnvoll?	Produktprobe und Plausibilitätsprobe durchführen.

Kurzform für antiproportionale Aufgaben:

$gesuchter Wert = \frac{Ausgangsanzahl \cdot Ausgangswert}{neue Anzahl}$

Maschinenbeispiel

Drei gleich schnelle Maschinen stellen eine Bestellung in 8 Stunden her. Wie lange benötigen vier Maschinen?

Ein Drucker- beziehungsweise Maschinenmodell macht sichtbar: Mehr gleich schnelle Geräte können dieselbe feste Produktionsmenge in kürzerer Zeit bearbeiten. Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons, Public Domain

Schritt 1: Die Größen sind Maschinenanzahl und Arbeitszeit.

Schritt 2: Mehr Maschinen bedeuten bei gleicher Leistung pro Maschine weniger Zeit. Das ist antiproportional.

Schritt 3: Auf eine Maschine

$8 h \cdot 3 = 24 h$

Schritt 4: Auf vier Maschinen

$24 h : 4 = 6 h$

Probe

$3 \cdot 8 = 24$

$4 \cdot 6 = 24$

Antwort: Vier Maschinen benötigen 6 Stunden.

Wasserhahnbeispiel

Vier gleich starke Wasserhähne füllen ein Becken in 30 Minuten. Wie lange benötigen sechs gleich starke Wasserhähne?

Mehr gleich starke Wasserhähne verkürzen bei gleichem Beckenvolumen die Füllzeit. Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons, Gausanchennai, CC BY-SA 4.0

Die feste Größe ist die gesamte Wassermenge des Beckens.

$4 \cdot 30 = 120$

Ein Wasserhahn würde im Modell benötigen:

$30 m i n \cdot 4 = 120 m i n$

Sechs Wasserhähne benötigen:

$120 m i n : 6 = 20 m i n$

Probe:

$6 \cdot 20 = 120$

Antwort: Sechs Wasserhähne benötigen 20 Minuten.

Geschwindigkeit und Fahrzeit

Auch Geschwindigkeit und Fahrzeit können antiproportional sein, wenn die Strecke fest bleibt.

Ein Fahrzeug fährt eine Strecke von 180 km.

Bei fester Strecke führt eine höhere Geschwindigkeit im idealisierten Modell zu einer kürzeren Fahrzeit. Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons, Robertbeers, CC BY-SA 4.0

Bei $60 k m / h$ beträgt die Fahrzeit:

$180 : 60 = 3 h$

Bei $90 k m / h$ beträgt die Fahrzeit:

$180 : 90 = 2 h$

Produktprobe:

$60 \cdot 3 = 180$

$90 \cdot 2 = 180$

Hier ist das konstante Produkt die Strecke:

$v \cdot t = s$

Wichtig: Ohne feste Strecke sind Geschwindigkeit und Fahrzeit nicht automatisch antiproportional.

Zeit ist bei vielen antiproportionalen Sachaufgaben die zweite Größe. Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons, badaman, CC0

Futtervorrat als Teilungsmodell

Ein Futtervorrat reicht für 12 Tiere genau 10 Tage. Wie lange reicht derselbe Vorrat für 15 Tiere, wenn jedes Tier pro Tag gleich viel frisst?

Das konstante Produkt ist:

$12 \cdot 10 = 120$

Das kannst Du als 120 Tier-Tage deuten.

Für 15 Tiere gilt:

$120 : 15 = 8$

Antwort: Der Vorrat reicht 8 Tage.

Tiere	Tage	Produkt
$12$	$10$	$120$
$15$	$8$	$120$

Proportional oder antiproportional?

Der wichtigste Unterschied liegt in der Richtung der Veränderung und in der passenden Konstante.

Merkmal	Proportional	Antiproportional
Veränderung	mehr führt zu mehr	mehr führt zu weniger
gleicher Faktor	beide Größen werden mit demselben Faktor multipliziert	eine Größe wird multipliziert, die andere durch denselben Faktor geteilt
Konstante	Quotient bleibt gleich	Produkt bleibt gleich
Rechenidee	$\frac{y}{x} = k$	$x \cdot y = k$
Funktionsform	$y = k x$	$y = \frac{k}{x}$
typischer Graph	Gerade durch den Ursprung	Hyperbel

Zwei Dreisatzwege im direkten Vergleich

Proportionales Beispiel: Drei Hefte kosten 6 Euro. Was kosten fünf Hefte?

