M5 E - Abstände und Veränderungen auf der Zahlengeraden untersuchen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Auf einer Zahlengeraden kannst Du nicht nur erkennen, wo eine Zahl liegt. Du kannst auch untersuchen, wie weit zwei Zahlen auseinanderliegen und in welche Richtung sich ein Wert verändert.

Das ist wichtig bei Temperaturen, Höhen über und unter einem Bezugspunkt, Fahrstühlen, Spielständen, Kontoständen und vielen Bewegungen. Gleichzeitig bereitest Du damit spätere Rechenoperationen mit ganzen Zahlen vor.

Idee	Leitfrage	Mathematische Darstellung
Position	Wo liegt der Wert?	$a\in \mathbb{Z}$
Abstand	Wie weit liegen zwei Werte auseinander?	$d(a,b)=|b-a|$
Gerichtete Veränderung	Wie weit und in welche Richtung geht es vom Start zum Ziel?	$\Delta =b-a$

Merke: Ein Abstand ist nie negativ. Eine gerichtete Veränderung kann positiv, negativ oder null sein.

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Beobachtungsauftrag zum Video: Notiere nicht nur Ergebnisse. Formuliere zu mindestens zwei Beispielen jeweils einen Satz der Form: „Ich starte bei ..., gehe ... Einheiten nach links oder rechts und lande bei ... .“

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. ganze Zahlen auf einer Zahlengeraden sicher finden und vergleichen.
2. den Abstand zweier ganzer Zahlen als Anzahl gleich großer Einheiten bestimmen.
3. eine Veränderung vom Startwert zum Zielwert als gerichtete Veränderung beschreiben.
4. begründen, warum zwei Wege denselben Abstand, aber entgegengesetzte gerichtete Veränderungen haben können.
5. Temperatur-, Höhen- und Bewegungsdaten mithilfe einer Zahlengeraden untersuchen.
6. zwischen Position, Abstand und Veränderung unterscheiden.
7. Rechenwege mit Skizzen, Tabellen, Pfeilen und mathematischen Zeichen nachvollziehbar erklären.

Die Zahlengerade als Bewegungsmodell

Eine Zahlengerade besitzt einen Nullpunkt und einen gleichmäßigen Maßstab. Üblicherweise werden die Zahlen nach rechts größer und nach links kleiner.

$\dots <-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<\dots$

Beobachtung	Bedeutung
$-5$ liegt links von $-2$.	Deshalb gilt $-5<-2$.
$4$ liegt rechts von $-1$.	Deshalb gilt $4>-1$.
$0$ liegt zwischen negativen und positiven Zahlen.	$0$ ist weder positiv noch negativ.

Wichtig: Bei negativen Zahlen bedeutet „weiter links“ auch „kleiner“. Deshalb ist zum Beispiel $-7<-3$.

Dynamische Zahlengerade

Mit der folgenden dynamischen Zahlengeraden kannst Du Punkte verschieben und Veränderungen beobachten.

Interaktive GeoGebra-Zahlengerade öffnen

Arbeitsauftrag:

1. Stelle zuerst $-4$ und danach $3$ ein. Beschreibe die Richtung und die Anzahl der Einheiten.
2. Vertausche Start und Ziel. Was bleibt gleich? Was ändert sich?
3. Finde selbst zwei Zahlen, die genau $6$ Einheiten auseinanderliegen, und begründe Deine Wahl.

Interaktive Darstellung mit GeoGebra®. Nutzung gemäß den GeoGebra-Lizenzbedingungen für nichtkommerzielle Bildungszwecke.

Abstand zwischen zwei ganzen Zahlen

Der Abstand beschreibt, wie weit zwei Punkte auf der Zahlengeraden voneinander entfernt sind. Dabei interessiert die Richtung nicht.

Für zwei Zahlen $a$ und $b$ gilt:

$d(a,b)=|b-a|$

Das Zeichen $||$ bedeutet hier: Wir betrachten die nichtnegative Größe der Differenz.

