M5 G - Umfang verstehen und messen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Stell Dir einen Garten, einen Bilderrahmen oder ein Spielfeld vor. Wenn Du wissen möchtest, wie viel Zaun, Schnur oder Randband Du brauchst, interessiert Dich nicht die Fläche in der Mitte, sondern der Rand außen herum. Genau diese Randlänge heißt in der Geometrie Umfang.

Leitidee dieses aiMOOCs:

Alltagssituation	Mathematische Frage	Gesuchte Größe
Zaun um ein Beet	Wie lang muss der Zaun insgesamt sein?	Umfang
Schnur um eine Karte	Wie lang muss die Schnur sein?	Umfang
Zierband um einen Bilderrahmen	Wie viel Band braucht man für den Rand?	Umfang
Rand eines Spielfeldes	Wie weit ist eine Runde am Rand?	Umfang

Der Umfang wird mit einer Längeneinheit angegeben, zum Beispiel $\mathrm{m}\mathrm{m}$, $\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\mathrm{m}$ oder $\mathrm{k}\mathrm{m}$. Du lernst hier, den Umfang als Länge des Randes zu verstehen, Seitenlängen zu messen und die gemessenen Längen zu addieren.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

Kompetenz	Das kannst Du zeigen
Umfang verstehen	Du erklärst: Der Umfang ist die Länge des Randes einer Figur.
Seiten messen	Du legst das Lineal richtig an und liest Längen in $\mathrm{c}\mathrm{m}$ oder $\mathrm{m}\mathrm{m}$ ab.
Umfang berechnen	Du addierst alle Seitenlängen einer einfachen Figur.
Rechteck erkennen	Du nutzt gleiche gegenüberliegende Seiten.
Quadrat erkennen	Du nutzt vier gleich lange Seiten.
Ergebnis prüfen	Du schreibst eine passende Längeneinheit dazu und schätzt, ob das Ergebnis sinnvoll ist.

Umfang als Randlänge verstehen

Merksatz:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Umfang}=\text{Länge des gesamten Randes}}}

Du kannst Dir vorstellen, dass Du mit dem Finger einmal am Rand einer Figur entlangfährst. Start und Ziel liegen am selben Punkt. Alles, was Du dabei am Rand zurücklegst, gehört zum Umfang.

Bei einem Bilderrahmen kannst Du Dir eine Schnur vorstellen, die genau einmal außen herumgelegt wird.

Wenn Du die Schnur danach geradeziehst und ihre Länge misst, erhältst Du den Umfang des umspannten Randes.

Rand oder Innenfläche?

Vergleiche:

Frage	Gesucht	Einheit
Wie lang ist der Rand?	Umfang	$\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\mathrm{m}$, ...
Wie groß ist die Fläche innen?	Flächeninhalt	$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$, ${\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$, ...

Wichtig: In diesem aiMOOC geht es um die Randlänge. Deshalb rechnest Du mit Längeneinheiten und nicht mit Quadrateinheiten.

Seitenlängen richtig messen

Zum Bestimmen eines Umfangs musst Du oft zuerst die Seitenlängen messen.

Eine Strecke von $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ besteht aus $10\mathrm{m}\mathrm{m}$:

$1\mathrm{c}\mathrm{m}=10\mathrm{m}\mathrm{m}$

Schritt für Schritt mit dem Lineal

Schritt	So gehst Du vor	Kontrollfrage
1	Lege die Nullmarke des Lineals genau an den Anfang der Seite.	Beginnt die Messung wirklich bei $0$?
2	Lege das Lineal gerade an der Seite entlang.	Liegt das Lineal parallel zur Seite?
3	Lies am Endpunkt der Seite den Wert ab.	Welche Einheit zeigt das Lineal?
4	Schreibe Zahl und Einheit zusammen auf.	Steht zum Beispiel $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ statt nur $6$?

Wenn die Nullmarke nicht am Streckenanfang liegt

Beginnt eine Strecke am Lineal bei $2\mathrm{c}\mathrm{m}$ und endet bei $8\mathrm{c}\mathrm{m}$, dann ist sie nicht $8\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang.

$8\mathrm{c}\mathrm{m}-2\mathrm{c}\mathrm{m}=6\mathrm{c}\mathrm{m}$

Merke: Bei einer verschobenen Messung rechnest Du

$\text{Endwert}-\text{Startwert}=\text{Länge}$.

Umfang durch Addieren bestimmen

Bei einer einfachen Vielecksfigur addierst Du die Längen aller Randseiten.

