M5 E - Volumen mit Einheitswürfeln und Formel

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Wie viel Raum steckt in einer Kiste? Wie viele gleich große Würfel passen in einen Quader? Genau diese Fragen führen zum Volumen. In diesem aiMOOC entwickelst Du den Volumenbegriff nicht nur über eine Formel, sondern sichtbar und nachvollziehbar: zuerst durch Einheitswürfel, dann durch Schichten und schließlich mit der Quaderformel.

Zielgruppe: Klasse 5, E-Niveau

Zentrale Idee: $\text{Zählen}⟶\text{Schichten erkennen}⟶\text{multiplizieren}⟶V=a\cdot b\cdot c$

Du sollst am Ende erklären können, warum die Formel funktioniert und wie sie mit einem Würfelgebäude zusammenhängt.

Lernziele

1. Volumen: Du beschreibst Volumen als Rauminhalt eines Körpers.
2. Einheitswürfel: Du bestimmst Volumen zunächst durch Zählen gleich großer Würfel.
3. Schicht: Du fasst Einheitswürfel zu Reihen und Schichten zusammen.
4. Quader: Du leitest aus dem Schichtenmodell die Formel $V=a\cdot b\cdot c$ her.
5. Kubikzentimeter: Du verwendest passende Volumeneinheiten wie $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, $\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ und ${\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$.
6. Umkehraufgabe: Du findest bei gegebenem Volumen eine fehlende Kantenlänge und vergleichst verschiedene Quader mit gleichem Volumen.

Volumen bedeutet Rauminhalt

Eine Länge misst eine Ausdehnung in einer Richtung. Ein Flächeninhalt misst die Größe einer Fläche in zwei Richtungen. Das Volumen misst, wie viel Raum ein Körper in drei Richtungen einnimmt.

Größe	Vorstellung	typische Einheit	mathematische Schreibweise
Länge	Strecke	Zentimeter	$\mathrm{c}\mathrm{m}$
Flächeninhalt	Rechteck aus Einheitsquadraten	Quadratzentimeter	$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$
Volumen	Körper aus Einheitswürfeln	Kubikzentimeter	$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Ein Würfel mit der Kantenlänge $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ besitzt das Volumen

$1\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 1\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 1\mathrm{c}\mathrm{m}=1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Einheitswürfel als Modell für eine Volumeneinheit

Merksatz: Ein $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ ist der Rauminhalt eines Würfels mit den Kantenlängen $1\mathrm{c}\mathrm{m}$, $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $1\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Einheitswürfel: Volumen wird zählbar

Stell Dir einen leeren Quader vor, den Du lückenlos mit gleich großen Würfeln füllst. Jeder kleine Würfel ist ein Einheitswürfel. Wenn jeder Einheitswürfel das Volumen $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ hat, dann gilt:

$\text{Volumen des Körpers}=\text{Anzahl der Einheitswürfel}\cdot 1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Das bedeutet zum Beispiel:

$24\text{ Einheitswürfel}\Rightarrow V=24\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Zum räumlichen Vorstellen kannst Du den Würfel drehen:

Rotierender Würfel zur räumlichen Vorstellung

Ein transparentes, langsam rotierendes Modell hilft Dir, Vorder- und Rückseiten gleichzeitig mitzudenken:

Transparenter rotierender Würfel

Interaktive Befüllung: vom leeren Quader zum Würfelgebäude

Verändere im folgenden GeoGebra-Modell Breite, Tiefe und Höhe. Fülle den Quader schrittweise mit Einheitswürfeln. Beobachte dabei besonders, wie viele Würfel in einer Schicht liegen und wie viele solcher Schichten übereinander liegen.

Arbeite mit drei Fragen:

1. Grundschicht: Wie viele Einheitswürfel liegen in der untersten Schicht?
2. Schichten: Wie oft wird diese Schicht übereinandergestapelt?
3. Volumen: Wie kannst Du die Gesamtzahl bestimmen, ohne jeden Würfel einzeln abzuzählen?

