M5 M - Veränderungen mit positiven und negativen Zahlen beschreiben

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, Veränderungen mit positiven und negativen Zahlen zu beschreiben. Das ist besonders nützlich, wenn etwas steigt oder fällt: eine Temperatur, ein Aufzug, eine Höhe auf einem Weg oder ein Messwert in einem Diagramm.

Das wichtigste Lernziel lautet:

Situation	Bedeutung	Schreibweise der Veränderung
etwas nimmt zu	nach oben / mehr / höher	$+\text{Zahl}$
etwas nimmt ab	nach unten / weniger / tiefer	$-\text{Zahl}$
keine Veränderung	gleich geblieben	$0$

Merke: Das Vorzeichen beschreibt bei einer Veränderung die Richtung. Eine Zunahme um 4 Einheiten kann als $+4$ beschrieben werden. Eine Abnahme um 4 Einheiten kann als $-4$ beschrieben werden.

Du brauchst dafür noch keine weiterführenden Rechenregeln mit negativen Zahlen. Zuerst geht es darum, Veränderungen zu erkennen, zu beschreiben und auf einer Zahlengeraden sichtbar zu machen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. positive Zahlen als Werte oberhalb beziehungsweise rechts von $0$ erkennen.
2. negative Zahlen als Werte unterhalb beziehungsweise links von $0$ erkennen.
3. Vorzeichen nutzen, um Zunahmen und Abnahmen zu beschreiben.
4. Veränderungen an einer Zahlengeraden darstellen.
5. Temperaturverläufe, Aufzugfahrten und Höhenprofile in einfachen Situationen deuten.
6. zwischen Wert und Veränderung unterscheiden.

Positive und negative Zahlen als Beschreibung

Positive und negative Zahlen helfen, zwei entgegengesetzte Richtungen zu unterscheiden.

Alltagssituation	positive Richtung	negative Richtung
Temperatur	über $0^{\circ }\mathrm{C}$	unter $0^{\circ }\mathrm{C}$
Veränderung	Zunahme, zum Beispiel $+3$	Abnahme, zum Beispiel $-3$
Aufzugmodell	Stockwerke über dem Erdgeschoss	Stockwerke unter dem Erdgeschoss
Höhenänderung	Aufstieg	Abstieg

Wichtig: $0$ ist weder positiv noch negativ. Die Zahl $0$ kann aber bedeuten: keine Veränderung.

Vorzeichen lesen

Das Pluszeichen $+$ und das Minuszeichen $-$ stehen vor der Zahl.

Schreibweise	lies	Bedeutung als Veränderung
$+5$	plus fünf	Zunahme um 5
$-5$	minus fünf	Abnahme um 5
$0$	null	keine Veränderung

Eine einfache Merkhilfe ist:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{+\;=\;\text{Zunahme}}}

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{-\;=\;\text{Abnahme}}}

Die Zahlengerade als Bewegungsmodell

Auf der Zahlengeraden liegen negative Zahlen links von $0$ und positive Zahlen rechts von $0$.

$-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5$

Schritt für Schritt: Eine Veränderung darstellen

Beispiel: Du startest beim Wert $2$. Der Wert nimmt um $3$ zu.

Schritt	Darstellung	Bedeutung
1	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{2}}	Startwert markieren
2	$⟶⟶⟶$	drei Schritte nach rechts
3	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{5}}	Endwert ablesen
4	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{+3}}	Veränderung beschreiben

Beispiel: Du startest beim Wert $2$. Der Wert nimmt um $4$ ab.

Schritt	Darstellung	Bedeutung
1	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{2}}	Startwert markieren
2	$⟵⟵⟵⟵$	vier Schritte nach links
3	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{-2}}	Endwert ablesen
4	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{-4}}	Veränderung beschreiben

Achte auf den Unterschied: Im zweiten Beispiel ist $-2$ der Endwert. Die Veränderung beträgt $-4$.