Hefte	Preis	Rechenschritt
$3$	$6 €$	Ausgangswert
$1$	$6 : 3 = 2 €$	beide Größen werden kleiner
$5$	$2 \cdot 5 = 10 €$	beide Größen werden größer

Antiproportionales Beispiel: Drei Arbeiter benötigen 8 Stunden. Wie lange benötigen vier Arbeiter?

Arbeiter	Zeit	Rechenschritt
$3$	$8 h$	Ausgangswert
$1$	$8 \cdot 3 = 24 h$	Arbeiter weniger, Zeit mehr
$4$	$24 : 4 = 6 h$	Arbeiter mehr, Zeit weniger

Unterschied beim Schritt auf 1:

Proportional:

$6 : 3 = 2$

Antiproportional:

$8 \cdot 3 = 24$

Gerade dieser Schritt zeigt, ob Du den Zusammenhang wirklich verstanden hast.

Video: proportional und umgekehrt proportional vergleichen

Achte beim Anschauen besonders darauf, wie sich die Rechenrichtung im Dreisatz verändert.

Graphische Vorstellung

Eine antiproportionale Zuordnung kann als Funktion

$y = \frac{k}{x}$

geschrieben werden. Für positive Sachgrößen liegt der für uns wichtige Teil des Graphen im ersten Quadranten.

Graph einer umgekehrt proportionalen Funktion. Quelle und Lizenz: Wikimedia Commons, Dokus 91, CC0

Je größer $x$ wird, desto kleiner wird $y$ . Die Werte erreichen die Achsen im mathematischen Modell nicht, sondern nähern sich ihnen an.

Für Klasse 6 ist vor allem wichtig:

$x \cdot y = k$

und

$y = \frac{k}{x}$

Dynamisches GeoGebra-Modell

Mit dem folgenden dynamischen Modell kannst Du Werte verändern und beobachten, wie sich die zugehörige Größe und der Graph verändern.

Prüfe mit dem Schieberegler oder den veränderbaren Zahlen:

Was passiert mit $y$ , wenn Du $x$ verdoppelst?
Was passiert mit $y$ , wenn Du $x$ halbierst?
Bleibt das Produkt $x \cdot y$ konstant?
Wie verändert sich die Lage der Punkte im Diagramm?

Dynamischer Vergleich mit proportionaler Zuordnung

Zum direkten Vergleich kannst Du eine proportionale Zuordnung untersuchen:

Vergleiche die beiden Modelle. Bei der proportionalen Zuordnung bleibt der Quotient konstant, bei der antiproportionalen das Produkt.

Visuelle Faktor-Pfeile

Bei antiproportionalen Zuordnungen zeigen die Faktor-Pfeile in entgegengesetzte Rechenrichtungen.

Beispiel:

$4 ⟶ 8$

Die erste Größe wird mit $2$ multipliziert:

$4 \cdot 2 = 8$

Dann muss die zweite Größe durch $2$ geteilt werden:

$18 : 2 = 9$

Also:

$4 \cdot 18 = 8 \cdot 9 = 72$

Als Pfeilschema:

Größe A	Faktor	Größe B
$4$	$\times 2$	$8$
$18$	$\div 2$	$9$

Bei einer proportionalen Zuordnung würde in beiden Zeilen derselbe Rechenpfeil stehen.

