M5 M - Ganze Zahlen vergleichen und ordnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

M5 M - Ganze Zahlen vergleichen und ordnen richtet sich an Lernende der Klasse 5 auf M-Niveau. Du lernst, ganze Zahlen sicher zu vergleichen, der Größe nach zu ordnen und Deine Entscheidung mit der Zahlengerade zu begründen. Dabei verbindest Du immer drei Sichtweisen:

1. Situation: zum Beispiel Temperatur, Höhe oder Tiefe.
2. Symbol: zum Beispiel $-3>-8$.
3. Bild: die Positionen der Zahlen auf einer Zahlengeraden.

Eine zentrale Idee begleitet Dich durch den gesamten Kurs:

Auf der Zahlengeraden	Bedeutung
weiter rechts	Zahl ist größer
weiter links	Zahl ist kleiner

Deshalb gilt zum Beispiel

$-3>-8$,

denn $-3$ liegt auf der Zahlengeraden rechts von $-8$.

Das lernst Du

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. ganze Zahlen als positive Zahlen, negative Zahlen und die $0$ erkennen.
2. Zahlen auf einer Zahlengerade eintragen und ihre Lage beschreiben.
3. Vergleichszeichen $<$, $>$ und $=$ passend einsetzen.
4. mehrere ganze Zahlen aufsteigend und absteigend ordnen.
5. Aussagen wie $-3>-8$ mit der Position auf der Zahlengeraden begründen.
6. Temperaturen und Höhenlagen mit ganzen Zahlen modellieren und vergleichen.
7. typische Denkfehler bei negativen Zahlen erkennen und korrigieren.

Ganze Zahlen verstehen

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit $\mathbb{Z}$ bezeichnet:

$\mathbb{Z}=\{\dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots \}$

Dabei gilt:

Bereich	Beispiele	Lage auf der Zahlengeraden
negative ganze Zahlen	$-1,-2,-3,-4,\dots$	links von $0$
Null	$0$	trennt negative und positive Zahlen
positive ganze Zahlen	$1,2,3,4,\dots$	rechts von $0$

Die Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ.

Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden

Auf einem Zahlenstrahl kennst Du meist die Zahlen ab $0$ nach rechts. Für ganze Zahlen brauchst Du eine Linie, die auch nach links weitergeht: die Zahlengerade.

$\dots <-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<\dots$

Die Reihenfolge zeigt sofort:

$-5<-2$

$-1<0$

$0<4$

$-3<2$

Je weiter Du nach rechts gehst, desto größer werden die Zahlen.

Dynamische Zahlengerade: selbst untersuchen

Verschiebe beziehungsweise untersuche Zahlen auf der dynamischen Darstellung. Prüfe dabei immer die Regel: rechts = größer, links = kleiner.

Forscherauftrag: Suche in der dynamischen Zahlengerade nacheinander Zahlenpaare mit diesen Eigenschaften: zwei positive Zahlen, zwei negative Zahlen, eine negative und eine positive Zahl sowie eine negative Zahl und $0$. Begründe jedes Mal mit der Lage auf der Zahlengeraden, welche Zahl größer ist.

Ganze Zahlen vergleichen

Zum Vergleichen zweier Zahlen verwendest Du die Zeichen

$<$ für kleiner als,

$>$ für größer als und

$=$ für gleich.

Aussage	gesprochen	Bildidee
$2<7$	zwei ist kleiner als sieben	$2$ liegt links von $7$
$9>4$	neun ist größer als vier	$9$ liegt rechts von $4$
$-6<-2$	minus sechs ist kleiner als minus zwei	$-6$ liegt links von $-2$
$-3>-8$	minus drei ist größer als minus acht	$-3$ liegt rechts von $-8$

Visueller Rechenweg: Warum gilt $-3>-8$?

Schritt	Darstellung	Begründung
1. Zahlen suchen	$-8$ und $-3$	Beide Zahlen sind negativ.
2. Reihenfolge sichtbar machen	$-8<-7<-6<-5<-4<-3$	Von links nach rechts werden die Zahlen größer.
3. Position vergleichen	$-3$ liegt rechts von $-8$.	Die weiter rechts liegende Zahl ist größer.
4. Vergleich notieren	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{-3>-8}}	Das Zeichen öffnet sich zur größeren Zahl.
5. Umgekehrt lesen	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{-8<-3}}	Dieselbe Beziehung kann auch von der anderen Seite gelesen werden.