Vom Zählen zum Schichten

Betrachte einen Quader mit

$a=4,b=3,c=3.$

Eine Reihe enthält $4$ Einheitswürfel. In einer Schicht liegen $3$ solcher Reihen:

$4\cdot 3=12.$

Es gibt $3$ gleich große Schichten. Also:

$12\cdot 3=36.$

Damit besteht der Quader aus $36$ Einheitswürfeln.

Denkweg	Rechnung	Ergebnis
einzeln zählen	$1+1+1+\dots$	$36$
Reihen nutzen	$4\cdot 3\cdot 3$	$36$
Schichten nutzen	$(4\cdot 3)\cdot 3$	$36$
Formel nutzen	$a\cdot b\cdot c$	$36$

Die vier Denkwege beschreiben denselben Rauminhalt. Der Unterschied liegt nur darin, wie geschickt Du die Würfel zusammenfasst.

Schichten als Zahlengerade

Bei einer Grundschicht mit $12$ Würfeln wächst das Volumen immer um $12$, wenn eine weitere gleich große Schicht hinzukommt:

$0\stackrel{+12}{\to }12\stackrel{+12}{\to }24\stackrel{+12}{\to }36.$

Die wiederholte Addition

$12+12+12$

wird zur Multiplikation

$3\cdot 12=36.$

Damit verbindet die Schichten-Zahlengerade wiederholtes Addieren mit Multiplizieren.

Der Quader und seine drei Kantenlängen

Ein Quader hat drei zueinander senkrechte Kantenlängen, die häufig mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet werden.

Quader mit drei Kantenlängen

Kantenlänge	Bedeutung im Schichtenmodell	Beispiel
$a$	Einheitswürfel in einer Reihe	$a=5$
$b$	Anzahl der Reihen in einer Schicht	$b=3$
$c$	Anzahl der Schichten	$c=2$

Herleitung der Formel $V=a\cdot b\cdot c$

Die Formel entsteht direkt aus dem Würfelgebäude.

Schritt 1: Eine Reihe

Wenn die Kante $a$ Einheiten lang ist, liegen in einer Reihe $a$ Einheitswürfel.

$\text{Würfel pro Reihe}=a.$

Schritt 2: Eine Schicht

Wenn $b$ Reihen nebeneinander liegen, enthält eine Schicht

$a\cdot b$

Einheitswürfel.

Schritt 3: Mehrere Schichten

Wenn $c$ gleiche Schichten übereinander liegen, enthält der ganze Quader

$(a\cdot b)\cdot c$

Einheitswürfel.

Damit gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{V=a\cdot b\cdot c}}

Die Grundfläche ist ein Rechteck mit

$G=a\cdot b.$

Deshalb kann man auch schreiben:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{V=G\cdot c}}

oder in Worten:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Volumen}=\text{Grundfläche}\cdot\text{Höhe}}}

Visueller Rechenweg: $5\cdot 3\cdot 2$

Ein Quader hat die Kantenlängen

$a=5\mathrm{c}\mathrm{m},b=3\mathrm{c}\mathrm{m},c=2\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Schritt	Bild im Kopf	Rechnung
1	Eine Reihe	$5$ Würfel
2	Eine Schicht	$5\cdot 3=15$ Würfel
3	Zwei Schichten	$15\cdot 2=30$ Würfel
4	Volumen	$V=30\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

Der vollständige Rechenweg lautet:

$V=a\cdot b\cdot c$

$V=5\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 3\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 2\mathrm{c}\mathrm{m}$

$V=30\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Achte auf die Einheit:

$\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Warum die Reihenfolge beim Multiplizieren nicht wichtig ist

Drehst Du einen Quader, ändert sich sein Volumen nicht. Deshalb liefern zum Beispiel

$2\cdot 3\cdot 4,$

$3\cdot 4\cdot 2$

und

$4\cdot 2\cdot 3$

jeweils dasselbe Ergebnis:

$24.$

Das passt zum Kommutativgesetz der Multiplikation. Die räumliche Bedeutung bleibt ebenfalls gleich: Du beschreibst immer dieselben $24$ Einheitswürfel, nur aus einer anderen Blickrichtung.

