M5 G - Division mit Rest

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

M5 G - Division mit Rest ist ein aiMOOC für die Klasse 5 auf G-Niveau. Du übst einfache Divisionen mit Rest und lernst vor allem, was der Rest in einer echten Situation bedeutet. Dabei geht es nicht nur um Rechnungen, sondern um konkrete Fragen: Wie viele Gruppen entstehen? Wie viele Dinge bleiben übrig? Braucht man wegen des Restes noch eine weitere Verpackung oder Sitzreihe?

Ein typisches Beispiel ist:

$23:5=4\text{ Rest }3$

Das bedeutet:

$23=5\cdot 4+3$

Es entstehen also vier vollständige Fünfergruppen. Drei Dinge oder Personen bleiben zunächst übrig.

Denkfrage zum Bild: Wenn 23 Lernende in Gruppen zu je 5 Personen arbeiten sollen, wie viele vollständige Gruppen entstehen und wie viele Personen bleiben übrig?

Lernziele

Du lernst ...	Beispiel
eine Division mit Rest zu berechnen	$19:4=4\text{ Rest }3$
den Rest zu prüfen	$4\cdot 4+3=19$
den Rest richtig zu deuten	3 Personen bleiben übrig oder bilden eine kleinere Gruppe
zwischen vollständigen Gruppen und zusätzlich benötigten Gruppen zu unterscheiden	26 Gegenstände in 6er-Kisten: 4 volle Kisten, aber 5 Kisten werden für alle Gegenstände benötigt
Sachaufgaben mit Gruppen, Verpackungen und Sitzreihen zu lösen	$31:8=3\text{ Rest }7$

Was bedeutet Division mit Rest?

Bei einer Division wird eine Zahl geteilt. Wenn die Teilung nicht genau aufgeht, bleibt ein Rest.

Für natürliche Zahlen gilt:

$a=d\cdot q+r$

Dabei steht:

Zeichen	Bedeutung	Beispiel bei $23:5$
$a$	Dividend: Zahl, die geteilt wird	$23$
$d$	Divisor: Zahl, durch die geteilt wird	$5$
$q$	Quotient: Anzahl der vollständigen Gruppen	$4$
$r$	Rest: das, was übrig bleibt	$3$

Wichtig: Der Rest muss immer kleiner als der Divisor sein.

$0\le r<d$

Bei $23:5$ darf der Rest also nur $0,1,2,3$ oder $4$ sein.

Zwei Bedeutungen derselben Division

Die Rechnung kann gleich sein, aber die Bedeutung kann sich ändern.

Situation	Rechnung	Bedeutung des Quotienten	Bedeutung des Restes
32 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Personen verteilt.	$32:6=5\text{ Rest }2$	Jede Person bekommt 5 Sticker.	2 Sticker bleiben übrig.
32 Sticker werden in Päckchen zu je 6 Stickern verpackt.	$32:6=5\text{ Rest }2$	5 vollständige Päckchen entstehen.	2 Sticker sind noch nicht verpackt.

Die Rechnung ist gleich. Die Antwort im Sachzusammenhang ist aber unterschiedlich formuliert.

Division als Sprünge auf der Zahlengeraden

Bei $18:4$ fragst Du: Wie oft passt ein Vierersprung vollständig in 18?

$0\to 4\to 8\to 12\to 16\to 18$

Vier vollständige Sprünge führen bis 16. Von 16 bis 18 bleiben noch 2 Einheiten.

$18:4=4\text{ Rest }2$

$18=4\cdot 4+2$

Eine dynamische Zahlengerade hilft Dir dabei, die vollständigen Sprünge sichtbar zu machen:

Use-Case 1: Personen auf Gruppen verteilen

23 Personen sollen in Gruppen zu je 4 Personen eingeteilt werden.

Schritt 1: Suche das größte Vielfache von 4, das nicht größer als 23 ist.

$4\cdot 5=20$

Schritt 2: Bestimme den Rest.

