M5 G - Dezimalzahlen verstehen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

M5 G - Dezimalzahlen verstehen

Zielgruppe: Klasse 5, G-Niveau

Thema: Dezimalzahlen als Erweiterung des bekannten Stellenwertsystems verstehen, lesen, darstellen, vergleichen und mit vertrauten Größen wie Geld und Länge verbinden.

Einleitung

Du kennst schon das Dezimalsystem mit Einer, Zehnern und Hundertern. Jetzt erweitern wir dieses Stellenwertsystem nach rechts über das Komma hinaus. So entstehen Zehntel und Hundertstel.

Eine Dezimalzahl wie $\mathrm{3,47}$ bedeutet nicht einfach „drei Komma vier sieben“. Hinter jeder Ziffer steckt ein bestimmter Wert:

$\mathrm{3,47}=3+\frac{4}{10}+\frac{7}{100}$

Du kannst die Zahl also lesen als:

3 Ganze + 4 Zehntel + 7 Hundertstel.

Genau solche Zahlen begegnen Dir jeden Tag: bei Preisen, Längen, Gewichten, Messwerten oder sportlichen Ergebnissen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du Dezimalzahlen bis zu den Hundertsteln lesen, in einer Stellenwerttafel darstellen, in Zehnerbrüche zerlegen, auf einer Zahlengeraden einordnen und mit Geldbeträgen sowie Längen verbinden. Du erkennst außerdem, warum $\mathrm{0,1}=\frac{1}{10}$, $\mathrm{0,01}=\frac{1}{100}$ und zum Beispiel $\mathrm{2,5}=\mathrm{2,50}$ gilt.

Vom bekannten Stellenwertsystem zu Zehnteln und Hundertsteln

Bei ganzen Zahlen wird jede Stelle nach links zehnmal so groß:

$1\to 10\to 100$

Nach rechts wird jede Stelle dagegen zehnmal kleiner:

$1\to \frac{1}{10}\to \frac{1}{100}$

Damit gilt:

$1=10\cdot \mathrm{0,1}$

$\mathrm{0,1}=10\cdot \mathrm{0,01}$

$1=100\cdot \mathrm{0,01}$

Bei Zehnerblöcken ist wichtig, welches Teil als ein Ganzes festgelegt wird. Wenn eine große Fläche das Ganze $1$ darstellt, kann ein Zehntelstreifen $\mathrm{0,1}$ und ein kleines Hundertstelquadrat $\mathrm{0,01}$ darstellen.

Stellenwerttafel mit Komma

Die bekannte Stellenwerttafel wird nach rechts erweitert:

Hunderter	Zehner	Einer	Komma	Zehntel	Hundertstel
H	Z	E	,	z	h
0	0	3	,	4	7

Die Zahl in der Tabelle ist $\mathrm{3,47}$.

$\mathrm{3,47}=3\cdot 1+4\cdot \frac{1}{10}+7\cdot \frac{1}{100}$

Eine visuelle Schrittfolge lautet:

$\mathrm{3,47}\to 3+\mathrm{0,4}+\mathrm{0,07}\to 3+\frac{4}{10}+\frac{7}{100}$

Merksatz: Die erste Stelle rechts vom Komma ist die Zehntelstelle. Die zweite Stelle rechts vom Komma ist die Hundertstelstelle.

Interaktive Stellenwerttafel

Probiere die Stellenwerttafel aus. Verändere Ziffern und beobachte, wie sich der Wert der Zahl ändert.

Forscherauftrag: Stelle nacheinander $\mathrm{2,3}$, $\mathrm{2,30}$, $\mathrm{2,03}$ und $\mathrm{0,23}$ dar. Welche beiden Zahlen sind gleich? Welche Ziffer steht jeweils auf der Zehntelstelle?

Zehntel als Teile eines Ganzen

Teilst Du ein Ganzes in zehn gleich große Teile, ist jedes Teil ein Zehntel.

$\frac{1}{10}=\mathrm{0,1}$

$\frac{4}{10}=\mathrm{0,4}$

Ein einfaches Zehntelmodell für $\mathrm{0,4}$:

■■■■□□□□□□

Vier von zehn gleich großen Teilen sind markiert. Deshalb gilt:

$\mathrm{0,4}=\frac{4}{10}$

Bewege im folgenden Modell den Schieberegler und beobachte, wie sich der dargestellte Anteil verändert.

