M5 - Eigene interaktive Zahlengerade gestalten

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, M-Niveau

Einleitung

Eine Zahlengerade ist mehr als eine Linie mit Zahlen: Sie ist ein Modell, mit dem Du Zahlen sehen, ordnen, vergleichen, Abstände untersuchen und Rechenwege darstellen kannst. In diesem aiMOOC entwickelst und konfigurierst Du selbst eine digitale Zahlengerade. Dabei entscheidest Du bewusst über Startwert, Endwert, Schrittweite, Beschriftung und Zoom.

Du arbeitest mit natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, Dezimalzahlen und Brüchen. Besonders wichtig ist die Erkenntnis:

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

Beide Schreibweisen gehören zum selben Punkt auf der Zahlengeraden.

Eine Zahlengerade ist gleichmäßig skaliert. Gleiche Abstände auf der Zeichnung stehen für gleiche Zahlendifferenzen. Mathematisch bedeutet das zum Beispiel:

$\mathrm{1,0}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$

und

$\mathrm{2,5}-\mathrm{2,0}=\mathrm{0,5}$

Die beiden Strecken zwischen den entsprechenden Punkten müssen daher gleich lang dargestellt werden.

Dein zentrales Lernprodukt ist eine selbst konfigurierte digitale Zahlengerade für ein konkretes Lernproblem. Du begründest dabei mathematisch, warum Deine Wahl von Startwert, Endwert und Schrittweite sinnvoll ist.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Zahlengeraden lesen: Du kannst Zahlen auf einer Zahlengeraden finden, vergleichen und ordnen.
2. Skalierungen verstehen: Du erkennst, dass gleich große Abstände gleich große Zahlenschritte darstellen.
3. Natürliche Zahlen darstellen: Du platzierst Zahlen wie $0$, $5$, $20$ oder $100$.
4. Ganze Zahlen darstellen: Du ordnest auch negative Zahlen wie $-3$ oder $-1$ korrekt ein.
5. Dezimalzahlen darstellen: Du arbeitest mit Zehnteln und Hundertsteln wie $\mathrm{0,4}$, $\mathrm{1,25}$ oder $\mathrm{2,75}$.
6. Brüche darstellen: Du zerlegst Einheiten in gleich große Teile und platzierst Brüche wie $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{4}$.
7. Darstellungen verbinden: Du erkennst zum Beispiel $\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$, $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$ und $\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$.
8. Digitale Werkzeuge nutzen: Du veränderst Ausschnitt, Unterteilung und Zoom einer interaktiven Zahlengeraden.
9. Begründen: Du erklärst, warum ein bestimmter Startwert, Endwert und eine bestimmte Schrittweite zu einem Lernproblem passen.

Differenzierung G, M und E

Niveau	Schwerpunkt	Typische Herausforderung	Erwartete Begründung
G – grundlegendes Niveau	Kleine übersichtliche Zahlenräume, vorgegebene Schrittweiten	Zahlen auf passenden Markierungen platzieren	„Die Schrittweite $1$ passt, weil nur ganze Zahlen vorkommen.“
M – mittleres Niveau	Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und einfache Brüche gemeinsam	Eine passende Schrittweite auswählen	„Die Schrittweite $\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$ passt, weil alle Zielwerte auf Viertelschritten liegen.“
E – erweitertes Niveau	Eigene Zahlengerade planen, verschiedene Darstellungen verbinden, ungeeignete Skalierungen erkennen	Start, Ende und Schrittweite selbst entwickeln und mathematisch prüfen	„Für jeden Zielwert $z$ soll $\frac{z-s}{\Delta }$ eine ganze Zahl sein, damit $z$ genau auf einer Markierung liegt.“

Du kannst innerhalb des aiMOOCs zwischen den Niveaus wechseln. Die Buchstaben G, M und E sind keine Wertung Deiner Person, sondern kennzeichnen unterschiedlich anspruchsvolle Lernwege.

Die Zahlengerade als mathematisches Modell

Orientierung und Nullpunkt

Auf einer üblichen horizontalen Zahlengeraden werden Zahlen nach rechts größer und nach links kleiner.

$\dots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\dots$

Der Punkt $0$ heißt Nullpunkt. Rechts davon liegen positive Zahlen, links davon negative Zahlen.

Beispiele:

$-2<0$

$0<3$

$-2<1$

$-\mathrm{1,5}<-1$

Die Zahl $-2$ liegt weiter links als $-1$. Deshalb gilt:

$-2<-1$

Zahlengerade oder Zahlenstrahl?

Ein Zahlenstrahl beginnt an einem Punkt und verläuft in eine Richtung. Für natürliche Zahlen wird häufig ein Zahlenstrahl verwendet:

$0,1,2,3,4,\dots$

Eine Zahlengerade kann nach links und rechts fortgesetzt werden. Das ist besonders wichtig, wenn auch negative Zahlen dargestellt werden:

$\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$

Für diesen aiMOOC arbeitest Du überwiegend mit Ausschnitten einer Zahlengeraden.