Du kannst die Aussage zusätzlich über den Abstand zur Null verstehen:

$|-3|=3$ und $|-8|=8$.

Die Zahl $-3$ liegt näher an $0$. Bei zwei negativen Zahlen ist die Zahl, die näher an $0$ liegt, die größere Zahl.

Eine sichere Vergleichsstrategie

Nutze immer diese Schrittfolge:

Schritt	Frage	Beispiel $-12$ und $-5$
1	Sind die Zahlen positiv, negativ oder ist eine davon $0$?	Beide sind negativ.
2	Wo liegen sie auf der Zahlengeraden?	$-12$ liegt links von $-5$.
3	Welche Zahl liegt weiter rechts?	$-5$.
4	Vergleich aufschreiben	$-12<-5$ beziehungsweise $-5>-12$.

Fälle beim Vergleichen

Fall	Beispiel	Begründung
zwei positive Zahlen	$4<9$	$9$ liegt weiter rechts.
negativ und positiv	$-2<6$	Jede negative Zahl liegt links von jeder positiven Zahl.
negativ und Null	$-1<0$	Jede negative Zahl liegt links von $0$.
positiv und Null	$7>0$	Jede positive Zahl liegt rechts von $0$.
zwei negative Zahlen	$-4>-9$	$-4$ liegt weiter rechts und näher an $0$.

Denkfalle bei negativen Zahlen

Die Aussage „$8>3$, also muss auch $-8>-3$ gelten“ ist falsch.

Richtig ist:

$-8<-3$.

Auf der Zahlengeraden liegt $-8$ weiter links als $-3$.

Falscher Gedanke	Korrektur
„Die Zahl mit der größeren Ziffer ist immer größer.“	Bei negativen Zahlen entscheidet die Lage auf der Zahlengeraden.
„$-10$ ist größer als $-2$, weil $10>2$.“	$-10<-2$, denn $-10$ liegt weiter links.
„$0$ ist negativ.“	$0$ ist weder positiv noch negativ.

Ganze Zahlen ordnen

Beim aufsteigenden Ordnen beginnst Du mit der kleinsten Zahl und gehst zur größten Zahl:

$-9<-4<-1<0<3<7$

Beim absteigenden Ordnen beginnst Du mit der größten Zahl:

$7>3>0>-1>-4>-9$

Visuelle Schrittfolge zum Ordnen

Ordne zum Beispiel

$4,-6,0,-2,7$.

Schritt	Handlung	Ergebnis
1	Trage alle Zahlen gedanklich oder tatsächlich auf einer Zahlengeraden ein.	$-6,-2,0,4,7$
2	Lies von links nach rechts.	klein nach groß
3	Schreibe eine Ordnungskette.	$-6<-2<0<4<7$
4	Kontrolliere: Wird jede Zahl nach rechts tatsächlich größer?	ja

Interaktive Sortierung ganzer Zahlen

Arbeitsauftrag: Formuliere nach jeder Sortierung zusätzlich eine vollständige Ordnungskette mit $<$ oder $>$.

Ganze Zahlen am Thermometer

Temperaturen sind ein besonders anschauliches Beispiel für ganze Zahlen.

Bei einer Celsius-Skala steht $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ zwischen positiven und negativen Temperaturen.

Temperatur	Einordnung
$6{}^{\circ }\mathrm{C}$	über Null
$0{}^{\circ }\mathrm{C}$	Nullpunkt der Skala
$-3{}^{\circ }\mathrm{C}$	unter Null
$-8{}^{\circ }\mathrm{C}$	noch weiter unter Null

Daraus folgt:

$-8<-3<0<6$.

Wenn es morgens $-8{}^{\circ }\mathrm{C}$ und mittags $-3{}^{\circ }\mathrm{C}$ sind, ist es mittags wärmer. Mathematisch:

$-3>-8$.

Thermometerskala als senkrechte Zahlengerade

Ein Thermometer funktioniert beim Vergleichen ähnlich wie eine senkrecht gestellte Zahlengerade:

$5$
$4$
$3$
$2$
$1$
$0$
$-1$
$-2$
$-3$
$-4$
$-5$

Weiter oben bedeutet hier: höhere Temperatur und damit größere Zahl.