Beispiel 1: Von $-3$ bis $4$

Schritt 1 – Punkte markieren:

$-3⟷4$

Schritt 2 – Einheiten zählen:

$-3\to -2\to -1\to 0\to 1\to 2\to 3\to 4$

Es sind $7$ gleich große Einheiten.

Schritt 3 – rechnerisch prüfen:

$d(-3,4)=|4-(-3)|=|7|=7$

Begründungssatz: Der Abstand beträgt $7$, weil zwischen $-3$ und $4$ sieben Einheitsstrecken liegen.

Beispiel 2: Zwei negative Zahlen

Zwischen $-8$ und $-3$ liegen ebenfalls mehrere Einheitsstrecken:

$-8\to -7\to -6\to -5\to -4\to -3$

$d(-8,-3)=|-3-(-8)|=|5|=5$

Achtung: Der Abstand ist $5$ und nicht $-5$. Ein Abstand besitzt keine Richtung.

Abstand ist symmetrisch

Wenn Du Start und Ziel vertauschst, ändert sich der Abstand nicht:

$d(a,b)=d(b,a)$

Zum Beispiel:

$d(-2,5)=7$

und

$d(5,-2)=7$

Warum? Dieselbe Strecke wird nur aus der anderen Richtung betrachtet.

Gerichtete Veränderung

Bei einer gerichteten Veränderung reicht die Länge des Weges nicht aus. Du musst auch angeben, in welche Richtung sich der Wert verändert.

Wir nennen den Startwert $s$ und den Zielwert $z$.

$\Delta =z-s$

Dabei bedeutet:

Ergebnis	Bewegung auf der Zahlengeraden	Beschreibung
$\Delta >0$	nach rechts	Der Wert ist gestiegen.
$\Delta <0$	nach links	Der Wert ist gefallen.
$\Delta =0$	keine Bewegung	Der Wert ist gleich geblieben.

Beispiel: Von $-1$ zu $2$

Start: $s=-1$

Ziel: $z=2$

$\Delta =2-(-1)=3$

Die gerichtete Veränderung ist also $+3$.

Begründung: Vom Startpunkt $-1$ geht die Bewegung drei Einheiten nach rechts bis $2$.

Gleicher Abstand, andere Richtung

Vergleiche die beiden Wege:

Weg	Abstand	Gerichtete Veränderung	Begründung
$-4\to 3$	$7$	$+7$	Sieben Einheiten nach rechts.
$3\to -4$	$7$	$-7$	Sieben Einheiten nach links.

Daran erkennst Du den entscheidenden Unterschied:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Abstand}=|\text{gerichtete Veränderung}|}}

oder kürzer:

$d=|\Delta |$

Visueller Vier-Schritt-Rechenweg

Bei jeder Aufgabe kannst Du nach demselben Muster vorgehen.

Schritt	Frage	Beispiel $-5\to 2$
1	Wo ist der Start?	$s=-5$
2	Wo ist das Ziel?	$z=2$
3	Wie viele Einheiten liegen dazwischen?	$d=7$
4	In welche Richtung geht die Bewegung?	nach rechts, also $\Delta =+7$

Rechnerische Kontrolle:

$\Delta =z-s=2-(-5)=7$

$d=|\Delta |=|7|=7$

Erklärungssatz: Ich starte bei $-5$, gehe sieben Einheiten nach rechts und lande bei $2$. Deshalb beträgt der Abstand $7$ und die gerichtete Veränderung $+7$.

Temperaturen untersuchen

Temperaturen eignen sich besonders gut für ganze Zahlen. Der Wert $0^{\circ }\mathrm{C}$ ist dabei ein wichtiger Bezugspunkt, aber Temperaturen können auch darunter liegen.

Beispielhafte Temperaturdaten

Die folgenden Werte sind bewusst als Unterrichtsbeispiel gewählt.

Zeitpunkt	Temperatur	Veränderung zum vorherigen Zeitpunkt	Beschreibung
06:00	$-5^{\circ }\mathrm{C}$	–	Startwert
09:00	$-2^{\circ }\mathrm{C}$	$+3^{\circ }\mathrm{C}$	Die Temperatur steigt um drei Grad.
12:00	$3^{\circ }\mathrm{C}$	$+5^{\circ }\mathrm{C}$	Die Temperatur steigt um fünf Grad.
15:00	$1^{\circ }\mathrm{C}$	$-2^{\circ }\mathrm{C}$	Die Temperatur fällt um zwei Grad.
21:00	$-4^{\circ }\mathrm{C}$	$-5^{\circ }\mathrm{C}$	Die Temperatur fällt um fünf Grad.