Quader sichtbar machen: transparente Darstellung und 3D-Modell

Eine durchscheinende Darstellung hilft dabei, auch verdeckte Kanten mitzudenken:

Quader ohne Beschriftung

Ein frei lizenziertes 3D-Modell eines Würfels kann in einer 3D-fähigen MediaWiki-Ansicht gedreht werden:

Datei:Würfel.stl

Wenn die 3D-Datei in Deiner Ansicht nicht direkt drehbar ist, nutze das folgende interaktive Modell mit Einheitswürfeln:

Quadernetz und Körper: Fläche ist nicht Volumen

Ein Quadernetz zeigt die Flächen des Quaders. Beim Volumen interessiert dagegen der Raum innerhalb des Körpers.

Netz eines Quaders

Ein Netz hilft beim Verständnis des Körpers, aber die sechs Rechtecke des Netzes sind nicht das Volumen. Für den Rauminhalt denkst Du an die Füllung mit Einheitswürfeln.

Vergleich:

$\text{Oberfläche}\ne \text{Volumen}.$

$\text{Flächen werden in }\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\text{ angegeben.}$

$\text{Volumen wird in }\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\text{ angegeben.}$

Volumeneinheiten verstehen

Ein Kubikzentimeter ist ein Würfel mit der Kantenlänge $1\mathrm{c}\mathrm{m}$. Ein Kubikdezimeter ist ein Würfel mit der Kantenlänge $1\mathrm{d}\mathrm{m}=10\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Deshalb:

$1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=10\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 10\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 10\mathrm{c}\mathrm{m}=1000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Ebenso gilt:

$1{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=10\mathrm{d}\mathrm{m}\cdot 10\mathrm{d}\mathrm{m}\cdot 10\mathrm{d}\mathrm{m}=1000\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}.$

Eine nützliche Verbindung ist:

$1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=1\mathrm{l}.$

Darstellung eines kubischen Volumens

Interaktive Formelherleitung und E-Niveau

Im folgenden GeoGebra-Material kannst Du die Formelherleitung vertiefen und mit Aufgaben verbinden, bei denen Kantenlängen verändert oder aus einem gegebenen Volumen zurückgerechnet werden:

Für das E-Niveau reicht es nicht, nur Zahlen einzusetzen. Wichtig ist, dass Du Zusammenhänge erkennst.

Beispiel: Eine Kante wird verdoppelt

Aus

$V=a\cdot b\cdot c$

wird bei $a\to 2a$

$V_{\text{neu}}=2a\cdot b\cdot c=2V.$

Wird nur eine Kante verdoppelt, verdoppelt sich das Volumen.

Werden dagegen alle drei Kanten verdoppelt, gilt:

$V_{\text{neu}}=(2a)\cdot (2b)\cdot (2c)=8abc=8V.$

Das Volumen wird also achtmal so groß.

Umkehraufgaben: eine Kantenlänge fehlt

Gegeben sind

$V=60\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}},a=5\mathrm{c}\mathrm{m},b=3\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Gesucht ist $c$.

Zuerst bestimmst Du die Würfelzahl in einer Schicht:

$a\cdot b=5\cdot 3=15.$

Dann fragst Du: Wie viele Schichten mit je $15$ Würfeln ergeben $60$ Würfel?

$60:15=4.$

Also:

$c=4\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Symbolisch:

$c=\frac{V}{a\cdot b}.$

Gleicher Rauminhalt, andere Form

Verschiedene Quader können dasselbe Volumen besitzen.