$23-20=3$

Ergebnis:

$23:4=5\text{ Rest }3$

Frage	Antwort
Wie viele vollständige Vierergruppen entstehen?	5
Wie viele Personen bleiben übrig?	3
Wenn alle mitmachen sollen, was kann man tun?	Eine zusätzliche kleinere Dreiergruppe bilden oder die Gruppen anders verteilen.

Wichtig: Der Rest ist hier keine bedeutungslose Zahl. Er steht für drei echte Personen.

Use-Case 2: Gegenstände verpacken

38 Gegenstände sollen in Kartons mit Platz für jeweils 6 Gegenstände gepackt werden.

$38:6=6\text{ Rest }2$

Denn:

$6\cdot 6=36$

und:

$38-36=2$

Frage	Richtige Deutung
Wie viele Kartons können vollständig gefüllt werden?	6 volle Kartons
Wie viele Gegenstände bleiben nach dem Füllen der vollen Kartons übrig?	2 Gegenstände
Wie viele Kartons braucht man, wenn wirklich alle 38 Gegenstände verpackt werden müssen?	7 Kartons

Hier führt der Rest dazu, dass ein zusätzlicher Karton benötigt wird.

Use-Case 3: Sitzreihen planen

29 Personen sollen in Reihen mit höchstens 8 Sitzplätzen sitzen.

$29:8=3\text{ Rest }5$

Drei Reihen können mit je 8 Personen besetzt werden:

$3\cdot 8=24$

Danach bleiben:

$29-24=5$

Die fünf übrigen Personen brauchen eine weitere Reihe.

Antwort: Es werden insgesamt 4 Sitzreihen benötigt.

Use-Case 4: Murmeln in Beutel packen

47 Murmeln sollen in Beutel mit jeweils 5 Murmeln gepackt werden.

$47:5=9\text{ Rest }2$

Kontrolle:

$9\cdot 5+2=47$

Was wird gefragt?	Antwort
Wie viele vollständige Beutel entstehen?	9
Wie viele Murmeln bleiben übrig?	2
Wie viele Beutel braucht man, wenn auch die beiden restlichen Murmeln in einen Beutel sollen?	10

So findest Du den Quotienten und den Rest

Beispiel:

$29:6$

Schritt	Überlegung	Rechnung
1	Suche ein passendes Vielfaches von 6.	$6,12,18,24,30$
2	30 ist schon zu groß. Deshalb nimm 24.	$6\cdot 4=24$
3	Ziehe 24 von 29 ab.	$29-24=5$
4	Schreibe das Ergebnis.	$29:6=4\text{ Rest }5$
5	Prüfe.	$6\cdot 4+5=29$

Rechnen mit einem Stellenwertblick

Bei $46:5$ kannst Du die Zahl zerlegen:

$46=40+6$

Zuerst:

$40:5=8$

Dann:

$6:5=1\text{ Rest }1$

Zusammen:

$46:5=9\text{ Rest }1$

Denn:

$5\cdot 9+1=46$

Ein interaktives Stellenwertmodell zur Division kannst Du hier erkunden:

Die Probe mit Rest

Mit der Probe kontrollierst Du Deine Rechnung.

Regel:

$\text{Divisor}\cdot \text{Quotient}+\text{Rest}=\text{Dividend}$

Beispiel:

$34:7=4\text{ Rest }6$

Probe:

$7\cdot 4+6=28+6=34$

Die Rechnung stimmt.

Ein interaktives Beispiel zur Probe:

Der Rest im Sachzusammenhang

Der Rest kann je nach Aufgabe etwas anderes bedeuten.

