M10 M - Exponentialfunktionen systematisch untersuchen

M10 M - Exponentialfunktionen systematisch untersuchen

Mini-Beschreibung: Du untersuchst Graphen von $f(x)=c\cdot a^x$ systematisch: Anfangswert, Wachstum oder Zerfall und die Wirkung der Basis $a$. Du wechselst zwischen Funktionsterm, Tabelle und Graph, nutzt dynamische Schieberegler und prüfst digitale Ergebnisse kritisch.

Zielgruppe: Klasse 10, Baden-Württemberg, M-Niveau.

Kurzer Einstieg

Drei Funktionen sehen ähnlich aus, können aber sehr verschieden wachsen oder zerfallen:

$f(x)=2\cdot \mathrm{1,}{5}^x$

$g(x)=2\cdot \mathrm{0,}{7}^x$

$h(x)=5\cdot \mathrm{1,}{5}^x$

Die Leitfragen lauten:

1. Was verrät $c$?
2. Was verrät $a$?
3. Wie erkennst Du Wachstum und Zerfall im Graphen?
4. Wie passt eine Wertetabelle zum Funktionsterm?

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Exponentialfunktionen der Form $f(x)=c\cdot a^x$ untersuchen.
2. den Anfangswert mit $f(0)=c$ bestimmen und am Graphen ablesen.
3. für $a>1$ Wachstum und für $0<a<1$ Zerfall erkennen.
4. Wertetabelle, Funktionsterm und Graph miteinander verknüpfen.
5. Wachstums- oder Zerfallsfaktoren aus Prozentangaben bestimmen.
6. digitale Schieberegler zielgerichtet einsetzen und Ergebnisse durch Rechnung kontrollieren.
7. Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar dokumentieren.
8. einfache Sachzusammenhänge mit Exponentialfunktionen modellieren.

Bildungsplanbezug Baden-Württemberg: M-Niveau

Im M-Niveau der Klasse 10 stehen besonders diese Kompetenzen im Mittelpunkt: funktionale Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen und Text darstellen, zwischen den Darstellungen wechseln, Graphen von $f(x)=c\cdot a^x$ anhand charakteristischer Eigenschaften skizzieren und Wachstumsvorgänge mit Exponentialfunktionen beschreiben und berechnen.

Digitale Mathematikwerkzeuge helfen beim Explorieren. Ein digital gezeichneter Graph ist aber noch keine Begründung: Werte, Einstellungen und Schlussfolgerungen müssen geprüft werden.

Vorwissen-Check

Prüfe Dich kurz.

1. Berechne $2^0$, $2^1$, $2^2$ und $2^{-1}$.
2. Erkläre den Unterschied zwischen einer additiven und einer multiplikativen Veränderung.
3. Bestimme den Faktor für eine Zunahme um $20\mathrm{\%}$.
4. Bestimme den Faktor für eine Abnahme um $20\mathrm{\%}$.
5. Lies aus einer Wertetabelle ab, ob jeweils addiert oder multipliziert wird.

Kurzlösung anzeigen

$2^0=1$, $2^1=2$, $2^2=4$, $2^{-1}=\mathrm{0,5}$.

Zunahme um $20\mathrm{\%}$: $a=\mathrm{1,2}$.

Abnahme um $20\mathrm{\%}$: $a=\mathrm{0,8}$.

Exponentielle Veränderung erkennst Du daran, dass in gleich großen Schritten mit demselben Faktor multipliziert wird.

Grundform verstehen

Für diesen Kurs betrachten wir

$f(x)=c\cdot a^x$

mit $a>0$. Für eine echte Wachstums- oder Zerfallsfunktion gilt zusätzlich $a\ne 1$.

Bestandteil	Bedeutung	Am Graphen
$c$	Anfangswert	$f(0)=c$
$a$	Faktor pro Schritt	steuert Wachstum oder Zerfall
$x$	Anzahl der Schritte	steht im Exponenten

Warum ist $c$ der Anfangswert?

$f(0)=c\cdot a^0=c\cdot 1=c$

Wachstum oder Zerfall?