Untersuche den Weg von 06:00 bis 12:00:

$s=-5,z=3$

$\Delta =3-(-5)=+8$

$d=8$

Die Temperatur hat sich gerichtet um $+8^{\circ }\mathrm{C}$ verändert. Der Abstand der beiden Temperaturwerte auf der Skala beträgt $8^{\circ }\mathrm{C}$.

Begründungsfrage: Warum ist der Abstand zwischen $-5^{\circ }\mathrm{C}$ und $3^{\circ }\mathrm{C}$ größer als $5$? Erkläre mithilfe des Nullpunkts.

Mit echten Wetterdaten arbeiten

Der Deutsche Wetterdienst stellt offene Klima- und Wetterbeobachtungen bereit. Für ein eigenes Datenprojekt kannst Du Temperaturwerte einer Station auswählen und anschließend Veränderungen zwischen zwei Zeitpunkten untersuchen.

DWD Climate Data Center – tägliche Klimadaten

Datenauftrag:

1. Wähle fünf aufeinanderfolgende Temperaturwerte.
2. Zeichne einen passenden Ausschnitt einer Zahlengeraden.
3. Bestimme für zwei ausgewählte Werte Abstand und gerichtete Veränderung.
4. Begründe in vollständigen Sätzen, wie Du Richtung und Größe erkannt hast.

Höhen und Tiefen untersuchen

Auch Höhen können sich auf einen Bezugspunkt beziehen. Als vereinfachtes Modell verwenden wir $0\mathrm{m}$ als Bezugshöhe. Werte darüber sind positiv, Werte darunter negativ.

Ein Höhenprofil zeigt, wie sich eine Höhe entlang eines Weges verändert. Für unsere Zahlengeraden-Aufgaben genügt zunächst eine eindimensionale Skala.

Beispiel: Weg durch eine Landschaft

Ort	Höhe relativ zum Bezugspunkt
Aussichtspunkt	$+180\mathrm{m}$
Talstation	$+40\mathrm{m}$
Tunnelabschnitt	$-20\mathrm{m}$
Tiefgarage	$-35\mathrm{m}$

Von der Talstation zum Tunnelabschnitt gilt:

$\Delta =-20-40=-60$

Der Weg geht auf der Skala $60$ Einheiten nach unten beziehungsweise in negativer Richtung.

Der Abstand der beiden Höhenwerte ist:

$d=|-60|=60$

Begründungssatz: Der Abstand beträgt $60\mathrm{m}$. Die gerichtete Veränderung beträgt $-60\mathrm{m}$, weil sich die Höhe vom Start zum Ziel verringert.

Bewegungsmodell: Fahrstuhl

Stell Dir ein Gebäude vor, dessen Erdgeschoss mit $0$ bezeichnet wird. Untergeschosse erhalten negative Zahlen, Obergeschosse positive Zahlen.

Start	Ziel	Abstand	Gerichtete Veränderung
$-2$	$5$	$7$	$+7$
$5$	$-1$	$6$	$-6$
$-3$	$-3$	$0$	$0$

Vergleiche: Die erste und die zweite Fahrt haben unterschiedliche Abstände. Noch wichtiger: Die Vorzeichen der Veränderungen zeigen entgegengesetzte Richtungen.

Interaktives Bewegungsmodell

Mit Reglern kannst Du Start- und Zielwerte verändern.

GeoGebra-Modell „Subtracting Integers“ öffnen

Forscherauftrag:

1. Erzeuge eine Bewegung mit Abstand $4$ und positiver Veränderung.
2. Erzeuge danach eine Bewegung mit demselben Abstand und negativer Veränderung.
3. Erkläre, was Du verändern musstest und was gleich geblieben ist.