Hundertstel als Teile eines Ganzen

Teilst Du ein Ganzes in hundert gleich große Teile, ist jedes Teil ein Hundertstel.

$\frac{1}{100}=\mathrm{0,01}$

$\frac{47}{100}=\mathrm{0,47}$

Hier sind von hundert Kästchen siebenundvierzig markiert:

■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
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Vier ganze Reihen sind $40$ Hundertstel. Dazu kommen $7$ weitere Hundertstel.

$\frac{40}{100}+\frac{7}{100}=\frac{47}{100}=\mathrm{0,47}$

So erkennst Du gleichzeitig:

$\mathrm{0,47}=4\cdot \mathrm{0,1}+7\cdot \mathrm{0,01}$

Dezimalzahlen sprechen und schreiben

Die Zahl $\mathrm{3,47}$ kannst Du im Unterricht meist als drei Komma vier sieben sprechen. Für das Stellenwertverständnis ist zusätzlich hilfreich:

drei Ganze, vier Zehntel und sieben Hundertstel.

Bei Geld ist eine andere Sprechweise vertraut:

$\mathrm{3,47}$ € = 3 Euro 47 Cent.

Das passt zum Stellenwertsystem, denn:

$1\mathrm{E}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{o}=100\mathrm{C}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}$

und damit:

$\mathrm{0,01}$ € = 1 Cent.

Geldbeträge: Dezimalzahlen im Alltag

Bei Geld helfen Dir die zwei Stellen nach dem Komma:

Betrag	Euro	Cent	Zerlegung
$\mathrm{2,35}$ €	2	35	$2+\frac{35}{100}$
$\mathrm{0,70}$ €	0	70	$\frac{70}{100}$
$\mathrm{4,05}$ €	4	5	$4+\frac{5}{100}$

Achte besonders auf die Null in $\mathrm{4,05}$. Sie zeigt: Es gibt keine Zehntel-Euro, sondern nur fünf Hundertstel-Euro, also 5 Cent.

Mini-Aufgabe: Ein Heft kostet $\mathrm{1,80}$ € und ein Stift $\mathrm{0,65}$ €. Welcher Preis enthält mehr Hundertstel? Erkläre mit Cent.

Lösung einblenden Das Heft kostet 180 Cent, der Stift 65 Cent. Beim Stellenwertvergleich ist wichtig: $\mathrm{1,80}$ hat 8 Zehntel und 0 Hundertstel im Dezimalteil; $\mathrm{0,65}$ hat 6 Zehntel und 5 Hundertstel. Insgesamt ist $\mathrm{1,80}>\mathrm{0,65}$.

Längen: Meter, Dezimeter und Zentimeter

Auch bei Längen steckt das Zehnersystem dahinter:

$1\mathrm{m}=10\mathrm{d}\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}$

Darum gilt:

$\mathrm{0,1}\mathrm{m}=1\mathrm{d}\mathrm{m}=10\mathrm{c}\mathrm{m}$

$\mathrm{0,01}\mathrm{m}=1\mathrm{c}\mathrm{m}$

Für $\mathrm{3,47}\mathrm{m}$ kannst Du schreiben:

$\mathrm{3,47}\mathrm{m}=3\mathrm{m}+\mathrm{0,4}\mathrm{m}+\mathrm{0,07}\mathrm{m}$

oder direkt:

$\mathrm{3,47}\mathrm{m}=3\mathrm{m}+47\mathrm{c}\mathrm{m}=347\mathrm{c}\mathrm{m}$

Stellenwert-Bild:

Einer Meter	Zehntel Meter	Hundertstel Meter
$3\mathrm{m}$	$4\mathrm{d}\mathrm{m}$	$7\mathrm{c}\mathrm{m}$

Dezimalzahlen auf der Zahlengeraden

Zwischen zwei ganzen Zahlen liegen viele weitere Zahlen. Zwischen $0$ und $1$ kannst Du zuerst in Zehntel teilen:

$0;\mathrm{0,1};\mathrm{0,2};\mathrm{0,3};\dots ;\mathrm{0,9};1$

Zwischen $\mathrm{0,4}$ und $\mathrm{0,5}$ kannst Du weiter in Hundertstel teilen:

$\mathrm{0,40};\mathrm{0,41};\mathrm{0,42};\dots ;\mathrm{0,49};\mathrm{0,50}$

Das zeigt auch:

$\mathrm{0,4}=\mathrm{0,40}$

Mit der dynamischen Zahlengeraden kannst Du hineinzoomen und Dezimalzahlen selbst markieren.

