M10 M - Winkelweiten mit Umkehrfunktionen des Taschenrechners bestimmen

M10 M - Winkelweiten mit Umkehrfunktionen des Taschenrechners bestimmen

M10 M - Winkelweiten mit Umkehrfunktionen des Taschenrechners bestimmen

Einleitung

Du kennst zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und suchst einen Winkel. Dann nutzt Du ein Seitenverhältnis und die passende inverse trigonometrische Funktion des Taschenrechners:

$\alpha =\arcsin (\dots )$, $\alpha =\arccos (\dots )$ oder $\alpha =\arctan (\dots )$.

Zielgruppe: Klasse 10, Mathematik, Baden-Württemberg, M-Niveau.

Kernidee: Seiten erkennen → Verhältnis wählen → Umkehrfunktion anwenden → DEG prüfen → Ergebnis auf Plausibilität kontrollieren.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck sicher zuordnen.
2. Winkel mit $\arcsin$, $\arccos$ und $\arctan$ bestimmen.
3. den Taschenrechner korrekt auf DEG beziehungsweise Gradmaß einstellen.
4. einen vollständigen Rechenweg mit Ansatz, Einsetzen, Taschenrechnereingabe, Einheit und Rundung darstellen.
5. Ergebnisse durch Rückrechnung, Winkelsumme und Größenvergleich kritisch prüfen.
6. für eine Sachsituation ein geeignetes trigonometrisches Verfahren begründet wählen.

Vorwissen-Check

Check 1: Wo liegt die Hypotenuse? Sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber.

Check 2: Welche Kathete ist die Gegenkathete? Das hängt vom betrachteten Winkel ab: Die Gegenkathete liegt diesem Winkel gegenüber.

Check 3: Welche Verhältnisse kennst Du?

$\sin (\alpha )=\frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}$

$\cos (\alpha )=\frac{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}}$

$\tan (\alpha )=\frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}$

Mini-Test: Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind zur gesuchten Winkelweite $\alpha$ Gegenkathete und Ankathete bekannt. Welche Funktion passt? Antwort: Tangens.

Vom Seitenverhältnis zum Winkel

Eine normale Winkelfunktion berechnet aus einem Winkel ein Verhältnis:

$\sin (30^{\circ })=\mathrm{0,5}$

Die Umkehrfunktion geht in die andere Richtung:

$\arcsin (\mathrm{0,5})=30^{\circ }$

Merke: Auf vielen Taschenrechnern stehen dafür Bezeichnungen wie sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, asin, acos oder atan. Das Zeichen ${}^{-1}$ bedeutet hier Umkehrfunktion, nicht Kehrwert.

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Welche Umkehrfunktion passt?

Wenn Gegenkathete und Hypotenuse bekannt sind:

$\sin (\alpha )=\frac{G}{H}$

$\alpha =\arcsin \left(\frac{G}{H}\right)$

Wenn Ankathete und Hypotenuse bekannt sind:

$\cos (\alpha )=\frac{A}{H}$

$\alpha =\arccos \left(\frac{A}{H}\right)$

Wenn Gegenkathete und Ankathete bekannt sind:

$\tan (\alpha )=\frac{G}{A}$

$\alpha =\arctan \left(\frac{G}{A}\right)$

Entscheidungsregel: Nutze genau die beiden Seiten, die gegeben sind. Dann erkennst Du meist sofort, ob Sinus, Kosinus oder Tangens passt.

Taschenrechner richtig einstellen

Für Winkelangaben in Grad muss der Taschenrechner im Modus DEG stehen.

Schnelltest:

$\sin (30^{\circ })=\mathrm{0,5}$

Zeigt Dein Taschenrechner bei der Eingabe von sin 30 ungefähr $\mathrm{0,5}$, ist das ein guter Hinweis auf die richtige Grad-Einstellung.

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Taschenrechner-Simulation:

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Alternative digitale Rechenumgebung:

Datenschutz: Gib in Online-Rechner keine personenbezogenen Daten ein. Für diese Aufgaben werden nur mathematische Werte benötigt.

Interaktives Beispiel: Drei Wege zum selben Winkel

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $6$, $8$ und $10$. Gesucht ist der Winkel $\alpha$, dem die Seite der Länge $6$ gegenüberliegt.

