Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, M-Niveau

M5 M - Rechengesetze zum geschickten Rechnen

Einleitung

M5 M - Rechengesetze zum geschickten Rechnen richtet sich an Lernende der Klasse 5 auf M-Niveau. Du lernst drei zentrale Rechengesetze kennen und nutzt sie nicht nur zum Benennen, sondern vor allem zum geschickten Rechnen:

Gesetz	Deutsche Bezeichnung	Grundidee	Beispiel
Kommutativgesetz	Tauschgesetz	Zahlen dürfen bei Addition oder Multiplikation vertauscht werden.	$4 \cdot 25 = 25 \cdot 4$
Assoziativgesetz	Verbindungsgesetz	Klammern dürfen bei Addition oder Multiplikation anders gesetzt werden.	$(4 \cdot 25) \cdot 7 = 4 \cdot (25 \cdot 7)$
Distributivgesetz	Verteilungsgesetz	Eine Multiplikation kann auf eine Summe oder Differenz verteilt beziehungsweise wieder zusammengefasst werden.	$7 \cdot 19 + 7 \cdot 1 = 7 \cdot 20$

Der wichtigste Gedanke lautet: Du veränderst die Form einer Rechnung, aber nicht ihren Wert. So kannst Du passende Zahlen zusammenbringen, runde Zahlen erzeugen und Kopfrechnungen vereinfachen.

Das Punkte- beziehungsweise Arraymodell hilft Dir, Multiplikation als Anordnung zu sehen. Reihen und Spalten können gedreht oder zerlegt werden. Genau daraus entstehen anschauliche Zugänge zum Tausch- und Verteilungsgesetz.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du Rechengesetze erkennen, darstellen, begründen und gezielt anwenden.

Kompetenz	Das kannst Du anschließend
Erkennen	Du entscheidest, ob Tauschgesetz, Verbindungsgesetz oder Verteilungsgesetz verwendet wurde.
Darstellen	Du übersetzt zwischen Rechnung, Punktefeld, Flächenmodell, Zahlenkarten und sprachlicher Erklärung.
Anwenden	Du formst Rechnungen so um, dass runde oder leicht zu berechnende Zahlen entstehen.
Begründen	Du erklärst, warum eine Umformung erlaubt ist und weshalb das Ergebnis gleich bleibt.
Prüfen	Du erkennst typische Fehler, besonders bei Subtraktion und Division.
Transfer	Du entwickelst eigene Rechenwege und vergleichst ihre Effizienz.

Grundbegriffe

Für geschicktes Rechnen brauchst Du sichere Fachbegriffe:

Rechenart	Aufbau	Beispiel
Addition	$Summand + Summand = Summe$	$38 + 62 = 100$
Multiplikation	$Faktor \cdot Faktor = Produkt$	$4 \cdot 25 = 100$
Subtraktion	$Minuend - Subtrahend = Differenz$	$100 - 37 = 63$
Division	$Dividend : Divisor = Quotient$	$100 : 4 = 25$

Wichtig: Das Tauschgesetz und das Verbindungsgesetz gelten bei natürlichen Zahlen für Addition und Multiplikation. Für Subtraktion und Division gelten sie im Allgemeinen nicht.

Das Tauschgesetz

Das Tauschgesetz sagt: Bei einer Addition oder Multiplikation darfst Du die Reihenfolge der Zahlen vertauschen.

Tauschgesetz der Addition

$a + b = b + a$

Beispiel:

$27 + 73 = 73 + 27 = 100$

Wenn in einer längeren Summe passende Zahlen weit auseinanderstehen, kannst Du sie durch Tauschen nebeneinander bringen:

$27 + 46 + 73$

$= 27 + 73 + 46$

$= 100 + 46$

$= 146$

Tauschgesetz der Multiplikation

$a \cdot b = b \cdot a$

Beispiel:

$4 \cdot 25 = 25 \cdot 4 = 100$

Die Abbildung zeigt die Idee für Addition und Multiplikation: Ein Punkte- oder Rechteckfeld bleibt gleich groß, wenn Reihen und Spalten vertauscht werden.

Punktefeld zum Drehen

Vergleiche die beiden Felder:

$3 \cdot 4$	gedanklich um $9 0^{\circ}$ drehen	$4 \cdot 3$
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●	↻	● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
$3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 12$

Die Anzahl der Punkte bleibt gleich. Du siehst also nicht nur eine Regel, sondern einen Grund dafür.