Ganze Zahlen bei Höhen und Tiefen

Als Bezugshöhe kann man $0$ verwenden. Werte oberhalb des Bezugspunktes werden positiv, Werte darunter negativ dargestellt.

Ein vereinfachtes Höhenmodell:

Ort im Modell	Höhe relativ zum Bezugspunkt
Aussichtspunkt	$+120\mathrm{m}$
Bezugshöhe	$0\mathrm{m}$
Tiefgarage	$-8\mathrm{m}$
Tunnelabschnitt	$-30\mathrm{m}$

Geordnet von der niedrigsten zur höchsten Lage:

$-30<-8<0<120$.

Obwohl $30>8$ gilt, liegt $-30$ tiefer und ist deshalb die kleinere ganze Zahl.

Ganze Zahlen in Alltagssituationen

Ganze Zahlen können Gegensätze um einen Bezugspunkt beschreiben:

Situation	negative Werte	Null	positive Werte
Temperatur	unter $0{}^{\circ }\mathrm{C}$	$0{}^{\circ }\mathrm{C}$	über $0{}^{\circ }\mathrm{C}$
Höhe relativ zu einer Bezugshöhe	darunter	Bezugshöhe	darüber
Stockwerke	Untergeschosse	Erdgeschoss als gewählter Bezug	Obergeschosse
Veränderung	Abnahme	keine Veränderung	Zunahme

Wichtig ist immer, den Bezugspunkt zu kennen. Erst dann kannst Du die Vorzeichen sinnvoll deuten.

Dynamisches Modell: Temperatur, Höhe und Zahlengerade

Dieses interaktive GeoGebra-Material verbindet ganze Zahlen mit Temperatur, Meereshöhe und Zahlengerade.

Beobachtungsauftrag: Suche zwei Beispiele aus unterschiedlichen Alltagssituationen und übersetze sie jeweils in eine Vergleichsaussage mit $<$ oder $>$.

Lernvideos

Das erste Video führt negative Zahlen mithilfe des Zahlenstrahls ein.

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Achte beim Ansehen besonders darauf, wie Positionen links und rechts von $0$ gedeutet werden.

Das zweite Video behandelt gezielt das Ordnen ganzer Zahlen und Ordnungsketten.

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Notiere danach ein eigenes Beispiel mit mindestens fünf ganzen Zahlen und ordne es aufsteigend.

Merksätze

Merksatz	Beispiel
Auf der Zahlengeraden ist die weiter rechts liegende Zahl größer.	$-3>-8$
Jede positive ganze Zahl ist größer als $0$.	$4>0$
Jede negative ganze Zahl ist kleiner als $0$.	$-1<0$
Jede positive ganze Zahl ist größer als jede negative ganze Zahl.	$2>-100$
Bei zwei negativen Zahlen ist die Zahl näher an $0$ die größere.	$-4>-9$
Aufsteigend bedeutet von klein nach groß.	$-5<-1<0<6$
Absteigend bedeutet von groß nach klein.	$6>0>-1>-5$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage ist richtig? (−3 > −8) (!−3 < −8) (!−3 = −8) (!3 < −8)

Welche Zahl liegt auf der Zahlengeraden am weitesten rechts? (2) (!−5) (!0) (!−1)

Welche Ordnung ist von klein nach groß richtig? (−7 < −2 < 0 < 4) (!4 < 0 < −2 < −7) (!−2 < −7 < 0 < 4) (!0 < −7 < −2 < 4)

Wie vergleicht man −12 und −5 richtig? (−12 < −5) (!−12 > −5) (!−12 = −5) (!12 < −5)

Welche Aussage über 0 und −1 ist richtig? (0 > −1) (!0 < −1) (!0 = −1) (!−1 > 0)

Morgens sind es −9 Grad Celsius und mittags −4 Grad Celsius. Welche Temperatur ist größer? (−4 Grad Celsius) (!−9 Grad Celsius) (!Beide Temperaturen sind gleich) (!0 Grad Celsius)