Gleichmäßige Skalierung

Eine korrekte Zahlengerade muss gleichmäßig skaliert sein.

Wenn die Schrittweite $\Delta =2$ beträgt, können die Markierungen beispielsweise lauten:

$0,2,4,6,8,10$

Die Differenz benachbarter Markierungen ist immer:

$2-0=4-2=6-4=8-6=10-8=2$

Eine Darstellung wie

$0,1,3,4$

mit überall gleich großen gezeichneten Abständen wäre nicht korrekt, denn die Zahlendifferenzen sind unterschiedlich:

$1-0=1$

aber

$3-1=2$

Die drei wichtigsten Einstellungen

Startwert

Der Startwert legt fest, welche Zahl am linken Rand Deines sichtbaren Ausschnitts liegt.

Beispiele:

$s=0$

für eine Zahlengerade mit ausschließlich nichtnegativen Zahlen oder

$s=-5$

wenn negative Werte sichtbar sein sollen.

Ein guter Startwert liegt so weit links, dass alle benötigten Zielwerte dargestellt werden können.

Mathematisch:

$s\le min(Z)$

Dabei steht $Z$ für die Menge Deiner Zielwerte.

Endwert

Der Endwert legt den rechten Rand des sichtbaren Ausschnitts fest.

Mathematisch:

$e\ge max(Z)$

Beispiel: Sollen die Zahlen

$Z=\{-2,0,\mathrm{0,75},\mathrm{1,25},\mathrm{2,5}\}$

sichtbar sein, muss der Endwert mindestens $\mathrm{2,5}$ betragen.

Ein Endwert von $3$ schafft einen kleinen Rand und ist gut lesbar.

Schrittweite

Die Schrittweite $\Delta$ bestimmt, wie groß die Zahlendifferenz zwischen zwei benachbarten Markierungen ist.

Bei

$\Delta =1$

folgen zum Beispiel:

$-2,-1,0,1,2$

Bei

$\Delta =\mathrm{0,5}$

folgen:

$-2,-\mathrm{1,5},-1,-\mathrm{0,5},0,\mathrm{0,5},1$

Bei

$\Delta =\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

folgen:

$0,\mathrm{0,25},\mathrm{0,5},\mathrm{0,75},1$

Merksatz: Je kleiner die Schrittweite ist, desto feiner kannst Du Zahlen unterscheiden. Eine sehr kleine Schrittweite erzeugt aber auch sehr viele Markierungen und kann die Darstellung unübersichtlich machen.

Anzahl der Teilstrecken berechnen

Wenn Startwert $s$, Endwert $e$ und Schrittweite $\Delta$ feststehen, kannst Du die Anzahl $n$ der gleich großen Teilstrecken berechnen:

$n=\frac{e-s}{\Delta }$

Beispiel:

$s=-3$

$e=3$

$\Delta =\mathrm{0,25}=\frac{1}{4}$

Dann gilt:

$n=\frac{3-(-3)}{\mathrm{0,25}}$

$n=\frac{6}{\mathrm{0,25}}=24$

Die Zahlengerade benötigt also 24 gleich große Teilstrecken.

Prüfen, ob ein Zielwert auf einer Markierung liegt

Für das E-Niveau kannst Du eine Zahl $z$ mit folgender Bedingung prüfen:

$z=s+k\cdot \Delta$

Dabei muss $k$ eine ganze Zahl sein.

Für

$s=-3,\Delta =\mathrm{0,25},z=\mathrm{1,25}$

gilt:

$k=\frac{\mathrm{1,25}-(-3)}{\mathrm{0,25}}$

$k=\frac{\mathrm{4,25}}{\mathrm{0,25}}=17$

Da $17$ eine ganze Zahl ist, liegt $\mathrm{1,25}$ genau auf einer Markierung.

Für $z=\mathrm{2,4}$ gilt dagegen:

$k=\frac{\mathrm{2,4}-(-3)}{\mathrm{0,25}}=\mathrm{21,6}$

$\mathrm{21,6}$ ist keine ganze Zahl. Deshalb passt $\mathrm{2,4}$ bei dieser Skalierung nicht genau auf eine Viertelmarkierung.

Dynamische Zahlengerade

Interaktiver Start mit natürlichen Zahlen

Diese GeoGebra-Aktivität stellt natürliche Zahlen an der Zahlengerade dar:

Beobachte:

1. Verschiebe Punkte oder Regler.
2. Lies ab, welche Zahl zu einer Position gehört.
3. Prüfe, ob größere Zahlen tatsächlich weiter rechts liegen.
4. Verändere den sichtbaren Ausschnitt, wenn die Aktivität dies erlaubt.

Die Zahlen $3$, $5$ und $7$ liegen in dieser Reihenfolge von links nach rechts, weil

$3<5<7$

gilt.