Typische Fehler und ihre Korrektur

Fehler	Warum falsch?	Bessere Strategie
Beide Größen mit demselben Faktor multiplizieren	Das wäre ein proportionaler Zusammenhang.	Bei antiproportionalen Aufgaben den Gegenfaktor verwenden.
Nur auf Wörter wie „mehr“ und „weniger“ achten	Nicht jede solche Situation ist exakt antiproportional.	Prüfen, ob eine feste Gesamtmenge vorliegt.
Einheiten vergessen	Zahlen ohne Einheit können falsch gedeutet werden.	Jede Größe mit passender Einheit notieren.
Ergebnis nicht prüfen	Ein Rechenfehler bleibt unbemerkt.	Produktprobe und Plausibilitätsprobe verwenden.
Arbeitsleistung als automatisch gleich annehmen	In echten Situationen arbeiten Menschen oder Maschinen nicht immer exakt gleich schnell.	Die Modellannahme ausdrücklich nennen.

Fehlerdetektiv

Vier Pumpen leeren ein Becken in 18 Minuten. Jemand rechnet für sechs Pumpen:

$18 : 4 = 4,5$

$4,5 \cdot 6 = 27$

Das Ergebnis 27 Minuten kann nicht stimmen, denn mehr Pumpen müssten die Zeit verkürzen.

Richtig ist:

$18 \cdot 4 = 72$

$72 : 6 = 12$

Probe:

$4 \cdot 18 = 72$

$6 \cdot 12 = 72$

Anspruchsvollere Sachprobleme

Beispiel 1: Baustelle

Fünf gleich schnelle Personen brauchen für eine Arbeit 14 Stunden. Nach derselben Modellannahme arbeiten nun sieben Personen.

$5 \cdot 14 = 70$

$70 : 7 = 10$

Ergebnis: Sieben Personen benötigen 10 Stunden.

Plausibilitätskontrolle: Die Personenzahl steigt von 5 auf 7, deshalb muss die Zeit kleiner als 14 Stunden werden. Das Ergebnis 10 Stunden passt.

Beispiel 2: Druckauftrag

Sechs gleich schnelle Drucker benötigen für einen festen Auftrag 35 Minuten. Zwei Drucker fallen aus. Wie lange benötigen die vier übrigen Drucker?

Feste Druckarbeit:

$6 \cdot 35 = 210$

Neue Zeit:

$210 : 4 = 52,5$

Ergebnis: Vier Drucker benötigen 52,5 Minuten, also 52 Minuten und 30 Sekunden.

Kontrolle: Weniger Drucker bedeuten mehr Zeit. Das Ergebnis ist also plausibel.

Beispiel 3: Klassenfahrt und Lebensmittelvorrat

Ein Lebensmittelvorrat reicht für 24 Personen 5 Tage. Wegen Krankheit fahren nur 20 Personen mit. Wie lange würde der Vorrat bei gleichem Verbrauch pro Person reichen?

$24 \cdot 5 = 120$

$120 : 20 = 6$

Ergebnis: Der Vorrat reicht 6 Tage.

E-Niveau: Zusammenhänge begründen

Auf E-Niveau sollst Du eine Rechnung nicht nur durchführen, sondern mathematisch begründen.

Eine gute Begründung kann so aussehen:

„Die Gesamtarbeit bleibt gleich. Wenn mehr gleich schnelle Arbeiter eingesetzt werden, verteilt sich dieselbe Arbeitsmenge auf mehr Personen. Deshalb sinkt die benötigte Zeit im gleichen Verhältnis. Das Produkt aus Arbeiterzahl und Arbeitszeit bleibt konstant.“

Mathematisch:

$a_{1} \cdot t_{1} = a_{2} \cdot t_{2}$

Daraus folgt:

$t_{2} = \frac{a_{1} \cdot t_{1}}{a_{2}}$

Beispiel:

$t_{2} = \frac{4 \cdot 15}{6} = 10$

Drei Arten der Kontrolle

1. Plausibilitätsprobe

Mehr Arbeiter müssen bei gleicher Leistung und gleicher Arbeit zu weniger Zeit führen.