Dynamische Zahlengerade

Verschiebe in der interaktiven Darstellung Punkte und beobachte, wie sich ihre Lage zur $0$ verändert. Beschreibe anschließend jede Bewegung mit einem Vorzeichen.

Eine weitere altersgerechte Übung zu positiven und negativen Zahlen:

Temperatur: Zunahme und Abnahme sichtbar machen

Temperaturen eignen sich besonders gut, weil die Celsius-Skala Werte über und unter $0^{\circ }\mathrm{C}$ zeigt.

Beispiele:

Starttemperatur	Beobachtung	Endtemperatur	Veränderung
$1^{\circ }\mathrm{C}$	es wird 4 Grad wärmer	$5^{\circ }\mathrm{C}$	$+4^{\circ }\mathrm{C}$
$3^{\circ }\mathrm{C}$	es wird 5 Grad kälter	$-2^{\circ }\mathrm{C}$	$-5^{\circ }\mathrm{C}$
$-4^{\circ }\mathrm{C}$	es wird 3 Grad wärmer	$-1^{\circ }\mathrm{C}$	$+3^{\circ }\mathrm{C}$

Wichtig: Eine positive Veränderung bedeutet wärmer. Das heißt nicht automatisch, dass die Endtemperatur positiv ist. Von $-4^{\circ }\mathrm{C}$ auf $-1^{\circ }\mathrm{C}$ ist eine Zunahme, obwohl beide Temperaturen negativ sind.

Temperaturverlauf als Diagramm

Ein Temperaturdiagramm liest Du abschnittsweise:

Verlauf	Beschreibung	Vorzeichen der Veränderung
Linie steigt	Temperatur nimmt zu	$+$
Linie fällt	Temperatur nimmt ab	$-$
Linie bleibt waagerecht	Temperatur bleibt gleich	$0$

Diagramm-Auftrag: Suche zwei Stellen, an denen der Verlauf steigt, und zwei Stellen, an denen er fällt. Formuliere jeweils: „Die Temperatur nimmt zu“ oder „Die Temperatur nimmt ab“.

Interaktives Thermometer

Bewege die Temperaturanzeige. Beobachte besonders, was beim Übergang über $0^{\circ }\mathrm{C}$ passiert.

Aufzug: Stockwerke als Zahlengerade denken

In einem mathematischen Aufzugmodell kann das Erdgeschoss mit $0$ bezeichnet werden. Stockwerke darüber erhalten positive Zahlen, Stockwerke darunter negative Zahlen.

Lage	Zahl im Modell
3. Stock über Erdgeschoss	$+3$
Erdgeschoss	$0$
1. Untergeschoss	$-1$
2. Untergeschoss	$-2$

Beispiel: Ein Aufzug fährt vom Erdgeschoss drei Stockwerke nach oben.

$0⟶1⟶2⟶3$

Die Veränderung ist $+3$.

Fährt er anschließend zwei Stockwerke nach unten, dann beschreibst Du diese Fahrt mit $-2$.

Merke: Das Vorzeichen der Veränderung beschreibt die Fahrtrichtung, nicht nur den Start- oder Zielstock.

Höhenprofile: Aufstieg und Abstieg

Ein Höhenprofil zeigt, wie hoch ein Weg an verschiedenen Stellen liegt.

Wenn die Linie im Höhenprofil steigt, liegt ein Aufstieg vor. Wenn die Linie fällt, liegt ein Abstieg vor.

