M5 G - Skizzen helfen beim Rechnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Sachaufgaben sehen oft länger und schwieriger aus, als sie wirklich sind. Eine einfache Skizze hilft Dir dabei, den Text in Mathematik zu übersetzen. Du musst dabei nicht schön zeichnen. Wichtig ist nur, dass Du erkennst:

1. Welche Größen kommen vor?
2. Welche Größen sind wichtig?
3. Was ist gesucht?
4. Wie hängen die Größen zusammen?
5. Welche Rechnung passt zur Situation?

Eine Sachaufgabe verbindet einen Sachzusammenhang mit Mathematik. Eine Skizze kann diesen Zusammenhang sichtbar machen. Besonders hilfreich sind Zahlengeraden, Balkenmodelle, Streckenbilder, Tabellen und kleine schematische Zeichnungen.

Text	Skizze	Rechnung	Antwort
Mia hat 18 Sammelkarten und bekommt 7 dazu.	18 Karten + 7 Karten	$18+7=25$	Mia hat 25 Sammelkarten.

Merke: Eine Skizze ist kein Kunstbild. Sie soll Dir beim Denken helfen.

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Warum hilft eine Skizze?

Beim Lesen einer Sachaufgabe musst Du aus vielen Wörtern die mathematisch wichtigen Informationen herausfiltern. Eine Skizze reduziert den Text auf das Wesentliche.

Im Text	In der Skizze	Mathematische Bedeutung
bekommt dazu	zwei Balken werden zusammengesetzt	$+$
gibt ab	ein Teil wird vom Ganzen entfernt	$-$
gleich große Gruppen	mehrere gleich lange Balken	$\cdot$
wird gleichmäßig verteilt	ein Balken wird in gleiche Teile zerlegt	$:$
Unterschied	zwei verschieden lange Balken werden verglichen	Differenz

Eine Skizze hilft Dir besonders dann, wenn Du nicht sofort weißt, welche Rechenart Du brauchst.

Die 5-Schritte-Methode

Schritt	Frage an Dich	Was Du tun kannst
1. Lesen	Worum geht es?	Lies die Aufgabe langsam.
2. Markieren	Welche Zahlen und Einheiten sind wichtig?	Unterstreiche wichtige Größen.
3. Fragen	Was soll ich herausfinden?	Kreise die Frage ein.
4. Skizzieren	Wie hängen die Größen zusammen?	Zeichne Strecke, Balken oder Tabelle.
5. Rechnen und Prüfen	Passt das Ergebnis zur Skizze?	Rechne, schreibe die Einheit dazu und prüfe.

Als Kurzform kannst Du Dir merken:

$\text{Lesen}\to \text{Markieren}\to \text{Skizzieren}\to \text{Rechnen}\to \text{Prüfen}$

Skizzen-Werkzeugkasten

Streckenbilder

Ein Streckenbild eignet sich gut für Wege, Längen, Zeiten oder andere Größen, die nacheinander vorkommen.

Beispiel: Eine Wanderung besteht aus einem 4-km-Abschnitt und einem 3-km-Abschnitt.

Start

$⟶4\mathrm{k}\mathrm{m}⟶$

Zwischenziel

$⟶3\mathrm{k}\mathrm{m}⟶$

Ziel

Die Skizze zeigt:

$4\mathrm{k}\mathrm{m}+3\mathrm{k}\mathrm{m}=7\mathrm{k}\mathrm{m}$

Antwort: Die Wanderung ist insgesamt 7 km lang.

Balkenmodelle

Ein Balkenmodell zeigt Teile und Ganze. Es ist besonders hilfreich bei Plus-, Minus-, Mal- und Geteilt-Aufgaben.

Beispiel: Noah hat 35 €. Er kauft ein Buch für 22 €. Wie viel Geld bleibt?