2. Produktprobe

$x_{1} \cdot y_{1} = x_{2} \cdot y_{2}$

3. Rückwärtsprobe

Wenn sechs Arbeiter 10 Stunden benötigen, müsste bei vier Arbeitern gelten:

$6 \cdot 10 : 4 = 15$

Damit erhältst Du wieder den Ausgangswert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welche Aussage beschreibt eine antiproportionale Zuordnung? (Wird eine Größe verdoppelt wird die andere halbiert) (!Werden beide Größen verdoppelt) (!Bleibt jede Größe immer unverändert) (!Werden beide Größen um denselben Betrag vergrößert)

Welche Größe bleibt bei einer antiproportionalen Zuordnung konstant? (Das Produkt der zusammengehörigen Werte) (!Die Summe der zusammengehörigen Werte) (!Die Differenz der zusammengehörigen Werte) (!Der Quotient der zweiten durch die erste Größe)

Vier Arbeiter benötigen zwölf Stunden. Wie lange benötigen im idealisierten Modell sechs Arbeiter? (Acht Stunden) (!Sechs Stunden) (!Achtzehn Stunden) (!Zwölf Stunden)

Warum wird beim antiproportionalen Dreisatz beim Schritt von vier Arbeitern auf einen Arbeiter die Zeit mit vier multipliziert? (Weil ein Arbeiter für dieselbe Arbeit viermal so lange braucht) (!Weil weniger Arbeiter immer weniger Zeit benötigen) (!Weil beide Größen proportional wachsen) (!Weil man beim Dreisatz immer multiplizieren muss)

Woran erkennst Du eine antiproportionale Wertetabelle besonders sicher? (Die Produkte zusammengehöriger Werte sind gleich) (!Die Summen jeder Zeile sind gleich) (!Die erste Spalte enthält nur gerade Zahlen) (!Die Werte der zweiten Spalte werden immer größer)

Drei Maschinen benötigen acht Stunden. Welche Rechnung führt zuerst auf eine Maschine? (Acht mal drei) (!Acht geteilt durch drei) (!Drei geteilt durch acht) (!Acht plus drei)

Wann sind Geschwindigkeit und Fahrzeit antiproportional? (Wenn die zurückgelegte Strecke fest bleibt) (!Wenn sich die Strecke beliebig verändert) (!Wenn die Fahrzeit immer gleich bleibt) (!Wenn die Geschwindigkeit null ist)

Was unterscheidet den proportionalen vom antiproportionalen Dreisatz? (Beim antiproportionalen Dreisatz laufen die Faktoren entgegengesetzt) (!Beim antiproportionalen Dreisatz gibt es keine Einheiten) (!Beim proportionalen Dreisatz wird nie geteilt) (!Beide Dreisatzwege sind immer identisch)

Sechs Drucker brauchen dreißig Minuten. Wie lange brauchen im Modell drei gleich schnelle Drucker? (Sechzig Minuten) (!Fünfzehn Minuten) (!Neunzig Minuten) (!Dreißig Minuten)

Welche Probe eignet sich besonders für eine antiproportionale Aufgabe? (Die Produkte von Ausgangs- und Zielwert vergleichen) (!Nur die beiden ersten Zahlen addieren) (!Alle Zahlen auf ganze Zahlen runden) (!Die Einheiten weglassen)

Memory

Antiproportional	Produkt konstant
Proportional	Quotient konstant
Mehr Arbeiter	Weniger Arbeitszeit
Feste Strecke	Geschwindigkeit mal Fahrzeit
Dreisatz	Auf eins und weiter
Hyperbel	Graph der umgekehrten Proportionalität
Plausibilitätsprobe	Ergebnis sinnvoll prüfen
Arbeiterstunden	Arbeitsmenge im Modell

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Produktgleichheit	Kennzeichen der antiproportionalen Zuordnung
Quotientengleichheit	Kennzeichen der proportionalen Zuordnung
Mehr gleich schnelle Maschinen	Kürzere Bearbeitungszeit
Weniger gleich schnelle Arbeiter	Längere Arbeitszeit
Feste Strecke	Geschwindigkeit und Fahrzeit
Gegenläufige Faktoren	Antiproportionaler Dreisatz

Kreuzworträtsel

Produktregel	Wie heißt die Regel, nach der bei antiproportionalen Zuordnungen das Produkt gleich bleibt?
Hyperbel	Wie heißt der typische Graph einer antiproportionalen Funktion?
Dreisatz	Welches Rechenverfahren führt häufig zuerst auf eins und dann auf den Zielwert?
Zuordnung	Wie heißt eine mathematische Beziehung, die Werten einer Größe Werte einer anderen Größe zuweist?
Arbeitszeit	Welche Größe wird bei mehr gleich schnellen Arbeitern meist kleiner?
Kehrwert	Zu welchem mathematischen Begriff ist eine Größe bei Antiproportionalität proportional?