Bedingung	Verhalten	Beispiel
$a>1$	exponentielles Wachstum	$f(x)=3\cdot \mathrm{1,}{2}^x$
$0<a<1$	exponentieller Zerfall	$g(x)=3\cdot \mathrm{0,}{8}^x$
$a=1$	konstant, keine echte exponentielle Veränderung	$h(x)=3$

Prozentangabe und Faktor

Bei einer Zunahme um $p\mathrm{\%}$:

$a=1+\frac{p}{100}$

Bei einer Abnahme um $p\mathrm{\%}$:

$a=1-\frac{p}{100}$

Beispiele

$+15\mathrm{\%}\Rightarrow a=\mathrm{1,15}$

$-15\mathrm{\%}\Rightarrow a=\mathrm{0,85}$

Dynamische Schieberegler

Arbeitsauftrag: Öffne das GeoGebra-Arbeitsblatt. Verändere zunächst nur $a$. Halte $c$ fest. Danach veränderst Du nur $c$.

Beobachtungsprotokoll

Einstellung	Vermutung	Beobachtung	Rechnung zur Kontrolle
$a=\mathrm{1,2}$			$f(1)=c\cdot \mathrm{1,2}$
$a=\mathrm{0,8}$			$f(1)=c\cdot \mathrm{0,8}$
größeres $c$			$f(0)=c$

Denkfrage: Warum treffen alle Graphen von $f(x)=a^x$ den Punkt $(0|1)$?

Zweiter Schieberegler-Versuch

Hier kannst Du die Basis $a$ und den Faktor $c$ gemeinsam verändern:

Digital kritisch prüfen

1. Prüfe mindestens zwei angezeigte Punkte durch eigene Rechnung.
2. Achte auf die Skalierung der Achsen.
3. Prüfe, ob wirklich nur der gewünschte Parameter verändert wurde.
4. Nutze keine personenbezogenen Daten in Screenshots oder geteilten Dateien.
5. KI-Ausgaben können Rechenwege vorschlagen, ersetzen aber keinen mathematischen Beweis und keine eigene Kontrolle.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Untersuchung

Beispiel: $f(x)=4\cdot \mathrm{1,}{5}^x$

Schritt 1 – Anfangswert

$f(0)=4\cdot \mathrm{1,}{5}^0=4$

Also liegt der Punkt $(0|4)$ auf dem Graphen.

Schritt 2 – Faktor

$a=\mathrm{1,5}>1$

Der Graph beschreibt Wachstum.

Schritt 3 – Wertetabelle

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$\mathrm{2,67}$	$4$	$6$	$9$	$\mathrm{13,5}$

Schritt 4 – Zusammenhang

Von einem Tabellenwert zum nächsten wird mit $\mathrm{1,5}$ multipliziert.

$\frac{f(x+1)}{f(x)}=\mathrm{1,5}$

Schritt 5 – Graph

Trage die Tabellenpunkte ein. Verbinde sie zu einer glatten Kurve. Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $4$ und steigt nach rechts immer stärker.

Interaktives Beispiel: Zerfall

Untersuche

$g(x)=120\cdot \mathrm{0,7}{5}^x$

Frage	Deine Antwort
Anfangswert?
Wachstums- oder Zerfallsfaktor?
Veränderung pro Schritt in Prozent?
Wert nach zwei Schritten?

Feedback anzeigen

$g(0)=120$.

Da $0<a=\mathrm{0,75}<1$, liegt Zerfall vor.

Pro Schritt bleiben $75\mathrm{\%}$ übrig, also beträgt die Abnahme $25\mathrm{\%}$.

$g(2)=120\cdot \mathrm{0,7}{5}^2=\mathrm{67,5}$.

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Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Term lesen

Gegeben ist $f(x)=80\cdot \mathrm{1,0}{6}^x$.

1. Bestimme den Anfangswert.
2. Entscheide zwischen Wachstum und Zerfall.
3. Gib die prozentuale Veränderung pro Schritt an.
4. Berechne $f(3)$.

Hilfestufe 1

Setze für den Anfangswert $x=0$. Vergleiche $a$ mit $1$.

Hilfestufe 2

$a=\mathrm{1,06}=1+\frac{6}{100}$.

Feedback

Anfangswert $80$, Wachstum um $6\mathrm{\%}$ pro Schritt.

$f(3)=80\cdot \mathrm{1,0}{6}^3\approx \mathrm{95,28}$.

Übung 2: Zerfall aus einer Tabelle

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$200$	$170$	$\mathrm{144,5}$	$\mathrm{122,825}$

1. Bestimme $c$.
2. Bestimme $a$ mit einem Quotienten.
3. Stelle den Funktionsterm auf.
4. Begründe, warum exponentieller Zerfall vorliegt.