Situation	Rechnung	Was bedeutet der Rest?	Was ist die passende Antwort?
27 Kinder bilden Fünfergruppen.	$27:5=5\text{ Rest }2$	2 Kinder bleiben nach fünf vollständigen Gruppen übrig.	5 volle Gruppen und 2 übrige Kinder
27 Flaschen kommen in Sechserkisten.	$27:6=4\text{ Rest }3$	3 Flaschen passen nicht mehr in die vier vollen Kisten.	Für alle Flaschen braucht man 5 Kisten.
35 Personen sitzen in Achterreihen.	$35:8=4\text{ Rest }3$	3 Personen brauchen noch Sitzplätze.	Es werden 5 Reihen benötigt.
41 Bonbons werden auf 6 Personen verteilt.	$41:6=6\text{ Rest }5$	Nach gerechter Verteilung bleiben 5 Bonbons übrig.	Jede Person bekommt 6 Bonbons, 5 bleiben übrig.

Merke: Rechne nicht nur. Lies die Frage und entscheide, was der Rest in der Situation bedeutet.

Wann muss man wegen des Restes aufrunden?

Wenn die Aufgabe fragt, wie viele Behälter, Busse, Sitzreihen oder Gruppen benötigt werden, damit alle untergebracht sind, kann ein Rest eine zusätzliche Einheit nötig machen.

Beispiel:

$52:10=5\text{ Rest }2$

Fünf Zehnerkisten reichen nur für 50 Gegenstände. Für die letzten 2 Gegenstände wird noch eine Kiste gebraucht.

Also werden 6 Kisten benötigt.

Dagegen ist bei der Frage „Wie viele volle Zehnerkisten kann man packen?“ die Antwort 5 volle Kisten.

Häufige Fehler

Fehler	Warum falsch?	Besser
$23:5=4\text{ Rest }5$	Der Rest darf nicht so groß wie der Divisor sein.	$23:5=4\text{ Rest }3$
Nur „Rest 2“ als Antwort auf eine Sachaufgabe schreiben	Es fehlt die Bedeutung des Restes.	„2 Flaschen bleiben übrig.“
Bei 29 Personen und 8 Plätzen pro Reihe nur „3 Reihen“ antworten	3 Reihen haben nur 24 Plätze.	Wegen des Restes werden 4 Reihen benötigt.
Die Probe ohne Rest rechnen	Der Rest gehört zur ursprünglichen Zahl.	$8\cdot 3+5=29$

Animierter Rechenweg

Die folgende freie Animation von Wikimedia Commons zeigt eine Division mit Rest mit Rechenstäbchen. Die Darstellung ist historisch, aber die Grundidee ist dieselbe: vollständige Gruppen werden abgezogen, bis ein Rest bleibt.

Interaktive Division mit Rest

Mit diesem GeoGebra-Material kannst Du Aufgaben zur Division mit Rest direkt bearbeiten:

Eine weitere einfache Übung für Divisionen mit und ohne Rest:

Video: Schriftliche Division mit Rest

Wenn Du die Grundidee sicher verstanden hast, kannst Du den Rechenweg auch bei größeren Zahlen anwenden.

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Eine weitere Erklärung mit Aufgaben auf dem Niveau der Klassen 4 bis 6:

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ergebnis von 23 geteilt durch 5 mit Rest? (4 Rest 3) (!5 Rest 4) (!3 Rest 5) (!4 Rest 5)

Welche Regel gilt immer für den Rest? (Der Rest ist kleiner als der Divisor) (!Der Rest ist größer als der Dividend) (!Der Rest ist immer gleich dem Quotienten) (!Der Rest ist immer null)

Was ist das Ergebnis von 29 geteilt durch 6? (4 Rest 5) (!5 Rest 4) (!4 Rest 6) (!3 Rest 5)

27 Personen werden in Fünfergruppen eingeteilt. Wie viele vollständige Gruppen entstehen? (5) (!2) (!6) (!7)

27 Flaschen werden in Kisten mit Platz für 6 Flaschen verpackt. Wie viele Kisten werden benötigt, wenn alle Flaschen verpackt werden müssen? (5) (!4) (!3) (!6)