Weg 1: Sinus

$\sin (\alpha )=\frac{6}{10}=\mathrm{0,6}$

$\alpha =\arcsin (\mathrm{0,6})\approx \mathrm{36,8}{7}^{\circ }$

Weg 2: Kosinus

$\cos (\alpha )=\frac{8}{10}=\mathrm{0,8}$

$\alpha =\arccos (\mathrm{0,8})\approx \mathrm{36,8}{7}^{\circ }$

Weg 3: Tangens

$\tan (\alpha )=\frac{6}{8}=\mathrm{0,75}$

$\alpha =\arctan (\mathrm{0,75})\approx \mathrm{36,8}{7}^{\circ }$

Interpretation: Alle drei Darstellungen beschreiben denselben Winkel. Im M-Niveau sollst Du erkennen, welche Darstellung zu den vorhandenen Daten am günstigsten passt.

Dynamisches Dreieck: Winkel aus Verhältnissen

Verändere die Seiten beziehungsweise Punkte im GeoGebra-Material. Beobachte, wie sich Seitenverhältnisse und Winkel gemeinsam ändern.

Arbeitsauftrag: Erzeuge drei verschiedene spitze Winkel. Notiere jeweils ein Seitenverhältnis und bestimme anschließend den Winkel mit der passenden Umkehrfunktion.

Dynamisches Dreieck: Seitenverhältnisse vergleichen

Prüfe bei mehreren Dreiecken:

1. Welche Seite ist Gegenkathete?
2. Welche Seite ist Ankathete?
3. Welche Seite bleibt Hypotenuse?
4. Welches Verhältnis passt zu Sinus, Kosinus oder Tangens?

Visuelle Plausibilitätskontrolle

Im rechtwinkligen Dreieck ist ein gesuchter spitzer Winkel größer als $0^{\circ }$ und kleiner als $90^{\circ }$.

Für den Tangens kannst Du besonders schnell abschätzen:

$\frac{G}{A}<1\Rightarrow \alpha <45^{\circ }$

$\frac{G}{A}=1\Rightarrow \alpha =45^{\circ }$

$\frac{G}{A}>1\Rightarrow \alpha >45^{\circ }$

Beispiel: Bei $\frac{G}{A}=\mathrm{0,75}$ muss der Winkel kleiner als $45^{\circ }$ sein. Das Ergebnis $\mathrm{36,8}{7}^{\circ }$ ist also plausibel.

Schritt-für-Schritt-Strategie

1. Skizze prüfen: rechter Winkel und gesuchter Winkel markieren.
2. Seiten benennen: Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse relativ zu $\alpha$.
3. Verhältnis wählen: Sinus, Kosinus oder Tangens.
4. Gleichung aufstellen: zum Beispiel $\tan (\alpha )=\frac{G}{A}$.
5. Umkehrfunktion anwenden: $\alpha =\arctan \left(\frac{G}{A}\right)$.
6. DEG prüfen: Ergebnis muss in Grad ausgegeben werden.
7. Runden: erst am Ende sinnvoll runden.
8. Kontrollieren: Größenordnung, Winkelsumme oder Rückrechnung nutzen.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Arkussinus

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt relativ zu $\alpha$:

$G=\mathrm{4,8}$ und $H=\mathrm{8,0}$.

Bestimme $\alpha$.

Hilfe 1: Gegeben sind Gegenkathete und Hypotenuse. Wähle Sinus.

Hilfe 2: Stelle auf: $\alpha =\arcsin \left(\frac{\mathrm{4,8}}{\mathrm{8,0}}\right)$.

Feedback: $\frac{\mathrm{4,8}}{\mathrm{8,0}}=\mathrm{0,6}$, daher $\alpha \approx \mathrm{36,8}{7}^{\circ }$.

Übung 2: Arkuskosinus

Es gilt $A=\mathrm{7,2}$ und $H=10$. Bestimme $\alpha$.

Hilfe 1: Ankathete und Hypotenuse führen zum Kosinus.

Hilfe 2: $\alpha =\arccos \left(\frac{\mathrm{7,2}}{10}\right)$.

Feedback: $\alpha \approx \mathrm{43,9}{5}^{\circ }$. Das Ergebnis ist ein spitzer Winkel und damit grundsätzlich plausibel.

Übung 3: Arkustangens

Eine Rampe steigt um $\mathrm{0,75}$ m bei einer waagerechten Strecke von $6$ m. Bestimme den Steigungswinkel.

Hilfe 1: Höhe ist Gegenkathete, waagerechte Strecke ist Ankathete.

Hilfe 2: $\alpha =\arctan \left(\frac{\mathrm{0,75}}{6}\right)$.

Feedback: $\alpha \approx \mathrm{7,1}{3}^{\circ }$. Weil die Höhe deutlich kleiner als die waagerechte Strecke ist, muss der Winkel klein sein.