Entdeckerauftrag: Markiere $\mathrm{0,37}$, $\mathrm{0,7}$, $\mathrm{1,05}$ und $\mathrm{1,5}$. Überlege zuerst, zwischen welchen beiden Zehnteln jede Zahl liegt.

Dezimalzahlen vergleichen

Vergleiche zuerst die Einer, dann die Zehntel und danach die Hundertstel.

Beispiel:

$\mathrm{1,4}$ und $\mathrm{1,33}$

Schreibe bei Bedarf eine Null dazu:

$\mathrm{1,4}=\mathrm{1,40}$

Jetzt vergleichst Du:

$\mathrm{1,40}>\mathrm{1,33}$

Also:

$\mathrm{1,4}>\mathrm{1,33}$

Wichtig: Mehr Nachkommastellen bedeuten nicht automatisch eine größere Zahl. Zum Beispiel ist $\mathrm{0,9}>\mathrm{0,81}$, denn $\mathrm{0,90}>\mathrm{0,81}$.

Nullen richtig verstehen

Nullen können an verschiedenen Stellen unterschiedliche Aufgaben haben.

$\mathrm{2,5}=\mathrm{2,50}$

Eine angehängte Null rechts verändert den Wert nicht.

Aber:

$\mathrm{2,05}\ne \mathrm{2,5}$

Denn $\mathrm{2,05}$ bedeutet zwei Ganze und fünf Hundertstel, während $\mathrm{2,5}$ zwei Ganze und fünf Zehntel bedeutet.

Noch ein Vergleich:

$\mathrm{0,5}=\frac{5}{10}=\frac{50}{100}=\mathrm{0,50}$

Schritt-für-Schritt: $\mathrm{3,47}$ vollständig verstehen

Schritt	Darstellung	Bedeutung
Stellen	$3\mid ,\mid 4\mid 7$	Einer, Zehntel, Hundertstel
Zerlegung	$3+\mathrm{0,4}+\mathrm{0,07}$	Summe der Stellenwerte
Zehnerbrüche	$3+\frac{4}{10}+\frac{7}{100}$	Ganze, Zehntel, Hundertstel
Hundertstel	$\frac{347}{100}$	347 Hundertstel
Geld	$\mathrm{3,47}$ €	3 Euro 47 Cent
Länge	$\mathrm{3,47}\mathrm{m}$	3 Meter 47 Zentimeter

Typische Fehler vermeiden

Fehler 1: $\mathrm{0,4}$ mit vier Hundertsteln verwechseln.

Richtig ist:

$\mathrm{0,4}=\frac{4}{10}$

und:

$\mathrm{0,04}=\frac{4}{100}$

Fehler 2: $\mathrm{2,15}$ für größer als $\mathrm{2,8}$ halten, weil 15 größer als 8 ist.

Richtig ist:

$\mathrm{2,15}<\mathrm{2,80}=\mathrm{2,8}$

Fehler 3: Die Null in $\mathrm{4,05}$ ignorieren.

Richtig ist: Die Null hält die Zehntelstelle frei. Die 5 steht auf der Hundertstelstelle.

Erklärvideo: Stellenwerttafel

Das Video zeigt, wie Dezimalzahlen in eine Stellenwerttafel eingetragen werden und wie Zehntel und Hundertstel eingeordnet werden.

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Erklärvideo: Dezimalzahlen auf der Zahlengeraden

Das Video zeigt, wie Du Dezimalzahlen auf einem Zahlenstrahl abliest und einträgst.

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Kurzcheck mit aufklappbaren Lösungen

Aufgabe A: Zerlege $\mathrm{5,26}$ in Einer, Zehntel und Hundertstel.

Lösung einblenden $\mathrm{5,26}=5+\frac{2}{10}+\frac{6}{100}$.

Aufgabe B: Schreibe $\frac{8}{10}+\frac{3}{100}$ als Dezimalzahl.

Lösung einblenden $\frac{8}{10}+\frac{3}{100}=\mathrm{0,83}$.

Aufgabe C: Welche Zahl ist größer: $\mathrm{0,58}$ oder $\mathrm{0,6}$?