Für

$V=24$

sind zum Beispiel folgende ganzzahlige Kantenlängen möglich:

$a$	$b$	$c$	Produkt
1	3	8	$1\cdot 3\cdot 8=24$
2	3	4	$2\cdot 3\cdot 4=24$
1	4	6	$1\cdot 4\cdot 6=24$

Das zeigt: Das Volumen sagt, wie viel Raum vorhanden ist, nicht wie der Quader aussieht.

Typische Fehler erkennen

Fehler	Warum falsch?	Besser
$V=a+b+c$	Kantenlängen werden nur addiert.	$V=a\cdot b\cdot c$
$V=30\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$	Quadrat-Einheiten gehören zu Flächen.	$V=30\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$
Nur sichtbare Würfel zählen	Innen liegende oder verdeckte Würfel werden vergessen.	Schichten und vollständige Reihen nutzen.
Eine Kante vergessen	Volumen ist dreidimensional.	Immer drei Richtungen berücksichtigen.
Oberfläche und Volumen verwechseln	Die Oberfläche beschreibt Außenflächen, das Volumen den Rauminhalt.	Frage zuerst: Flächen bedecken oder Raum füllen?

Zwei Lernvideos

Das erste Video zeigt direkt, wie Volumen mit Einheitswürfeln gemessen wird:

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Das zweite Video überträgt die Volumenidee auf eine Textaufgabe mit einem Quader:

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Beide Videos stammen vom Originalkanal KhanAcademyGerman. In den Videobeschreibungen wird eine Creative-Commons-Lizenz für die dort veröffentlichten Inhalte angegeben. Nutze Videos im Unterricht immer über den offiziellen Player und beachte die jeweilige Lizenzangabe auf der Originalseite.

Frei lizenzierte Medien zum Weiterlernen

Ein längeres Erklärvideo von ARD kolleg24 behandelt Volumen und Oberfläche von Prismen und enthält Quader und Würfel als wichtige Spezialfälle:

Datei:Volumen und Oberfläche von Prisma und Zylinder - kolleg24 Mathematik.webm

Die in diesem aiMOOC eingebundenen Wikimedia-Commons-Medien wurden über ihre Dateiseiten ausgewählt. Dort findest Du die jeweils maßgeblichen Urheber- und Lizenzangaben.

1. Unitcube.svg: Public Domain.
2. Cuboid abc.svg: CC BY-SA 3.0.
3. Cuboid no label.svg: Public Domain.
4. Cube Rotating.gif: CC BY 4.0.
5. 120px-Hexahedron-slowturn.gif: Public Domain.
6. QuaderNetz.svg: Public Domain.
7. Cubic volume.svg: CC BY-SA 4.0.
8. Würfel.stl: CC0.
9. Volumen und Oberfläche von Prisma und Zylinder: CC BY-SA 4.0.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt das Volumen eines Körpers? (Den Rauminhalt) (!Nur die Länge) (!Nur die Oberfläche) (!Nur die Anzahl der Kanten)

Welches Volumen hat ein Würfel mit der Kantenlänge 1 cm? (1 Kubikzentimeter) (!1 Quadratzentimeter) (!3 Kubikzentimeter) (!6 Kubikzentimeter)

Wie viele Einheitswürfel liegen in einer Schicht mit 4 Reihen zu je 3 Würfeln? (12) (!7) (!16) (!24)

Eine Schicht enthält 12 Würfel und der Quader hat 3 gleiche Schichten. Wie viele Würfel enthält er? (36) (!15) (!24) (!48)

Welche Formel berechnet das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen a b und c? (V gleich a mal b mal c) (!V gleich a plus b plus c) (!V gleich a mal b) (!V gleich a plus b mal c)

Ein Quader hat die Kantenlängen 5 cm 2 cm und 3 cm. Wie groß ist sein Volumen? (30 Kubikzentimeter) (!10 Kubikzentimeter) (!15 Kubikzentimeter) (!60 Kubikzentimeter)

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikzentimeter) (!Zentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Quadratmeter pro Zentimeter)