Welche Rechnung ist die richtige Probe für 34 geteilt durch 7 gleich 4 Rest 6? (7 mal 4 plus 6 ergibt 34) (!7 mal 6 plus 4 ergibt 46) (!34 mal 4 plus 6 ergibt 142) (!7 plus 4 plus 6 ergibt 17)

Wie groß ist der Rest bei 40 geteilt durch 8? (0) (!2) (!4) (!8)

17 Personen brauchen Sitzreihen mit höchstens 4 Personen pro Reihe. Wie viele Reihen werden benötigt? (5) (!4) (!3) (!6)

Was beschreibt der Quotient bei 32 Stickern in Päckchen zu je 6 Stickern? (Die Anzahl vollständiger Päckchen) (!Die Anzahl übriger Sticker) (!Die Zahl der Sticker insgesamt) (!Die Größe des Restes)

Welcher Rest ist bei einer Division durch 4 unmöglich? (Rest 4) (!Rest 0) (!Rest 2) (!Rest 3)

Memory

Dividend	Zahl die geteilt wird
Divisor	Zahl durch die geteilt wird
Quotient	Anzahl vollständiger Gruppen
Rest	Übrig gebliebene Menge
Probe	Rückrechnung zur Kontrolle
Restregel	Kleiner als der Teiler

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
5 Gruppen und 2 übrig	27 Personen in Fünfergruppen
4 volle Kisten und 3 übrig	27 Flaschen in Sechserkisten
6 Beutel und 1 übrig	31 Murmeln in Fünferbeuteln
3 volle Reihen und 5 übrig	29 Personen in Achterreihen
7 vollständige Pakete und 2 übrig	44 Stifte in Sechserpaketen

Kreuzworträtsel

Dividend	Wie heißt die Zahl, die geteilt wird?
Divisor	Wie heißt die Zahl, durch die geteilt wird?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis der vollständigen Teilung?
Rest	Wie heißt die Menge, die nach vollständigen Gruppen übrig bleibt?
Probe	Wie nennt man die Rechnung zur Kontrolle?
Verpackung	Worin können Gegenstände bei Sachaufgaben gruppiert werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Division wird der Dividend durch den geteilt.

Wenn die Rechnung nicht genau aufgeht, bleibt ein übrig.

Bei $23:5$ ist der Quotient .

Bei $23:5$ beträgt der Rest .

Der Rest muss immer kleiner als der sein.

Die Probe besteht aus Divisor mal Quotient plus .

Wenn alle Gegenstände verpackt werden müssen, kann wegen eines Restes eine zusätzliche nötig sein.

Bei Sitzreihen kann ein Rest bedeuten, dass eine weitere gebraucht wird.

Bei $32:6$ bleiben nach fünf vollständigen Sechsergruppen übrig.

Eine Sachaufgabe ist erst vollständig gelöst, wenn der Rest passend zum erklärt wird.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Gruppen bilden: Nimm 17 Münzen, Knöpfe oder Papierplättchen und bilde Vierergruppen. Fotografiere oder zeichne die Gruppen und notiere die passende Division mit Rest.
2. Verpackungen: Suche zu Hause drei unterschiedliche Verpackungen mit einer festen Anzahl von Plätzen. Erfinde zu jeder Verpackung eine einfache Aufgabe mit Rest.
3. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 25 und stelle $22:5$ als Fünfersprünge dar. Markiere den Rest deutlich.
4. Sachaufgabe: Erfinde eine kurze Aufgabe, in der 19 Gegenstände in Vierergruppen verteilt werden. Schreibe Rechnung und Antwortsatz.

Standard

1. Gruppenarbeit: Plant für 26 Lernende Gruppen zu je 4 Personen. Findet mindestens zwei sinnvolle Möglichkeiten, mit den zwei übrigen Personen umzugehen.
2. Verpackungsproblem: 43 Gegenstände sollen in Schachteln zu je 6 Stück verpackt werden. Erkläre den Unterschied zwischen „volle Schachteln“ und „benötigte Schachteln“.
3. Sitzordnung: Entwirf einen Sitzplan für 37 Personen bei höchstens 8 Personen pro Reihe. Begründe mit einer Division mit Rest, wie viele Reihen benötigt werden.
4. Erklärvideo: Produziere ein Video von höchstens zwei Minuten, in dem Du mit Alltagsgegenständen $28:5$ erklärst und den Rest im Kontext deutest.

