M10 G - Wachstumsformeln nach einfachen Größen auflösen – Erweiterung

M10 G - Wachstumsformeln nach einfachen Größen auflösen – Erweiterung

Mini-Beschreibung: Du bestimmst aus $K_n=K_0\cdot q^n$ einfache gesuchte Größen, wenn kein Logarithmus erforderlich ist. Du arbeitest mit klaren Rechenschritten, Tabellen, Wachstumsgraphen und kontrolliertem Trial-and-Check.

Zielgruppe: Klasse 10, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau als Erweiterung.

Einleitung

Exponentielles Wachstum bedeutet: Eine Größe wird in gleichen Zeitabschnitten immer mit demselben Faktor multipliziert.

Größe	Bedeutung
$K_0$	Anfangswert
$K_n$	Wert nach $n$ Zeitabschnitten
$q$	Wachstumsfaktor
$n$	Anzahl der Zeitabschnitte

Die Grundformel lautet:

$K_n=K_0\cdot q^n$

G-Erweiterung / MSA-Brücke: In diesem Kurs löst Du die Formel auch nach $K_0$ und in einfachen Fällen nach $q$ oder $n$ auf. Fälle, für die ein Logarithmus nötig wäre, gehören nicht zu diesem Kurs.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Wachstumsformel: die Größen in $K_n=K_0\cdot q^n$ erklären.
2. Endwert: $K_n$ berechnen.
3. Anfangswert: die Formel nach $K_0$ auflösen.
4. Wachstumsfaktor: $q$ in einfachen Fällen mit einer Wurzel bestimmen.
5. Trial-and-Check: ein kleines ganzzahliges $n$ kontrolliert durch Probieren bestimmen.
6. Darstellung: Rechenweg, Tabelle und Ergebnis verständlich angeben.
7. Digitale Werkzeuge: Taschenrechner- oder KI-Ergebnisse kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

Prüfe zuerst, ob Du diese Grundlagen sicher kannst.

Aufgabe	Selbstkontrolle
$\mathrm{1,0}{5}^2$	$\mathrm{1,1025}$
$800\cdot \mathrm{1,1}$	$880$
$\frac{1200}{3}$	$400$
$\sqrt{\mathrm{1,44}}$	$\mathrm{1,2}$

Wenn Dir mehrere Schritte schwerfallen, wiederhole zuerst Potenzen, Wurzeln und Prozentrechnung.

Die Grundidee sichtbar machen

Bei exponentiellem Wachstum wird nicht immer derselbe Betrag addiert. Stattdessen wird immer wieder mit demselben Faktor multipliziert.

Schritt	Rechnung bei $K_0=100$ und $q=\mathrm{1,2}$	Wert
Start	$100$	$100$
1	$100\cdot \mathrm{1,2}$	$120$
2	$100\cdot \mathrm{1,}{2}^2$	$144$
3	$100\cdot \mathrm{1,}{2}^3$	$\mathrm{172,8}$

Merksatz: Die Hochzahl $n$ zählt, wie oft der Faktor $q$ wirkt.

Schritt-für-Schritt: Welche Größe ist gesucht?

Gesucht	Passende Form	Methode
$K_n$	$K_n=K_0\cdot q^n$	einsetzen und berechnen
$K_0$	$K_0=\frac{K_n}{q^n}$	durch $q^n$ teilen
$q$	$q=\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}$	nur einfache Wurzelfälle
$n$	$K_n=K_0\cdot q^n$	nur einfache Fälle mit Trial-and-Check

Wichtig: Erst markieren, was gegeben und was gesucht ist. Dann die passende Form auswählen.

Beispiel 1: Endwert berechnen

Gegeben:

$K_0=500$

$q=\mathrm{1,1}$

$n=2$

Gesucht: $K_2$

Schritt	Rechnung
Formel	$K_n=K_0\cdot q^n$
Einsetzen	$K_2=500\cdot \mathrm{1,}{1}^2$
Potenz	$\mathrm{1,}{1}^2=\mathrm{1,21}$
Ergebnis	$K_2=605$

Kontrolle: Weil $q>1$ gilt, muss der Endwert größer als $500$ sein. Das passt.