Beispiel: Rechteck mit vier gemessenen Seiten

Angenommen, Du misst:

$6\mathrm{c}\mathrm{m},3\mathrm{c}\mathrm{m},6\mathrm{c}\mathrm{m},3\mathrm{c}\mathrm{m}$

Dann lautet der Rechenweg:

$U=6\mathrm{c}\mathrm{m}+3\mathrm{c}\mathrm{m}+6\mathrm{c}\mathrm{m}+3\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U=18\mathrm{c}\mathrm{m}$

Visueller Rechenweg:

Start	nach Seite 1	nach Seite 2	nach Seite 3	nach Seite 4
$0$	$6$	$9$	$15$	$18$

Dazu gehören die Teilschritte

$0+6=6$

$6+3=9$

$9+6=15$

$15+3=18$.

So kannst Du die Seitenlängen wie Sprünge auf einer Zahlengerade nacheinander addieren.

Dynamische Zahlengerade

Nutze die bewegliche Zahlengerade, um Zwischensummen sichtbar zu machen. Verschiebe Punkte und überlege bei jedem Sprung: Welche Seitenlänge wurde gerade addiert?

Das Rechteck

Bei einem Rechteck sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Nennen wir die längere Seite $a$ und die kürzere Seite $b$, dann gilt:

$U=a+b+a+b$

Gleiche Längen können zusammengefasst werden:

$U=2a+2b$

oder

$U=2\cdot (a+b)$.

Beispiel Rechteck

Gegeben:

$a=7\mathrm{c}\mathrm{m}$

$b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$

Rechnung:

$U=7\mathrm{c}\mathrm{m}+4\mathrm{c}\mathrm{m}+7\mathrm{c}\mathrm{m}+4\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U=22\mathrm{c}\mathrm{m}$

Kontrolle mit der Kurzform:

$U=2\cdot (7\mathrm{c}\mathrm{m}+4\mathrm{c}\mathrm{m})$

$U=2\cdot 11\mathrm{c}\mathrm{m}=22\mathrm{c}\mathrm{m}$

Animierter Rechenweg zum Rechteck

In dieser dynamischen Geometrie kannst Du den Umfang eines Rechtecks als Weg um den Rand beobachten.

Beobachtungsauftrag: Starte die Animation und erkläre anschließend mit einem Satz, warum jede der vier Seiten zum Umfang gehört.

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Das Quadrat

Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. Hat jede Seite die Länge $a$, dann gilt:

$U=a+a+a+a$

$U=4a$.

Beispiel Quadrat

Gegeben:

$a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

Rechnung:

$U=4\cdot 5\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U=20\mathrm{c}\mathrm{m}$.

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Umfang am Raster erkennen

Ein Raster hilft Dir, Seitenlängen zu sehen und zu zählen. Dabei musst Du immer wissen, wie lang eine Rasterkante ist.

Wenn ein Kästchen eine Seitenlänge von $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ hat und ein Rechteck $5$ Kästchen lang sowie $3$ Kästchen breit ist, dann gilt:

$a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

$b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U=5+3+5+3=16\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Achtung: Beim Umfang zählst Du die Randstrecken. Du zählst nicht alle Kästchen im Inneren.

Raster-Strategie

Schritt	Aktion	Beispiel
1	Bestimme die Länge einer Rasterkante.	$1\mathrm{c}\mathrm{m}$
2	Zähle die Kanten an jeder Seite.	$5,3,5,3$
3	Übersetze die Kanten in Seitenlängen.	$5\mathrm{c}\mathrm{m},3\mathrm{c}\mathrm{m},5\mathrm{c}\mathrm{m},3\mathrm{c}\mathrm{m}$
4	Addiere alle Randseiten.	$U=16\mathrm{c}\mathrm{m}$

Umfang im Alltag

Zaun

Ein rechteckiges Beet ist $8\mathrm{m}$ lang und $5\mathrm{m}$ breit. Für einen Zaun rundherum brauchst Du:

$U=8\mathrm{m}+5\mathrm{m}+8\mathrm{m}+5\mathrm{m}$

$U=26\mathrm{m}$.

Ist ein $1\mathrm{m}$ breites Tor vorgesehen, an dessen Stelle kein Zaun steht, dann lautet die benötigte Zaunlänge:

$26\mathrm{m}-1\mathrm{m}=25\mathrm{m}$.