Zahlengerade selbst konfigurieren

Die folgende digitale Zahlengerade ist besonders wichtig für Dein Lernprodukt. Sie erlaubt das Verändern von Anfang, Ende und Unterteilung:

Arbeitsauftrag:

1. Stelle zunächst einen Bereich von $0$ bis $10$ ein.
2. Erzeuge zehn gleich große Teilstrecken.
3. Verändere dann den Startwert auf $-3$.
4. Verändere den Endwert auf $3$.
5. Versuche anschließend, eine Unterteilung zu erzeugen, mit der Viertelschritte sichtbar werden.
6. Prüfe die Positionen von $-2$, $-\mathrm{1,5}$, $\mathrm{0,75}$, $\mathrm{1,25}$ und $\mathrm{2,5}$.

Zoomen: Vom Ganzen zum Zehntel und Hundertstel

Warum Zoom mathematisch wichtig ist

Eine digitale Zahlengerade kann einen Ausschnitt vergrößern. Dabei ändern sich die Zahlen selbst nicht. Nur die Darstellung wird genauer.

Ein möglicher Zoomweg ist:

$0\text{bis}10$

$\Downarrow$

$0\text{bis}1$

$\Downarrow$

$\mathrm{0,2}\text{bis}\mathrm{0,3}$

Auf der ersten Ansicht ist $\mathrm{0,24}$ kaum genau zu platzieren. Im vergrößerten Ausschnitt zwischen $\mathrm{0,2}$ und $\mathrm{0,3}$ kann die Strecke in Hundertstel unterteilt werden:

$\mathrm{0,20},\mathrm{0,21},\mathrm{0,22},\mathrm{0,23},\mathrm{0,24},\dots ,\mathrm{0,30}$

Interaktive Zoom-Aufgabe mit Dezimalzahlen

Die folgende Aktivität arbeitet mit Zehnteln, Hundertsteln und vergrößerten Ausschnitten:

Probiere mindestens diese Zahlen aus:

$\mathrm{0,4}$

$\mathrm{0,63}$

$\mathrm{1,33}$

$\mathrm{1,4}$

$\mathrm{2,14}$

Vergleiche zum Beispiel:

$\mathrm{1,33}<\mathrm{1,4}$

Denn

$\mathrm{1,4}=\mathrm{1,40}$

und damit

$\mathrm{1,33}<\mathrm{1,40}$

Natürliche Zahlen auf der Zahlengerade

Natürliche Zahlen eignen sich gut für grobe Skalierungen.

Beispiel:

$0,10,20,30,40,50$

Hier ist

$\Delta =10$

eine sinnvolle Schrittweite.

Möchtest Du dagegen die Zahl $37$ genau auf einer Markierung darstellen, reicht $\Delta =10$ nicht aus. Dann kannst Du hineinzoomen:

$30,31,32,33,\dots ,40$

mit

$\Delta =1$

Ein digitales Werkzeug kann also zwischen einer Übersichtsansicht und einer Detailansicht wechseln.

Dynamisches Stellenwertmodell für natürliche Zahlen

Nutze das Stellenwertmodell, um zum Beispiel

$8276$

zu zerlegen:

$8276=8\cdot 1000+2\cdot 100+7\cdot 10+6\cdot 1$

Übertrage anschließend die Zahl auf eine Zahlengerade mit einem passenden Ausschnitt.

Ganze Zahlen und negative Werte

Negative Zahlen kennst Du zum Beispiel von Temperaturen.

Eine mögliche Temperaturskala lautet:

$-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5$

Eine Bewegung um $3$ Schritte nach rechts von $-1$ führt zu:

$-1+3=2$

Animierter Rechenweg auf der Zahlengeraden

Mit der folgenden Aktivität kannst Du Addition und Subtraktion ganzer Zahlen als Bewegung auf einer Zahlengeraden beobachten:

Eine Rechenbewegung kann zum Beispiel so gelesen werden:

$-2+5=3$

Start:

$-2$

Bewegung:

$+5$

Ziel:

$3$

Achte darauf: Der Zahlenwert eines Punktes und die Länge einer Bewegung sind verschiedene Informationen. Die Zahl $-2$ bezeichnet eine Position. Die Zahl $5$ in $-2+5$ beschreibt hier die Veränderung.

Dezimalzahlen auf der Zahlengerade

Zehntel und Hundertstel

Zwischen $0$ und $1$ können zehn gleich große Zehntel liegen:

$0,\mathrm{0,1},\mathrm{0,2},\dots ,\mathrm{0,9},1$

Dabei gilt:

$\mathrm{0,1}=\frac{1}{10}$

$\mathrm{0,4}=\frac{4}{10}$

$\mathrm{0,7}=\frac{7}{10}$

Wird ein Zehntel wiederum in zehn gleich große Teile zerlegt, entstehen Hundertstel:

$\mathrm{0,01}=\frac{1}{100}$

Beispiel:

$\mathrm{0,25}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

Stellenwerttabelle für Dezimalzahlen

Die Zahl

$\mathrm{2,14}$

kann zerlegt werden in:

$\mathrm{2,14}=2+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}$

oder

$\mathrm{2,14}=2+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,04}$

Für die Zahlengerade bedeutet das:

1. Gehe bis $2$.
2. Gehe ein Zehntel weiter bis $\mathrm{2,1}$.
3. Gehe vier Hundertstel weiter bis $\mathrm{2,14}$.

Erklärvideo: Dezimalzahlen am Zahlenstrahl

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Beobachtungsauftrag: Achte besonders darauf, wie ein Abschnitt der Zahlengeraden in gleich große Teile zerlegt wird.