Zahlenkarten: Finde Rechenfreunde

Bei Summen kannst Du Zahlenkarten so ordnen, dass runde Zahlen entstehen:

38	17	62	83
Tausche geschickt:
38	62	17	83
$(38 + 62) + (17 + 83) = 100 + 100 = 200$

Das Tauschgesetz macht aus einer unübersichtlichen Rechnung eine Rechnung mit zwei Hunderterfreunden.

Das Verbindungsgesetz

Das Verbindungsgesetz sagt: Bei Addition oder Multiplikation darfst Du die Klammern anders setzen. Die Reihenfolge der Zahlen bleibt dabei zunächst gleich.

Verbindungsgesetz der Addition

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Beispiel:

$25 + (38 + 62)$

$= 25 + 100$

$= 125$

Auch umgekehrt ist die Umklammerung erlaubt:

$(25 + 38) + 62 = 25 + (38 + 62)$

Verbindungsgesetz der Multiplikation

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Besonders nützlich ist das, wenn sich ein leichtes Teilprodukt bilden lässt:

$4 \cdot 25 \cdot 7$

$= (4 \cdot 25) \cdot 7$

$= 100 \cdot 7$

$= 700$

Noch ein Beispiel:

$8 \cdot 125 \cdot 3$

$= (8 \cdot 125) \cdot 3$

$= 1000 \cdot 3$

$= 3000$

Tauschgesetz und Verbindungsgesetz gemeinsam

Oft brauchst Du beide Gesetze zusammen.

Aus

$6 \cdot 25 \cdot 4$

machst Du zuerst durch Tauschen

$6 \cdot 4 \cdot 25$

und dann durch Verbinden

$6 \cdot (4 \cdot 25)$

also

$6 \cdot 100 = 600$ .

Das ist ein typischer M-Niveau-Rechenweg: Du sollst nicht nur das Ergebnis finden, sondern eine geschickte Struktur erkennen.

Das Verteilungsgesetz

Das Verteilungsgesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion.

Verteilen über eine Summe

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Beispiel:

$6 \cdot (20 + 3)$

$= 6 \cdot 20 + 6 \cdot 3$

$= 120 + 18$

$= 138$

Zusammenfassen durch Ausklammern

Das Verteilungsgesetz funktioniert auch rückwärts:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Genau das steckt in der Rechnung

$7 \cdot 19 + 7 \cdot 1 = 7 \cdot 20$ .

Schritt für Schritt:

Schritt	Rechnung	Gedanke
1	$7 \cdot 19 + 7 \cdot 1$	Beide Produkte haben den gemeinsamen Faktor $7$ .
2	$7 \cdot (19 + 1)$	Den gemeinsamen Faktor $7$ ausklammern.
3	$7 \cdot 20$	$19 + 1$ ergibt eine runde Zahl.
4	$140$	Die vereinfachte Rechnung ausführen.

Flächenmodell zum Verteilungsgesetz

Ein Rechteck mit der Höhe $a$ und der Gesamtbreite $b + c$ hat den Flächeninhalt

$a \cdot (b + c)$ .

Zerlegst Du es in zwei Teilrechtecke, erhältst Du

$a \cdot b + a \cdot c$ .

Beide Darstellungen beschreiben dieselbe Fläche. Deshalb gilt:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .

Flächenmodell mit konkreten Zahlen

Stell Dir ein Rechteck mit Höhe $7$ und Gesamtbreite $20$ vor. Zerlege die Breite in $19 + 1$ :

Teilfläche	Breite	Höhe	Fläche
großes Teilrechteck	$19$	$7$	$7 \cdot 19$
schmaler Ergänzungsstreifen	$1$	$7$	$7 \cdot 1$
Gesamtfläche	$20$	$7$	$7 \cdot 20$

Damit wird sichtbar:

$7 \cdot 19 + 7 \cdot 1 = 7 \cdot (19 + 1) = 7 \cdot 20$ .

Verteilen über eine Differenz

Du kannst eine Zahl auch als Unterschied zu einer runden Zahl auffassen:

$6 \cdot 98$

$= 6 \cdot (100 - 2)$

$= 6 \cdot 100 - 6 \cdot 2$

$= 600 - 12$

$= 588$

Ein weiteres Beispiel:

$25 \cdot 39$

$= 25 \cdot (40 - 1)$

$= 1000 - 25$

$= 975$

Das ist besonders praktisch, wenn ein Faktor knapp neben 10, 20, 50, 100 oder 1000 liegt.