Weg und Beeteinfassung

Bei einer Beeteinfassung oder einem Randstein interessiert Dich ebenfalls die Länge entlang des Randes. Zeichne die Form zuerst vereinfacht als Vieleck und trage bekannte Seitenlängen ein. Danach addierst Du die Seiten, die wirklich eingefasst werden sollen.

Bilderrahmen

Ein rechteckiger Bilderrahmen ist außen $30\mathrm{c}\mathrm{m}$ breit und $20\mathrm{c}\mathrm{m}$ hoch. Für ein Zierband am äußeren Rand brauchst Du:

$U=30+20+30+20$

$U=100\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Da $100\mathrm{c}\mathrm{m}=1\mathrm{m}$ gilt, brauchst Du genau $1\mathrm{m}$ Zierband.

Schnurmodell

Lege eine Schnur einmal um einen Gegenstand mit geradem Rand, markiere Start und Ende und ziehe die Schnur anschließend gerade. Miss ihre Länge. So wird die Idee

$\text{Umfang}=\text{abgerollte Randlänge}$

besonders anschaulich.

Einheiten beim Umfang

Der Umfang ist eine Länge. Deshalb nutzt Du Längeneinheiten.

Einheit	Beziehung
Millimeter	$10\mathrm{m}\mathrm{m}=1\mathrm{c}\mathrm{m}$
Zentimeter	$100\mathrm{c}\mathrm{m}=1\mathrm{m}$
Meter	$1000\mathrm{m}=1\mathrm{k}\mathrm{m}$

Addiere möglichst erst dann, wenn alle Seitenlängen in derselben Einheit vorliegen.

Beispiel:

$1\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U=100\mathrm{c}\mathrm{m}+40\mathrm{c}\mathrm{m}+100\mathrm{c}\mathrm{m}+40\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U=280\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Dynamische Geometrie und Animation

Die folgende GeoGebra-Aktivität ist für die Schulstufe 5–6 angelegt und lässt Dich Formeln zum Umfang von Rechteck und Quadrat anwenden und begründen.

Arbeitsauftrag: Verändere Seitenlängen, berechne den Umfang zuerst selbst und kontrolliere anschließend. Erkläre danach, warum beim Rechteck jede Seitenlänge zweimal vorkommt.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Die Animation erinnert daran: Geometrische Längen werden mit Mess- und Zeichenwerkzeugen sichtbar gemacht. Beim Umfang interessiert Dich die gesamte Länge entlang des Randes.

Umfang oder nicht?

Entscheide bei jeder Situation, ob wirklich ein Umfang gesucht ist.

Situation	Umfang?	Begründung
Zaun rund um einen Garten	Ja	Gesucht ist die Randlänge.
Teppich für den ganzen Boden	Nein	Gesucht ist eine Fläche.
Band um einen Bilderrahmen	Ja	Das Band verläuft am Rand.
Farbe für eine Wand	Nein	Meist wird die Fläche benötigt.
Laufstrecke einmal am Rand eines rechteckigen Feldes	Ja	Die Strecke folgt dem Rand einmal vollständig.

Häufige Fehler vermeiden

Fehler	Beispiel	Besser
Eine Seite vergessen	$6+3+6$	Kontrolliere, ob alle Randseiten vorkommen.
Fläche statt Umfang rechnen	$6\cdot 3$	Für den Umfang: $6+3+6+3$.
Einheit vergessen	$U=18$	$U=18\mathrm{c}\mathrm{m}$
Verschiedene Einheiten direkt addieren	$1\mathrm{m}+40\mathrm{c}\mathrm{m}$	Erst umrechnen, dann addieren.
Lineal nicht bei Null anlegen	Start bei $2\mathrm{c}\mathrm{m}$, Endwert einfach ablesen	$\text{Endwert}-\text{Startwert}$

Mini-Training

Aufgabe A: Rand ablaufen

Ein Rechteck hat die Seitenlängen $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $2\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$U=4+2+4+2$

Berechne selbst:

$U=◻\mathrm{c}\mathrm{m}$

Aufgabe B: Quadrat

Ein Quadrat hat die Seitenlänge $6\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$U=4\cdot 6\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechne:

$U=◻\mathrm{c}\mathrm{m}$

Aufgabe C: Welche Rechnung passt?

Ein Rechteck ist $9\mathrm{m}$ lang und $4\mathrm{m}$ breit.