Interaktive Darstellung mit GeoGebra®. Nutzung gemäß den GeoGebra-Lizenzbedingungen für nichtkommerzielle Bildungszwecke.

Von Bewegung zu späteren Rechenoperationen

Die Zahlengerade macht sichtbar, warum eine Veränderung später als Rechenoperation beschrieben werden kann.

Beispiel:

$-4\to 3$

Du bewegst Dich $7$ Einheiten nach rechts.

$-4+7=3$

In der Gegenrichtung:

$3\to -4$

Du bewegst Dich $7$ Einheiten nach links. Die gerichtete Veränderung ist $-7$.

$3+(-7)=-4$

Diese Schreibweise wird später beim Addieren ganzer Zahlen wichtig. Für diesen aiMOOC steht aber die anschauliche Bedeutung der Bewegung im Mittelpunkt.

Eine Veränderung rückwärts lesen

Wenn Du Startwert und Veränderung kennst, kannst Du den Zielwert beschreiben:

$z=s+\Delta$

Beispiel:

$s=-2,\Delta =+6$

$z=-2+6=4$

Anschaulich:

$-2\to -1\to 0\to 1\to 2\to 3\to 4$

Begründung: Sechs Schritte nach rechts führen von $-2$ zu $4$.

Typische Denkfehler erkennen

Aussage	Bewertung	Begründung
„Von $-6$ nach $-2$ sind es vier Einheiten.“	richtig	Es liegen vier Einheitsstrecken dazwischen.
„Der Abstand von $4$ zu $-1$ ist $-5$.“	falsch	Ein Abstand ist nicht negativ. Er beträgt $5$.
„Von $4$ nach $-1$ ist die Veränderung $-5$.“	richtig	Die Bewegung geht fünf Einheiten nach links.
„$-8$ ist größer als $-3$, weil 8 größer als 3 ist.“	falsch	Auf der Zahlengeraden liegt $-8$ weiter links. Deshalb gilt $-8<-3$.
„Beim Abstand muss ich immer die Richtung angeben.“	falsch	Die Richtung gehört zur gerichteten Veränderung, nicht zum Abstand.

Striche zählen oder Zwischenräume zählen?

Ein häufiger Fehler entsteht, wenn Markierungen statt Einheitsstrecken gezählt werden.

Von $-2$ bis $2$ siehst Du die fünf Zahlen

$-2,-1,0,1,2$

aber nur vier Einheitsstrecken:

$-2\to -1$

$-1\to 0$

$0\to 1$

$1\to 2$

Daher gilt:

$d(-2,2)=4$

Begründung statt bloßem Ergebnis

In diesem Thema ist ein Ergebnis allein noch keine vollständige mathematische Antwort.

Zu knapp:

$7$

Besser:

„Der Abstand beträgt $7$, weil zwischen den beiden Punkten sieben Einheitsstrecken liegen.“

Noch besser bei einer gerichteten Veränderung:

„Ich starte bei $-4$ und gehe sieben Einheiten nach rechts bis $3$. Deshalb ist der Abstand $7$ und die gerichtete Veränderung $+7$.“

Satzstarter für gute Begründungen

Zweck	Satzstarter
Abstand erklären	„Der Abstand beträgt ..., weil ...“
Richtung erklären	„Die Veränderung ist positiv beziehungsweise negativ, weil ...“
Zahlengerade nutzen	„Auf der Zahlengeraden liegt ... rechts beziehungsweise links von ...“
Zwei Wege vergleichen	„Beide Wege haben denselben Abstand, aber ...“
Fehler erklären	„Die Aussage ist falsch, denn ...“

Mini-Forschungen

Forschung 1: Gleicher Abstand

Finde möglichst viele Zahlenpaare mit Abstand $5$.

Beispiele:

$(0,5)$

$(-2,3)$

$(4,-1)$

Untersuchungsfrage: Welche Regel erkennst Du? Begründe, warum es unendlich viele passende Zahlenpaare gibt.

Forschung 2: Spiegelung am Nullpunkt

Vergleiche die Paare

$-4\text{ und }4$

$-7\text{ und }7$

$-10\text{ und }10$

Was fällt Dir bei den Abständen zum Nullpunkt auf?