Rechenstrategien für geschicktes Rechnen

Die Gesetze sind keine isolierten Regeln. Sie sind Werkzeuge für Rechenstrategien.

Strategie	Beispiel	Rechengesetz
Zahlen zu $10$ , $100$ oder $1000$ ergänzen	$38 + 17 + 62 + 83 = (38 + 62) + (17 + 83) = 200$	Tauschgesetz und Verbindungsgesetz
Ein leichtes Teilprodukt bilden	$4 \cdot 25 \cdot 9 = (4 \cdot 25) \cdot 9 = 900$	Verbindungsgesetz
Einen Faktor nahe an einer runden Zahl zerlegen	$7 \cdot 19 = 7 \cdot (20 - 1) = 140 - 7 = 133$	Verteilungsgesetz
Gemeinsamen Faktor ausklammern	$7 \cdot 19 + 7 \cdot 1 = 7 \cdot 20 = 140$	Verteilungsgesetz rückwärts
Mehrere Gesetze verbinden	$2 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot (25 \cdot 4) = 10 \cdot 100 = 1000$	Tauschgesetz und Verbindungsgesetz

Stellenwertmodell und runde Zahlen

Geschicktes Rechnen funktioniert oft deshalb so gut, weil unser Zahlensystem ein Zehnersystem ist. Zahlen wie $10$ , $100$ und $1000$ sind besonders leicht weiterzuverarbeiten.

Ein Stellenwertmodell zeigt, dass

$20 = 2 \cdot 10$ ,

$200 = 2 \cdot 100$

und

$2000 = 2 \cdot 1000$

sind.

Darum ist zum Beispiel

$7 \cdot 20 = 14 \cdot 10 = 140$

leichter als eine direkte Rechnung mit $7 \cdot 19 + 7 \cdot 1$ .

Zahlenkarten zum Ergänzen

19	+	1	→	20
$7 \cdot 19 + 7 \cdot 1 = 7 \cdot (19 + 1) = 7 \cdot 20$

Die Zahlenkarten machen sichtbar: Die beiden Teilbreiten $19$ und $1$ werden zu $20$ zusammengesetzt.

Zahlengerade: Summanden umordnen

Auf einer Zahlengeraden kannst Du Addition als Bewegung darstellen. Bei

$23 + 7 + 17$

kannst Du wegen des Tauschgesetzes zuerst $23 + 17$ rechnen:

$23 + 7 + 17 = 23 + 17 + 7 = 40 + 7 = 47$ .

Die Gesamtstrecke bleibt gleich, auch wenn Du die Teilstrecken in anderer Reihenfolge gehst.

Dynamische Zahlengerade

Mit der folgenden dynamischen Darstellung kannst Du Additionsschritte verändern und beobachten, dass verschiedene Zerlegungen am gleichen Ziel enden:

Arbeitsauftrag: Stelle zwei Additionen mit denselben Summanden in verschiedener Reihenfolge dar. Beschreibe, was sich verändert und was gleich bleibt.

Dynamische Geometrie zum Verteilungsgesetz

Das Verteilungsgesetz lässt sich besonders gut mit Rechtecken untersuchen. Beim Umfang eines Rechtecks gilt zum Beispiel:

$u = 2 a + 2 b$

und wegen des Verteilungsgesetzes ebenso

$u = 2 (a + b)$ .

Für $a = 6$ und $b = 4$ erhältst Du:

$u = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 4 = 12 + 8 = 20$

sowie

$u = 2 \cdot (6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20$ .

Verändere die Seitenlängen und überprüfe an mehreren Beispielen, ob beide Umfangsrechnungen immer dasselbe Ergebnis liefern.

Animierte Muster der Multiplikation

Die Animation zeigt Muster in Einmaleinsreihen. Beobachte besonders Paare wie $3 \cdot 8$ und $8 \cdot 3$ . Das Tauschgesetz erklärt, warum beide Produkte denselben Wert haben.

Schritt-für-Schritt-Rechenwege

Mathematik wird verständlicher, wenn Du den Rechenweg sichtbar machst.

