Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

M5 E - Muster verallgemeinern und begründen

Einleitung

Muster sind überall: in Bodenfliesen, Perlenketten, Treppen, Punktbildern und Zahlenfolgen. In diesem aiMOOC untersuchst Du wachsende Muster. Du beschreibst nicht nur, wie die nächsten Schritte aussehen, sondern suchst eine Regel, die für jeden Schritt gilt. Danach prüfst Du Deine Regel an weiteren Schritten und begründest, warum sie zur Bauidee des Musters passt.

Das Ziel ist eine behutsame Vorbereitung auf algebraisches Denken. Ein Buchstabe wie $n$ steht dabei noch ganz anschaulich für die Schrittzahl. Du musst keine komplizierten Gleichungen lösen. Entscheidend ist, dass Du zwischen Bild, Tabelle, Rechnung und Regel wechseln kannst.

Das kannst Du am Ende	Woran man es erkennt
Muster fortsetzen	Du erkennst, was sich von Schritt zu Schritt verändert.
Wachstum beschreiben	Du formulierst zum Beispiel „Es kommen immer 3 dazu“.
Regel verallgemeinern	Du kannst die Anzahl für Schritt $n$ angeben.
Regel prüfen	Du testest die Regel an bekannten und neuen Schritten.
Regel begründen	Du erklärst die Regel mit dem Aufbau der Figur.

Vom Sehen zum Begründen

Beim Musterforschen helfen Dir vier Fragen:

Was bleibt gleich?: Suche nach Teilen, die in jedem Schritt wieder vorkommen.
Was kommt dazu?: Markiere den Zuwachs von einem Schritt zum nächsten.
Wie viele sind es?: Übertrage die Figuren in eine Wertetabelle.
Warum gilt die Regel immer?: Verbinde die Rechenregel mit der Bauweise der Figur.

Merksatz: Eine gute Musterregel sagt nicht nur den nächsten Wert voraus. Sie erklärt, wie jeder Schritt gebaut wird.

Ein einfaches wachsendes Muster

Stell Dir eine Figurenfolge aus Plättchen vor. Die erste Figur besteht aus 4 Plättchen. In jedem weiteren Schritt kommen genau 3 Plättchen hinzu.

Schritt	1	2	3	4	5
Anzahl Plättchen	$4$	$7$	$10$	$13$	$16$
Veränderung	Start	$+ 3$	$+ 3$	$+ 3$	$+ 3$

Die konstante Veränderung nennen wir hier Zuwachs oder Schrittweite. In diesem Beispiel ist der Zuwachs $d = 3$ .

Dynamische Zahlengerade

Auf einer Zahlengeraden kannst Du das gleichmäßige Wachstum als gleich große Sprünge sehen:

$4 \overset{+ 3}{\to} 7 \overset{+ 3}{\to} 10 \overset{+ 3}{\to} 13 \overset{+ 3}{\to} 16 \overset{+ 3}{\to} \dots$

Bewege in der folgenden GeoGebra-Darstellung den Schieberegler und beobachte die Folgeglieder. Achte besonders darauf, was die gleichbleibende Schrittweite bewirkt.

Forscherauftrag: Vorhersagen

Forscherauftrag
Sage zuerst ohne vollständiges Weiterzählen voraus, wie viele Plättchen Schritt 8 besitzt. Begründe Deine Idee.
Tipp zum Aufklappen: Von Schritt 1 bis Schritt 8 gibt es $8 - 1 = 7$ Wachstumsschritte. Also wird der Zuwachs 3 genau siebenmal angefügt.
Kontrolle: $4 + 7 \cdot 3 = 25$ .

Von der Schritt-für-Schritt-Regel zur allgemeinen Regel

Für Schritt $n$ musst Du vom ersten Schritt aus genau $n - 1$ Mal wachsen. Deshalb gilt bei einem konstanten Zuwachs:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Anzahl im Schritt }n=\text{Startwert}+(n-1)\cdot\text{Zuwachs}}}

Für unser Beispiel:

$a_{n} = 4 + (n - 1) \cdot 3$

Das lässt sich auch so schreiben:

$a_{n} = 3 n + 1$

Beide Regeln liefern dieselben Anzahlen. Die erste Form zeigt besonders gut die Baugeschichte: 4 Plättchen am Anfang und danach $n - 1$ Wachstumspakete mit je 3 Plättchen.