LearningApps

Lückentext

Bei einer antiproportionalen Zuordnung verändert sich eine Größe

zur anderen.

Das Produkt zusammengehöriger Werte bleibt

.

Wird die erste Größe verdoppelt, wird die zweite Größe

.

Beim Dreisatz wird häufig zuerst auf

gerechnet.

Wenn weniger Arbeiter dieselbe Arbeit erledigen, brauchen sie

Zeit.

Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt dagegen der

konstant.

Die Formel einer antiproportionalen Zuordnung kann als

y = \frac{k}{x}

geschrieben werden, wobei

k

eine

ist.

Der typische Graph einer antiproportionalen Zuordnung heißt

.

Bei einem festen Fahrweg sind Geschwindigkeit und Fahrzeit

.

Eine wichtige Kontrolle ist die

.

Eine Rechnung sollte zusätzlich mit einer

überprüft werden.

Das Modell mit Arbeitern setzt voraus, dass die beteiligten Personen ungefähr gleich

arbeiten.

Offene Aufgaben

Leicht

Pfeilbild gestalten: Zeichne zwei Spalten für Arbeiterzahl und Arbeitszeit. Zeige mit Pfeilen, wie sich die Zeit verändert, wenn die Arbeiterzahl verdoppelt oder halbiert wird.
Rechenplakat: Gestalte ein kleines Lernplakat mit den fünf Schritten des antiproportionalen Dreisatzes und einem selbst gewählten Beispiel.
Alltagsbeispiel finden: Suche in Deinem Alltag eine Situation, die antiproportional modelliert werden könnte. Erkläre, welche Größe fest bleiben muss.
Fehlerkarte: Erfinde eine falsche Dreisatzrechnung und markiere die Stelle, an der proportional statt antiproportional gerechnet wurde.

Standard

Maschinenmodell: Erstelle für zwei, drei, vier, sechs und zwölf gleich schnelle Maschinen eine Wertetabelle bei einer festen Arbeitsmenge von 72 Maschinenstunden.
Graph zeichnen: Übertrage die Werte eines selbst gewählten antiproportionalen Beispiels in ein Koordinatensystem und beschreibe die Form des Graphen.
Vergleichsvideo: Produziere ein ein- bis zweiminütiges Erklärvideo, in dem Du proportionalen und antiproportionalen Dreisatz an zwei Beispielen vergleichst.
Modellkritik: Untersuche die Aussage „Doppelt so viele Menschen erledigen jede Arbeit in der halben Zeit“. Finde mindestens zwei Gründe, warum das im Alltag nicht immer stimmt.

Schwer

Mehrschrittige Sachaufgabe: Entwickle eine Aufgabe, in der sich zuerst die Anzahl der Maschinen und anschließend die tägliche Arbeitszeit ändert. Löse und erkläre sie vollständig.
Formelmodell: Wähle ein konstantes Produkt $k$ , erstelle mindestens sechs Wertepaaren und beschreibe den Zusammenhang mit $y = \frac{k}{x}$ .
Praktisches Experiment: Plane mit Bauklötzen, Karten oder Papierstapeln ein Experiment, bei dem eine feste Anzahl Gegenstände auf unterschiedlich große Gruppen verteilt wird. Dokumentiere Tabelle, Rechnung und Schlussfolgerung.
Berufsbezug: Befrage eine Person aus Handwerk, Logistik, Gastronomie oder Produktion, wo Arbeitszeit, Teamgröße oder Maschinenzahl zusammenhängen. Vergleiche das reale Beispiel mit dem idealisierten antiproportionalen Schulmodell.