Übung 4: Verfahren begründet wählen

Du kennst $G=9$ cm und $A=12$ cm.

1. Bestimme $\alpha$.
2. Begründe, warum der Tangens hier direkt geeignet ist.
3. Prüfe das Ergebnis mit einer zusätzlichen Seitenberechnung und einer zweiten trigonometrischen Funktion.

Feedback: Direkt gilt $\alpha =\arctan \left(\frac{9}{12}\right)\approx \mathrm{36,8}{7}^{\circ }$. Mit dem Satz des Pythagoras erhältst Du $H=15$; danach bestätigen Sinus oder Kosinus denselben Winkel.

Typische Fehler

Fehler 1: RAD statt DEG Bei $\arctan (\mathrm{0,75})$ kann ein Rechner im Bogenmaß etwa $\mathrm{0,644}$ ausgeben. Als Gradwert wäre das für dieses Dreieck unplausibel. Stelle auf DEG.

Fehler 2: falsche Seitenzuordnung Gegenkathete und Ankathete hängen vom betrachteten Winkel ab. Markiere deshalb zuerst $\alpha$.

Fehler 3: normale Funktion statt Umkehrfunktion Aus $\sin (\alpha )=\mathrm{0,6}$ folgt nicht $\sin (\mathrm{0,6})$, sondern $\alpha =\arcsin (\mathrm{0,6})$.

Fehler 4: ${\sin }^{-1}$ als Kehrwert lesen Im Taschenrechnerkontext bedeutet sin⁻¹ meist Arkussinus. Der Kehrwert von Sinus wäre dagegen $\frac{1}{\sin (\alpha )}$.

Fehler 5: unmögliches Verhältnis Bei Sinus und Kosinus kann im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis aus Kathete und Hypotenuse nicht größer als $1$ sein.

Fehler 6: zu früh runden Rechne möglichst mit dem ungerundeten Verhältnis weiter und runde erst das Endergebnis.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Ein Taschenrechner liefert ein Ergebnis, aber keine Begründung. Prüfe deshalb immer:

1. Ist das richtige Seitenverhältnis gewählt?
2. Ist DEG eingestellt?
3. Liegt der Winkel im erwarteten Bereich?
4. Stimmt eine Rückrechnung, zum Beispiel $\tan (\alpha )\approx \frac{G}{A}$?
5. Stimmen die beiden spitzen Winkel zusammen mit $90^{\circ }$?

KI-Hinweis: KI-Ausgaben können Rechenideen liefern, müssen aber mathematisch geprüft werden. Eine KI-Antwort ersetzt keinen nachvollziehbaren Rechenweg und keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Kannst Du ohne Hilfe erklären:

1. warum $\arctan (1)=45^{\circ }$ gilt?
2. warum ein Ergebnis von $120^{\circ }$ für einen spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck nicht passen kann?
3. warum $\arcsin \left(\frac{G}{H}\right)$ nur funktioniert, wenn $G\le H$?
4. warum $\alpha +\beta =90^{\circ }$ eine gute Kontrolle ist?
5. warum die Wahl der Funktion von den bekannten Seiten abhängt?

Wenn Du vier oder fünf Punkte sicher begründen kannst, bist Du für den Kompetenzcheck gut vorbereitet.

Transfer

Eine Leiter steht an einer Wand. Ihr Fußpunkt ist $\mathrm{2,4}$ m von der Wand entfernt, die Leiter berührt die Wand in $\mathrm{5,0}$ m Höhe.

Modell: rechtwinkliges Dreieck.

Gesucht: Winkel zwischen Leiter und Boden.

$\tan (\alpha )=\frac{\mathrm{5,0}}{\mathrm{2,4}}$

$\alpha =\arctan \left(\frac{\mathrm{5,0}}{\mathrm{2,4}}\right)\approx \mathrm{64,3}{6}^{\circ }$

Plausibilität: Die Höhe ist deutlich größer als der Abstand zur Wand. Der Winkel muss daher deutlich größer als $45^{\circ }$ sein.

Kompetenzcheck M-Niveau

A: Rechnen Bestimme einen Winkel aus zwei geeigneten Seitenlängen und dokumentiere jeden Schritt.

B: Darstellungen verknüpfen Erkläre an einer Skizze, warum dasselbe Dreieck mit Sinus, Kosinus und Tangens zum gleichen Winkel führen kann.

C: Modellieren Übersetze eine reale Situation mit Höhe und waagerechter Entfernung in ein rechtwinkliges Dreieck und entscheide begründet über die Funktion.