Beispiel 2: Anfangswert bestimmen

Gegeben:

$K_3=1331$

$q=\mathrm{1,1}$

$n=3$

Gesucht: $K_0$

Schritt	Rechnung
Ausgang	$1331=K_0\cdot \mathrm{1,}{1}^3$
Potenz	$\mathrm{1,}{1}^3=\mathrm{1,331}$
Teilen	$K_0=\frac{1331}{\mathrm{1,331}}$
Ergebnis	$K_0=1000$

Rückprobe:

$1000\cdot \mathrm{1,}{1}^3=1331$

Damit stimmt das Ergebnis.

Beispiel 3: Wachstumsfaktor bestimmen – MSA-Brücke

Gegeben:

$K_0=200$

$K_2=288$

Gesucht: $q$

Schritt	Rechnung
Ausgang	$288=200\cdot q^2$
Durch $200$ teilen	$\mathrm{1,44}=q^2$
Wurzel ziehen	$q=\sqrt{\mathrm{1,44}}$
Ergebnis	$q=\mathrm{1,2}$

Deutung: Der Faktor $\mathrm{1,2}$ entspricht einer Zunahme um $20\mathrm{\%}$ pro Zeitabschnitt.

Beispiel 4: Zeitabschnitte mit Trial-and-Check

Gegeben:

$K_0=300$

$q=2$

$K_n=2400$

Gesucht: $n$

Probiere systematisch:

$n$	Rechnung	Wert	Vergleich mit $2400$
$1$	$300\cdot 2^1$	$600$	zu klein
$2$	$300\cdot 2^2$	$1200$	zu klein
$3$	$300\cdot 2^3$	$2400$	passt

Also gilt:

$n=3$

Kontrolliertes Trial-and-Check bedeutet: Du probierst nicht zufällig, sondern in einer geordneten Tabelle und vergleichst jeden Wert mit dem Zielwert.

Wachstumsgraph und Tabelle verbinden

Ein Graph zeigt den Verlauf. Eine Tabelle zeigt konkrete Werte.

Darstellung	Was kannst Du erkennen?
Formel	Zusammenhang der Größen
Tabelle	genaue Werte für einzelne Schritte
Graph	Verlauf und Wachstumstendenz

Denkfrage: Warum werden bei $q>1$ die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Werten meist immer größer?

Interaktive Beispiele

Beispiel A: Anfangswert

Setze die fehlende Größe ein.

Aus $968=K_0\cdot \mathrm{1,}{1}^2$ folgt $K_0=\frac{968}{\mathrm{1,}{1}^2}$.

Feedback: Beim Auflösen nach $K_0$ teilst Du durch den gesamten Faktor $q^n$.

= Beispiel B: Faktor

Bestimme den Faktor.

Aus $450=200\cdot q^2$ folgt $q^2=\mathrm{2,25}$ und damit $q=\mathrm{1,5}$.

Feedback: Prüfe mit der Rückprobe $200\cdot \mathrm{1,}{5}^2=450$.

= Beispiel C: Trial-and-Check

Bestimme n.

Für $100\cdot 2^n=800$ gilt $n=3$.

Feedback: Eine kleine Wertetabelle ist hier schneller und übersichtlicher als komplizierte Verfahren.

= Übung 1: Endwert

Berechne bei $K_0=400$, $q=\mathrm{1,05}$ und $n=2$ den Endwert.

Hilfestufe	Hinweis
1	Schreibe zuerst $K_2=400\cdot \mathrm{1,0}{5}^2$.
2	Berechne zuerst $\mathrm{1,0}{5}^2$.
Kontrolle	Ergebnis: $K_2=441$.

= Übung 2: Anfangswert – Erweiterung

Nach zwei Zeitabschnitten gilt $K_2=726$. Der Faktor ist $q=\mathrm{1,1}$. Bestimme $K_0$.

Hilfestufe	Hinweis
1	Nutze $K_0=\frac{K_n}{q^n}$.
2	Berechne $\mathrm{1,}{1}^2=\mathrm{1,21}$.
Kontrolle	$K_0=600$.

= Übung 3: Faktor – MSA-Brücke

Ein Wert steigt in zwei Schritten von $320$ auf $500$. Bestimme $q$.