Ganzes	Ausgegeben	Rest
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 35\,€}	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 22\,€}	$?$

$\underset{\text{Ganzes}}{\underbrace{35}}=\underset{\text{Buch}}{\underbrace{22}}+\underset{\text{Rest}}{\underbrace{?}}$

Daraus folgt:

$35-22=13$

Antwort: Noah hat noch 13 €.

Balkenmodell zum Vergleichen

Beispiel: Emma hat 14 Sticker. Ali hat 9 Sticker. Wie viele Sticker hat Emma mehr?

Emma	██████████████	$14$
Ali	█████████	$9$
Unterschied	█████	$?$

$14-9=5$

Antwort: Emma hat 5 Sticker mehr.

Tabellen

Eine Tabelle ist gut, wenn mehrere Werte zusammengehören.

Beispiel: In einer Kiste liegen 8 Flaschen. Wie viele Flaschen liegen in 4 Kisten?

Kisten	Flaschen
$1$	$8$
$2$	$16$
$3$	$24$
$4$	$32$

Die Tabelle zeigt die gleich großen Gruppen:

$4\cdot 8=32$

Antwort: In 4 Kisten liegen 32 Flaschen.

Zahlengerade

Eine Zahlengerade eignet sich zum Addieren, Subtrahieren, Vergleichen und später auch für Brüche.

Beispiel: $23+8$

$23\stackrel{+7}{\to }30\stackrel{+1}{\to }31$

Du kannst die 8 also geschickt zerlegen:

$8=7+1$

und dann rechnen:

$23+7+1=31$

Dynamische Zahlengerade mit Bruchteilen:

Stellenwertmodell

Große Zahlen kannst Du besser verstehen, wenn Du sie in Stellenwerte zerlegst.

Beispiel: $347=300+40+7$

Hunderter	Zehner	Einer
$3$	$4$	$7$
$300$	$40$	$7$

Interaktives Stellenwertmodell:

Damit kannst Du Einer, Zehner und Hunderter verschieben und Bündelungen sichtbar machen.

Bruchdarstellungen als Skizze

Auch ein Bruch ist eine Skizze von Teilen eines Ganzen.

$\frac{2}{5}$ bedeutet: Das Ganze ist in 5 gleich große Teile geteilt, 2 davon werden betrachtet.

Eine Bruchskizze hilft Dir zu prüfen, ob ein Ergebnis sinnvoll ist. Zum Beispiel gilt:

$\frac{2}{5}<\frac{1}{2}$

weil 2 von 5 gleich großen Teilen weniger als die Hälfte sind.

Dynamische Geometrie und 3D-Körper als Erweiterung

Skizzen helfen nicht nur beim Rechnen mit Zahlen. Sie helfen auch bei geometrischen Sachaufgaben.

Beispiel: Ein Würfelnetz zeigt, welche sechs Quadrate sich zu einem Würfel falten lassen.

Mit einer dynamischen Darstellung kannst Du beobachten, wie ein Netz gefaltet wird. So wird aus einer flachen Skizze ein räumlicher Körper.

Optional: 3D-Ansicht zum Drehen und Erkunden

Von der Sachaufgabe zur Rechnung

Beispiel 1: Dazu kommt etwas

Aufgabe: Lea hat 26 Murmeln. Ihr Bruder schenkt ihr 15 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Lea danach?

Skizze:

Vorher	Dazu	Danach
$26$	$15$	$?$

$\underset{\text{vorher}}{\underbrace{26}}+\underset{\text{dazu}}{\underbrace{15}}=\underset{\text{danach}}{\underbrace{?}}$

Rechnung:

$26+15=41$

Antwort: Lea hat danach 41 Murmeln.

Beispiel 2: Etwas geht weg

Aufgabe: In einer Schachtel sind 48 Stifte. 19 Stifte werden verteilt. Wie viele Stifte bleiben?

Skizze:

$\underset{\text{am Anfang}}{\underbrace{48}}-\underset{\text{verteilt}}{\underbrace{19}}=\underset{\text{Rest}}{\underbrace{?}}$

Rechnung in zwei sichtbaren Schritten:

$48-10=38$

$38-9=29$

Also:

$48-19=29$

Antwort: 29 Stifte bleiben übrig.