D: Prüfen Finde in einem absichtlich fehlerhaften Rechenweg mindestens zwei Fehler, darunter einen falschen Winkelmodus oder eine falsche Seitenzuordnung.

E: Begründen Erkläre, warum eine Taschenrechneranzeige allein noch kein vollständiger mathematischer Lösungsweg ist.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Woran erkennst Du am schnellsten die passende Umkehrfunktion?
2. Welche Kontrolle hilft Dir am meisten gegen Taschenrechnerfehler?
3. Wann ist eine Skizze für Dich unverzichtbar?
4. Welchen Schritt möchtest Du vor einer Klassenarbeit noch gezielt üben?

Folgekurs

Weiterführend passt: M10 M - Rechtwinklige Dreiecke modellieren und trigonometrische Verfahren begründet wählen.

Dort werden mehrstufige Sachsituationen, Modellierungsentscheidungen und vollständige Lösungsdarstellungen für den mittleren Abschluss vertieft.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welcher Winkelmodus ist für Winkelangaben in Grad richtig? (DEG) (!RAD) (!STAT) (!SCI)

Welche Umkehrfunktion passt bei bekannter Gegenkathete und Hypotenuse? (Arkussinus) (!Arkuskosinus) (!Arkustangens) (!Quadratwurzel)

Welche Umkehrfunktion passt bei bekannter Ankathete und Hypotenuse? (Arkuskosinus) (!Arkussinus) (!Arkustangens) (!Logarithmus)

Welche Umkehrfunktion passt bei bekannter Gegenkathete und Ankathete? (Arkustangens) (!Arkussinus) (!Arkuskosinus) (!Exponentialfunktion)

Welcher Winkel gehört im Gradmaß zum Sinuswert 0,5? (30 Grad) (!45 Grad) (!60 Grad) (!90 Grad)

Welcher Winkel ergibt sich ungefähr aus dem Tangensverhältnis 3 zu 4? (36,9 Grad) (!16,3 Grad) (!53,1 Grad) (!75,0 Grad)

Was gilt bei einem spitzen Winkel wenn die Gegenkathete kürzer als die Ankathete ist? (Der Winkel ist kleiner als 45 Grad) (!Der Winkel ist größer als 90 Grad) (!Der Winkel ist immer 60 Grad) (!Der Winkel ist immer 45 Grad)

Was ist eine wahrscheinliche Ursache wenn arctan von 0,75 ungefähr 0,64 liefert statt ungefähr 36,9 Grad? (Der Rechner steht wahrscheinlich auf RAD) (!Die Hypotenuse fehlt) (!Der Tangens ist nicht definiert) (!Der Rechner kann keine Winkel berechnen)

Welche Aussage zu einem Sinusverhältnis von 1,2 in einem rechtwinkligen Dreieck ist richtig? (Die Seitenzuordnung oder Eingabe ist fehlerhaft) (!Der Winkel beträgt sicher 12 Grad) (!Der Winkel beträgt sicher 120 Grad) (!Der Rechner muss auf RAD stehen)

Was bedeutet sin hoch minus eins auf vielen Taschenrechnern im Zusammenhang mit Winkelberechnungen? (Arkussinus) (!Kehrwert der Seitenlänge) (!Quadrat des Sinus) (!Negativer Sinus)

Memory

Arkussinus	Winkel aus einem Sinuswert
Arkuskosinus	Winkel aus einem Kosinuswert
Arkustangens	Winkel aus einem Tangenswert
DEG	Gradmaß am Taschenrechner
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Plausibilitätscheck	Ergebnis an Dreiecksform und Größenordnung prüfen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Arkussinus	Gegenkathete und Hypotenuse
Arkuskosinus	Ankathete und Hypotenuse
Arkustangens	Gegenkathete und Ankathete
DEG	Winkel in Grad
Rückrechnung	Ergebnis kontrollieren

Kreuzworträtsel

Arkussinus	Welche Umkehrfunktion liefert den Winkel aus einem Sinuswert?
Arkuskosinus	Welche Umkehrfunktion liefert den Winkel aus einem Kosinuswert?
Arkustangens	Welche Umkehrfunktion liefert den Winkel aus einem Tangenswert?
Hypotenuse	Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?
Gradmaß	In welchem Winkelmaß arbeitet der Rechner im DEG-Modus?
Plausibilität	Wie heißt die Prüfung, ob ein Ergebnis zur Situation passt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Für Winkelangaben in Grad muss der Taschenrechner im Modus arbeiten.

Sind Gegenkathete und Hypotenuse bekannt, nutzt Du den .

Sind Ankathete und Hypotenuse bekannt, nutzt Du den .