Beispiel 1: Summe geschickt ordnen

$48 + 35 + 52$

$⇓$

$48 + 52 + 35$ Tauschgesetz

$⇓$

$(48 + 52) + 35$ Verbindungsgesetz

$⇓$

$100 + 35$

$⇓$

$135$

Beispiel 2: Produkt geschickt verbinden

$8 \cdot 25 \cdot 5$

$⇓$

$8 \cdot 5 \cdot 25$ Tauschgesetz

$⇓$

$(8 \cdot 5) \cdot 25$ Verbindungsgesetz

$⇓$

$40 \cdot 25$

$⇓$

$1000$

Beispiel 3: Nahe an einer runden Zahl

$9 \cdot 49$

$⇓$

$9 \cdot (50 - 1)$

$⇓$

$9 \cdot 50 - 9 \cdot 1$ Verteilungsgesetz

$⇓$

$450 - 9$

$⇓$

$441$

Beispiel 4: Gemeinsamen Faktor erkennen

$12 \cdot 7 + 12 \cdot 3$

$⇓$

$12 \cdot (7 + 3)$ Verteilungsgesetz rückwärts

$⇓$

$12 \cdot 10$

$⇓$

$120$

Welches Gesetz passt wann?

Frage an Dich	Wenn die Antwort ja lautet
Möchtest Du Zahlen in einer Summe oder einem Produkt vertauschen?	Nutze das Tauschgesetz.
Möchtest Du bei einer Summe oder einem Produkt anders klammern?	Nutze das Verbindungsgesetz.
Siehst Du eine Multiplikation mit einer Summe oder Differenz?	Prüfe das Verteilungsgesetz.
Taucht in mehreren Produkten derselbe Faktor auf?	Prüfe, ob Du diesen Faktor ausklammern kannst.
Liegt ein Faktor knapp neben einer runden Zahl?	Zerlege ihn mit einer Summe oder Differenz und nutze das Verteilungsgesetz.
Lassen sich Zahlen zu $10$ , $100$ oder $1000$ ergänzen?	Tausche und verbinde geschickt.

Fehlerfallen

Rechengesetze darfst Du nur dort anwenden, wo ihre Voraussetzungen erfüllt sind.

Behauptung	Prüfung	Ergebnis
$9 - 4 = 4 - 9$	Subtraktion ist nicht kommutativ.	Falsch
$(10 - 4) - 3 = 10 - (4 - 3)$	Links steht $3$ , rechts $9$ .	Falsch
$24 : 6 = 6 : 24$	$24 : 6 = 4$ , aber $6 : 24$ ist nicht $4$ .	Falsch
$(24 : 6) : 2 = 24 : (6 : 2)$	Links steht $2$ , rechts $8$ .	Falsch
$5 \cdot (8 + 2) = 5 \cdot 8 + 5 \cdot 2$	Multiplikation wird auf beide Summanden verteilt.	Richtig
$7 \cdot 12 + 5 \cdot 12 = 12 \cdot (7 + 5)$	Erst Tauschgesetz in den Produkten, dann ausklammern.	Richtig

Punkt vor Strich und Klammern

Rechengesetze ersetzen nicht die bekannten Rechenregeln. Klammern werden zuerst beachtet; Multiplikation und Division stehen in der üblichen Rangfolge vor Addition und Subtraktion.

Vergleiche:

$3 + 4 \cdot 5 = 3 + 20 = 23$

aber

$(3 + 4) \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$ .

Das Verteilungsgesetz kann eine Klammer auflösen:

$(3 + 4) \cdot 5 = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 15 + 20 = 35$ .

Rechengesetze als Gleichheitsideen

Bei jeder erlaubten Umformung bleibt der Wert gleich. Das Gleichheitszeichen $=$ bedeutet deshalb nicht „jetzt kommt das Ergebnis“, sondern „links und rechts steht derselbe Wert“.

Beispiel:

$7 \cdot 19 + 7 \cdot 1$

$= 7 \cdot (19 + 1)$

$= 7 \cdot 20$

$= 140$ .

Jede Zeile ist gleichwertig. Das ist ein wichtiger Schritt auf dem Weg zu Termen und später zu Gleichungen.

Rechenlabor: Entscheide selbst

Untersuche die Rechnung

$16 + 29 + 84 + 71$ .