Hilfestufe

Berechne $\frac{170}{200}$ und kontrolliere den Faktor mit $\frac{\mathrm{144,5}}{170}$.

Feedback

$c=200$, $a=\mathrm{0,85}$, also $f(x)=200\cdot \mathrm{0,8}{5}^x$. Der gleiche Faktor $\mathrm{0,85}$ tritt in jedem Schritt auf.

Übung 3: Parameter vergleichen

Vergleiche

$f(x)=3\cdot \mathrm{1,}{2}^x$

und

$g(x)=6\cdot \mathrm{1,}{2}^x$.

1. Was ist gleich?
2. Was ist verschieden?
3. Begründe mit Funktionsterm und Graph.

Feedback

Beide Funktionen haben denselben Faktor $a=\mathrm{1,2}$ und damit dieselbe relative Veränderung pro Schritt. Der Anfangswert von $g$ ist doppelt so groß. Deshalb gilt für alle $x$: $g(x)=2\cdot f(x)$.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
$20\mathrm{\%}$ Wachstum wird als $a=\mathrm{0,2}$ eingesetzt.	Richtig ist $a=\mathrm{1,2}$.
$20\mathrm{\%}$ Zerfall wird als $a=-\mathrm{0,2}$ eingesetzt.	Richtig ist $a=\mathrm{0,8}$.
$c$ und $a$ werden vertauscht.	$c=f(0)$, $a$ ist der Faktor pro Schritt.
Ein Graph wird nur nach seinem Aussehen beurteilt.	Werte berechnen und Achsenskalierung prüfen.
Zu früh wird gerundet.	Erst am Ende sinnvoll runden.
Eine KI-Antwort wird ungeprüft übernommen.	Funktionsterm, Rechenweg und Probe selbst kontrollieren.

Selbstkontrolle

Ordne ohne Taschenrechner ein:

1. $3\cdot \mathrm{1,}{4}^x$
2. $3\cdot \mathrm{0,}{4}^x$
3. $7\cdot \mathrm{1,}{4}^x$
4. $7\cdot \mathrm{0,}{4}^x$

Prüffragen

1. Welche Funktionen wachsen?
2. Welche zerfallen?
3. Welche starten bei $3$?
4. Welche starten bei $7$?
5. Welche Paare haben denselben Faktor?

Lösung

Wachstum: 1 und 3. Zerfall: 2 und 4. Anfangswert $3$: 1 und 2. Anfangswert $7$: 3 und 4. Gleicher Faktor: 1 und 3 sowie 2 und 4.

Transfer: Modellieren

Eine Größe beträgt zu Beginn $500$ Einheiten und nimmt pro Zeitschritt um $8\mathrm{\%}$ ab.

Modell

$f(x)=500\cdot \mathrm{0,9}{2}^x$

Auftrag

1. Berechne den Wert nach $5$ Schritten.
2. Stelle die ersten sechs Werte in einer Tabelle dar.
3. Zeichne oder erzeuge den Graphen.
4. Erkläre, was $500$ und $\mathrm{0,92}$ im Sachzusammenhang bedeuten.
5. Prüfe, ob Dein digitales Ergebnis zum Modell passt.

Modellierungskette

Realsituation → Größen wählen → Funktionsterm aufstellen → rechnen und darstellen → Ergebnis im Kontext deuten → Plausibilität prüfen.

Kompetenzcheck

Bewerte Dich jeweils mit sicher, teilweise oder noch üben.

Kompetenz	sicher	teilweise	noch üben
Ich bestimme $f(0)$.	□	□	□
Ich erkenne Wachstum und Zerfall an $a$.	□	□	□
Ich wechsle zwischen Term, Tabelle und Graph.	□	□	□
Ich bestimme $a$ aus Prozentangaben.	□	□	□
Ich bestimme $a$ aus Tabellenwerten.	□	□	□
Ich begründe meine Entscheidung mit Rechnung und Darstellung.	□	□	□
Ich prüfe digitale Ergebnisse kritisch.	□	□	□

Reflexion

1. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Term, Tabelle oder Graph? Begründe.
2. Wann ist ein Schieberegler hilfreich, wann reicht eine Rechnung?
3. Welche Eigenschaft von $a$ erkennst Du am schnellsten am Graphen?
4. Wie kannst Du zeigen, dass ein digitales Ergebnis plausibel ist?
5. Welchen typischen Fehler möchtest Du künftig vermeiden?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl ist bei f von x gleich 6 mal 1 Komma 2 hoch x der Anfangswert? (6) (!1 Komma 2) (!7 Komma 2) (!0)