Beispiel 3: Gleich große Gruppen

Aufgabe: Auf 6 Tischen stehen jeweils 4 Becher. Wie viele Becher stehen dort insgesamt?

Skizze:

● ● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ●

Die Skizze zeigt 6 gleich große Gruppen mit je 4 Bechern.

$6\cdot 4=24$

Antwort: Es sind 24 Becher.

Beispiel 4: Gleichmäßig verteilen

Aufgabe: 30 Karten werden gleichmäßig auf 5 Kinder verteilt. Wie viele Karten bekommt jedes Kind?

Skizze:

Kind 1	Kind 2	Kind 3	Kind 4	Kind 5
$?$	$?$	$?$	$?$	$?$

Das Ganze $30$ wird in $5$ gleich große Teile zerlegt:

$30:5=6$

Antwort: Jedes Kind bekommt 6 Karten.

Beispiel 5: Zwei Rechenschritte

Aufgabe: Für einen Ausflug werden 5 Packungen mit je 8 Müsliriegeln gekauft. 7 Riegel bleiben am Ende übrig. Wie viele Riegel wurden gegessen?

Schritt 1: Gesamtzahl bestimmen

$5\cdot 8=40$

Schritt 2: Rest abziehen

$40-7=33$

Skizzen-Tabelle:

Größe	Wert
5 Packungen mit je 8	$40$ Riegel
übrig	$7$ Riegel
gegessen	$40-7=33$ Riegel

Antwort: 33 Müsliriegel wurden gegessen.

Relevante und irrelevante Größen erkennen

In Sachaufgaben stehen manchmal Zahlen, die Du für die Rechnung nicht brauchst.

Beispiel: Eine Klasse mit 24 Kindern fährt um 8:15 Uhr mit dem Bus los. Jede Busreihe hat 4 Sitzplätze. Wie viele Reihen werden für die 24 Kinder mindestens gebraucht?

Angabe	Für die Frage wichtig?	Begründung
24 Kinder	Ja	Diese Zahl muss auf Sitzreihen verteilt werden.
8:15 Uhr	Nein	Die Abfahrtszeit verändert die Zahl der Sitzreihen nicht.
4 Plätze je Reihe	Ja	Diese Zahl zeigt die Größe einer Gruppe.

Die passende Rechnung lautet:

$24:4=6$

Antwort: Es werden 6 Reihen gebraucht.

Skizzen richtig beschriften

Eine gute Skizze hat nur wenige, aber klare Beschriftungen.

Gut	Weniger hilfreich
Zahlen mit Einheiten	nur Zahlen ohne Bedeutung
Fragezeichen an der gesuchten Stelle	Fragezeichen irgendwo in der Zeichnung
kurze Begriffe	ganze lange Sätze in der Skizze
passende Größenverhältnisse, wenn möglich	dekorative Bilder ohne Rechenbezug

Beispiel:

$\underset{\text{gefahren}}{\underbrace{12\mathrm{k}\mathrm{m}}}+\underset{\text{noch}}{\underbrace{?\mathrm{k}\mathrm{m}}}=\underset{\text{gesamt}}{\underbrace{20\mathrm{k}\mathrm{m}}}$

Daraus folgt:

$20-12=8$

Einheiten sichtbar machen

Eine Zahl ohne Einheit kann in einer Sachaufgabe unklar sein.

Größe	mögliche Einheit	Beispiel
Länge	cm, m, km	$7\mathrm{k}\mathrm{m}$
Geld	€, Cent	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 12\,€}
Zeit	min, h	$45\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$
Masse	g, kg	$3\mathrm{k}\mathrm{g}$
Anzahl	Stück	$18$ Stück

Merke: Schreibe die Einheit auch in die Antwort.

Ergebnis mit der Skizze prüfen

Eine Skizze hilft Dir auch nach dem Rechnen.