Lernkontrolle

Baustellenmodell begründen: Acht Arbeiter benötigen für eine Arbeit 15 Stunden. Zwölf Arbeiter sollen dieselbe Arbeit erledigen. Entscheide zuerst, ob ein antiproportionales Modell sinnvoll ist, löse die Aufgabe und nenne mindestens eine Modellannahme.
Falschen Lösungsweg erklären: Eine Schülerin rechnet bei mehr Maschinen auch mit mehr Zeit. Erkläre ohne bloßes Nachrechnen, warum dieser Weg nicht zur Sachsituation passt.
Zwei Dreisatzwege gegenüberstellen: Erfinde je eine proportionale und eine antiproportionale Aufgabe mit denselben Ausgangszahlen. Zeige, an welcher Stelle sich die Rechenwege unterscheiden.
Geschwindigkeit und Zeit: Begründe, warum Geschwindigkeit und Fahrzeit nur dann antiproportional sind, wenn die Strecke gleich bleibt. Gib ein Gegenbeispiel mit unterschiedlichen Strecken.
Produktgleichheit erklären: Erkläre mit eigenen Worten, warum $x \cdot y = k$ zu entgegengesetzten Veränderungen der beiden Größen führt.
Ergebnis bewerten: Vier Pumpen benötigen 45 Minuten. Jemand behauptet, acht Pumpen benötigen 90 Minuten. Entscheide ohne vollständigen Dreisatz, ob das Ergebnis möglich ist, und begründe.
Grenzen des Modells: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum eine antiproportionale Rechnung mathematisch korrekt sein kann, obwohl das Ergebnis in der Realität nicht exakt eintritt.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du:

antiproportionale von proportionalen Situationen unterscheiden kannst.
die inverse Veränderung zweier Größen sprachlich und mathematisch begründen kannst.
eine übersichtliche Zuordnungstabelle mit Einheiten erstellen kannst.
einen antiproportionalen Dreisatz korrekt über den Schritt auf 1 ausführst.
die Produktgleichheit $x_{1} \cdot y_{1} = x_{2} \cdot y_{2}$ zur Kontrolle verwendest.
proportionale und antiproportionale Dreisatzwege vergleichen kannst.
ein Ergebnis im Sachzusammenhang deutest und auf Plausibilität prüfst.
die Voraussetzungen des verwendeten mathematischen Modells benennen kannst.
bei einer festen Strecke den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Fahrzeit erklären kannst.
Fehler in einem fremden Lösungsweg erkennen und verständlich korrigieren kannst.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur umgekehrten Proportionalität erklärt die Produktgleichheit und die Funktionsform $y = \frac{k}{x}$ .

Zusätzlich ist der Artikel zum Dreisatz hilfreich:

Freie und interaktive Vertiefungen

GeoGebra: Antiproportionale Zuordnung – veränderbare Werte und Selbstkontrolle.
GeoGebra: Indirekte Proportionalität – interaktive Aufgaben mit Futter- und Graphenbeispielen.
GeoGebra: Dreisatzrechner bei antiproportionalen Zuordnungen – dynamische Rechenhilfe.
Wikipedia: Umgekehrte Proportionalität – mathematische Vertiefung.
Wikipedia: Dreisatz – Hintergrund zum Rechenverfahren.

Zusammenfassung

Antiproportionale Aufgaben erkennst Du daran, dass zwei Größen sich bei einer festen Gesamtmenge entgegengesetzt verändern.

Die wichtigste Regel lautet:

$x \cdot y = k$

Beim antiproportionalen Dreisatz rechnest Du häufig:

$Ausgangswert \cdot Ausgangsanzahl$

und danach:

$\frac{konstantes Produkt}{neue Anzahl}$

Für vier Arbeiter mit 15 Stunden und sechs Arbeiter gilt:

$4 \cdot 15 = 60$

$60 : 6 = 10$

Damit ergibt sich:

$6 \cdot 10 = 60$

Der Unterschied zum proportionalen Dreisatz ist entscheidend: Bei proportionalen Größen bleiben die Rechenfaktoren gleichgerichtet und der Quotient konstant. Bei antiproportionalen Größen laufen die Faktoren entgegengesetzt und das Produkt bleibt konstant.

Verknüpfte Lernbereiche

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