Eine günstige Umordnung ist:

$16 + 84 + 29 + 71$

und eine günstige Verbindung:

$(16 + 84) + (29 + 71)$ .

Damit folgt:

$100 + 100 = 200$ .

Untersuche nun

$4 \cdot 18 + 4 \cdot 2$ .

Hier ist Ausklammern besonders günstig:

$4 \cdot (18 + 2) = 4 \cdot 20 = 80$ .

Die wichtigste Frage beim geschickten Rechnen lautet deshalb:

Welche Struktur macht die Rechnung einfacher?

Digitale Übungswerkstatt

Die folgende interaktive Sammlung enthält Aufgaben zu Rechenregeln und Rechengesetzen für die Schulstufe 5–6:

Bearbeite mehrere Beispiele und notiere bei jeder Umformung nicht nur das Ergebnis, sondern auch das verwendete Gesetz.

Erklärvideos

Das folgende Video erklärt Tausch-, Verbindungs- und Verteilungsgesetz in einer gemeinsamen Übersicht:

Ein weiteres Erklärvideo legt den Schwerpunkt auf die drei Rechengesetze und ihre Anwendung:

Medien- und Lizenzhinweise

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Medien wurden als frei lizenzierte beziehungsweise gemeinfreie Medien ausgewählt. Die jeweiligen Dateiseiten enthalten Urheberangaben und Lizenzbedingungen.

Medium	Lernzweck	Lizenz laut Wikimedia Commons
CommutativeExample2.svg	Tauschgesetz anschaulich	CC BY-SA 3.0 beziehungsweise weitere auf der Dateiseite angebotene freie Lizenzen
AssociativeExampleAddition.svg	Verbindungsgesetz der Addition	CC BY-SA 4.0
Illustration of distributive property with rectangles.svg	Flächenmodell zum Verteilungsgesetz	CC0 1.0
Array multiplieur.png	Multiplikation als Feld beziehungsweise Array	CC0 1.0
Base ten blocks (transparent).svg	Stellenwertmodell	CC0 1.0
NumberLineIntegers.svg	Zahlengerade	CC BY-SA 3.0 beziehungsweise weitere auf der Dateiseite angebotene freie Lizenzen
Multiplication tables animated.gif	animierte Multiplikationsmuster	CC BY-SA 3.0

Die YouTube- und GeoGebra-Inhalte werden extern eingebettet und nicht als lokale Kopien in den aiMOOC übernommen. Für eine Weiterverwendung außerhalb der Einbettung gelten die Bedingungen der jeweiligen Plattform beziehungsweise Urheber.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was erlaubt das Tauschgesetz bei einer Addition? (Die Summanden dürfen vertauscht werden) (!Die Summanden dürfen beliebig verändert werden) (!Nur der erste Summand darf verdoppelt werden) (!Die Addition wird immer zur Multiplikation)

Welche Aussage beschreibt das Verbindungsgesetz der Multiplikation? (Die Faktoren bleiben gleich und nur die Gruppierung ändert sich) (!Die Faktoren werden durch Summanden ersetzt) (!Die Reihenfolge muss immer umgekehrt werden) (!Eine Multiplikation wird immer zur Subtraktion)

Welche Beschreibung passt zum Verteilungsgesetz? (Ein Faktor wird mit jedem Summanden einer Summe multipliziert) (!Nur der erste Summand wird multipliziert) (!Die Summe wird durch eine Division ersetzt) (!Alle Zahlen dürfen beliebig vertauscht werden)

Welche Umordnung macht 25 plus 17 plus 75 besonders geschickt? (25 plus 75 plus 17) (!17 plus 25 plus 25) (!75 minus 25 plus 17) (!25 mal 75 plus 17)

Für welche Rechenart gilt das Tauschgesetz im Allgemeinen nicht? (Subtraktion) (!Addition) (!Multiplikation) (!Addition natürlicher Zahlen)

Was ist der gemeinsame Faktor in 9 mal 14 plus 9 mal 6? (9) (!14) (!6) (!20)

Wie lautet 6 mal 23 nach dem Ausmultiplizieren über 20 plus 3? (6 mal 20 plus 6 mal 3) (!6 plus 20 mal 3) (!6 mal 20 plus 3) (!20 mal 3 plus 6)

Wie kann 9 mal 14 plus 9 mal 6 geschickt zusammengefasst werden? (9 mal die Summe aus 14 und 6) (!18 mal die Summe aus 14 und 6) (!9 plus das Produkt aus 14 und 6) (!14 mal die Summe aus 9 und 6)