$d(-a,0)=d(a,0)$

Erkläre diese Beziehung mit einer Skizze.

Forschung 3: Maßstab beachten

Nicht jede Markierung muss für genau eine Einheit stehen.

Wenn benachbarte Markierungen jeweils $5$ Einheiten auseinanderliegen, dann bedeuten drei Zwischenräume:

$3\cdot 5=15$

Prüffrage: Warum wäre es falsch, einfach „3“ als Abstand anzugeben?

Medien- und Datenquellen für das Lernen

1. Wikimedia Commons: Die eingebundenen Zahlengeraden, Rechenweg-Grafiken, das Thermometer und das Höhenprofil stammen aus frei nutzbaren beziehungsweise auf ihren Dateiseiten entsprechend lizenzierten Commons-Medien.
2. NumberLineIntegers.svg: Zahlengerade mit ganzen Zahlen.
3. Integers-line -1+3.svg: Bewegung mit ganzen Zahlen.
4. Integers-line 3-4.svg: Bewegung auf der Zahlengeraden.
5. Thermometer.svg: Celsius-Thermometer.
6. ElevationProfile.png: Beispiel eines Höhenprofils.
7. Integer addition and subtraction.png: Addition und Subtraktion auf einer Zahlengeraden.
8. GeoGebra Integer number line: dynamische Zahlengerade.
9. GeoGebra Subtracting Integers: interaktives Bewegungsmodell.
10. DWD Climate Data Center: offene Wetter- und Klimadaten für eigene Untersuchungen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Abstand zwischen zwei Zahlen? (Die Länge des Weges ohne Richtung) (!Die Richtung vom Start zum Ziel) (!Nur die größere der beiden Zahlen) (!Immer den Abstand zur Null)

Wie groß ist der Abstand zwischen minus 3 und 4? (7) (!1) (!3) (!minus 7)

Welche gerichtete Veränderung führt von minus 2 zu 5? (plus 7) (!minus 7) (!plus 3) (!minus 3)

Welche gerichtete Veränderung führt von 5 zu minus 1? (minus 6) (!plus 6) (!minus 4) (!plus 4)

Was gilt immer für einen Abstand? (Er ist null oder positiv) (!Er ist immer negativ) (!Er zeigt immer nach rechts) (!Er hat immer ein Vorzeichen)

Was bedeutet eine positive gerichtete Veränderung auf der üblichen Zahlengeraden? (Eine Bewegung nach rechts) (!Eine Bewegung nach links) (!Eine Bewegung nur bis zur Null) (!Keine Bewegung)

Zwei Wege verlaufen von minus 4 zu 3 und von 3 zu minus 4. Was ist gleich? (Der Abstand) (!Die Richtung) (!Das Vorzeichen der Veränderung) (!Der Startwert)

Warum ist minus 6 kleiner als minus 2? (Weil minus 6 auf der Zahlengeraden weiter links liegt) (!Weil 6 kleiner als 2 ist) (!Weil negative Zahlen immer gleich groß sind) (!Weil minus 6 näher an null liegt)

Von minus 5 zu minus 1 liegen wie viele Einheitsstrecken? (4) (!6) (!5) (!minus 4)

Was ist bei einer vollständigen Beschreibung einer Veränderung besonders wichtig? (Größe und Richtung zu begründen) (!Nur das Ergebnis ohne Erklärung zu nennen) (!Nur den Startwert zu nennen) (!Nur positive Zahlen zu verwenden)

Memory

Abstand	Länge des Weges ohne Richtung
Gerichtete Veränderung	Weggröße mit Bewegungsrichtung
Positive Veränderung	Bewegung nach rechts
Negative Veränderung	Bewegung nach links
Nullpunkt	Position mit dem Wert Null
Maßstab	Bedeutung des Abstands benachbarter Markierungen
Startwert	Ausgangspunkt einer Veränderung
Zielwert	Endpunkt einer Veränderung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Bewegung nach rechts	Positive Veränderung
Bewegung nach links	Negative Veränderung
Weglänge ohne Richtung	Abstand
Ausgangspunkt einer Bewegung	Startwert
Endpunkt einer Bewegung	Zielwert
Gleichmäßige Einteilung	Maßstab
Zahl zwischen negativen und positiven Werten	Nullpunkt
Erklärung mit mathematischem Grund	Begründung