Visueller Rechenweg

Schritt	Bedeutung	Rechnung für $n = 6$
1	Startfigur	$4$
2	Anzahl der Wachstumsschritte	$6 - 1 = 5$
3	Fünf Pakete mit je drei Plättchen	$5 \cdot 3 = 15$
4	Start und Wachstum zusammen	$4 + 15 = 19$
5	Kontrolle mit Kurzregel	$3 \cdot 6 + 1 = 19$

Wichtig: Das $n - 1$ entsteht, weil die erste Figur schon vorhanden ist. Zwischen Figur 1 und Figur $n$ liegen genau $n - 1$ Übergänge.

Regelmaschine

Du kannst die allgemeine Regel wie eine Maschine lesen:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{n \longrightarrow n-1 \longrightarrow 3\cdot(n-1) \longrightarrow 4+3\cdot(n-1)}}

Eingabe $n$	$n - 1$	$3 \cdot (n - 1)$	Ausgabe $a_{n}$
$2$	$1$	$3$	$7$
$5$	$4$	$12$	$16$
$10$	$9$	$27$	$31$
$25$	$24$	$72$	$76$

Eine Regel überprüfen

Eine Regel ist überzeugend, wenn sie zwei Prüfungen besteht.

Prüfung	Frage	Beispiel
Rückwärtsprüfung	Stimmen bereits bekannte Schritte?	Für $n = 3$ : $4 + (3 - 1) \cdot 3 = 10$ .
Vorwärtsprüfung	Liefert die Regel neue Schritte sinnvoll?	Für $n = 10$ : $4 + 9 \cdot 3 = 31$ .
Bauprüfung	Passt jeder Teil des Terms zur Figur?	$4$ ist die Startfigur; $(n - 1) \cdot 3$ zählt alle Wachstumspakete.

Achtung: Wenn eine Regel nur für die ersten zwei oder drei Werte passt, ist sie noch nicht automatisch die „richtige“ Regel. Aus wenigen Zahlen kann man manchmal verschiedene Fortsetzungen erfinden. Erst die Bauidee des Musters zeigt, welche Regel gemeint ist.

Forscherauftrag: Fehlerdetektiv

Für die Folge $5, 9, 13, 17, \dots$ behauptet jemand:

$a_{n} = 5 + 4 n$

Prüfe die Behauptung bereits bei $n = 1$ . Erkläre anschließend, warum hier $5 + 4 (n - 1)$ zur Baugeschichte passt.

Lösungshinweis
Die falsche Regel ergibt bei $n = 1$ den Wert $9$ statt $5$ . Mit $5 + 4 (n - 1)$ wird beim ersten Schritt noch kein Wachstumspaket hinzugefügt.

Figurenfolgen: Wachstum sichtbar machen

Eine besonders gute Strategie ist, den neuen Teil einer Figur gedanklich anders zu markieren. Dann wird aus einer Zeichnung eine Rechnung.

Figur	Grundteil	neue Pakete	Gesamtzahl
1	$4$	keine	$4$
2	$4$	$1 \cdot 3$	$7$
3	$4$	$2 \cdot 3$	$10$
4	$4$	$3 \cdot 3$	$13$
$n$	$4$	$(n - 1) \cdot 3$	$4 + (n - 1) \cdot 3$

Ketten aus Quadraten

Lege Quadrate aus Streichhölzern in einer Reihe. Das erste Quadrat braucht 4 Hölzer. Jedes neue Quadrat teilt eine Seite mit dem vorherigen Quadrat und benötigt deshalb nur 3 neue Hölzer.

Anzahl Quadrate $n$	1	2	3	4	$n$
Streichhölzer	$4$	$7$	$10$	$13$	$3 n + 1$

Begründung: Jedes der $n$ Quadrate steuert gedanklich drei neue Außenkanten bei, also $3 n$ . Eine zusätzliche Anfangskante wird nur einmal gebraucht. Deshalb gilt $3 n + 1$ .

GeoGebra: Schieberegler für eine arithmetische Folge

Hier kannst Du eine Folge dynamisch verändern und beobachten, was eine feste Schrittweite bewirkt:

Untersuche mindestens drei verschiedene Einstellungen. Notiere jeweils Startwert, Zuwachs und eine passende allgemeine Regel.

Quadratmuster: Nicht jedes Wachstum ist gleich groß

Bei Quadratzahlen wächst ein Punktquadrat von $1 \times 1$ über $2 \times 2$ , $3 \times 3$ und $4 \times 4$ weiter.