Ein Punkt liegt bei −20 Metern und ein anderer bei −50 Metern relativ zu einer Bezugshöhe. Welcher Wert ist größer? (−20 Meter) (!−50 Meter) (!Beide sind gleich) (!50 Meter)

Welche Aussage bedeutet dasselbe wie 6 > −2? (−2 < 6) (!−2 > 6) (!6 < −2) (!6 = −2)

Was bedeutet die Regel rechts ist größer auf der Zahlengeraden? (Die weiter rechts liegende Zahl ist größer) (!Die weiter links liegende Zahl ist größer) (!Negative Zahlen sind immer größer) (!Die Zahl mit mehr Ziffern ist immer größer)

Welche Korrektur ist richtig wenn jemand behauptet −8 sei größer als −3 weil 8 größer als 3 ist? (−8 ist kleiner als −3) (!−8 ist größer als −3) (!−8 ist gleich −3) (!Negative Zahlen kann man nicht vergleichen)

Memory

Zahlengerade	rechts größer und links kleiner
Negative Zahl	liegt links von Null
Positive Zahl	liegt rechts von Null
Null	weder positiv noch negativ
Größerzeichen	>
Kleinerzeichen	<

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Rechts von Null	positive Zahl
Links von Null	negative Zahl
Näher an Null bei zwei negativen Zahlen	größere negative Zahl
Aufsteigend ordnen	von klein nach groß
Absteigend ordnen	von groß nach klein

Kreuzworträtsel

Zahlengerade	Wie heißt die Linie, auf der Zahlen ihrer Größe nach angeordnet werden?
Vorzeichen	Wie heißt das Plus- oder Minuszeichen vor einer Zahl?
Thermometer	Welches Messgerät veranschaulicht positive und negative Temperaturen?
Aufsteigend	Wie heißt das Ordnen von klein nach groß?
Absteigend	Wie heißt das Ordnen von groß nach klein?
Betrag	Wie heißt der Abstand einer Zahl von Null?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die ganzen Zahlen bilden die Zahlenmenge . Auf der Zahlengeraden liegen negative Zahlen von Null. Positive Zahlen liegen von Null. Die Zahl Null ist weder positiv noch . Auf der Zahlengeraden werden Zahlen nach rechts immer . Deshalb ist $-3$ als $-8$. Die Zahl $-8$ liegt weiter als $-3$. Beim aufsteigenden Ordnen beginnst Du mit der Zahl. Beim absteigenden Ordnen beginnst Du mit der Zahl. Bei zwei negativen Zahlen ist die Zahl näher an Null die Zahl.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $-10$ bis $10$. Markiere $-8,-3,0,4,9$ und schreibe darunter eine aufsteigende Ordnungskette.
2. Thermometer-Modell: Zeichne eine Thermometerskala von $-10{}^{\circ }\mathrm{C}$ bis $10{}^{\circ }\mathrm{C}$. Markiere vier Temperaturen und ordne sie von kalt nach warm.
3. Vergleichskarten: Erstelle acht Karten mit ganzen Zahlen. Ziehe jeweils zwei Karten und lege dazwischen das passende Zeichen $<$, $>$ oder $=$.
4. Minus drei und minus acht: Erkläre mit einer eigenen Skizze und zwei vollständigen Sätzen, warum $-3>-8$ gilt.

Standard

1. Sortierspiel ganze Zahlen: Entwirf ein Kartenspiel mit mindestens zwölf ganzen Zahlen zwischen $-20$ und $20$. Eine andere Person soll die Karten möglichst schnell aufsteigend ordnen und anschließend die Reihenfolge begründen.
2. Temperaturvergleich: Sammle für mehrere Orte oder fiktive Wetterstationen zehn ganzzahlige Temperaturen. Stelle sie in einer Tabelle dar und bilde mindestens fünf korrekte Vergleichsaussagen.
3. Fehlerposter: Gestalte ein Lernposter zu drei typischen Fehlern beim Vergleichen negativer Zahlen. Zu jedem Fehler gehören ein falsches Beispiel, die Korrektur und eine Begründung mit der Zahlengeraden.
4. Dynamische Zahlengerade erforschen: Nutze eine dynamische Zahlengerade und untersuche mindestens sechs Zahlenpaare. Formuliere eine Regel für zwei negative Zahlen und belege sie mit Beispielen.