Brüche auf der Zahlengerade

Der Nenner bestimmt die Unterteilung

Der Nenner eines Bruchs zeigt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird.

Für

$\frac{1}{4}$

wird die Strecke von $0$ bis $1$ in vier gleich große Teile zerlegt:

$0,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4}$

Da

$\frac{4}{4}=1$

endet die vierte Viertelstrecke genau bei $1$.

Für Achtel beträgt eine passende Schrittweite:

$\Delta =\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}$

Für Fünftel:

$\Delta =\frac{1}{5}=\mathrm{0,2}$

Bewegliche Bruchdarstellung

Verändere Zähler und Nenner. Vergleiche die Kreis- oder Flächendarstellung mit der Position auf der Zahlengeraden.

Beispiel:

$\frac{3}{4}$

bedeutet drei von vier gleich großen Teilen.

Auf der Zahlengeraden gilt:

$0<\frac{3}{4}<1$

und

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

Strecke, Rechteck und Kreis als Bruchmodelle

Untersuche denselben Bruch in verschiedenen Darstellungen. Der Wert bleibt gleich, auch wenn sich das Bild ändert.

Zum Beispiel:

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$

Alle drei Brüche liegen auf der Zahlengeraden am selben Punkt:

$\mathrm{0,5}$

Freies Wikimedia-Commons-Medium zu Bruchschritten

Das Bild zeigt, wie Strecken und Zahlenschritte an einer Zahlengeraden sichtbar gemacht werden können.

Erklärvideo: Brüche am Zahlenstrahl

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Beobachtungsauftrag: Notiere nach dem Video eine Regel dafür, wie Du den Nenner eines Bruchs für die Unterteilung einer Zahlengeraden nutzen kannst.

Brüche und Dezimalzahlen verbinden

Eine besonders wichtige Stärke der Zahlengerade ist, dass verschiedene Schreibweisen derselben Zahl am selben Ort liegen.

$\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

$\frac{5}{4}=\mathrm{1,25}$

$\frac{3}{2}=\mathrm{1,5}$

Interaktive Vergleichs-Zahlengerade

Suche jeweils zwei gleichwertige Darstellungen.

Beispiele:

$\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}$

$\frac{7}{10}=\mathrm{0,7}$

$\frac{9}{4}=\mathrm{2,25}$

Wenn Bruch und Dezimalzahl denselben Wert haben, müssen sie auf der Zahlengeraden genau übereinander liegen.

Konkretes Lernproblem: Die Wetterstation

Eine Wetterstation auf dem Schulhof hat während einer Versuchsreihe folgende Temperaturen gemessen:

$-2^{\circ }\mathrm{C}$

$-\mathrm{1,}{5}^{\circ }\mathrm{C}$

$0^{\circ }\mathrm{C}$

${\frac{3}{4}}^{\circ }\mathrm{C}$

$\mathrm{1,2}{5}^{\circ }\mathrm{C}$

$2^{\circ }\mathrm{C}$

$2{\frac{1}{2}}^{\circ }\mathrm{C}$

Deine Aufgabe lautet:

Entwickle eine digitale Zahlengerade, auf der alle Messwerte exakt auf Markierungen dargestellt werden können.

Schritt 1: Zielwerte untersuchen

Schreibe zuerst alle Werte in einer vergleichbaren Form:

$-2$

$-\mathrm{1,5}=-\frac{3}{2}$

$0$

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

$\mathrm{1,25}=\frac{5}{4}$

$2$

$2\frac{1}{2}=\mathrm{2,5}=\frac{5}{2}$

Die feinste benötigte Einteilung ergibt sich aus den Viertelschritten:

$\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

Schritt 2: Startwert wählen

Der kleinste Messwert ist:

$-2$

Ein Startwert von

$s=-3$

ist sinnvoll, weil er links vom kleinsten Messwert liegt und einen gut lesbaren Rand schafft.

Begründung:

$-3<-2$

Alle Zielwerte liegen damit rechts vom Startwert.

Schritt 3: Endwert wählen

Der größte Messwert ist:

$\mathrm{2,5}$

Ein Endwert von

$e=3$

ist sinnvoll, weil

$\mathrm{2,5}<3$

gilt und der Bereich symmetrisch um $0$ wird:

$-3\text{bis}3$

Diese Symmetrie erleichtert zusätzlich den Vergleich negativer und positiver Werte.

Schritt 4: Schrittweite wählen

Die Werte $\mathrm{0,75}$ und $\mathrm{1,25}$ benötigen Viertelschritte.