Schritt $n$	1	2	3	4	5
Anzahl Punkte $n^{2}$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$
Zuwachs	–	$+ 3$	$+ 5$	$+ 7$	$+ 9$

Hier ist der Zuwachs nicht konstant. Er wird selbst regelmäßig größer: Es kommen nacheinander die ungeraden Zahlen $3, 5, 7, 9, \dots$ dazu.

Die allgemeine Regel lautet:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{a_n=n^2}}

Warum? Ein Quadrat mit Seitenlänge $n$ enthält $n$ Reihen mit jeweils $n$ Punkten. Daher sind es $n \cdot n = n^{2}$ Punkte.

Animierte Begründung für Quadratzahlen

Die folgende freie Animation von Wikimedia Commons zeigt anschaulich, wie aufeinanderfolgende ungerade Zahlen ein immer größeres Quadrat ergänzen:

Beobachte die neu hinzukommende L-Form. Für den Schritt vom $(n - 1)$ -Quadrat zum $n$ -Quadrat werden genau $2 n - 1$ neue Einheiten ergänzt.

Dreiecksmuster: Wachstum wächst mit

Auch Dreieckszahlen entstehen durch ein sichtbares Muster.

Schritt $n$	1	2	3	4	5
Anzahl Punkte	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$
neuer Rand	$+ 1$	$+ 2$	$+ 3$	$+ 4$	$+ 5$

Beim Dreiecksmuster wächst der neue Rand jedes Mal um einen Punkt. Deshalb ist die $n$ -te Dreieckszahl die Summe

$1 + 2 + 3 + \dots + n$ .

Als Erweiterung kannst Du die kompakte Regel kennenlernen:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{T_n=\frac{n(n+1)}{2}}}

Du musst sie in Klasse 5 nicht auswendig lernen. Wichtig ist die Begründungsidee: Zwei gleiche Punktdreiecke lassen sich zu einem Rechteck mit $n$ Reihen und $n + 1$ Spalten zusammensetzen. Ein Dreieck ist die Hälfte davon.

Forscherauftrag: Regel ohne Auswendiglernen

Berechne die 6. Dreieckszahl zuerst durch Ergänzen der Reihen:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$ .

Prüfe danach mit

$\frac{6 \cdot 7}{2}$ .

Erkläre in einem Satz, warum in der Formel die beiden Nachbarzahlen $n$ und $n + 1$ vorkommen.

Muster vergleichen

Musterart	erste Werte	Wachstum	mögliche allgemeine Regel	Bildidee
Gleichmäßiges Wachstum	$4, 7, 10, 13, \dots$	immer $+ 3$	$4 + 3 (n - 1)$	Startfigur plus gleich große Pakete
Quadratzahlen	$1, 4, 9, 16, \dots$	$+ 3, + 5, + 7, \dots$	$n^{2}$	$n$ Reihen mit je $n$ Punkten
Dreieckszahlen	$1, 3, 6, 10, \dots$	$+ 2, + 3, + 4, \dots$	$\frac{n (n + 1)}{2}$	jede neue Reihe ist um 1 länger

Entscheidend: Die Wertetabelle hilft beim Entdecken. Die Figur hilft beim Begründen.

Differenztabelle

Wenn Du nicht sofort erkennst, wie ein Muster wächst, bilde die Unterschiede zwischen Nachbarwerten.

Folge	Werte	erste Unterschiede	Beobachtung
A	$6, 10, 14, 18, 22$	$+ 4, + 4, + 4, + 4$	konstantes Wachstum
B	$1, 4, 9, 16, 25$	$+ 3, + 5, + 7, + 9$	Zuwachs wächst jeweils um 2
C	$1, 3, 6, 10, 15$	$+ 2, + 3, + 4, + 5$	Zuwachs wächst jeweils um 1

Das Bild zeigt eine arithmetische Folge als Punkte im Koordinatensystem. Bei konstantem Zuwachs liegen die Punkte auf einer geraden Linie.

Vom Muster zur Algebra

Algebra beginnt hier nicht mit komplizierten Buchstabenrechnungen. Sie beginnt mit der Frage:

Wie kann ich eine Regel so schreiben, dass sie für jede Schrittzahl gilt?

Für konstantes Wachstum gilt:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$

Dabei bedeutet:

Zeichen	Bedeutung
$n$	Schrittzahl
$a_{n}$	Anzahl im Schritt $n$
$a_{1}$	Startwert
$d$	gleichbleibender Zuwachs

Beispiel mit Startwert 2 und Zuwachs 5:

$a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 5$

Für $n = 20$ :

$a_{20} = 2 + 19 \cdot 5 = 97$ .