Wegabschnitt	Höhenänderung	Vorzeichen
von $120\mathrm{m}$ auf $150\mathrm{m}$	30 m höher	$+30\mathrm{m}$
von $150\mathrm{m}$ auf $130\mathrm{m}$	20 m tiefer	$-20\mathrm{m}$
Höhe bleibt gleich	keine Höhenänderung	$0\mathrm{m}$

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung eines Höhenabschnitts

Start	Richtung	Änderung	Ziel
$100\mathrm{m}$	$\nearrow$	$+25\mathrm{m}$	$125\mathrm{m}$
$125\mathrm{m}$	$\searrow$	$-15\mathrm{m}$	$110\mathrm{m}$

So bleibt die Sprache klar:

$\text{steigt}\Rightarrow +\text{fällt}\Rightarrow -$

Wert und Veränderung unterscheiden

Das ist der wichtigste Denkpunkt dieses Themas.

Frage	Beispiel
Wo bist Du?	Wert, zum Beispiel $-2^{\circ }\mathrm{C}$
Was passiert?	Veränderung, zum Beispiel $+3^{\circ }\mathrm{C}$

Beispiel:

$-2^{\circ }\mathrm{C}⟶1^{\circ }\mathrm{C}$

Der Startwert ist $-2^{\circ }\mathrm{C}$.

Der Endwert ist $1^{\circ }\mathrm{C}$.

Die Veränderung ist eine Zunahme um 3 Grad, also $+3^{\circ }\mathrm{C}$.

Fehlerdetektiv

Aussage: „Die Temperatur endet bei $-1^{\circ }\mathrm{C}$. Also muss die Veränderung negativ sein.“

Das ist falsch. Eine Endtemperatur kann negativ sein und trotzdem durch eine positive Veränderung entstanden sein.

Beispiel:

$-5^{\circ }\mathrm{C}⟶-1^{\circ }\mathrm{C}$

Hier wird es wärmer. Die Veränderung ist $+4^{\circ }\mathrm{C}$.

Lernvideo

Das folgende Video führt mit dem Zahlenstrahl in negative Zahlen ein:

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Ein weiteres Video zeigt positive und negative Zahlen in Alltagssituationen:

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Schreibweise beschreibt eine Zunahme um 4? (+4) (!-4) (!0) (!4)

Welche Schreibweise beschreibt eine Abnahme um 6? (-6) (!+6) (!0) (!6)

Was bedeutet die Veränderung +3 bei einer Temperatur? (Die Temperatur steigt um 3 Grad) (!Die Temperatur fällt um 3 Grad) (!Die Temperatur bleibt gleich) (!Die Temperatur ist immer 3 Grad)

Was bedeutet die Veränderung -2 bei einem Aufzug? (Der Aufzug fährt zwei Stockwerke nach unten) (!Der Aufzug fährt zwei Stockwerke nach oben) (!Der Aufzug bleibt stehen) (!Der Aufzug befindet sich immer im zweiten Stock)

Wo liegen negative Zahlen auf einer üblichen waagerechten Zahlengeraden? (Links von 0) (!Rechts von 0) (!Nur auf 0) (!Immer zwischen 0 und 1)

Welche Aussage über 0 ist richtig? (0 ist weder positiv noch negativ) (!0 ist immer positiv) (!0 ist immer negativ) (!0 bedeutet immer Abnahme)

Eine Temperatur steigt von -4 Grad auf -1 Grad. Wie ist die Veränderung zu beschreiben? (Als Zunahme) (!Als Abnahme) (!Als Stillstand) (!Als unmögliche Veränderung)

Eine Linie in einem Höhenprofil fällt. Was bedeutet das? (Die Höhe nimmt ab) (!Die Höhe nimmt zu) (!Die Höhe bleibt gleich) (!Das Vorzeichen muss positiv sein)

Was beschreibt das Vorzeichen einer Veränderung besonders? (Die Richtung der Veränderung) (!Die Farbe einer Zahl) (!Die Länge einer Zahlengeraden) (!Die Anzahl der Ziffern)

Eine Temperatur bleibt von 8 Uhr bis 9 Uhr gleich. Welche Veränderung passt? (0) (!+1) (!-1) (!+8)