Beispiel: Du rechnest bei der Aufgabe „35 € minus 22 €“ versehentlich:

$35-22=57$

Die Skizze zeigt aber: Wenn etwas weggenommen wird, muss der Rest kleiner als 35 sein.

Also kann $57$ nicht stimmen.

Ein schneller Plausibilitätscheck ist:

$0<\text{Rest}<35$

Die richtige Rechnung ist:

$35-22=13$

Animierte und schrittweise Rechenwege

Eine Animation kann zeigen, wie sich ein Rechenweg entwickelt. Sie ersetzt aber nicht Deine eigene Skizze.

Schritt-für-Schritt-Beispiel: $47+26$

Schritt 1 öffnen: Zerlege die zweite Zahl.
$26=20+6$

Schritt 2 öffnen: Addiere zuerst die Zehner.
$47+20=67$

Schritt 3 öffnen: Addiere die Einer.
$67+6=73$

Schritt 4 öffnen: Prüfe mit einer groben Skizze.
$47\to 67\to 73$

Diagramme als Rechenskizzen

Ein Diagramm kann Größen sichtbar machen und dadurch eine Sachaufgabe vorbereiten.

Eigenes Mini-Diagramm:

Tag	gelesene Seiten	Balken
Montag	$10$	██████████
Dienstag	$15$	███████████████
Mittwoch	$8$	████████

Frage: Wie viele Seiten wurden am Montag und Dienstag zusammen gelesen?

$10+15=25$

Antwort: 25 Seiten.

Interaktive Skizzen-Werkzeuge

Bewegliches Balkenmodell

Mit einem beweglichen Balkenmodell kannst Du untersuchen, wie eine Gleichung und eine Skizze zusammenhängen.

Beobachte besonders: Wenn sich eine Größe verändert, verändert sich auch die Länge des zugehörigen Balkens.

Interaktives Stellenwertmodell

Aufgabe: Stelle nacheinander $134$, $250$ und $407$ dar. Erkläre jeweils, wie viele Hunderter, Zehner und Einer Du brauchst.

Bewegliche Bruchdarstellung

Aufgabe: Stelle $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ und $\frac{5}{4}$ auf der Zahlengeraden dar.

Faltbarer Würfel

Aufgabe: Bewege die Steuerung so, dass das Würfelnetz geöffnet und wieder geschlossen wird. Skizziere anschließend ein mögliches Würfelnetz auf kariertem Papier.

Medienhinweis

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien werden über ihre Dateiseiten mit den dort angegebenen freien Lizenzen beziehungsweise Gemeinfreiheitsangaben genutzt. Interaktive GeoGebra-Materialien und YouTube-Videos werden als externe Lernmedien eingebettet und nicht als eigene Dateien kopiert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wozu dient eine Skizze bei einer Sachaufgabe? (Sie macht wichtige Größen und Zusammenhänge sichtbar) (!Sie soll möglichst kunstvoll aussehen) (!Sie ersetzt jede Rechnung) (!Sie macht Einheiten überflüssig)

Was solltest Du zuerst herausfinden, bevor Du rechnest? (Was gesucht ist) (!Welche Farbe die Skizze hat) (!Wie viele Wörter die Aufgabe enthält) (!Wie lang Dein Rechenweg sein soll)

Welche Rechenart passt meist zu der Aussage bekommt 7 dazu? (Addition) (!Subtraktion) (!Division) (!Rundung)

Welche Rechenart passt meist zu gleichmäßig auf 5 Kinder verteilen? (Division) (!Addition) (!Subtraktion) (!Verdopplung)

Welche Darstellung passt besonders gut zu Teilen und einem Ganzen? (Balkenmodell) (!Kalender) (!Wortliste) (!Landkarte)

Was gehört in eine gute Sachaufgaben-Skizze? (Die wichtigen Größen) (!Alle Wörter aus dem Aufgabentext) (!Nur dekorative Bilder) (!Möglichst viele Farben ohne Bedeutung)