Du musst also nicht alle 20 Figuren zeichnen.

Zwei gleichwertige Beschreibungen

Manchmal kann dieselbe Regel verschieden aussehen.

$4 + 3 (n - 1) = 3 n + 1$

Die linke Seite erzählt die Baugeschichte Start plus Wachstum. Die rechte Seite ist kürzer. Dass beide gleichwertig sind, kannst Du durch Einsetzen mehrerer Schrittzahlen prüfen.

$n$	$4 + 3 (n - 1)$	$3 n + 1$
$1$	$4$	$4$
$4$	$13$	$13$
$10$	$31$	$31$

Begründen statt nur raten

Eine vollständige mathematische Begründung für ein einfaches Muster kann aus drei Bausteinen bestehen:

Beobachtung: „In jedem Schritt kommen 3 Plättchen dazu.“
Verallgemeinerung: „Bis Schritt $n$ geschieht das $n - 1$ Mal.“
Begründung: „Darum werden zum Startwert 4 insgesamt $3 (n - 1)$ Plättchen ergänzt, also $4 + 3 (n - 1)$ .“

Das ist stärker als „Die Regel passt bei Schritt 4 und 5“. Eine Begründung erklärt, warum die Regel bei allen Schritten passt, solange das Muster nach derselben Bauvorschrift weitergeführt wird.

Satzstarter für gute Begründungen

Zweck	Satzstarter
Veränderung beschreiben	„Von einer Figur zur nächsten kommt immer … dazu.“
Schrittzahl verbinden	„Bis zur Figur $n$ wurde dieser Zuwachs … Mal ausgeführt.“
Term erklären	„Der Teil … steht für …, weil …“
Regel prüfen	„Für Schritt … ergibt die Regel …; das stimmt mit der Figur überein.“
Verallgemeinern	„Das funktioniert für jeden Schritt, weil …“

Typische Denkfehler

Denkfehler	Warum problematisch?	Bessere Strategie
Nur den nächsten Wert nennen	Das beschreibt noch keine allgemeine Regel.	Formuliere die Regel für Schritt $n$ .
$n$ Wachstumsschritte statt $n - 1$	Die Startfigur wird doppelt berücksichtigt.	Zähle die Übergänge von Figur 1 bis Figur $n$ .
Nur eine Zahlenliste betrachten	Die Bauidee der Figur kann verloren gehen.	Verbinde Tabelle und Figur.
Eine Regel an nur einem Wert prüfen	Zufälliges Passen ist möglich.	Prüfe bekannte und neue Schritte.
Regel nennen, aber nicht begründen	Es bleibt unklar, warum sie immer gilt.	Erkläre jeden Termteil durch die Figur.

Medien und Vertiefung

Freie Wikimedia-Medien

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien sind frei lizenziert; die jeweilige Dateiseite enthält Urheber- und Lizenzangaben.

SquareNumbers.svg: Punktbilder zu Quadratzahlen.
TriangleNumbers.svg: Punktbilder zu Dreieckszahlen.
Arithmetische Folge.svg: grafische Darstellung einer arithmetischen Folge.
Illustration of Triangular Number Leading to a Rectangle.svg: visuelle Begründung der Dreieckszahlformel.
Animation zu Quadratzahlen: animierte Ergänzung durch ungerade Zahlen.

Video: Zahlenfolgen in Klasse 5

Stoppe das Video an einer Zahlenfolge und notiere zuerst Deine eigene Vermutung. Vergleiche erst danach mit der Erklärung im Video.

Video: Growing Patterns

Das englischsprachige Video zeigt sehr einfache wachsende Muster. Nutze es als Sprach- und Mathematikübung: Beschreibe auf Deutsch, was jeweils von Schritt zu Schritt hinzukommt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet bei einem Muster ein konstanter Zuwachs? (In jedem Schritt kommt gleich viel dazu) (!Die Figur bleibt immer gleich) (!Jeder Schritt wird doppelt so groß) (!Die Schrittzahl wird kleiner)

Die Folge lautet 4, 7, 10, 13. Wie groß ist der Zuwachs? (3) (!2) (!4) (!7)

Warum steht in der Regel Startwert plus n minus 1 mal Zuwachs die Zahl n minus 1? (Weil es von Schritt 1 bis Schritt n genau n minus 1 Übergänge gibt) (!Weil der erste Wert immer null ist) (!Weil jede Figur einen Punkt verliert) (!Weil n nur für gerade Zahlen steht)

