M10 M - Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Berechne bedingte Wahrscheinlichkeiten aus Baumdiagramm und Vierfeldertafel und interpretiere sie im Kontext. Achte besonders auf die Bezugsgruppe: Die Bedingung bestimmt den Nenner.

Dieser aiMOOC richtet sich an Klasse 10, M-Niveau, Baden-Württemberg. Du sollst Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar verbinden und dich auf den mittleren Abschluss vorbereiten.

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Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du:

1. bedingte Wahrscheinlichkeiten als Wahrscheinlichkeit innerhalb einer Bezugsgruppe erklären.
2. aus einer Vierfeldertafel die passende Bezugsgruppe auswählen und Wahrscheinlichkeiten berechnen.
3. aus einem Baumdiagramm bedingte Wahrscheinlichkeiten ablesen oder bestimmen.
4. $P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ unterscheiden.
5. Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren und digitale Ergebnisse kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

Du solltest sicher mit Brüchen, Prozenten und einfachen Wahrscheinlichkeiten umgehen können.

Kurzcheck:

1. $\frac{18}{60}=\mathrm{0,3}=30\mathrm{\%}$
2. Bei einem Baumdiagramm gilt entlang eines Pfades die Produktregel.
3. In einer Vierfeldertafel ergeben Zeilen- und Spaltensummen die jeweiligen Bezugsgruppen.

Grundidee: Die Bedingung bestimmt die Bezugsgruppe

Bei $P(A\mid B)$ fragst Du:

Wie groß ist der Anteil von A unter der Voraussetzung, dass B bereits gilt?

Die Grundformel lautet:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Merksatz: Rechts vom Strich steht die Bedingung. Sie bestimmt die Bezugsgruppe und damit den Nenner.

Zwei ähnliche Fragen – zwei verschiedene Nenner

Gegeben seien die Ereignisse:

1. $B$: Eine Karte ist blau.
2. $S$: Eine Karte trägt einen Stern.

Dann bedeutet:

$P(S\mid B)$: Anteil der Stern-Karten unter den blauen Karten.

$P(B\mid S)$: Anteil der blauen Karten unter den Stern-Karten.

Diese Wahrscheinlichkeiten sind im Allgemeinen verschieden.

Interaktives Beispiel: Vierfeldertafel

Ein Kartenset enthält 100 Karten. 60 sind blau. Von den blauen Karten tragen 24 einen Stern. Von den nicht blauen Karten tragen 10 einen Stern.

	Stern	kein Stern	Summe
blau	24	36	60
nicht blau	10	30	40
Summe	34	66	100

Schritt 1: Bedingung markieren

Gesucht sei $P(S\mid B)$.

Die Bedingung ist $B$. Deshalb betrachten wir nur die 60 blauen Karten.

Schritt 2: Treffer innerhalb der Bezugsgruppe zählen

Unter den 60 blauen Karten tragen 24 einen Stern.

$P(S\mid B)=\frac{24}{60}=\mathrm{0,4}=40\mathrm{\%}$

Schritt 3: Ergebnis im Kontext deuten

Interpretation: Unter den blauen Karten tragen 40 % einen Stern.

Gegenfrage: Bedingung vertauscht

Jetzt wird $P(B\mid S)$ gesucht.

Die Bezugsgruppe sind nun die 34 Stern-Karten.

$P(B\mid S)=\frac{24}{34}\approx \mathrm{0,706}\approx \mathrm{70,6}\mathrm{\%}$

Interpretation: Unter den Stern-Karten sind etwa 70,6 % blau.

Wichtig: $P(S\mid B)\ne P(B\mid S)$.

Dasselbe Beispiel im Baumdiagramm

Wenn zuerst nach „blau / nicht blau“ verzweigt wird, erscheinen die bedingten Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe:

Start
├─ blau: 60/100
│  ├─ Stern: 24/60
│  └─ kein Stern: 36/60
└─ nicht blau: 40/100
   ├─ Stern: 10/40
   └─ kein Stern: 30/40

Damit ist direkt ablesbar:

$P(S\mid B)=\frac{24}{60}=\mathrm{0,4}$

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Verbindung von Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Die Darstellungen enthalten dieselben Informationen, aber unterschiedlich angeordnet:

Darstellung	Besonders hilfreich für
Vierfeldertafel	Bezugsgruppen, Schnittmengen und Summen übersichtlich vergleichen
Baumdiagramm	Bedingungen als aufeinanderfolgende Verzweigungen erkennen

Strategie: Wähle die Darstellung, in der die gesuchte Bedingung am klarsten sichtbar wird.