Sind Gegenkathete und Ankathete bekannt, nutzt Du den .

Ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck muss als spitzer Winkel zwischen null und neunzig Grad auf geprüft werden.

Eine sichere Kontrolle ist die mit der ursprünglichen Winkelfunktion.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Dreiecksskizze: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, markiere einen spitzen Winkel und beschrifte Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse.
2. Taschenrechner-Check: Dokumentiere mit drei Testeingaben, wie Du erkennst, dass Dein Rechner im DEG-Modus arbeitet.
3. Umkehrfunktionen: Erstelle eine kleine Lernkarte mit Sinus, Kosinus und Tangens sowie den jeweils passenden Umkehrfunktionen.
4. Fehlersuche: Erfinde einen falschen Rechenweg mit vertauschter Gegen- und Ankathete und verbessere ihn.

Standard

1. Drei Lösungswege: Nutze ein 6-8-10-Dreieck und bestimme denselben Winkel mit Sinus, Kosinus und Tangens.
2. Dynamisches Dreieck: Verändere ein GeoGebra-Dreieck und protokolliere fünf Winkel mit passendem Seitenverhältnis.
3. Plausibilitätsprüfung: Sammle vier Regeln, mit denen Du Winkel ohne vollständige Nachrechnung grob prüfen kannst.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video oder eine Bildschirmaufnahme, in der Du eine Winkelberechnung vollständig erklärst. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

1. Modellierungsaufgabe: Vermesse eine geeignete reale Steigung und modelliere sie als rechtwinkliges Dreieck. Dokumentiere Annahmen und Unsicherheiten.
2. Vergleich digitaler Werkzeuge: Löse dieselbe Aufgabe mit zwei digitalen Rechnern und prüfe, ob Einstellungen, Rundung und Ergebnisse übereinstimmen.
3. Fehleranalyse: Entwickle drei typische fehlerhafte Taschenrechnerlösungen und schreibe jeweils fachliches Feedback dazu.
4. KI und Mathematik: Lass Dir von einer KI einen Rechenweg zu einer selbst gewählten Trigonometrieaufgabe erzeugen und überprüfe jeden Schritt unabhängig. Begründe, welche Teile mathematisch abgesichert sind.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl: In drei verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken sind jeweils andere Seitenpaare gegeben. Wähle die passende Umkehrfunktion und begründe Deine Entscheidung, bevor Du rechnest.
2. Fehlerdiagnose: Ein Rechner liefert für $\arctan (\mathrm{0,75})$ etwa $\mathrm{0,644}$. Erkläre die Ursache und zeige, wie Du sie erkennst.
3. Darstellungswechsel: Zeige an einem selbst gewählten Dreieck, dass zwei verschiedene trigonometrische Ansätze zum gleichen Winkel führen.
4. Modellieren: Entwickle aus einer Alltagssituation mit Höhe und waagerechter Entfernung ein rechtwinkliges Dreieck, bestimme den Winkel und diskutiere die Genauigkeit des Modells.
5. Plausibilität: Beurteile mehrere vorgegebene Winkelwerte ohne vollständige Neuberechnung und begründe anhand von Seitenverhältnissen und Winkelsumme, welche Werte möglich sind.
6. Digitale Prüfung: Vergleiche ein Taschenrechnerergebnis mit Rückrechnung und einer geometrischen Abschätzung. Beschreibe, warum beide Kontrollen sinnvoll sind.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Du erkennst Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse sicher.
2. Du wählst Sinus, Kosinus oder Tangens passend zu den gegebenen Seiten.
3. Du nutzt $\arcsin$, $\arccos$ und $\arctan$ korrekt.
4. Du stellst den Taschenrechner bei Gradangaben auf DEG.
5. Du dokumentierst Ansatz, Einsetzen, Ergebnis, Einheit und Rundung nachvollziehbar.
6. Du prüfst Winkelwerte auf Plausibilität.
7. Du modellierst einfache reale Situationen als rechtwinkliges Dreieck.
8. Du begründest Deine Verfahrenswahl auf M-Niveau.
9. Du prüfst digitale oder KI-erzeugte Ergebnisse mathematisch unabhängig.

OERs zum Thema

Weitere passende Lernbereiche: Trigonometrie, Sinus und Kosinus, Tangens, Rechtwinkliges Dreieck, Satz des Pythagoras, Arkusfunktion.

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Verknüpfte Lernbereiche

Trigonometrie Rechtwinkliges Dreieck Sinus Kosinus Tangens Arkusfunktion Gradmaß Satz des Pythagoras Modellieren