Welche Regel passt zu Startwert 5 und Zuwachs 4? (5 plus n minus 1 mal 4) (!5 plus n mal 5) (!4 plus n minus 1 mal 5) (!5 mal n minus 4)

Was ist die beste Begründung für eine Musterregel? (Die Regel wird aus der Bauweise jeder Figur erklärt) (!Die Regel passt zufällig zu einem Wert) (!Die Regel klingt besonders kurz) (!Die Regel enthält möglichst viele Zahlen)

Welche Folge hat einen konstanten Zuwachs? (2, 6, 10, 14) (!1, 4, 9, 16) (!1, 3, 6, 10) (!2, 4, 8, 16)

Welche Regel beschreibt die Quadratzahlen? (n mal n) (!n plus 2) (!2 mal n plus 1) (!n minus 1)

Wie wachsen die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16 weiter? (Der Zuwachs sind aufeinanderfolgende ungerade Zahlen) (!Der Zuwachs ist immer 3) (!Der Zuwachs wird immer halbiert) (!Es kommt immer 1 dazu)

Was sollte man tun, wenn eine vermutete Regel gefunden wurde? (Sie an bekannten und weiteren Schritten prüfen) (!Nur den nächsten Wert anschauen) (!Die Tabelle löschen) (!Keine Begründung mehr suchen)

Welche Darstellung hilft besonders dabei zu sehen, warum eine Figurenregel funktioniert? (Eine Figur mit sichtbar markiertem Zuwachs) (!Eine ungeordnete Zahlenmenge) (!Nur der Name des Musters) (!Eine zufällige Rechnung)

Memory

Schrittweite	gleichbleibender Zuwachs
Startwert	Anzahl der ersten Figur
Schrittzahl	Position einer Figur im Muster
Wertetabelle	Übersicht von Schritt und Anzahl
Verallgemeinerung	Regel für beliebige Schritte
Begründung	Erklärung aus der Bauweise

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
konstantes Wachstum	gleich großer Zuwachs
Bauprüfung	Regel mit der Figur erklären
Vorwärtsprüfung	Regel an einem neuen Schritt testen
Differenztabelle	Unterschiede benachbarter Werte vergleichen
allgemeine Regel	Beschreibung für jeden Schritt

Kreuzworträtsel

Wachstum	Wie nennt man die Veränderung eines Musters von Schritt zu Schritt?
Zuwachs	Welches Wort bezeichnet die Menge, die in einem Schritt hinzukommt?
Tabelle	Welche Darstellung ordnet Schrittzahl und Anzahl übersichtlich?
Folgenglied	Wie nennt man einen einzelnen Wert einer Zahlenfolge?
Quadratzahl	Welche Zahl entsteht bei einem Punktquadrat mit gleich vielen Reihen und Spalten?
Vermutung	Wie nennt man eine zunächst noch zu prüfende Idee für eine Regel?

LearningApps

Lückentext

Bei einem Muster mit immer gleichem Wachstum ist der

konstant. Die erste bekannte Anzahl heißt

. Von Schritt 1 bis Schritt

n

gibt es genau

Übergänge. Deshalb kann man konstantes Wachstum mit Startwert plus

n - 1

mal

beschreiben. Eine Wertetabelle verbindet die

mit der jeweiligen Anzahl. Eine gefundene Regel sollte an bereits bekannten und an

Schritten geprüft werden. Besonders überzeugend wird die Regel durch eine

aus der Bauweise. Bei den Quadratzahlen ist der Zuwachs nicht konstant, sondern folgt den

Zahlen. Für das

n

-te Punktquadrat gilt die Regel

. Bei Dreieckszahlen wird in jedem Schritt eine um einen Punkt längere

ergänzt.

Offene Aufgaben

Leicht

Muster fotografieren: Finde in Deiner Umgebung ein regelmäßiges oder wachsendes Muster, fotografiere oder zeichne es und beschreibe, was gleich bleibt und was sich verändert.
Plättchenfolge: Lege mit Münzen oder Papierplättchen eine Folge mit Startwert 3 und Zuwachs 2. Zeichne die ersten fünf Schritte.
Wertetabelle: Erfinde eine Zahlenfolge mit konstantem Zuwachs und stelle Schrittzahl, Wert und Veränderung in einer Tabelle dar.
Fehlerdetektiv: Erfinde eine falsche Regel zu Deiner Folge und erkläre, an welchem Schritt man den Fehler sicher erkennt.