Wann beschreibt die Basis Wachstum? (a ist größer als 1) (!a liegt zwischen 0 und 1) (!a ist gleich 0) (!a ist negativ)

Wann beschreibt die Basis Zerfall? (a liegt zwischen 0 und 1) (!a ist größer als 1) (!a ist gleich 1) (!a ist größer als 10)

Welcher Faktor gehört zu einer Zunahme um 12 Prozent? (1 Komma 12) (!0 Komma 12) (!0 Komma 88) (!12)

Welcher Faktor gehört zu einer Abnahme um 12 Prozent? (0 Komma 88) (!1 Komma 12) (!0 Komma 12) (!12)

Was bleibt bei f von x gleich c mal a hoch x für x gleich 0 übrig? (c) (!a) (!c mal a) (!0)

Woran erkennst Du exponentielle Veränderung in einer Wertetabelle? (Es wird immer mit demselben Faktor multipliziert) (!Es wird immer dieselbe Zahl addiert) (!Alle Werte sind gleich) (!Die x Werte werden multipliziert)

Welche Aussage zu einem größeren positiven c bei gleichem a ist richtig? (Der Anfangswert wird größer) (!Die Basis wird kleiner) (!Wachstum wird automatisch zu Zerfall) (!Der Graph beginnt bei null)

Welche Kontrolle ist bei einem digitalen Graphen sinnvoll? (Einige Punkte selbst berechnen) (!Nur auf die Farbe des Graphen achten) (!Jede Anzeige ungeprüft übernehmen) (!Die Achsenskalierung ignorieren)

Was ist bei einer KI Antwort zu einer Exponentialfunktion wichtig? (Rechenweg und Ergebnis selbst prüfen) (!Die Antwort ohne Prüfung übernehmen) (!Nur den letzten Zahlenwert lesen) (!Auf eine Begründung verzichten)

Memory

Anfangswert	$f(0)=c$
Wachstumsfaktor	$a>1$
Zerfallsfaktor	$0<a<1$
Wertetabelle	gleiche Schritte vergleichen
Graph	Verlauf sichtbar machen
Prozentzunahme	$1+\frac{p}{100}$
Prozentabnahme	$1-\frac{p}{100}$

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Exponentialfunktionen
Anfangswert	Wert bei $x=0$
Wachstum	Basis größer als $1$
Zerfall	Basis zwischen $0$ und $1$
Faktor	Quotient aufeinanderfolgender Funktionswerte
Plausibilitätsprüfung	digitale Werte durch Rechnung kontrollieren

Kreuzworträtsel

Anfangswert	Welcher Wert wird bei $x=0$ erreicht?
Wachstum	Wie heißt exponentielle Zunahme?
Zerfall	Wie heißt exponentielle Abnahme?
Faktor	Womit werden aufeinanderfolgende Werte multipliziert?
Tabelle	Welche Darstellung ordnet x Werte und Funktionswerte?
Funktion	Wie heißt eine eindeutige Zuordnung von Eingabe und Ausgabe?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Exponentialfunktion dieses Kurses hat die Form $f(x)=c\cdot a^x$. Der Wert ist der Anfangswert. Für $a>1$ liegt exponentielles vor. Für $0<a<1$ liegt exponentieller vor. Bei einer Zunahme um $20\mathrm{\%}$ ist der Faktor . Bei einer Abnahme um $20\mathrm{\%}$ ist der Faktor . In einer Wertetabelle erkennt man exponentielle Veränderung an einem konstanten . Digitale Graphen sollen durch eigene kontrolliert werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Graphen lesen: Suche drei Exponentialgraphen in diesem aiMOOC und markiere jeweils den Anfangswert.
2. Wachstum und Zerfall: Erstelle zwei kleine Wertetabellen mit demselben Anfangswert, einmal mit Wachstum und einmal mit Zerfall.
3. Parameter a: Nutze den Schieberegler und dokumentiere mit drei Screenshots, wie sich der Graph bei verschiedenen positiven Werten von $a$ verändert. Keine personenbezogenen Daten zeigen.
4. Fehler finden: Erfinde eine falsche Rechnung zu einer Prozentänderung und erkläre, wie Du den Fehler korrigierst.