Warum ist 4 mal 25 mal 8 leicht zu berechnen? (Weil 4 mal 25 zuerst zu 100 verbunden werden kann) (!Weil 25 durch 8 ersetzt werden darf) (!Weil alle Faktoren addiert werden dürfen) (!Weil Multiplikation immer von rechts nach links gerechnet werden muss)

Welche Beschreibung zeigt geschicktes Ausklammern bei 7 mal 19 plus 7 mal 1? (7 wird gemeinsamer Faktor vor der Summe 19 plus 1) (!14 wird gemeinsamer Faktor vor der Zahl 20) (!Die drei Zahlen werden nur addiert) (!19 wird gemeinsamer Faktor vor der Summe 7 plus 1)

Memory

Tauschgesetz	Reihenfolge ändern
Verbindungsgesetz	Klammern umgruppieren
Verteilungsgesetz	Multiplikation auf eine Summe verteilen
Ausklammern	gemeinsamen Faktor herausziehen
Summand	Zahl einer Addition
Faktor	Zahl einer Multiplikation
Summe	Ergebnis einer Addition
Produkt	Ergebnis einer Multiplikation

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Tauschgesetz	Reihenfolge von Summanden oder Faktoren ändern
Verbindungsgesetz	Klammern bei Addition oder Multiplikation anders setzen
Verteilungsgesetz	Multiplikation mit einer Summe oder Differenz verbinden
Ausklammern	gemeinsamen Faktor vor eine Klammer ziehen
Ausmultiplizieren	einen Faktor auf alle Glieder in einer Klammer verteilen

Kreuzworträtsel

Tauschgesetz	Wie heißt das Kommutativgesetz auf Deutsch?
Verbindungsgesetz	Wie heißt das Assoziativgesetz auf Deutsch?
Verteilungsgesetz	Wie heißt das Distributivgesetz auf Deutsch?
Faktor	Wie heißt eine Zahl in einer Multiplikation?
Summe	Wie heißt das Ergebnis einer Addition?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?

LearningApps

Lückentext

Das Kommutativgesetz heißt auf Deutsch

.

Beim Assoziativgesetz darfst Du die

bei Addition oder Multiplikation anders setzen.

Das Distributivgesetz heißt auch

.

In der Rechnung

7 \cdot 19 + 7 \cdot 1

ist die Zahl

der gemeinsame Faktor.

Durch Ausklammern entsteht aus

7 \cdot 19 + 7 \cdot 1

die Rechnung

7 \cdot

.

Die Zahlen

38

und

62

ergänzen sich zur runden Zahl

.

Das Tauschgesetz gilt im Allgemeinen nicht für die

.

Ein Rechteckmodell kann das

anschaulich erklären.

Beim geschickten Rechnen wird die Form einer Rechnung verändert, ihr

bleibt gleich.

Aus

4 \cdot 25

entsteht das leicht nutzbare Teilprodukt

.

Offene Aufgaben

Leicht

Punktefeld gestalten: Zeichne ein Punktefeld zu $4 \cdot 7$ . Drehe es gedanklich oder auf Papier und erkläre mit einer zweiten Rechnung das Tauschgesetz.
Zahlenkarten ordnen: Schreibe die Zahlen $26$ , $74$ , $39$ und $61$ auf vier Karten. Finde eine besonders günstige Reihenfolge und dokumentiere Deinen Rechenweg.
Rechenfreunde sammeln: Erstelle ein kleines Plakat mit mindestens sechs Zahlenpaaren, die zusammen $10$ , $100$ oder $1000$ ergeben.
Flächenmodell zeichnen: Zeichne ein Rechteck zu $5 \cdot (8 + 2)$ , zerlege es in zwei Teilrechtecke und beschrifte alle Teilflächen.

Standard

Rechenweg vergleichen: Berechne $8 \cdot 49$ einmal direkt und einmal mit dem Verteilungsgesetz über $50 - 1$ . Vergleiche, welcher Weg für Dich übersichtlicher ist.
Erklärvideo planen: Entwirf ein einminütiges Erklärvideo zum Unterschied zwischen Tauschgesetz und Verbindungsgesetz. Nutze mindestens ein Beispiel und eine visuelle Darstellung.
Fehlerdetektiv: Erfinde drei falsche Anwendungen von Rechengesetzen, zum Beispiel bei Subtraktion oder Division. Lass eine Partnerperson die Fehler finden und korrigieren.
Alltagsbeispiel modellieren: Finde eine Alltagssituation, die sich mit $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ beschreiben lässt, und stelle sie als Skizze, Tabelle oder Fotogeschichte dar.