Übung 1 mit Hilfestufen

In einer Vierfeldertafel stehen 80 Fälle. 50 gehören zu $A$. Von diesen 50 gehören 20 zugleich zu $B$.

Berechne $P(B\mid A)$.

Hilfestufe 1: Welche Gruppe ist durch die Bedingung festgelegt?

Die Bedingung ist $A$. Die Bezugsgruppe umfasst 50 Fälle.

Hilfestufe 2: Welcher Anteil innerhalb dieser Gruppe erfüllt zusätzlich $B$?

20 von 50 Fällen.

Feedback / Lösung

$P(B\mid A)=\frac{20}{50}=\mathrm{0,4}=40\mathrm{\%}$. Eine korrekte Deutung lautet: Unter den Fällen aus $A$ gehören 40 % auch zu $B$.

Übung 2: Bedingung erkennen

Gegeben ist:

	bestanden	nicht bestanden	Summe
Kurs X	45	15	60
Kurs Y	20	20	40
Summe	65	35	100

Berechne:

1. $P(\text{bestanden}\mid \text{Kurs X})$
2. $P(\text{Kurs X}\mid \text{bestanden})$

Feedback

$P(\text{bestanden}\mid \text{Kurs X})=\frac{45}{60}=75\mathrm{\%}$
$P(\text{Kurs X}\mid \text{bestanden})=\frac{45}{65}\approx \mathrm{69,2}\mathrm{\%}$
Die Nenner unterscheiden sich, weil die Bezugsgruppen unterschiedlich sind.

Typische Fehler

1. Bedingung vertauschen: $P(A\mid B)$ wird mit $P(B\mid A)$ verwechselt.
2. Falscher Nenner: Statt der Bezugsgruppe wird die Gesamtzahl verwendet.
3. Schnittmenge übersehen: Im Zähler müssen die Fälle liegen, für die beide Ereignisse gelten.
4. Prozentangabe ohne Kontext: Ein Ergebnis wie 40 % ist erst vollständig, wenn klar ist, „40 % wovon?“
5. Digitale Werkzeuge: Ein Taschenrechner oder eine KI kann einen Zahlenwert liefern, aber die richtige Bedingung musst Du selbst begründen.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Prüfe bei jeder digitalen Rechnung:

1. Ist die Bedingung korrekt erkannt?
2. Wurde die richtige Bezugsgruppe als Nenner verwendet?
3. Passt das Ergebnis zur Tabelle oder zum Baumdiagramm?
4. Liegt die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 beziehungsweise 0 % und 100 %?
5. Kannst Du das Ergebnis in einem vollständigen Satz interpretieren?

Verwende in Übungsdaten keine personenbezogenen Daten. KI-Ausgaben können Rechenideen liefern, ersetzen aber keine nachvollziehbare mathematische Begründung und keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Aussage 1: Bei $P(A\mid B)$ ist $B$ die Bezugsgruppe. Feedback: richtig.

Aussage 2: $P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ sind immer gleich. Feedback: falsch.

Aussage 3: Bei 18 Treffern innerhalb einer Bezugsgruppe von 60 gilt $\frac{18}{60}=30\mathrm{\%}$. Feedback: richtig.

Aussage 4: Für eine bedingte Wahrscheinlichkeit genügt immer die Gesamtzahl aller Fälle als Nenner. Feedback: falsch.

Transfer

Eine App zeigt anonyme Testdaten zu zwei Versionen einer Benutzeroberfläche. Bevor Du Prozentwerte vergleichst, kläre jeweils:

1. Welche Gruppe ist die Bedingung?
2. Welche Fälle gehören gleichzeitig zur gesuchten Eigenschaft?
3. Ist ein Vergleich fair, wenn die Bezugsgruppen unterschiedlich groß sind?
4. Welche zusätzliche Information wäre nötig, um eine belastbare Aussage zu treffen?

So verhinderst Du, dass Prozentangaben ohne passende Bezugsgruppe irreführend interpretiert werden.