Deshalb wählen wir:

$\Delta =\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

Kontrolle:

$-\mathrm{1,5}=-\frac{6}{4}$

$\mathrm{0,75}=\frac{3}{4}$

$\mathrm{1,25}=\frac{5}{4}$

$\mathrm{2,5}=\frac{10}{4}$

Alle Werte sind Vielfache von $\frac{1}{4}$. Sie lassen sich deshalb exakt auf Viertelmarkierungen darstellen.

Schritt 5: Anzahl der Teilstrecken bestimmen

$n=\frac{e-s}{\Delta }$

Einsetzen:

$n=\frac{3-(-3)}{\mathrm{0,25}}$

$n=24$

Die digitale Zahlengerade benötigt also 24 gleich große Viertelschritte.

Konfigurationskarte

Einstellung	Wert	Mathematische Begründung
Startwert	$-3$	Der kleinste Messwert $-2$ liegt sicher im sichtbaren Bereich.
Endwert	$3$	Der größte Messwert $\mathrm{2,5}$ liegt sicher im sichtbaren Bereich.
Schrittweite	$\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$	Alle Messwerte lassen sich als Vielfache von Vierteln darstellen.
Anzahl Teilstrecken	$24$	$\frac{3-(-3)}{\mathrm{0,25}}=24$
Hauptbeschriftung	Ganze Zahlen	Die Darstellung bleibt übersichtlich.
Nebenmarken	Viertel	Dezimalzahlen und Brüche lassen sich exakt eintragen.
Zoom	Ganze $\to$ Halbe $\to$ Viertel	Der Lernende kann von der Übersicht in die Detailansicht wechseln.

Schritt 6: Zahlengerade digital bauen

Nutze die konfigurierbare GeoGebra-Zahlengerade:

Stelle Deine Zahlengerade möglichst so ein:

1. Linker Rand: $-3$
2. Rechter Rand: $3$
3. Unterteilung: $24$ gleich große Teilstrecken
4. Hauptmarken: ganze Zahlen
5. Detailmarken: Viertelschritte
6. Kontrollwerte: $-2$, $-\mathrm{1,5}$, $\mathrm{0,75}$, $\mathrm{1,25}$, $\mathrm{2,5}$

Schritt 7: Funktionsprüfung

Prüfe mindestens fünf Fragen:

1. Liegt $0$ zwischen $-1$ und $1$?
2. Liegt $-\mathrm{1,5}$ genau zwischen $-2$ und $-1$?
3. Liegt $\frac{3}{4}$ am selben Punkt wie $\mathrm{0,75}$?
4. Liegt $\mathrm{1,25}$ ein Viertel rechts von $1$?
5. Liegt $\mathrm{2,5}$ genau zwischen $2$ und $3$?

Wenn eine Antwort falsch dargestellt wird, musst Du die Skalierung oder Unterteilung korrigieren.

G/M/E-Lernwege zur eigenen Gestaltung

G – grundlegendes Niveau

Entwickle eine Zahlengerade für die Zahlen:

$0,1,2,3,4,5,6$

Eine mögliche Konfiguration lautet:

$s=0$

$e=6$

$\Delta =1$

Prüfe:

$n=\frac{6-0}{1}=6$

Du benötigst sechs Teilstrecken.

Danach erweitere auf halbe Schritte:

$0,\mathrm{0,5},1,\mathrm{1,5},\dots ,6$

mit

$\Delta =\mathrm{0,5}$

mittleres Niveau

Stelle gemeinsam dar:

$-2,-1,0,\frac{1}{2},\mathrm{0,75},\mathrm{1,25},2$

Wähle selbst Startwert, Endwert und Schrittweite.

Hinweis:

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$

$\mathrm{0,75}=\frac{3}{4}$

$\mathrm{1,25}=\frac{5}{4}$

Prüfe, ob

$\Delta =\mathrm{0,25}$

eine gute Wahl ist.

E – erweitertes Niveau

Stelle zusätzlich die Zahl

$\mathrm{2,4}$

exakt auf einer Markierung dar.

Eine Viertelschrittweite reicht jetzt nicht mehr.

Suche eine feinere Schrittweite, mit der sowohl

$\mathrm{0,75}$

als auch

$\mathrm{2,4}$

exakt getroffen werden.

Eine mögliche Lösung ist:

$\Delta =\mathrm{0,05}$

Denn:

$\mathrm{0,75}=15\cdot \mathrm{0,05}$

und

$\mathrm{2,4}=48\cdot \mathrm{0,05}$

Diskutiere anschließend: Ist diese Schrittweite für eine Übersichtszahlengerade noch gut lesbar oder sollte sie erst beim Hineinzoomen erscheinen?