Rechnung	Bedeutung
$9+4+9+4$	Umfang
$9\cdot 4$	Flächeninhalt

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Umfang einer Figur? (Die Länge des gesamten Randes) (!Die Größe der Innenfläche) (!Die Anzahl der Ecken) (!Die Länge nur einer Seite)

Welche Einheit passt zu einem Umfang? (Zentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Liter) (!Kilogramm)

Ein Rechteck hat Seitenlängen von 6 cm und 3 cm. Wie groß ist sein Umfang? (18 cm) (!9 cm) (!12 cm) (!36 cm)

Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von 5 cm. Wie groß ist sein Umfang? (20 cm) (!10 cm) (!15 cm) (!25 cm)

Welche Rechnung bestimmt den Umfang eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b? (a plus b plus a plus b) (!a mal b) (!a plus b) (!a mal a)

Was musst Du beim Messen einer Seite mit dem Lineal zuerst beachten? (Die Nullmarke liegt am Anfang der Strecke) (!Das Lineal liegt schräg) (!Du beginnst immer bei der Zahl eins) (!Du liest zuerst das Ende ab)

Eine Strecke beginnt am Lineal bei 2 cm und endet bei 8 cm. Wie lang ist sie? (6 cm) (!8 cm) (!10 cm) (!4 cm)

Was gilt für die Seiten eines Quadrats? (Alle vier Seiten sind gleich lang) (!Nur zwei Seiten sind gleich lang) (!Alle Seiten sind verschieden lang) (!Ein Quadrat hat drei Seiten)

Welche Alltagssituation verlangt typischerweise eine Umfangsberechnung? (Ein Zaun soll um ein rechteckiges Beet gebaut werden) (!Ein Teppich soll den ganzen Boden bedecken) (!Eine Flasche soll mit Wasser gefüllt werden) (!Ein Rucksack soll gewogen werden)

Warum müssen Seitenlängen vor dem Addieren dieselbe Einheit haben? (Damit die Längenwerte sinnvoll zusammengezählt werden können) (!Damit aus Zentimetern Quadratmeter werden) (!Damit jede Figur ein Quadrat wird) (!Damit man keine Seiten mehr messen muss)

Memory

Umfang	Länge des Randes
Lineal	Seitenlänge messen
Rechteck	Gegenüberliegende Seiten gleich lang
Quadrat	Vier gleich lange Seiten
Zentimeter	Längeneinheit
Schnur	Randlänge abnehmen
Raster	Seitenkanten zählen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gartenzaun	Randlänge
Lineal	Messen
Bilderrahmen	Umrunden
Rechteck	Gegenüberliegende Seiten
Quadrat	Gleichlange Seiten
Raster	Kanten zählen

Kreuzworträtsel

Umfang	Wie heißt die Länge des gesamten Randes einer Figur?
Lineal	Welches Werkzeug nutzt Du zum Messen kurzer Seitenlängen?
Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel und paarweise gleich lange Gegenseiten?
Quadrat	Welche Figur hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
Randlinie	Welche Linie läufst Du beim Bestimmen des Umfangs vollständig ab?
Zentimeter	Welche Längeneinheit eignet sich oft für Figuren im Heft?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Umfang beschreibt die Länge des gesamten einer Figur.

Zum Messen kurzer Seitenlängen eignet sich ein .

Beim Rechteck sind gegenüberliegende Seiten gleich .

Beim Quadrat haben alle vier Seiten dieselbe .

Für den Umfang eines Quadrats gilt die Kurzformel $U=4\cdot a$; dabei steht $a$ für eine .

Ein Umfang wird mit einer angegeben.

Vor dem Addieren sollten alle Seitenlängen in derselben vorliegen.

Auf einem Raster werden für den Umfang die Kanten am gezählt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Umfang entdecken: Suche im Klassenraum drei Gegenstände mit deutlich erkennbarem Rand. Zeige jeweils mit dem Finger, welchen Weg Du für den Umfang ablaufen würdest.
2. Schnur messen: Lege eine Schnur einmal um einen rechteckigen Gegenstand, markiere Start und Ende und miss anschließend die Schnurlänge.
3. Bilderrahmen untersuchen: Miss Länge und Breite eines Bilderrahmens. Berechne den äußeren Umfang und vergleiche ihn mit Deiner Schnurmessung.
4. Rasterfigur zeichnen: Zeichne auf kariertem Papier drei verschiedene Rechtecke und bestimme ihren Umfang durch Zählen der Randkanten.