Welche Rechnung passt zu 4 Kisten mit je 8 Flaschen? (4 mal 8) (!4 plus 8) (!8 minus 4) (!8 geteilt durch 4)

Warum ist die Einheit wichtig? (Sie zeigt, was eine Zahl bedeutet) (!Sie macht jede Rechnung länger) (!Sie ersetzt das Ergebnis) (!Sie zeigt die Rechenart)

Was ist bei einer Skizze mit einem Fragezeichen markiert? (Die gesuchte Größe) (!Immer die größte Zahl) (!Immer die erste Zahl) (!Eine unwichtige Angabe)

Wie prüfst Du ein Ergebnis mit einer Skizze? (Du vergleichst, ob Größe und Zusammenhang zum Ergebnis passen) (!Du zählst die Wörter der Aufgabe) (!Du entfernst alle Einheiten) (!Du änderst die Frage)

Memory

Streckenbild	Weg oder Länge sichtbar machen
Balkenmodell	Teil und Ganzes darstellen
Zahlengerade	Zahlen ordnen und Rechenschritte zeigen
Tabelle	Zusammengehörige Werte übersichtlich darstellen
Fragezeichen	Gesuchte Größe markieren
Einheit	Bedeutung einer Zahl angeben

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Streckenbild	Wege und Längen darstellen
Balkenmodell	Teile und Ganzes vergleichen
Tabelle	Werte übersichtlich zuordnen
Zahlengerade	Rechenschritte und Abstände zeigen
Stellenwertmodell	Hunderter Zehner und Einer sichtbar machen

Reihenfolge beim Lösen

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Handlung
Lesen	Sachaufgabe vollständig erfassen
Markieren	wichtige Größen hervorheben
Skizzieren	Zusammenhang sichtbar machen
Rechnen	passende Operation ausführen
Prüfen	Ergebnis mit der Situation vergleichen

Kreuzworträtsel

Skizze	Wie heißt eine einfache Zeichnung, die beim Verstehen einer Sachaufgabe hilft?
Balken	Welches Wort bezeichnet den langen rechteckigen Teil eines Balkenmodells?
Tabelle	Welche Darstellung ordnet Werte in Zeilen und Spalten?
Einheit	Was gehört zu Größen wie Kilometer, Euro oder Minuten?
Strecke	Was kann einen Weg oder eine Länge schematisch darstellen?
Fragezeichen	Welches Zeichen markiert in einer Skizze häufig die gesuchte Größe?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine hilft Dir, eine Sachaufgabe in Mathematik zu übersetzen. Zuerst liest Du den Text und suchst die . Danach markierst Du wichtige Zahlen und ihre . Ein eignet sich besonders gut, um Teile und ein Ganzes darzustellen. Eine kann Rechenschritte und Abstände sichtbar machen. Eine ordnet zusammengehörige Werte übersichtlich. Bei einer Verteilaufgabe kann die passende Rechenart die sein. Wenn mehrere gleich große Gruppen vorkommen, kann die passende Rechenart die sein. Nach dem Rechnen prüfst Du, ob das zur Skizze und zur Situation passt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Skizze zu einer Plusaufgabe: Erfinde eine einfache Sachaufgabe mit einer Addition und zeichne dazu ein Balkenmodell.
2. Skizze zu einer Minusaufgabe: Zeichne zu $42-17$ ein Streckenbild oder Balkenmodell und schreibe eine passende Sachgeschichte.
3. Wichtige Größen markieren: Suche in einer selbst gewählten Sachaufgabe alle Zahlen. Markiere nur die Zahlen, die Du wirklich zum Rechnen brauchst, und begründe Deine Auswahl.
4. Zahlengerade gestalten: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 100 und zeige darauf den Rechenweg zu $38+27$.