Nur eine Kantenlänge eines Quaders wird verdoppelt. Die anderen bleiben gleich. Was geschieht mit dem Volumen? (Es verdoppelt sich) (!Es bleibt gleich) (!Es vervierfacht sich) (!Es verachtfacht sich)

Ein Quader hat das Volumen 48 Kubikzentimeter. Zwei Kanten sind 4 cm und 3 cm lang. Wie lang ist die dritte Kante? (4 cm) (!2 cm) (!6 cm) (!12 cm)

Ein Würfel hat die Kantenlänge 3 cm. Wie groß ist sein Volumen? (27 Kubikzentimeter) (!9 Kubikzentimeter) (!18 Kubikzentimeter) (!36 Kubikzentimeter)

Memory

Einheitswürfel	Messbaustein für Volumen
Grundschicht	Rechteckige Lage aus Würfeln
Volumen	Rauminhalt eines Körpers
Kubikzentimeter	Volumeneinheit cm³
Quaderformel	a mal b mal c
Kantenlänge	Ausdehnung in einer Richtung
Grundfläche	Rechteck mit den Seiten a und b
Schichtenmodell	Mehrere gleiche Lagen übereinander

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Einheitswürfel	Volumen messen
Grundschicht	Reihen zusammenfassen
Schichtenmodell	Wiederholte Lagen erkennen
Quaderformel	Drei Kantenlängen multiplizieren
Kubikeinheit	Dreidimensionale Maßeinheit

Kreuzworträtsel

Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Würfel	Welcher Körper hat sechs gleich große quadratische Seitenflächen?
Quader	Welcher Körper besitzt rechteckige Seitenflächen und drei typische Kantenlängen?
Schicht	Wie heißt eine vollständige Lage von Einheitswürfeln?
Kantenlänge	Wie heißt die Länge einer Kante?
Kubikzentimeter	Wie heißt die Volumeneinheit zu einem Zentimeter langen Einheitswürfel?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Das Volumen beschreibt den eines Körpers.

Ein Würfel mit den Kantenlängen von jeweils einem Zentimeter hat das Volumen .

In einer rechteckigen Schicht mit den Seitenlängen a und b liegen Einheitswürfel.

Mehrere gleiche Schichten werden entlang der dritten Kantenlänge übereinandergestapelt.

Für einen Quader gilt deshalb die Formel .

Die passende Einheit für ein Volumen ist eine .

Bei einem Quader mit den Kantenlängen 4 cm, 3 cm und 2 cm beträgt das Volumen .

Wird bei unveränderten anderen Kanten nur eine Kante verdoppelt, wird das Volumen so groß.

Wenn alle drei Kanten eines Quaders verdoppelt werden, wird das Volumen so groß.

Bei Umkehraufgaben kann eine fehlende Kantenlänge durch Division des Volumens durch die bekannte bestimmt werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Würfelgebäude: Baue aus 24 gleich großen Würfeln mindestens zwei verschieden aussehende Quader. Fotografiere oder zeichne beide und notiere jeweils die Kantenlängen.
2. Schichten zählen: Baue einen Quader aus Würfeln und erkläre in drei Bildern den Weg von einer Reihe über eine Schicht zum ganzen Körper.
3. Einheitswürfel: Zeichne einen Würfel mit der Kantenlänge $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ und beschrifte, warum sein Volumen $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ beträgt.
4. Fehlersuche: Erfinde eine falsche Volumenrechnung und schreibe eine kurze Erklärung, woran man den Fehler erkennt.

Standard

1. Stop-Motion: Erstelle eine kurze Stop-Motion-Animation, in der ein Quader Schicht für Schicht aus Einheitswürfeln wächst. Blende zu jeder Schicht die passende Rechnung ein.
2. Quader im Alltag: Suche drei quaderförmige Gegenstände, miss ihre Kantenlängen und berechne ihre Volumina. Vergleiche anschließend Deine Ergebnisse.
3. Faktorzerlegung: Finde möglichst viele Quader mit ganzzahligen Kantenlängen und dem Volumen $36$ Kubikeinheiten. Ordne gleiche Formen, die nur gedreht wurden, zusammen.
4. Erklärplakat: Gestalte ein Plakat oder digitales Lernbild, das die Kette $\text{Reihe}\to \text{Schicht}\to \text{Quader}\to V=a\cdot b\cdot c$ sichtbar macht.