Memory

Zunahme	Pluszeichen
Abnahme	Minuszeichen
Thermometer	Temperatur
Aufzug	Stockwerk
Zahlengerade	Richtung
Höhenprofil	Höhenänderung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Pluszeichen	Zunahme
Minuszeichen	Abnahme
Ausgangspunkt	Startwert
Zielpunkt	Endwert
Stillstand	keine Veränderung

Kreuzworträtsel

Vorzeichen	Wie heißt das Zeichen vor einer positiven oder negativen Veränderungszahl?
Zunahme	Wie heißt eine Veränderung nach oben oder zu mehr?
Abnahme	Wie heißt eine Veränderung nach unten oder zu weniger?
Thermometer	Welches Gerät zeigt Temperaturen an?
Aufzug	Welches Verkehrsmittel im Gebäude kann Stockwerke hinauf und hinunter fahren?
Zahlengerade	Wie heißt die Linie, auf der Zahlen geordnet dargestellt werden?

LearningApps

Passend zum Zahlenstrahl kann außerdem diese interaktive Aufgabe genutzt werden:

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Veränderung nach oben wird als beschrieben.

Eine Zunahme erhält als Vorzeichen ein .

Eine Veränderung nach unten wird als beschrieben.

Eine Abnahme erhält als Vorzeichen ein .

Negative Zahlen liegen auf der üblichen waagerechten Zahlengeraden von null.

Positive Zahlen liegen auf der üblichen waagerechten Zahlengeraden von null.

Die Zahl ist weder positiv noch negativ.

Wenn eine Temperatur steigt, ist ihre Veränderung .

Wenn eine Temperatur fällt, ist ihre Veränderung .

Bei gleichbleibendem Wert beträgt die Veränderung .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Vorzeichen-Fotojagd: Fotografiere oder zeichne drei Alltagssituationen, in denen „hoch/runter“, „wärmer/kälter“ oder „mehr/weniger“ vorkommt. Ergänze jeweils ein passendes Vorzeichen für die Veränderung.
2. Thermometer-Tagebuch: Notiere an einem Tag zu drei Zeitpunkten eine erfundene oder gemessene Temperatur und beschreibe nur die Richtung der jeweiligen Veränderung mit $+$, $-$ oder $0$.
3. Aufzug-Modell: Zeichne ein Gebäude mit Erdgeschoss, zwei Untergeschossen und vier Obergeschossen. Beschrifte die Stockwerke mit passenden Zahlen.
4. Zahlengeraden-Spaziergang: Zeichne eine Zahlengerade von $-5$ bis $+5$ und markiere drei selbst gewählte Bewegungen mit Pfeilen.

Standard

1. Temperaturgeschichte: Erfinde eine kurze Wettergeschichte mit mindestens vier Temperaturwerten. Stelle den Verlauf als Tabelle und anschließend als einfaches Liniendiagramm dar.
2. Aufzug-Geschichte: Plane eine Aufzugfahrt mit fünf Stationen. Gib für jede Teilfahrt an, ob die Veränderung positiv, negativ oder null ist.
3. Höhenprofil selbst erstellen: Zeichne für einen erfundenen Wanderweg ein Höhenprofil mit mindestens drei Aufstiegen und zwei Abstiegen. Beschrifte ausgewählte Änderungen mit Vorzeichen.
4. Fehlerdetektiv Vorzeichen: Erfinde drei typische falsche Aussagen über Vorzeichen, Werte und Veränderungen. Korrigiere sie mit einer Zeichnung oder Zahlengeraden.

Schwer

1. Diagramm-Kommentar: Erstelle ein Diagramm mit mindestens sechs Messpunkten und schreibe zu jedem Abschnitt einen fachlich genauen Satz über Zunahme, Abnahme oder keine Veränderung.
2. Vergleich zweier Wege: Zeichne zwei Höhenprofile mit denselben Start- und Endhöhen, aber unterschiedlichen Zwischenverläufen. Erkläre, warum einzelne Veränderungen trotzdem verschieden sein können.
3. Erklärvideo Vorzeichen: Produziere ein ein- bis zweiminütiges Erklärvideo, in dem Du Wert und Veränderung an einer Zahlengeraden unterscheidest.
4. Interview Veränderungen: Befrage zwei Personen, wo ihnen positive und negative Veränderungen im Alltag begegnen. Ordne die Beispiele anschließend nach Temperatur, Höhe, Stockwerk oder anderer Messgröße.