Lösung einblenden $\mathrm{0,6}=\mathrm{0,60}$. Deshalb gilt $\mathrm{0,60}>\mathrm{0,58}$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Stelle hat die Ziffer 4 in 3,47? (Zehntelstelle) (!Einerstelle) (!Hundertstelstelle) (!Zehnerstelle)

Welche Stelle hat die Ziffer 7 in 3,47? (Hundertstelstelle) (!Zehntelstelle) (!Einerstelle) (!Zehnerstelle)

Welche Zerlegung passt zu 3,47? (3 Ganze plus 4 Zehntel plus 7 Hundertstel) (!3 Ganze plus 4 Hundertstel plus 7 Zehntel) (!34 Ganze plus 7 Zehntel) (!3 Ganze plus 47 Zehntel)

Welcher Bruch entspricht 0,1? (Ein Zehntel) (!Ein Hundertstel) (!Zehn Hundertstel weniger eins) (!Ein Einer)

Wie viel Cent sind 0,01 Euro? (1 Cent) (!10 Cent) (!100 Cent) (!5 Cent)

Welche Zahl hat denselben Wert wie 2,5? (2,50) (!2,05) (!2,15) (!2,55)

Welche Zahl ist größer? (1,4) (!1,33) (!1,04) (!1,09)

Wie viele Zentimeter sind 3,47 Meter? (347 Zentimeter) (!34 Zentimeter) (!47 Zentimeter) (!304 Zentimeter)

Welche Dezimalzahl entspricht siebenundvierzig Hundertsteln? (0,47) (!4,7) (!0,047) (!47,0)

Wie groß ist ein Schritt, wenn der Abschnitt von 0,4 bis 0,5 in zehn gleich große Teile geteilt wird? (Ein Hundertstel) (!Ein Zehntel) (!Ein Einer) (!Ein Zehner)

Memory

Zehntel	erste Stelle rechts vom Komma
Hundertstel	zweite Stelle rechts vom Komma
$\mathrm{0,1}$	$\frac{1}{10}$
$\mathrm{0,01}$	$\frac{1}{100}$
$\mathrm{3,47}$ €	3 Euro 47 Cent
$\mathrm{0,50}$	$\mathrm{0,5}$
$1\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{0,01}\mathrm{m}$

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Zehntelstelle	erste Stelle rechts vom Komma
Hundertstelstelle	zweite Stelle rechts vom Komma
Dezimalkomma	trennt ganzen Teil und Dezimalteil
Stellenwerttafel	zeigt den Wert jeder Ziffer
Zahlengerade	ordnet Zahlen ihrer Größe nach

Kreuzworträtsel

Zehntel	Wie heißt der zehnte Teil eines Ganzen?
Hundertstel	Wie heißt der hundertste Teil eines Ganzen?
Komma	Welches Zeichen trennt bei deutschen Dezimalzahlen den ganzen Teil vom Dezimalteil?
Stellenwert	Wie nennt man den Wert einer Position im Zahlensystem?
Euro	Welche Geldeinheit wird in Deutschland verwendet?
Zahlengerade	Wo kannst Du Dezimalzahlen der Größe nach einordnen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die erste Stelle rechts vom Komma heißt .

Die zweite Stelle rechts vom Komma heißt .

Ein Zehntel wird als Dezimalzahl mit geschrieben.

Ein Hundertstel wird als Dezimalzahl mit geschrieben.

Bei der Zahl 3,47 steht die Vier auf der .

Bei der Zahl 3,47 steht die Sieben auf der .

Der Geldbetrag 3,47 Euro entspricht drei Euro und .

Die Länge 0,01 Meter entspricht .

Die Zahlen 0,5 und 0,50 haben den .

Auf der Zahlengeraden liegt 0,47 zwischen 0,4 und .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stellenwerttafel: Zeichne eine Stellenwerttafel mit Einer, Zehntel und Hundertstel. Trage $\mathrm{2,36}$, $\mathrm{0,72}$ und $\mathrm{5,04}$ ein.
2. Geld: Suche fünf Preise aus einem Prospekt oder einem erfundenen Einkauf. Schreibe jeden Preis als Euro-und-Cent-Angabe und als Dezimalzahl.
3. Länge: Miss drei Gegenstände in Zentimetern und schreibe die Ergebnisse zusätzlich in Metern als Dezimalzahl.
4. Zehnerbruch: Zeichne für $\mathrm{0,3}$ einen Streifen aus zehn gleich großen Teilen und markiere den passenden Anteil.