Typische Fehler und ihre Korrektur

Fehler	Beispiel	Warum problematisch?	Verbesserung
Ungleichmäßige Abstände	$0,1,3,4$ gleich weit auseinander zeichnen	Die Differenzen sind nicht gleich.	Abstände proportional zu den Zahlendifferenzen darstellen.
Schrittweite zu groß	$\Delta =1$ für $\mathrm{0,75}$	Der Zielwert liegt zwischen zwei Markierungen.	Auf $\mathrm{0,25}$ oder feiner unterteilen.
Schrittweite unnötig klein	$\Delta =\mathrm{0,01}$ für die Zahlen $0,1,2,3$	Die Darstellung wird überladen.	Eine gröbere Hauptskala wählen und bei Bedarf zoomen.
Startwert zu groß	Start bei $0$, obwohl $-2$ vorkommt	Ein Zielwert fehlt.	Startwert kleiner oder gleich dem kleinsten Zielwert wählen.
Endwert zu klein	Ende bei $2$, obwohl $\mathrm{2,5}$ vorkommt	Der größte Zielwert ist nicht sichtbar.	Endwert vergrößern.
Dezimalzahl falsch vergleichen	$\mathrm{1,33}>\mathrm{1,4}$	Mehr Nachkommastellen bedeuten nicht automatisch eine größere Zahl.	$\mathrm{1,4}=\mathrm{1,40}$ schreiben und vergleichen.

Medienlabor

Freie Wikimedia-Commons-Medien

Die folgenden eingebundenen Dateien stammen aus Wikimedia Commons. Ihre jeweiligen Dateibeschreibungsseiten enthalten Autorenschaft und freie Lizenz beziehungsweise Gemeinfreiheitsangaben.

1. Simple number line.svg: einfache Zahlengerade, gemeinfrei.
2. NumberLineIntegers.svg: Zahlengerade mit ganzen Zahlen, freie Creative-Commons-Lizenz.
3. Number-line-3-5-7.svg: Zahlen $3$, $5$ und $7$, CC0.
4. Integers-line -1+3.svg: Bewegung von $-1$ um $+3$, CC0.
5. AdditionIntegers.svg: Addition ganzer Zahlen, CC0.
6. Number line multiplication 2 with 1,5 (step 1).svg: Zahlenschritte auf der Zahlengeraden, CC BY.

Rechtssicherer Umgang mit Medien

Nutze fremde Medien nicht durch Kopieren unbekannter Bilder aus Suchmaschinen. Für eigene Lernprodukte sind insbesondere Medien aus Wikimedia Commons hilfreich, weil dort Lizenz und Urheberangaben nachvollziehbar dokumentiert werden.

YouTube-Videos werden in diesem aiMOOC nur über die vorgesehene Einbettung eingebunden. Sie werden nicht als eigene Datei kopiert oder neu veröffentlicht. Prüfe vor einer eigenen Weiterverwendung außerhalb der Einbettung immer die Rechte des jeweiligen Videos.

GeoGebra-Aktivitäten werden als externe interaktive Lernressourcen eingebunden. Wenn Du eine fremde Konstruktion verändern oder weiterveröffentlichen möchtest, prüfe die Nutzungs- und Lizenzangaben der konkreten Ressource.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die Schrittweite einer Zahlengeraden? (Die Zahlendifferenz zwischen zwei benachbarten Markierungen) (!Den größten sichtbaren Zahlenwert) (!Die Anzahl der Dezimalstellen einer Zahl) (!Die Länge des Computerbildschirms)

Welche Aussage zu drei Vierteln und null Komma sieben fünf ist richtig? (Beide Zahlen liegen am selben Punkt der Zahlengeraden) (!Drei Viertel liegt immer links von null Komma sieben fünf) (!Null Komma sieben fünf ist doppelt so groß wie drei Viertel) (!Die beiden Zahlen können nicht verglichen werden)

Wie viele gleich große Teilstrecken entstehen von minus drei bis drei bei der Schrittweite null Komma zwei fünf? (24) (!6) (!12) (!25)

Welche Schrittweite eignet sich, um Viertel exakt als Markierungen darzustellen? (Null Komma zwei fünf) (!Eins) (!Zwei) (!Zehn)

Was passiert beim Hineinzoomen auf einer digitalen Zahlengeraden? (Ein kleinerer Zahlenbereich kann genauer betrachtet werden) (!Die Zahlen verändern ihren Wert) (!Negative Zahlen werden positiv) (!Brüche werden automatisch zu ganzen Zahlen)

Welche Zahl liegt links von minus eins? (Minus zwei) (!Null) (!Eins) (!Zwei)

Welche Dezimalzahl entspricht einem Viertel? (Null Komma zwei fünf) (!Null Komma vier) (!Null Komma fünf) (!Null Komma sieben fünf)

Warum muss der Startwert zum Lernproblem passen? (Alle benötigten kleinen Werte müssen sichtbar sein) (!Der Startwert muss immer null sein) (!Der Startwert muss immer positiv sein) (!Der Startwert bestimmt allein die Farbe der Linie)

Welche Bedingung ist für eine gute digitale Zahlengerade besonders wichtig? (Gleiche Zahlenschritte werden mit gleichen Abständen dargestellt) (!Jede Markierung bekommt einen anderen Abstand) (!Es dürfen nur natürliche Zahlen vorkommen) (!Der Endwert muss immer hundert sein)