Lernkontrolle

1. Transfer Temperatur: Eine Wetterstation meldet morgens $-3^{\circ }\mathrm{C}$ und später $1^{\circ }\mathrm{C}$. Erkläre mit einer Zahlengeraden, warum die Veränderung positiv ist, obwohl der Startwert negativ war.
2. Transfer Aufzug: Ein Aufzug startet in einem Untergeschoss und endet über dem Erdgeschoss. Entwirf zwei unterschiedliche Fahrten mit demselben Start- und Zielstock und beschreibe die Teilveränderungen.
3. Transfer Höhenprofil: Zwei Wanderwege enden auf gleicher Höhe. Der erste hat viele kleine Anstiege und Abstiege, der zweite nur einen langen Anstieg und einen langen Abstieg. Erkläre, warum der Endwert allein nicht alle Veränderungen beschreibt.
4. Diagramm deuten: Zeichne einen Verlauf, in dem ein Wert zuerst zunimmt, dann gleich bleibt und danach abnimmt. Kennzeichne die drei Abschnitte mit $+$, $0$ und $-$.
5. Fehlvorstellung prüfen: Beurteile die Aussage „Eine negative Zahl bedeutet immer, dass etwas abnimmt.“ Gib ein Gegenbeispiel, bei dem ein negativer Wert zunimmt.
6. Modellwahl: Entscheide für Temperatur, Aufzug und Wanderweg jeweils, ob Thermometer, Zahlengerade oder Höhenprofil die Veränderung besonders anschaulich zeigt. Begründe Deine Wahl.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Zunahmen sicher mit einem positiven Vorzeichen und Abnahmen mit einem negativen Vorzeichen beschreiben kannst.
2. $0$ als „keine Veränderung“ deuten kannst.
3. positive und negative Werte auf einer Zahlengeraden richtig einordnen kannst.
4. Startwert, Endwert und Veränderung sprachlich unterscheiden kannst.
5. Temperaturverläufe, Aufzugfahrten und Höhenprofile sinnvoll deuten kannst.
6. eine Veränderung mit Pfeilen oder einer einfachen Zahlengeraden darstellen kannst.
7. erklären kannst, warum ein negativer Endwert trotzdem aus einer positiven Veränderung entstehen kann.

OERs zum Thema

Freie Medien und interaktive Vertiefung

1. Thermometer.svg: freie Wikimedia-Commons-Grafik; die Dateiseite dokumentiert die Gemeinfreiheit.
2. Zahlengerade -3 zu 3.svg: freie Wikimedia-Commons-Grafik; Lizenzangaben stehen auf der Dateiseite.
3. Elevator buttons.jpg: Wikimedia Commons, CC BY-SA 2.0.
4. Main-Donau-Weg Höhenprofil: Wikimedia Commons, CC0 1.0.
5. Daily fluctuation temperatures.JPG: Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0.
6. GeoGebra: Vom Zahlenstrahl zur Zahlengerade: interaktive Darstellung für die Schulstufe 5–6.
7. GeoGebra: Temperatur am Thermometer: interaktive Temperaturdarstellung für die Schulstufe 5–6.
8. LearningApps: Negative Zahlen am Zahlenstrahl: interaktive Übung zum Zahlenstrahl.

Verknüpfte Lernbereiche

Veränderungen mit positiven und negativen Zahlen Positive Zahl Negative Zahl Vorzeichen Zahlengerade Temperatur Diagramm Höhenprofil Ganze Zahl