Standard

1. Balkenmodell vergleichen: Erfinde eine Vergleichsaufgabe mit zwei Personen und zeichne Balken, die den Unterschied sichtbar machen.
2. Tabelle aus einer Sachaufgabe: Erstelle zu einer Aufgabe mit gleich großen Gruppen eine Wertetabelle und erkläre, wie die Tabelle zur Rechnung führt.
3. Fehler finden: Erfinde eine falsche Lösung zu einer Sachaufgabe. Zeichne eine Skizze, mit der man den Fehler erkennen kann.
4. Foto wird Rechenaufgabe: Fotografiere eine Alltagssituation mit Mengen oder Längen, zum Beispiel Regale, Stufen oder Packungen. Formuliere daraus eine Sachaufgabe und zeichne eine Lösungsskizze.

Schwer

1. Zwei Rechenschritte modellieren: Erfinde eine Sachaufgabe, bei der zwei Rechenschritte nötig sind. Erstelle eine Skizze, in der beide Schritte sichtbar werden.
2. Verschiedene Skizzen vergleichen: Löse dieselbe Sachaufgabe einmal mit einem Balkenmodell und einmal mit einer Tabelle. Entscheide, welche Darstellung hilfreicher ist, und begründe.
3. Erklärvideo produzieren: Erstelle ein kurzes Lernvideo, in dem Du eine Sachaufgabe vorliest, wichtige Größen markierst, eine Skizze zeichnest und anschließend rechnest.
4. Mini-Erhebung durchführen: Sammle in Deiner Klasse einfache Daten, zum Beispiel Schulwegzeiten oder gelesene Seiten. Stelle die Daten in einer Tabelle oder einem Diagramm dar und formuliere dazu zwei Sachaufgaben.

Lernkontrolle

1. Darstellung auswählen: Du erhältst drei unterschiedliche Sachaufgaben. Entscheide jeweils, ob Streckenbild, Balkenmodell oder Tabelle am besten passt, und begründe Deine Wahl.
2. Unwichtige Angabe erkennen: Erkläre bei einer Sachaufgabe mit einer zusätzlichen Zahl, warum diese Zahl nicht für die Lösung gebraucht wird.
3. Fehlerdiagnose: Eine Person rechnet bei einer Wegaufgabe $12+5=7$. Nutze eine Skizze, um zu erklären, warum die Rechnung nicht zur Situation passt.
4. Darstellungen übersetzen: Formuliere zu einem vorgegebenen Balkenmodell eine passende Sachaufgabe und schreibe die zugehörige Rechnung.
5. Transfer auf neue Größen: Erstelle zu einer Geld-, Zeit- oder Längenaufgabe eine eigene Skizze und erkläre, welche Einheit in jedem Schritt nötig ist.
6. Mehrschrittige Aufgabe: Löse eine Aufgabe mit zwei Rechenschritten und kennzeichne in Deiner Skizze deutlich, welcher Teil zum ersten und welcher zum zweiten Rechenschritt gehört.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur richtig rechnest, sondern Deinen Lösungsweg verständlich darstellen kannst.

1. Du erkennst in einer Sachaufgabe die gesuchte Größe.
2. Du unterscheidest wichtige von unwichtigen Angaben.
3. Du wählst eine passende Skizzenform aus.
4. Du beschriftest Deine Skizze mit Zahlen und Einheiten.
5. Du leitest aus der Skizze eine passende Rechnung ab.
6. Du führst die Rechnung korrekt aus.
7. Du formulierst eine Antwort mit passender Einheit.
8. Du prüfst, ob das Ergebnis zur Situation und zur Skizze passt.
9. Du kannst erklären, warum Deine Skizze hilfreich ist.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Sachaufgabe beschreibt Sachaufgaben als mathematische Aufgaben mit einem Sachkontext.

Freie Medien aus Wikimedia Commons, die in diesem aiMOOC verwendet werden:

1. Zahlengerade
2. Stellenwertblöcke
3. Bruchdarstellung
4. Balkendiagramm
5. animierte Addition

Verknüpfte Lernbereiche

Sachrechnen Sachaufgabe Grundrechenarten Zahlengerade Balkenmodell Stellenwertsystem Tabelle Diagramm Größen und Einheiten Bruchrechnung Problemlösen