Kreuzworträtsel

Abstand	Wie heißt die Länge zwischen zwei Punkten ohne Richtungsangabe?
Nullpunkt	Wie heißt die Stelle mit dem Wert Null auf der Zahlengeraden?
Zielwert	Wie heißt der Wert, bei dem eine Bewegung endet?
Startwert	Wie heißt der Wert, bei dem eine Bewegung beginnt?
Richtung	Was unterscheidet eine gerichtete Veränderung von einem bloßen Abstand?
Maßstab	Was legt fest, welchen Wert der Abstand benachbarter Markierungen hat?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Auf einer üblichen Zahlengeraden werden die Zahlen nach rechts .

Ein Punkt links von der Null kann eine ganze Zahl darstellen.

Der zweier Zahlen beschreibt die Länge zwischen ihren Punkten ohne Richtung.

Ein Abstand kann niemals sein.

Eine Bewegung nach rechts hat eine gerichtete Veränderung.

Eine Bewegung nach links hat eine gerichtete Veränderung.

Startwert und Zielwert bestimmen gemeinsam die .

Wenn Start und Ziel vertauscht werden, bleibt der gleich.

Beim Zählen auf der Zahlengeraden müssen die zwischen Markierungen beachtet werden.

Eine gute mathematische Antwort enthält neben dem Ergebnis auch eine .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $-10$ bis $10$. Markiere vier selbst gewählte Zahlen. Beschreibe für zwei Zahlenpaare jeweils Abstand und gerichtete Veränderung in ganzen Sätzen.
2. Fahrstuhlgeschichte: Erfinde drei Fahrstuhl-Fahrten zwischen Unter- und Obergeschossen. Stelle jede Fahrt mit Start, Ziel, Abstand und gerichteter Veränderung in einer Tabelle dar und begründe Deine Angaben.
3. Temperaturkarten: Schreibe sechs Temperaturen zwischen $-8^{\circ }\mathrm{C}$ und $8^{\circ }\mathrm{C}$ auf Karten. Ordne sie und beschreibe mindestens drei Veränderungen zwischen zwei Karten.
4. Fehlerdetektiv Zahlengerade: Erfinde drei typische falsche Aussagen zu Abständen oder Veränderungen. Korrigiere jede Aussage und erkläre verständlich, worin der Fehler liegt.

Standard

1. Temperaturdiagramm: Erstelle für einen erfundenen Wintertag eine Tabelle mit mindestens sechs Temperaturwerten. Zeichne daraus ein Diagramm und kennzeichne die größte positive und die größte negative Veränderung. Begründe Deine Auswahl.
2. Höhenprofil: Entwirf ein einfaches Höhenprofil mit mindestens fünf Stationen über und unter einem selbst gewählten Bezugspunkt. Bestimme für drei Teilstrecken Abstand und gerichtete Veränderung.
3. Bewegungsvideo: Lege eine große Zahlengerade auf dem Boden aus. Filme eine kurze Bewegung von einer negativen zu einer positiven Zahl und zurück. Sprich im Video Startwert, Zielwert, Abstand und Richtung mit Begründung.
4. Partnerinterview Mathematik: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler zu der Frage „Was ist der Unterschied zwischen Abstand und Veränderung?“. Prüft die Erklärung an zwei eigenen Beispielen und überarbeitet sie gemeinsam.