Schwer

1. Rest interpretieren: Erfinde drei verschiedene Geschichten zur selben Rechnung $31:6=5\text{ Rest }1$, sodass der Rest jeweils eine andere Bedeutung hat.
2. Fehleranalyse: Eine Person schreibt $38:7=4\text{ Rest }10$. Erkläre genau, warum das unmöglich ist, und verbessere die Rechnung.
3. Interview: Befrage eine Person aus Handel, Gastronomie, Logistik oder Schule, wo Gegenstände oder Personen in feste Gruppen eingeteilt werden. Formuliere daraus eine Divisionsaufgabe mit Rest.
4. Mathe-Parcours: Entwickle mit Deiner Gruppe vier Stationen zu Gruppenbildung, Verpackung, Sitzreihen und gerechtem Verteilen. Jede Station soll eine andere Restdeutung verlangen.

Lernkontrolle

1. Transfer Gruppenplanung: Eine Klasse mit 28 Lernenden soll möglichst in Fünfergruppen arbeiten. Berechne zunächst mit Rest. Entwickle danach eine sinnvolle Gruppeneinteilung, bei der niemand ausgeschlossen wird, und begründe Deine Entscheidung.
2. Transfer Verpackung: Ein Betrieb verpackt 65 Teile in Kartons zu je 8 Teilen. Entscheide, wie viele volle Kartons entstehen, wie viele Teile übrig bleiben und wie viele Kartons für alle Teile insgesamt benötigt werden.
3. Transfer Sitzreihen: Für 54 Gäste stehen Reihen mit jeweils 10 Sitzplätzen zur Verfügung. Erkläre, warum die reine Quotientenzahl noch nicht die Antwort auf die Frage nach den benötigten Reihen ist.
4. Vergleichen von Situationen: Vergleiche $26:4$ in den Situationen „26 Bonbons auf 4 Kinder verteilen“ und „26 Bonbons in Viererbeutel packen“. Erkläre, warum dieselbe Rechnung zu unterschiedlichen Antwortsätzen führt.
5. Fehler beurteilen: Jemand behauptet $47:6=6\text{ Rest }11$. Prüfe die Aussage ohne Taschenrechner und erkläre zwei verschiedene Möglichkeiten, den Fehler zu erkennen.
6. Eigene Modellierung: Formuliere eine Alltagssituation, in der $42:5=8\text{ Rest }2$ gilt. Stelle anschließend eine Frage, bei der als praktische Antwort 9 Einheiten benötigt werden.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du:

1. einfache Divisionen mit Rest sicher berechnen kannst.
2. Dividend, Divisor, Quotient und Rest in einer Rechnung zuordnen kannst.
3. die Regel $0\le r<d$ anwenden kannst.
4. eine Division mit $\text{Divisor}\cdot \text{Quotient}+\text{Rest}$ überprüfen kannst.
5. den Rest in Gruppen-, Verpackungs- und Sitzsituationen richtig interpretieren kannst.
6. unterscheiden kannst, ob nach vollständigen Gruppen oder nach insgesamt benötigten Gruppen gefragt wird.
7. einen verständlichen Antwortsatz passend zur Sachsituation formulieren kannst.
8. Fehler in einer Division mit Rest erkennen und begründen kannst.

OERs zum Thema

Wikipedia erklärt die mathematische Grundidee der Division mit Rest:

Interaktive Übung für die Schulstufen 5 bis 6:

Verknüpfte Lernbereiche

Division mit Rest Natürliche Zahlen Grundrechenarten Division Multiplikation Teilbarkeit Zahlengerade Sachaufgaben Modellieren Überschlagsrechnung