Standard

Streichholzmuster: Baue eine Kette aus aneinanderliegenden Quadraten. Entwickle eine Regel für die benötigten Streichhölzer und begründe jeden Teil Deiner Regel.
Mustervergleich: Vergleiche eine Folge mit konstantem Zuwachs mit den Quadratzahlen. Erstelle zwei Differenztabellen und erkläre den Unterschied.
Regelvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine Figurenfolge zeigst, eine allgemeine Regel formulierst und sie an einem weit entfernten Schritt prüfst.
Partnerinterview: Lass eine Mitschülerin oder einen Mitschüler ein Muster erfinden. Stelle nur Fragen, bis Du die Regel herausgefunden hast, und dokumentiere Deinen Lösungsweg.

Schwer

Zwei Regeln vergleichen: Finde für ein Muster zwei unterschiedlich aussehende, aber gleichwertige Rechenregeln. Prüfe sie an mindestens vier Schrittzahlen und erkläre ihre Gleichwertigkeit.
Dreieckszahlen erforschen: Lege Dreieckszahlen mit Punkten. Begründe mit zwei zusammengesetzten Dreiecken, warum $\frac{n (n + 1)}{2}$ die Anzahl beschreibt.
Muster erfinden: Entwirf eine Figurenfolge, deren Zuwachs selbst regelmäßig wächst. Erstelle Zeichnung, Tabelle, Differenztabelle und eine begründete Regel.
Regelkritik: Erkläre anhand eines selbst gewählten Beispiels, warum wenige Anfangswerte allein eine Fortsetzung nicht eindeutig festlegen müssen und warum eine Bauvorschrift deshalb wichtig ist.

Lernkontrolle

Transferaufgabe Wachstum: Eine Sitzreihe beginnt mit 6 Stühlen, jede nächste Reihe hat 4 Stühle mehr. Entwickle eine Regel für Reihe $n$ , erkläre das $n - 1$ und bestimme die Anzahl in Reihe 15.
Muster aus einer Regel: Zur Regel $a_{n} = 2 + 5 (n - 1)$ sollst Du eine passende Figurenfolge erfinden. Zeichne die ersten vier Schritte und erkläre, wo Startwert und Wachstumspakete zu sehen sind.
Regel bewerten: Zwei Personen geben für dieselbe Folge die Regeln $4 + 3 (n - 1)$ und $3 n + 1$ an. Untersuche, ob beide Regeln gleichwertig sind, und begründe ohne bloßes Raten.
Fehleranalyse: Für die Folge $8, 13, 18, 23, \dots$ wird $8 + 5 n$ vorgeschlagen. Finde den Denkfehler, verbessere die Regel und zeige die Korrektur an zwei Schritten.
Darstellungen verbinden: Erhalte eine Figurenfolge und eine Wertetabelle ohne Regel. Beschreibe, welche Informationen Du aus dem Bild und welche aus der Tabelle gewinnst und wie beide zusammen eine Begründung ermöglichen.
Nichtkonstantes Wachstum: Vergleiche $3, 6, 9, 12, \dots$ mit $1, 4, 9, 16, \dots$ . Erkläre anhand der Unterschiede, warum nur eine der beiden Folgen mit „Startwert plus gleich oft derselbe Zuwachs“ beschrieben werden kann.
Beweisidee im Kleinen: Erkläre für Quadratzahlen mit einer Skizze, warum beim Übergang zum nächsten Quadrat eine ungerade Anzahl neuer Punkte ergänzt wird.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Denkwege sichtbar machst.

Muster fortsetzen: Du kannst mehrere weitere Schritte korrekt erzeugen.
Wachstum beschreiben: Du erkennst konstante und nicht konstante Veränderungen.
Darstellungen wechseln: Du kannst Figuren, Wertetabellen und Rechenregeln miteinander verbinden.
Allgemeine Regel: Du kannst für einfache gleichmäßig wachsende Muster eine Regel mit $n$ formulieren.
Regel prüfen: Du setzt bekannte und neue Schrittzahlen ein und vergleichst mit dem Muster.
Begründen: Du erklärst jeden Teil Deiner Regel mit der Bauweise der Figur.
Transfer: Du überträgst die Idee auf ein neues Sach- oder Figurenmuster.
Mathematische Sprache: Du verwendest Begriffe wie Schrittzahl, Startwert, Zuwachs, Folge und Begründung passend.

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