Kompetenzcheck

Ich kann …	sicher	teilweise	noch üben
die Bedingung in $P(A\mid B)$ benennen	□	□	□
eine Vierfeldertafel als Bezugsgruppen-Modell lesen	□	□	□
eine bedingte Wahrscheinlichkeit aus einem Baumdiagramm bestimmen	□	□	□
$P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ unterscheiden	□	□	□
ein Ergebnis im Kontext begründen	□	□	□

Reflexion

1. Wo erkennst Du die Bezugsgruppe in einer Vierfeldertafel am schnellsten?
2. Wann ist ein Baumdiagramm für Dich übersichtlicher?
3. Welcher typische Fehler könnte Dir selbst passieren?
4. Wie würdest Du jemandem den Unterschied zwischen $P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ erklären?

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich Stochastische Unabhängigkeit an. Dort prüfst Du, ob eine Bedingung eine Wahrscheinlichkeit verändert.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bestimmt bei P A unter B die Bezugsgruppe? (B) (!A) (!A und B zusammen als Gesamtgruppe) (!Immer die Gesamtzahl)

Welche Zahl steht bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit im Nenner? (Die Größe der Bedingungsgruppe) (!Immer die Zahl aller Fälle) (!Immer die Schnittmenge) (!Immer die kleinere Gruppe)

In einer Gruppe B liegen 50 Fälle, davon erfüllen 20 auch A. Wie groß ist P A unter B? (40 Prozent) (!20 Prozent) (!50 Prozent) (!70 Prozent)

Welche Aussage beschreibt P Stern unter Blau korrekt? (Anteil der Sternfälle unter den blauen Fällen) (!Anteil der blauen Fälle unter den Sternfällen) (!Anteil aller blauen Fälle an allen Fällen) (!Anteil aller Sternfälle an allen Fällen)

Warum können P A unter B und P B unter A verschieden sein? (Weil die Bezugsgruppen verschieden sein können) (!Weil Wahrscheinlichkeiten größer als 100 Prozent sein dürfen) (!Weil der Zähler immer verschieden sein muss) (!Weil Baumdiagramme andere Daten verwenden)

Welche Darstellung zeigt Zeilen und Spalten mit gemeinsamen Häufigkeiten? (Vierfeldertafel) (!Zahlengerade) (!Koordinatensystem) (!Kreisdiagramm)

Wo erscheinen bedingte Wahrscheinlichkeiten in einem passend aufgebauten Baumdiagramm besonders deutlich? (An den Ästen nach einer bereits festgelegten ersten Bedingung) (!Nur am Startpunkt) (!Nur an den Endpunkten ohne Äste) (!Außerhalb des Baumdiagramms)

Was gehört in den Zähler einer bedingten Wahrscheinlichkeit? (Die Fälle, für die beide betrachteten Ereignisse gelten) (!Nur die Bedingungsgruppe) (!Immer alle Fälle) (!Nur die Gegenereignisse)

Was ist eine sinnvolle Kontrolle eines berechneten Ergebnisses? (Prüfen ob der Wert zwischen null und eins liegt) (!Prüfen ob der Wert größer als zwei ist) (!Die Bedingung nachträglich vertauschen) (!Den Nenner immer auf hundert setzen)

Welche Aussage zu KI-Ausgaben ist sinnvoll? (Sie müssen mathematisch geprüft und begründet werden) (!Sie ersetzen jeden Rechenweg) (!Sie sind immer korrekt) (!Sie machen die Bezugsgruppe unwichtig)

Memory

Bedingung	legt die Bezugsgruppe fest
Schnittmenge	erfüllt beide Ereignisse
Vierfeldertafel	ordnet vier gemeinsame Häufigkeiten
Baumdiagramm	zeigt Wahrscheinlichkeiten an Verzweigungen
Interpretation	erklärt den Zahlenwert im Kontext
Nenner	Größe der Bezugsgruppe

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Bedingung	bestimmt die betrachtete Teilgruppe
Schnittmenge	liefert die passenden Treffer innerhalb der Teilgruppe
Vierfeldertafel	macht gemeinsame und randständige Häufigkeiten sichtbar
Baumdiagramm	ordnet Wahrscheinlichkeiten entlang von Verzweigungen
Kontextsatz	deutet das Ergebnis bezogen auf die richtige Gruppe