Standard

1. Hundertstel: Zeichne ein Quadratgitter mit hundert Feldern und stelle $\mathrm{0,28}$, $\mathrm{0,54}$ und $\mathrm{0,90}$ dar.
2. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $2$ und markiere $\mathrm{0,4}$, $\mathrm{0,75}$, $\mathrm{1,2}$ und $\mathrm{1,95}$.
3. Dezimalzahlen vergleichen: Erfinde fünf Zahlenpaare, bei denen man zum Vergleichen eine Null ergänzen kann. Begründe jedes Vergleichszeichen.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du erklärst, warum $\mathrm{0,5}=\mathrm{0,50}$ gilt. Nutze eine Zeichnung oder ein Geldbeispiel.

Schwer

1. Mathematisches Modell: Entwickle ein eigenes bewegliches Papiermodell mit Einer-, Zehntel- und Hundertstelkarten. Zeige damit mindestens fünf Dezimalzahlen.
2. Interview: Befrage eine Person aus einem Beruf, in dem Dezimalzahlen vorkommen. Dokumentiere drei konkrete Beispiele mit Größen und Einheiten.
3. Fehleranalyse: Erfinde drei typische falsche Aussagen zu Dezimalzahlen, zum Beispiel beim Vergleichen oder bei Nullen. Erkläre jeweils verständlich, warum sie falsch sind.
4. Alltagsmathematik: Plane einen Mini-Einkauf mit einem Budget von 10 Euro. Wähle mehrere Preise, berechne den Gesamtbetrag und erkläre mithilfe der Stellenwerte, wie Du Deine Ergebnisse überprüfst.

Lernkontrolle

1. Stellenwertsystem: Erkläre an $\mathrm{6,42}$, wie sich der Wert einer Ziffer verändert, wenn sie um eine Stelle nach rechts verschoben wird. Nutze Zehntel und Hundertstel in Deiner Begründung.
2. Transfer Geld und Länge: Vergleiche die Bedeutungen von $\mathrm{0,01}$ Euro und $\mathrm{0,01}$ Meter. Welche kleineren Einheiten helfen jeweils beim Verstehen?
3. Vergleichen: Ein Kind behauptet: „2,15 ist größer als 2,8, weil 15 größer als 8 ist.“ Widerlege die Aussage mit mindestens zwei verschiedenen Darstellungen.
4. Darstellungswechsel: Stelle $\mathrm{0,36}$ als Dezimalzahl, Zehnerbruch, Stellenwertzerlegung und Bild mit hundert Feldern dar. Erkläre, warum alle Darstellungen denselben Wert haben.
5. Zahlengerade: Begründe ohne bloßes Ablesen, warum $\mathrm{0,49}$ näher an $\mathrm{0,5}$ als an $\mathrm{0,4}$ liegt.
6. Problemlösen: Eine Strecke ist $\mathrm{1,35}$ Meter lang. Eine zweite Strecke ist 1 Meter und 5 Zentimeter lang. Entscheide, welche Strecke länger ist, und begründe durch Umwandeln in eine gemeinsame Einheit.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Denkwege verständlich darstellst.

1. Du kannst Dezimalzahlen bis zu den Hundertsteln korrekt lesen und schreiben.
2. Du kannst Einer, Zehntel und Hundertstel in einer Stellenwerttafel sicher unterscheiden.
3. Du kannst Dezimalzahlen in Stellenwerte und Zehnerbrüche zerlegen.
4. Du kannst zwischen $\mathrm{0,1}$ und $\frac{1}{10}$ sowie zwischen $\mathrm{0,01}$ und $\frac{1}{100}$ wechseln.
5. Du kannst Dezimalzahlen auf einer Zahlengeraden einordnen und vergleichen.
6. Du kannst erklären, warum angehängte Nullen wie bei $\mathrm{0,5}=\mathrm{0,50}$ den Wert nicht verändern.
7. Du kannst Geldbeträge und Längen nutzen, um Dezimalzahlen zu deuten.
8. Du kannst typische Fehler erkennen, korrigieren und Deine Korrektur begründen.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zum Dezimalbruch bietet weiterführende Informationen zum Aufbau von Dezimaldarstellungen.

Weitere freie und interaktive Lernmedien

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Verknüpfte Lernbereiche

Dezimalzahlen Stellenwertsystem Dezimalsystem Zehnerbruch Bruchrechnung Zahlengerade Größen und Einheiten Geld Länge