Schwer

1. Datendetektiv Wetter: Nutze eine seriöse Wetterdatenquelle und wähle mindestens fünf reale Temperaturwerte. Untersuche mehrere gerichtete Veränderungen. Dokumentiere Quelle, Werte, Rechenweg und Begründung.
2. Dynamische Zahlengerade erstellen: Erstelle mit einem geeigneten digitalen Mathematikwerkzeug eine verschiebbare Zahlengerade. Start- und Zielpunkt sollen veränderbar sein. Formuliere dazu drei Forscherfragen, die nicht nur nach Ergebnissen fragen.
3. Regel erforschen: Untersuche systematisch alle Zahlenpaare im Bereich von $-8$ bis $8$ mit Abstand $6$. Formuliere eine Regel und begründe, warum sie funktioniert.
4. Erklärfilm Abstand und Richtung: Produziere einen kurzen Erklärfilm, in dem Du zwei Wege mit gleichem Abstand und entgegengesetzter gerichteter Veränderung vergleichst. Nutze Zahlengerade, Pfeile, mathematische Zeichen und eine sprachliche Begründung.

Lernkontrolle

1. Transfer Temperaturwechsel: Morgens zeigt ein Thermometer $-4^{\circ }\mathrm{C}$, mittags $3^{\circ }\mathrm{C}$ und abends $-1^{\circ }\mathrm{C}$. Vergleiche die beiden zeitlichen Veränderungen. Erkläre, welche größer ist und warum Du zwischen Abstand und Richtung unterscheiden musst.
2. Transfer Fahrstuhl: Zwei Fahrstühle fahren jeweils sechs Stockwerke. Fahrstuhl A startet bei $-2$, Fahrstuhl B bei $5$. Entwickle für beide eine mögliche Fahrt mit gleicher Weglänge, aber entgegengesetzter Veränderungsrichtung. Begründe.
3. Fehleranalyse: Eine Person behauptet: „Von $-7$ nach $-2$ ist die Veränderung $-5$, weil beide Zahlen negativ sind.“ Beurteile die Aussage mit Zahlengerade, Richtung und einem vollständigen Erklärungssatz.
4. Darstellungswechsel: Stelle die Bewegung von $4$ nach $-3$ auf drei Arten dar: als Zahlengeraden-Skizze, in einer Tabelle und mit mathematischen Zeichen. Erkläre, welche Information in jeder Darstellung besonders deutlich wird.
5. Eigene Situation modellieren: Finde eine Alltagssituation, in der Werte unter und über einem Bezugspunkt vorkommen. Lege Start- und Zielwert fest, bestimme Abstand und gerichtete Veränderung und begründe die Bedeutung des Vorzeichens im Sachzusammenhang.
6. Vergleich zweier Wege: Erfinde zwei Zahlenpaare mit demselben Abstand $8$, aber unterschiedlichen Startwerten. Zeige, dass der Abstand gleich ist, und untersuche, welche gerichteten Veränderungen möglich sind.
7. Maßstab prüfen: Eine Zahlengerade ist so skaliert, dass zwei benachbarte Markierungen jeweils $5$ Einheiten bedeuten. Zwei Punkte liegen vier Markierungsabstände auseinander. Erkläre, warum der Abstand nicht $4$, sondern $20$ beträgt, und übertrage die Idee auf einen eigenen Maßstab.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du

1. ganze Zahlen auf einer Zahlengeraden korrekt anordnen und ihre Lage begründen kannst.
2. den Maßstab einer Zahlengeraden erkennst und beim Bestimmen von Abständen berücksichtigst.
3. den Abstand zweier ganzer Zahlen als nichtnegative Größe bestimmen kannst.
4. gerichtete Veränderungen mit Größe und Richtung beschreiben kannst.
5. positive, negative und unveränderte Entwicklungen unterscheiden kannst.
6. erklären kannst, warum das Vertauschen von Start und Ziel den Abstand nicht verändert, aber das Vorzeichen der gerichteten Veränderung umkehrt.
7. Temperatur-, Höhen- und Bewegungsmodelle sinnvoll auf eine Zahlengerade übertragen kannst.
8. Rechenwege nicht nur mit einem Ergebnis, sondern mit Skizze, mathematischen Zeichen und verständlicher Begründung darstellen kannst.

OERs zum Thema

Wikipedia: Zahlengerade

Wikipedia: Ganze Zahl

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Verknüpfte Lernbereiche

Ganze Zahlen Zahlengerade Negative Zahlen Abstand Betrag einer Zahl Addition ganzer Zahlen Subtraktion ganzer Zahlen Koordinatensystem Temperatur Diagramme Daten auswerten