Schwer

Strategienetz erstellen: Entwickle ein Entscheidungsdiagramm, das bei einer Rechnung hilft zu entscheiden, ob Tauschen, Verbinden, Verteilen oder Ausklammern besonders sinnvoll ist.
Mehrere Rechenwege beweisen: Finde mindestens drei verschiedene geschickte Rechenwege für $25 \cdot 48$ . Begründe bei jedem Schritt das verwendete Rechengesetz.
Rechenchallenge entwickeln: Erstelle fünf Aufgaben, bei denen das Ergebnis ohne Taschenrechner schnell gefunden werden kann, wenn ein passendes Rechengesetz erkannt wird. Gib zu jeder Aufgabe eine Musterlösung mit Begründung an.
Mini-Untersuchung durchführen: Teste an mindestens zehn Beispielen, ob das Tausch- und Verbindungsgesetz bei Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division funktioniert. Ordne Deine Ergebnisse in einer Tabelle und formuliere daraus Regeln.

Lernkontrolle

Strategie begründen: Berechne $37 + 28 + 63 + 72$ möglichst geschickt. Kennzeichne jeden Umformungsschritt mit dem verwendeten Rechengesetz und erkläre, warum Dein Weg effizient ist.
Flächenmodell übertragen: Ein Rechteck ist $12$ Einheiten hoch und $25$ Einheiten breit. Zerlege die Breite so, dass Du den Flächeninhalt mit dem Verteilungsgesetz besonders leicht berechnen kannst. Zeichne das Modell und begründe die Zerlegung.
Fehler analysieren: Eine Person behauptet $(20 - 8) - 5 = 20 - (8 - 5)$ , weil man Klammern immer umsetzen dürfe. Erkläre den Denkfehler, berechne beide Seiten und formuliere die korrekte Regel.
Rechenwege vergleichen: Vergleiche $9 \cdot 49 = 9 \cdot (50 - 1)$ mit einer direkten Multiplikation. Beschreibe, welcher Rechenweg im Kopf günstiger ist und warum.
Ausklammern erkennen: Forme $13 \cdot 17 + 13 \cdot 3$ so um, dass eine runde Zahl entsteht. Erkläre, woran Du erkannt hast, dass Ausklammern sinnvoll ist.
Transfer entwickeln: Erfinde selbst eine Rechnung mit mindestens vier Zahlen, bei der Tauschgesetz, Verbindungsgesetz und Verteilungsgesetz in einem sinnvollen Lösungsweg vorkommen. Löse sie und begründe jede Umformung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern mathematische Zusammenhänge sichtbar machst.

Rechengesetze benennen: Du kannst Tauschgesetz, Verbindungsgesetz und Verteilungsgesetz fachsprachlich korrekt benennen.
Rechengesetze darstellen: Du kannst die drei Gesetze mit $a$ , $b$ und $c$ formulieren.
Geschickt rechnen: Du kannst Zahlen so umordnen, gruppieren oder zerlegen, dass runde und leicht berechenbare Zwischenergebnisse entstehen.
Darstellungen verknüpfen: Du kannst Punktefelder, Flächenmodelle, Zahlengeraden und Rechnungen miteinander in Beziehung setzen.
Rechenwege begründen: Du kannst erklären, warum eine Umformung erlaubt ist und welches Gesetz dabei verwendet wird.
Fehler erkennen: Du kannst begründen, warum Tausch- und Verbindungsgesetz bei Subtraktion und Division im Allgemeinen nicht gelten.
Transfer leisten: Du kannst eigene Aufgaben entwickeln und unterschiedliche Lösungswege auf Effizienz und Richtigkeit vergleichen.

OERs zum Thema

Die folgenden Wikipedia-Artikel vertiefen die drei grundlegenden Rechengesetze:

Zusätzliche freie beziehungsweise offen zugängliche Lernangebote:

Verknüpfte Lernbereiche

Rechengesetze

aiMOOC-Projekte

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