Welche Einstellung ist für die Zahlen null zehn zwanzig dreißig vierzig fünfzig besonders sinnvoll? (Start null Ende fünfzig Schrittweite zehn) (!Start fünfzig Ende null Schrittweite sieben) (!Start null Ende fünf Schrittweite hundert) (!Start minus hundert Ende minus fünfzig Schrittweite eins)

Memory

Startwert	Linker Rand des sichtbaren Zahlenbereichs
Endwert	Rechter Rand des sichtbaren Zahlenbereichs
Schrittweite	Differenz benachbarter Markierungen
Zoom	Vergrößerung eines kleineren Ausschnitts
Drei Viertel	Null Komma sieben fünf
Nullpunkt	Position der Zahl Null
Viertelschritt	Null Komma zwei fünf

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ganzzahliges Temperaturfenster	Bereich von minus fünf bis plus fünf mit Einerschritten
Viertelgenaue Messskala	Unterteilung in Schritte von einem Viertel
Dezimaler Detailzoom	Unterteilung eines Zehntels in Hundertstel
Natürliche Übersichtsskala	Grobe Darstellung großer nichtnegativer Zahlen
Bruchvergleich	Gleichwertige Brüche und Dezimalzahlen am selben Punkt
Symmetrischer Ausschnitt	Gleich großer negativer und positiver Bereich um Null

Kreuzworträtsel

Schrittweite	Wie heißt die Differenz zwischen zwei benachbarten Markierungen?
Startwert	Wie heißt die Zahl am linken Rand des gewählten Ausschnitts?
Endwert	Wie heißt die Zahl am rechten Rand des gewählten Ausschnitts?
Nullpunkt	Wie heißt die Position der Zahl Null auf der Zahlengeraden?
Bruchzahl	Welche Zahlendarstellung besitzt Zähler und Nenner?
Dezimalzahl	Welche Zahlendarstellung verwendet im Deutschen ein Komma?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Zahlengerade ordnet Zahlen nach ihrer .

Der legt den linken Rand des sichtbaren Ausschnitts fest.

Der legt den rechten Rand des sichtbaren Ausschnitts fest.

Die bestimmt die Differenz zwischen zwei benachbarten Markierungen.

Ein Viertel entspricht der Dezimalzahl .

Drei Viertel entsprechen der Dezimalzahl .

Negative Zahlen liegen bei der üblichen horizontalen Orientierung von der Null.

Mit einem kann ein kleinerer Zahlenbereich genauer betrachtet werden.

Für eine selbst gestaltete Zahlengerade ist eine mathematische der Einstellungen wichtig.

Alle benötigten müssen innerhalb des gewählten Bereichs liegen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengerade zeichnen: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $10$ mit der Schrittweite $1$ und markiere fünf selbst gewählte natürliche Zahlen.
2. Halbe Schritte: Erstelle eine Zahlengerade von $0$ bis $5$ mit der Schrittweite $\mathrm{0,5}$. Markiere $\mathrm{1,5}$, $\mathrm{2,5}$ und $\mathrm{4,5}$.
3. Temperaturskala: Fotografiere kein fremdes Thermometerbild, sondern zeichne selbst eine Skizze einer Temperaturskala von $-5^{\circ }\mathrm{C}$ bis $5^{\circ }\mathrm{C}$ und übertrage sie auf eine Zahlengerade.
4. Bruch und Dezimalzahl: Gestalte drei Kartenpaare mit $\frac{1}{4}$ und $\mathrm{0,25}$, $\frac{1}{2}$ und $\mathrm{0,5}$ sowie $\frac{3}{4}$ und $\mathrm{0,75}$. Lege sie an passende Punkte einer Zahlengerade.

Standard

1. Digitale Zahlengerade konfigurieren: Konfiguriere eine Zahlengerade von $-3$ bis $3$ mit Viertelschritten. Dokumentiere Startwert, Endwert und Schrittweite in einer Tabelle.
2. Zoom-Erklärung: Erstelle eine dreistufige Bildfolge oder Bildschirmaufnahme, die zeigt, wie Du von $0$ bis $10$ auf den Bereich $\mathrm{0,7}$ bis $\mathrm{0,8}$ zoomst.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde eine absichtlich falsche Zahlengerade mit ungleichmäßiger Skalierung. Tausche sie mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler und erkläre den Fehler mathematisch.
4. Messdaten darstellen: Erfinde sechs Temperaturen mit ganzen Zahlen, Halben und Vierteln. Wähle eine passende digitale Zahlengerade und begründe Deine Skalierung.