Schwer

1. Begründung: Schreibe eine mathematische Erklärung, warum $V=a\cdot b\cdot c$ aus dem Zählen von Einheitswürfeln folgt. Nutze mindestens eine Skizze und zwei symbolische Rechnungen.
2. Skalierung: Untersuche mit Beispielen, was mit dem Volumen geschieht, wenn eine, zwei oder drei Kanten verdoppelt werden. Formuliere am Ende eine Regel.
3. Umkehraufgabe: Entwirf drei Aufgaben, bei denen das Volumen und zwei Kantenlängen gegeben sind. Löse sie und erkläre jeweils den Weg über die Grundschicht.
4. Interaktives Modell: Erstelle in GeoGebra oder mit einem anderen geeigneten Werkzeug ein Modell, bei dem drei Schieberegler die Kantenlängen verändern und das Volumen sichtbar mitwächst.

Lernkontrolle

1. Transfer Würfelgebäude: Ein Würfelgebäude sieht von vorn wie ein Rechteck aus 4 mal 3 Kästchen aus. Erkläre, warum diese Information allein noch nicht genügt, um das Volumen zu bestimmen. Welche zusätzliche Information brauchst Du?
2. Begründung der Formel: Erkläre an einem selbst gewählten Zahlenbeispiel, warum $a\cdot b$ die Anzahl der Einheitswürfel in einer Schicht und $a\cdot b\cdot c$ die Anzahl im gesamten Quader beschreibt.
3. Skalierung: Ein Quader wird in jeder Kantenlänge verdoppelt. Begründe ohne einzelnes Abzählen, warum das Volumen achtmal so groß wird.
4. Vergleich: Zwei Quader haben die Maße $2\cdot 3\cdot 8$ und $2\cdot 4\cdot 6$. Entscheide, ob sie dasselbe Volumen haben, und erkläre, was dies über Form und Rauminhalt zeigt.
5. Fehleranalyse: Eine Schülerin rechnet bei $a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ den Wert $5+4+3=12\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$. Erkläre den Denkfehler und entwickle eine anschauliche Korrektur mit Schichten.
6. Planungsaufgabe: Eine Kiste soll ein Volumen von $120\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ haben. Finde drei verschiedene ganzzahlige Kombinationen für die Kantenlängen und begründe, warum alle Lösungen dasselbe Volumen liefern.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du Volumen nicht nur berechnen, sondern auch anschaulich begründen kannst.

1. Du erklärst den Begriff Volumen als Rauminhalt.
2. Du nutzt Einheitswürfel als Messidee.
3. Du bestimmst die Würfelzahl in einer Schicht mit $a\cdot b$.
4. Du leitest die Quaderformel $V=a\cdot b\cdot c$ aus Schichten her.
5. Du rechnest sicher mit Volumeneinheiten wie $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$.
6. Du unterscheidest Flächeninhalt und Volumen.
7. Du löst einfache Umkehraufgaben zu fehlenden Kantenlängen.
8. Du begründest Veränderungen des Volumens beim Verändern von Kantenlängen.
9. Du kannst einen Rechenweg mit Skizze, Schichtenmodell und Formel miteinander verbinden.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zum Volumen bietet weiterführende Informationen:

Der Wikipedia-Artikel zum Quader vertieft Eigenschaften des Körpers:

Verknüpfte Lernbereiche

Volumen Einheitswürfel Würfel Quader Kantenlänge Grundfläche Schicht Kubikzentimeter Flächeninhalt Multiplikation Kommutativgesetz Umkehraufgabe Geometrie