Hilfestufe	Hinweis
1	Stelle $500=320\cdot q^2$ auf.
2	Teile durch $320$.
3	Es entsteht $q^2=\mathrm{1,5625}$.
Kontrolle	$q=\mathrm{1,25}$.

= Übung 4: Zeitabschnitte – Trial-and-Check

Löse $250\cdot 2^n=2000$ durch eine Tabelle.

$n$	Wert von $250\cdot 2^n$
$1$	$500$
$2$	$1000$
$3$	$2000$

Ergebnis: $n=3$.

Typische Fehler

Fehler	Beispiel	Besser
Hochzahl vergessen	$500\cdot \mathrm{1,1}$ statt $500\cdot \mathrm{1,}{1}^3$	$n$ zuerst markieren
Falsch teilen	$K_0=K_n\cdot q^n$	$K_0=\frac{K_n}{q^n}$
Prozent mit Faktor verwechseln	$5\mathrm{\%}$ als $q=\mathrm{0,05}$	bei Wachstum: $q=\mathrm{1,05}$
Wurzel vergessen	aus $q^2=\mathrm{1,44}$ wird $q=\mathrm{1,44}$	$q=\sqrt{\mathrm{1,44}}=\mathrm{1,2}$
Trial-and-Check ungeordnet	zufällige Werte testen	aufsteigende Tabelle verwenden

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

Taschenrechner, Tabellenkalkulation und KI können Ergebnisse prüfen. Sie ersetzen aber weder den Rechenweg noch eine mathematische Begründung.

Prüffrage	Gute Kontrolle
Größenordnung	Ist der Wert bei $q>1$ tatsächlich gewachsen?
Rückprobe	Erfüllt das Ergebnis die Ausgangsformel?
Rundung	Wurde erst am Ende sinnvoll gerundet?
KI-Ausgabe	Sind Formel, Rechenschritte und Ergebnis nachvollziehbar?

Datenschutz: Verwende für Übungsaufgaben keine personenbezogenen Daten. Erfinde neutrale Zahlenbeispiele.

Selbstkontrolle

Berechne zunächst selbst und vergleiche anschließend.

Aufgabe	Ergebnis
$600\cdot \mathrm{1,}{2}^2$	$864$
$K_2=1080$, $q=\mathrm{1,2}$	$K_0=750$
$K_0=100$, $K_2=121$	$q=\mathrm{1,1}$
$150\cdot 2^n=1200$	$n=3$

Wenn ein Ergebnis nicht passt, nutze die Rückprobe in der Grundformel.

= Transfer 1: Sparmodell

Ein Modell startet mit $800\text{€}$ und wächst zwei Jahre lang mit $q=\mathrm{1,05}$.

1. Modellieren: Berechne den Modellwert nach zwei Jahren.
2. Prüfen: Vergleiche ihn mit einer schrittweisen Rechnung.
3. Begründen: Erkläre, warum beide Wege zum selben Ergebnis führen.

= Transfer 2: Rückwärts denken

Nach zwei Schritten beträgt ein Modellwert $1250$. Der Faktor beträgt $\mathrm{1,25}$.

1. Anfangswert: Bestimme den Startwert.
2. Rückprobe: Setze ihn wieder in die Grundformel ein.
3. Darstellung: Erstelle eine kleine Wertetabelle für $n=0,1,2$.

= Transfer 3: Zwei Darstellungen

Untersuche $K_n=200\cdot \mathrm{1,}{5}^n$.

1. Wertetabelle: Berechne Werte für $n=0,1,2,3$.
2. Graph: Skizziere die vier Punkte in ein Koordinatensystem.
3. Vergleich: Beschreibe, welche Information die Tabelle genauer und welche der Graph schneller zeigt.