Schwer

1. Skalierung optimieren: Finde eine möglichst grobe Schrittweite, auf der $\mathrm{0,75}$, $\mathrm{1,2}$, $\mathrm{1,5}$ und $\mathrm{2,4}$ exakt auf Markierungen liegen. Begründe rechnerisch.
2. Zwei Zoomstufen entwickeln: Entwickle eine Übersichtsskala und eine Detailansicht für Werte zwischen $-20$ und $20$, wobei in der Detailansicht Hundertstel ablesbar sein sollen.
3. Usability-Test: Lass zwei Personen Deine digitale Zahlengerade ohne Erklärung benutzen. Beobachte, ob Startwert, Endwert, Markierungen und Zoom verständlich sind. Überarbeite Dein Design anhand der Rückmeldungen.
4. Erklärvideo produzieren: Produziere ein eigenes kurzes Erklärvideo, in dem Du zeigst, wie aus dem Lernproblem zunächst die Zielwerte und daraus Startwert, Endwert und Schrittweite entstehen. Verwende nur eigene oder frei lizenzierte Medien.

Lernkontrolle

1. Skalierung begründen: Für die Zielwerte $-\mathrm{1,5}$, $0$, $\mathrm{0,75}$ und $\mathrm{2,25}$ schlägt jemand den Bereich $-2$ bis $3$ mit der Schrittweite $1$ vor. Analysiere, was funktioniert und was nicht, und verbessere den Vorschlag.
2. Zwei Designs vergleichen: Vergleiche eine Zahlengerade mit $\Delta =\mathrm{0,5}$ und eine mit $\Delta =\mathrm{0,25}$. Erkläre, welche für die Darstellung von $\frac{3}{4}$ geeigneter ist und welchen Nachteil die feinere Skalierung haben kann.
3. Fehler übertragen: Eine Lernende behauptet, $\mathrm{1,4}<\mathrm{1,33}$, weil $33>4$. Widerlege die Aussage mit einer Stellenwertdarstellung und erkläre, wie die Zahlengerade den Fehler sichtbar macht.
4. Lernproblem entwickeln: Erfinde eine Alltagssituation mit mindestens einer negativen Zahl, einer natürlichen Zahl, einer Dezimalzahl und einem Bruch. Bestimme anschließend einen geeigneten Zahlengeraden-Ausschnitt.
5. Zoomstrategie planen: Du musst gleichzeitig die Zahlen $0$, $100$ und $\mathrm{63,47}$ untersuchen. Begründe, warum eine einzige gleichbleibende Skalierung unpraktisch ist, und entwickle eine sinnvolle Zoomstrategie.
6. Designentscheidung verteidigen: Jemand schlägt für die Wetterstation den Bereich $-100$ bis $100$ mit der Schrittweite $\mathrm{0,25}$ vor. Bewerte diese Wahl im Hinblick auf mathematische Korrektheit und Lesbarkeit.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu M5 - Eigene interaktive Zahlengerade gestalten ist wichtig, dass Du nicht nur Zahlen eintragen kannst, sondern Deine Gestaltung mathematisch begründest.

Du solltest zeigen können:

1. Du kannst einen geeigneten Startwert aus einem Lernproblem ableiten.
2. Du kannst einen geeigneten Endwert aus einem Lernproblem ableiten.
3. Du kannst eine passende Schrittweite bestimmen und erklären.
4. Du kannst prüfen, ob ein Zielwert genau auf einer Markierung liegt.
5. Du kannst natürliche Zahlen, ganze Zahlen, Dezimalzahlen und einfache Brüche korrekt platzieren.
6. Du kannst Gleichwertigkeiten wie $\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$ an der Zahlengeraden erklären.
7. Du kannst eine Zoomstufe sinnvoll einsetzen, statt eine Zahlengerade mit zu vielen Markierungen zu überladen.
8. Du kannst eine digitale Zahlengerade auf Bedienbarkeit und mathematische Richtigkeit testen.
9. Du kannst zwischen einer groben Übersicht und einer feinen Detaildarstellung unterscheiden.
10. Du kannst Deine Designentscheidung mit Rechnungen, Skizzen oder einer Konfigurationskarte nachvollziehbar dokumentieren.

Ein möglicher Lernnachweis besteht aus einer selbst gestalteten digitalen Zahlengerade, einer kurzen schriftlichen Begründung der drei Parameter $s$, $e$ und $\Delta$ sowie einer Funktionsprüfung mit mindestens fünf Zielwerten.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Zahlengerade bietet weiterführende Hintergrundinformationen:

Weitere frei zugängliche beziehungsweise eingebettete Lernmedien in diesem aiMOOC:

1. Wikimedia Commons: frei lizenzierte beziehungsweise gemeinfreie Zahlengeraden-Grafiken mit nachvollziehbaren Lizenzangaben.
2. GeoGebra: interaktive Zahlengeraden, Stellenwertmodelle, Bruchdarstellungen und dynamische Rechenwege.
3. Wikipedia – Zahlengerade: Hintergrundwissen zum mathematischen Modell.
4. Bruchrechnung: Vertiefung der Darstellung von Bruchteilen.
5. Dezimalzahl: Vertiefung des Dezimalsystems.
6. Ganze Zahlen: Vertiefung negativer und positiver Zahlen.

Verknüpfte Lernbereiche

Zahlengerade Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Dezimalzahlen Brüche Stellenwertsystem Skalierung Zahlen vergleichen Addition Subtraktion GeoGebra Digitale Medien Mathematisch argumentieren