Standard

1. Zaun planen: Entwirf ein rechteckiges Beet für den Schulhof. Lege sinnvolle Seitenlängen fest und berechne die benötigte Zaunlänge.
2. Messprotokoll: Miss vier rechteckige Gegenstände. Halte Seitenlängen, Rechnung, Ergebnis und Einheit in einer Tabelle fest.
3. Erklärvideo Umfang: Produziere ein kurzes Video, in dem Du mit einer Schnur erklärst, warum der Umfang eine Randlänge ist.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde drei typische falsche Umfangsrechnungen und erkläre jeweils, wie man den Fehler erkennt und verbessert.

Schwer

1. Tor im Zaun: Plane einen rechteckigen Garten mit einem Tor. Berechne zuerst den ganzen Umfang und danach die tatsächlich benötigte Zaunlänge.
2. Eigene zusammengesetzte Randfigur: Zeichne eine einfache Figur aus waagerechten und senkrechten Strecken, beschrifte alle nötigen Seitenlängen und bestimme den Umfang.
3. Umfang vergleichen: Zeichne zwei verschiedene Rechtecke mit demselben Umfang. Beschreibe, wie sich ihre Seitenlängen unterscheiden können.
4. Mathe-Foto-Story: Fotografiere oder zeichne Zäune, Wege, Rahmen oder Spielfeldränder und gestalte daraus eine Foto-Story mit mindestens vier Umfangsfragen samt Rechenwegen.

Lernkontrolle

1. Zaunproblem übertragen: Ein rechteckiges Gehege ist $12\mathrm{m}$ lang und $7\mathrm{m}$ breit. An einer Seite bleibt eine $2\mathrm{m}$ breite Öffnung. Entwickle einen Rechenweg für die benötigte Zaunlänge und begründe jeden Schritt.
2. Zwei Rechenwege vergleichen: Zeige an einem selbst gewählten Rechteck, dass $a+b+a+b$ und $2\cdot (a+b)$ zum gleichen Umfang führen.
3. Messfehler beurteilen: Eine Schülerin misst eine Strecke von der $3\mathrm{c}\mathrm{m}$-Marke bis zur $11\mathrm{c}\mathrm{m}$-Marke und notiert $11\mathrm{c}\mathrm{m}$. Erkläre den Fehler und verbessere das Ergebnis.
4. Umfang oder Fläche begründen: Entscheide bei den Situationen Teppichboden, Gartenzaun, Geschenkband um eine Karte und Wandfarbe, welche Größe jeweils benötigt wird. Begründe Deine Entscheidung.
5. Raster übertragen: Zeichne eine Rasterfigur, bei der eine Kästchenkante $2\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang ist. Bestimme den Umfang und erkläre, warum bloßes Zählen der Kästchen im Inneren nicht genügt.
6. Strategie erklären: Formuliere eine allgemeine Schrittfolge, mit der Du den Umfang einer einfachen Figur bestimmen kannst, auch wenn die Seitenlängen zuerst gemessen werden müssen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du zeigen kannst:

1. Randvorstellung: Du erkennst und erklärst den Umfang als Länge des gesamten Randes.
2. Längen messen: Du misst Seiten mit Lineal oder Maßband sorgfältig und beachtest Start- und Endmarke.
3. Seiten addieren: Du beziehst alle Randseiten ein und addierst ihre Längen fehlerfrei.
4. Rechteckumfang: Du nutzt $U=a+b+a+b$ oder $U=2\cdot (a+b)$ verständig.
5. Quadratumfang: Du nutzt $U=4a$ verständig.
6. Einheiten: Du verwendest passende Längeneinheiten und rechnest Einheiten bei Bedarf um.
7. Alltagsbezug: Du entscheidest in Sachaufgaben, ob ein Umfang gesucht ist, und begründest Deine Wahl.
8. Plausibilitätsprüfung: Du prüfst, ob Rechnung, Einheit und Größenordnung zum Problem passen.

OERs zum Thema

Weitere freie und interaktive Lernmedien

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GeoGebra: Die eingebetteten dynamischen Materialien unterstützen das Verändern, Messen und Begründen von Umfängen.

YouTube: Die Videos von Lehrerschmidt zeigen Rechenwege zum Umfang von Rechteck und Quadrat. Sie werden direkt von YouTube eingebettet und nicht kopiert.

Verknüpfte Lernbereiche

M5 G - Umfang verstehen und messen Umfang Länge Messen Lineal Längeneinheit Rechteck Quadrat Vieleck Zahlengerade Flächeninhalt Sachaufgabe