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Kompetenzcheck

Ich kann ...	sicher	teilweise	noch üben
die vier Größen der Formel erklären	□	□	□
$K_n$ berechnen	□	□	□
nach $K_0$ auflösen	□	□	□
in einfachen Fällen $q$ bestimmen	□	□	□
$n$ mit einer geordneten Tabelle finden	□	□	□
Ergebnisse durch Rückprobe prüfen	□	□	□

Reflexion

1. Rechenweg: Welcher Schritt hilft Dir am meisten, wenn Du eine Wachstumsaufgabe beginnst?
2. Darstellungswechsel: Wann ist eine Tabelle hilfreicher als nur eine Formel?
3. Fehleranalyse: Welchen typischen Fehler möchtest Du künftig bewusst vermeiden?
4. Digitale Kompetenz: Wie kannst Du erkennen, ob ein Taschenrechner- oder KI-Ergebnis plausibel ist?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ein Kurs zu Exponentielle Wachstumsprozesse – MSA-Brücke, in dem schwierigere unbekannte Zeitspannen und weiterführende Lösungsverfahren behandelt werden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel beschreibt das verwendete Wachstumsmodell? ($K_n=K_0\cdot q^n$) (!$K_n=K_0+q+n$) (!$K_n=K_0\cdot q\cdot n$) (!$K_n=K_0^n\cdot q$)

Welche Größe ist der Anfangswert? ($K_0$) (!$K_n$) (!$q$) (!$n$)

Wie lautet die Formel nach dem Anfangswert aufgelöst? ($K_0=\frac{K_n}{q^n}$) (!$K_0=K_n\cdot q^n$) (!$K_0=\frac{q^n}{K_n}$) (!$K_0=K_n-q^n$)

Was bedeutet ein Wachstumsfaktor von $\mathrm{1,2}$? (Die Größe wächst pro Schritt um 20 Prozent) (!Die Größe wächst pro Schritt um 1,2 Prozent) (!Die Größe wird pro Schritt um 20 Prozent kleiner) (!Die Größe bleibt unverändert)

Was folgt aus $q^2=\mathrm{1,44}$ für einen positiven Wachstumsfaktor? ($q=\mathrm{1,2}$) (!$q=\mathrm{1,44}$) (!$q=\mathrm{0,72}$) (!$q=\mathrm{2,88}$)

Welcher Wert ergibt sich aus $100\cdot 2^3$? ($800$) (!$600$) (!$300$) (!$200$)

Wozu dient die Rückprobe? (Sie prüft, ob das Ergebnis die Ausgangsformel erfüllt) (!Sie ersetzt den Rechenweg) (!Sie macht jede Rundung überflüssig) (!Sie bestimmt automatisch die gesuchte Größe)

Wie sollte Trial-and-Check durchgeführt werden? (Systematisch mit einer geordneten Tabelle) (!Mit zufällig gewählten Zahlen) (!Ohne Vergleich mit dem Zielwert) (!Nur mit einer Zeichnung)

Was ist bei $q>1$ zu erwarten? (Der Modellwert wächst mit zunehmendem $n$) (!Der Modellwert ist immer null) (!Der Modellwert bleibt immer gleich) (!Der Modellwert wird in jedem Schritt negativ)

Welche Aussage zu KI-Ergebnissen ist richtig? (Sie müssen mathematisch geprüft und begründet werden) (!Sie gelten automatisch als Beweis) (!Sie brauchen keine Rückprobe) (!Sie sind immer genauer als ein eigener Rechenweg)

Memory

$K_0$	Anfangswert
$K_n$	Endwert nach $n$ Schritten
$q$	Wachstumsfaktor
$n$	Anzahl der Zeitabschnitte
Rückprobe	Ergebnis in Ausgangsformel einsetzen
Trial-and-Check	geordnetes Probieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Anfangswert	$K_0$
Endwert	$K_n$
Wachstumsfaktor	$q$
Zeitabschnitte	$n$
Rückprobe	Kontrolle des Ergebnisses