Schwer

1. Mathe-Escape-Challenge: Entwickle eine kleine Rätselkette mit mindestens fünf Aufgaben zum Vergleichen und Ordnen ganzer Zahlen. Jede richtige Ordnung soll einen Hinweis für die nächste Aufgabe liefern.
2. Allgemeine Regel negative Zahlen: Formuliere eine allgemeine Regel zum Vergleichen zweier negativer ganzer Zahlen. Erkläre sie mithilfe von Zahlengerade und Abstand zur Null und prüfe sie an mindestens vier Beispielen.
3. Höhenprofil gestalten: Erfinde ein Höhenprofil mit mindestens acht Stationen oberhalb und unterhalb einer Bezugshöhe. Stelle die Höhen als ganze Zahlen dar, ordne sie und formuliere Vergleichsaussagen zu den Stationen.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du zuerst eine Alltagssituation darstellst, dann die zugehörigen ganzen Zahlen auf einer Zahlengeraden markierst und schließlich eine Ordnungskette begründest.

Lernkontrolle

1. Zahlengerade begründen: Jemand behauptet $-6>-2$. Widerlege die Aussage ohne nur das richtige Zeichen zu nennen. Nutze die Positionen auf einer Zahlengeraden.
2. Temperaturen übertragen: In drei Nächten werden $-2{}^{\circ }\mathrm{C}$, $-11{}^{\circ }\mathrm{C}$ und $3{}^{\circ }\mathrm{C}$ gemessen. Ordne die Temperaturen und erkläre, wie Deine Ordnung mit einer Zahlengeraden zusammenhängt.
3. Höhenmodell vergleichen: Ein Tunnel liegt bei $-35\mathrm{m}$, eine Tiefgarage bei $-12\mathrm{m}$ und eine Aussichtsplattform bei $48\mathrm{m}$ relativ zu einer Bezugshöhe. Ordne die Werte und erläutere, welche Station am tiefsten liegt.
4. Fehleranalyse: Eine Schülerin schreibt $-15>-9$, weil $15>9$. Erkläre ihren Denkfehler und entwickle eine Regel, mit der dieser Fehler vermieden werden kann.
5. Darstellungen verbinden: Zeichne eine Zahlengerade, markiere $-7,-1,0,5$ und schreibe zwei verschiedene korrekte Ordnungsketten: einmal aufsteigend und einmal absteigend.
6. Transferaufgabe: Erfinde eine eigene Alltagssituation, in der $-3>-8$ sinnvoll gedeutet werden kann. Erkläre, wofür $0$, $-3$ und $-8$ in Deiner Situation stehen.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du nicht nur Vergleichszeichen einsetzen, sondern Deine Entscheidungen auch erklären kannst.

Kompetenz	Das solltest Du nachweisen können
Ganze Zahlen erkennen	Du unterscheidest negative ganze Zahlen, $0$ und positive ganze Zahlen.
Zahlengerade nutzen	Du trägst ganze Zahlen an passenden Positionen ein und liest sie korrekt ab.
Zahlen vergleichen	Du setzt $<$, $>$ und $=$ sicher ein.
Zahlen ordnen	Du bildest aufsteigende und absteigende Ordnungsketten.
Begründungen geben	Du erklärst Vergleiche mit den Begriffen links, rechts, größer, kleiner und Abstand zur Null.
Alltag übertragen	Du deutest ganze Zahlen in Temperatur- und Höhensituationen.
Fehler erkennen	Du korrigierst typische Fehlvorstellungen bei zwei negativen Zahlen.

Ein besonders wichtiger Nachweis ist die verständliche Begründung:

$-3>-8$, weil $-3$ auf der Zahlengeraden rechts von $-8$ liegt.

OERs zum Thema

Die folgenden freien beziehungsweise offen zugänglichen Lernressourcen helfen beim Vertiefen. Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Grafiken besitzen auf ihren Dateibeschreibungsseiten Angaben zu Urheber und freier Lizenz beziehungsweise Gemeinfreiheit.

Verknüpfte Lernbereiche

Ganze Zahlen Zahlengerade Positive Zahl Negative Zahl Null Vergleichszeichen Größer als Kleiner als Betrag einer Zahl Temperatur Höhenangabe Ordnung von Zahlen