Kreuzworträtsel

Nenner	Welche Rechengröße wird durch die Bezugsgruppe bestimmt?
Bedingung	Welcher Teil rechts vom Strich legt die Bezugsgruppe fest?
Schnittmenge	Wie heißt die Menge der Fälle, für die beide Ereignisse gelten?
Baumdiagramm	Welche Darstellung arbeitet mit Verzweigungen?
Vierfeldertafel	Welche Tabelle ordnet zwei Merkmale und ihre Gegenereignisse?
Kontext	Worin muss ein Wahrscheinlichkeitswert abschließend gedeutet werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit legt die die Bezugsgruppe fest. Im Ausdruck P A unter B ist die Bezugsgruppe das Ereignis . In einer Vierfeldertafel steht im Zähler die passende . Der Nenner entspricht der Größe der . Ein Baumdiagramm kann Bedingungen durch aufeinanderfolgende darstellen. Die Wahrscheinlichkeiten P A unter B und P B unter A müssen nicht sein. Nach der Rechnung soll das Ergebnis im gedeutet werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bezugsgruppe markieren: Nimm eine Vierfeldertafel und markiere für zwei verschiedene bedingte Wahrscheinlichkeiten jeweils die passende Bezugsgruppe.
2. Kontextsatz schreiben: Formuliere zu drei Prozentwerten jeweils einen Satz mit „unter den …“.
3. Fehler finden: Erfinde einen typischen Nennerfehler und korrigiere ihn.
4. Baumdiagramm lesen: Beschreibe bei einem Baumdiagramm, welche Äste bedingte Wahrscheinlichkeiten darstellen.

Standard

1. Vierfeldertafel erstellen: Erfinde einen sachlichen Datensatz mit 100 Fällen und zwei Ja-Nein-Merkmalen. Erstelle eine Vierfeldertafel.
2. Darstellung wechseln: Überführe Deine Vierfeldertafel in ein Baumdiagramm und erkläre die verwendeten Quotienten.
3. Bedingungen vergleichen: Berechne $P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ für denselben Datensatz und interpretiere beide Werte.
4. Digitale Kontrolle: Prüfe Deine Ergebnisse mit einem digitalen Werkzeug und dokumentiere, welche Eingaben nötig waren. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

1. Modellieren: Entwickle eine realistische Situation, in der eine bedingte Wahrscheinlichkeit für eine Entscheidung wichtig ist. Begründe die Wahl der Darstellung.
2. Irreführende Prozentangabe: Erfinde eine Prozentangabe, die ohne Bezugsgruppe missverständlich wäre, und verbessere sie.
3. Darstellungen bewerten: Vergleiche Baumdiagramm und Vierfeldertafel für dieselben Daten. Begründe, welche Darstellung welche Frage schneller beantwortet.
4. KI-Ausgabe prüfen: Lass Dir zu selbst erfundenen, nicht personenbezogenen Daten einen Rechenweg erzeugen. Prüfe jeden Schritt, korrigiere Fehler und begründe die endgültige Lösung selbst.

Lernkontrolle

1. Bezugsgruppenanalyse: Zu einer Vierfeldertafel werden zwei ähnlich formulierte Fragen gestellt. Bestimme jeweils die Bezugsgruppe und begründe, warum die Nenner verschieden sein können.
2. Darstellungswechsel: Übertrage Daten aus einer Vierfeldertafel in ein Baumdiagramm und erkläre, welche Wahrscheinlichkeiten dabei bedingt sind.
3. Fehlerdiagnose: Untersuche einen Rechenweg, in dem durch die Gesamtzahl statt durch die Bedingungsgruppe geteilt wurde. Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
4. Transferaufgabe: Erkläre an einem selbst gewählten Kontext, warum ein hoher Wert von $P(A\mid B)$ keine Aussage darüber erzwingt, wie groß $P(B\mid A)$ ist.
5. Werkzeugwahl: Entscheide für eine gegebene Sachaufgabe begründet zwischen Vierfeldertafel und Baumdiagramm.
6. Kritische Prüfung: Bewerte eine digital erzeugte Lösung danach, ob Bedingung, Bezugsgruppe, Rechnung und Interpretation zusammenpassen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis ist wichtig:

1. die Bedingung sprachlich und symbolisch korrekt zu benennen.
2. die Bezugsgruppe sicher zu bestimmen.
3. Vierfeldertafeln und Baumdiagramme zu lesen und ineinander zu übertragen.
4. bedingte Wahrscheinlichkeiten nachvollziehbar zu berechnen.
5. $P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ nicht zu verwechseln.
6. Ergebnisse im Sachkontext zu interpretieren.
7. digitale Ergebnisse eigenständig mathematisch zu prüfen und zu begründen.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel Baumdiagramm Schnittmenge Pfadregel Stochastische Unabhängigkeit