Kreuzworträtsel

Anfangswert	Welche Größe beschreibt den Start eines Wachstumsmodells?
Endwert	Wie heißt der Wert nach einer bestimmten Anzahl von Schritten?
Faktor	Wie heißt die Zahl, mit der in jedem Schritt multipliziert wird?
Potenz	Wie heißt ein Ausdruck wie zwei hoch drei?
Wurzel	Welche Rechenoperation hilft bei einer Gleichung wie q zum Quadrat gleich eins Komma vier vier?
Rückprobe	Wie heißt die Kontrolle durch Einsetzen in die Ausgangsformel?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Wachstumsformel lautet $K_n=K_0\cdot q^n$. Dabei ist $K_0$ der . Der Faktor $q$ heißt . Die Hochzahl $n$ gibt die Anzahl der an. Soll $K_0$ berechnet werden, teilst Du $K_n$ durch . In einfachen Fällen kann $q$ mit einer bestimmt werden. Ein kleines ganzzahliges $n$ kann mit einer geordneten geprüft werden. Zur Kontrolle setzt Du Dein Ergebnis in die ein.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine Lernkarte mit $K_n=K_0\cdot q^n$ und der Bedeutung aller vier Größen.
2. Wertetabelle: Erstelle zu $K_n=100\cdot \mathrm{1,}{2}^n$ eine Tabelle für $n=0,1,2,3$.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde einen typischen Rechenfehler beim Auflösen nach $K_0$ und korrigiere ihn.
4. Rückprobe: Wähle ein einfaches Zahlenbeispiel und zeige Rechnung und Rückprobe.

Standard

1. Wachstumsgraph: Zeichne zu einer selbst gewählten einfachen Wachstumsformel Tabelle und Graph.
2. Erklärplakat: Erstelle eine visuelle Schrittfolge zum Bestimmen von $K_0$.
3. Trial-and-Check: Entwickle eine Aufgabe, bei der $n$ durch genau drei geordnete Proben gefunden wird.
4. Vergleich: Stelle Formel, Tabelle und Graph für dasselbe Beispiel gegenüber und erkläre die Vorteile jeder Darstellung.

Schwer

1. MSA-Brücke: Entwickle eine Aufgabe, in der $q$ aus zwei Schritten mit einer Quadratwurzel bestimmt wird.
2. Modellkritik: Beschreibe eine Situation, in der exponentielles Wachstum nur für einen begrenzten Zeitraum sinnvoll ist.
3. Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug eine einfache Wachstumsaufgabe lösen und prüfe jeden Rechenschritt selbst. Verwende keine personenbezogenen Daten.
4. Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Formel, Tabelle, Rückprobe und einem Hinweis auf einen typischen Fehler.

Lernkontrolle

1. Modellwahl: Ein Wert steigt in jedem Schritt um denselben Prozentsatz. Begründe, warum ein exponentielles Modell passt und ein Modell mit stets gleichem Zuwachs nicht dasselbe beschreibt.
2. Rückwärtsrechnung: Nach zwei Schritten beträgt ein Wert $972$, bei $q=\mathrm{1,2}$. Bestimme den Anfangswert und begründe jeden Umformungsschritt.
3. Darstellungswechsel: Erstelle zu $K_n=250\cdot \mathrm{1,}{4}^n$ eine Tabelle für vier Werte und skizziere daraus den Verlauf. Erkläre, wie Tabelle und Graph zusammenhängen.
4. Fehleranalyse: Eine Person rechnet aus $500=320\cdot q^2$ direkt $q=\frac{500}{320}$. Erkläre den Fehler und korrigiere die Lösung.
5. Trial-and-Check: Bestimme $n$ in $125\cdot 2^n=1000$ mit einer systematischen Tabelle und erkläre, warum Dein Ergebnis eindeutig passt.
6. Digitale Kontrolle: Vergleiche einen selbst berechneten Wert mit einem digitalen Ergebnis. Dokumentiere mindestens zwei Prüfungen, mit denen Du die Plausibilität sicherst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Grundformel: $K_n=K_0\cdot q^n$ sicher lesen und verwenden kannst.
2. Variablenverständnis: Anfangswert, Endwert, Wachstumsfaktor und Zeitabschnitte unterscheiden kannst.
3. Umformen: nach $K_0$ und in einfachen Fällen nach $q$ auflösen kannst.
4. Trial-and-Check: einfache unbekannte Zeitspannen systematisch bestimmen kannst.
5. Darstellungen: Formel, Tabelle und Graph sinnvoll verbinden kannst.
6. Begründung: Rechenschritte nachvollziehbar erklären und mit einer Rückprobe prüfen kannst.
7. Medienkompetenz: digitale Ergebnisse kritisch kontrollieren kannst.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Exponentielles Wachstum Wachstumsfaktor Zinsrechnung Potenzen Wurzeln Wertetabelle Funktionsgraph Prozentrechnung Modellieren