Standard

1. Darstellungen verknüpfen: Erstelle zu $f(x)=50\cdot \mathrm{1,}{1}^x$ einen Term, eine Tabelle, einen Graphen und einen kurzen Erklärungstext.
2. Modellieren: Erfinde eine realistische Situation mit exponentiellem Zerfall und stelle ein passendes Modell auf.
3. Schieberegler-Experiment: Halte $c$ fest und untersuche mindestens fünf Werte von $a$. Formuliere eine Regel.
4. Videoanalyse: Wähle eines der eingebetteten Videos, notiere drei mathematische Aussagen und überprüfe jede durch eine eigene Rechnung oder ein Gegenbeispiel.

Schwer

1. Datensatz untersuchen: Erzeuge eine kleine Tabelle mit exponentiellen Daten, tausche sie mit einer Lernpartnerin oder einem Lernpartner und lasse $c$ und $a$ bestimmen.
2. Begründung: Begründe mit $f(x+1)=a\cdot f(x)$, warum bei einer Exponentialfunktion in gleich großen Schritten derselbe Faktor auftritt.
3. Modellvergleich: Vergleiche ein lineares und ein exponentielles Modell mit gleichem Startwert. Erkläre, wann die Unterschiede besonders deutlich werden.
4. Digitale Prüfung: Lass Dir von einem digitalen Werkzeug oder einer KI eine Exponentialfunktion zu einer selbst gewählten Tabelle vorschlagen. Prüfe den Vorschlag rechnerisch, grafisch und sprachlich und dokumentiere mögliche Fehler.

Lernkontrolle

1. Darstellungswechsel: Gegeben ist eine Wertetabelle. Bestimme $c$ und $a$, stelle den Funktionsterm auf und skizziere den Graphen. Begründe jeden Schritt.
2. Modellwahl: Entscheide bei drei kurzen Alltagssituationen, ob ein lineares oder exponentielles Modell besser passt. Begründe über additive oder multiplikative Veränderung.
3. Fehleranalyse: Eine Person setzt bei einer Abnahme um $30\mathrm{\%}$ den Faktor $\mathrm{0,3}$ ein. Erkläre den Denkfehler und korrigiere das Modell.
4. Parameterwirkung: Vergleiche zwei Exponentialfunktionen mit gleichem $a$, aber unterschiedlichem $c$. Erkläre Gemeinsamkeiten und Unterschiede in Term, Tabelle und Graph.
5. Plausibilität: Ein digitales Werkzeug zeigt für $f(x)=100\cdot \mathrm{0,}{9}^5$ einen Wert größer als $100$. Beurteile das Ergebnis ohne vollständige Rechnung und begründe.
6. Transferaufgabe: Entwickle zu einer selbst gewählten exponentiellen Veränderung ein Modell, berechne mindestens drei Werte, visualisiere den Verlauf und diskutiere Grenzen des Modells.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig, dass Du:

1. $f(x)=c\cdot a^x$ sicher lesen kannst.
2. $c$ als Anfangswert bestimmst und deutest.
3. Wachstum und Zerfall über $a$ unterscheidest.
4. Prozentangaben in Faktoren umwandelst.
5. Faktoren aus Tabellenwerten bestimmst.
6. zwischen Funktionsterm, Tabelle, Graph und Text wechselst.
7. Rechenwege nachvollziehbar dokumentierst.
8. digitale Werkzeuge gezielt einsetzt und Ergebnisse kontrollierst.
9. Entscheidungen mathematisch begründest.
10. einfache Sachzusammenhänge modellierst und die Grenzen des Modells benennst.

OERs zum Thema

Freie und offene Medien im Kurs:

1. Wikimedia Commons: verschiedene Basen einer Exponentialfunktion, CC0.
2. Wikimedia Commons: Exponentialgraph, Public Domain.
3. Wikimedia Commons: Exponentialfunktion, freie Lizenz.
4. Wikimedia Commons: Vergleich mehrerer Basen, freie Lizenz.
5. Wikimedia Commons: exponentieller Zerfall, CC BY-SA 4.0.

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ein aiMOOC zu Exponentialfunktionen in Anwendungen: Modelle aus Tabellen und Texten aufstellen, Wachstumsfaktoren bestimmen, Ergebnisse interpretieren und verschiedene Modelle vergleichen.

Verknüpfte Lernbereiche

Exponentialfunktion Funktionaler Zusammenhang Wachstum Zerfall Wertetabelle Funktionsgraph Prozentrechnung Modellieren GeoGebra Mathematische Darstellungen Mittlerer Schulabschluss