M10 G - Tangens im rechtwinkligen Dreieck nutzen – MSA-Brücke

M10 G - Tangens im rechtwinkligen Dreieck nutzen – MSA-Brücke

Klasse 10 · Mathematik · Baden-Württemberg · G-Niveau mit MSA-Orientierung

Kurz gesagt: Mit dem Tangens kannst Du in einem rechtwinkligen Dreieck aus einem Winkel und einer Kathete eine fehlende Höhe, waagerechte Entfernung oder Steigung bestimmen.

MSA-Brücke: $\tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Einstieg

Eine Rampe, ein Baum oder eine Straße kann als rechtwinkliges Dreieck modelliert werden. Entscheidend ist immer der betrachtete Winkel $\alpha$.

Denkfrage: Welche Strecke liegt dem Winkel gegenüber? Welche liegt direkt am Winkel?

Dynamisches Dreieck: Verschiebe die Punkte. Beobachte, wie sich Gegenkathete, Ankathete und Winkel verändern.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Tangens im rechtwinkligen Dreieck als Seitenverhältnis nutzen.
2. Gegenkathete und Ankathete zu einem Winkel sicher erkennen.
3. Höhen-, Steigungs- und Entfernungsprobleme modellieren.
4. Rechenwege mit Formel, Einsetzen, Ergebnis und Einheit darstellen.
5. Ergebnisse durch Überschlag, Skizze und digitale Werkzeuge prüfen.
6. MSA-Brücke: Steigung in Prozent mit einem Steigungswinkel verbinden.

Vorwissen-Check

1. Rechter Winkel

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von $90^{\circ }$.

2. Katheten

Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten.

3. Taschenrechner

Für Winkelaufgaben in Grad muss der Taschenrechner im Gradmodus stehen.

Mini-Check:

In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die { Hypotenuse } dem rechten Winkel gegenüber.
Zum Winkel $\alpha$ heißt die gegenüberliegende Kathete { Gegenkathete }.
Die am Winkel $\alpha$ liegende Kathete heißt { Ankathete }.

Die Grundidee

Merke:

$\tan (\alpha )=\frac{G}{A}$

Dabei bedeutet:

1. $G$: Länge der Gegenkathete zu $\alpha$
2. $A$: Länge der Ankathete zu $\alpha$

Wichtig: Gegenkathete und Ankathete hängen vom gewählten Winkel ab.

Visuelle Schrittfolge

Schritt 1: Skizze zeichnen und rechten Winkel markieren.

Schritt 2: Winkel $\alpha$ markieren.

Schritt 3: Gegenkathete $G$ und Ankathete $A$ beschriften.

Schritt 4: Passende Gleichung aufschreiben.

$\tan (\alpha )=\frac{G}{A}$

Schritt 5: Nach der gesuchten Größe umstellen.

Für die Gegenkathete:

$G=A\cdot \tan (\alpha )$

Für die Ankathete:

$A=\frac{G}{\tan (\alpha )}$

Für den Winkel:

$\alpha =\arctan \left(\frac{G}{A}\right)$

Schritt 6: Einsetzen, rechnen, Einheit angeben und Ergebnis prüfen.

Winkel in Bewegung

Beobachte: Wenn der Winkel im rechtwinkligen Dreieck größer wird, verändert sich das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Genau dieses Verhältnis beschreibt der Tangens.

Interaktives Beispiel 1: Höhe bestimmen

Eine Person steht $12\mathrm{m}$ waagerecht von einem Baum entfernt. Der Höhenwinkel zur Baumspitze beträgt $35^{\circ }$. Die Augenhöhe beträgt $\mathrm{1,6}\mathrm{m}$.

Gesucht: Baumhöhe $h$.

Schritt 1 – Dreiecksteil über Augenhöhe:

$\tan (35^{\circ })=\frac{h_1}{12}$

Schritt 2 – Umstellen:

$h_1=12\cdot \tan (35^{\circ })$

Schritt 3 – Rechnen:

$h_1\approx \mathrm{8,4}\mathrm{m}$

Schritt 4 – Augenhöhe addieren:

$h\approx \mathrm{8,4}+\mathrm{1,6}=\mathrm{10,0}\mathrm{m}$

Feedback: Ein Ergebnis um $10\mathrm{m}$ ist zur Skizze plausibel. Wer die Augenhöhe vergisst, erhält nur die Höhendifferenz ab Augenhöhe.

Hilfestufen zu Beispiel 1

Hilfe 1: Die waagerechte Entfernung ist die Ankathete.

Hilfe 2: Die Höhe über Augenhöhe ist die Gegenkathete.

Hilfe 3: Nutze $G=A\cdot \tan (\alpha )$.

Interaktives Beispiel 2: Entfernung bestimmen

Die Spitze eines $18\mathrm{m}$ hohen Masts wird unter einem Winkel von $30^{\circ }$ gesehen. Das Modell beginnt auf gleicher Höhe wie der Mastfuß.

Gesucht: waagerechte Entfernung $x$.

$\tan (30^{\circ })=\frac{18}{x}$

Nach $x$ umstellen:

$x=\frac{18}{\tan (30^{\circ })}$

$x\approx \mathrm{31,2}\mathrm{m}$

Selbstkontrolle: Bei $30^{\circ }$ muss die waagerechte Entfernung größer als die Höhe sein. Das Ergebnis passt.

Interaktives Beispiel 3: Steigung verstehen

Eine Steigung von $12\mathrm{\%}$ bedeutet: Pro $100\mathrm{m}$ waagerechter Strecke steigt die Höhe um $12\mathrm{m}$.

$\frac{G}{A}=\frac{12}{100}=\mathrm{0,12}$

Damit:

$\tan (\alpha )=\mathrm{0,12}$

$\alpha =\arctan (\mathrm{0,12})\approx \mathrm{6,}{8}^{\circ }$

MSA-Brücke:

$\text{Steigung in Prozent}=100\cdot \tan (\alpha )$

Achtung: $12\mathrm{\%}$ Steigung sind nicht $12^{\circ }$.

Neigungsmodell: Verändere Steigung und Winkel. Prüfe, wie Prozentangabe und Steigungswinkel zusammenhängen.

Messen mit einem Neigungsmodell

Ein Klinometer misst einen Neigungswinkel. Aus Winkel und waagerechter Entfernung lässt sich eine Höhendifferenz berechnen.

Modell:

$h=d\cdot \tan (\alpha )$

mit:

1. $h$: Höhendifferenz
2. $d$: waagerechte Entfernung
3. $\alpha$: Höhen- oder Neigungswinkel

Praxisidee: Miss in der Schule einen Winkel zu einer Gebäudekante. Verwende keine personenbezogenen Daten und fotografiere keine Personen ohne Erlaubnis.

Erklärvideos

Tangens und Steigung:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

MSA-Orientierung mit rechtwinkligen Dreiecken:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Freies OER-Video zur Trigonometrie:

Datei:Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck - kolleg24 Mathematik.webm

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Höhe

Eine Rampe ist waagerecht $8\mathrm{m}$ lang. Der Neigungswinkel beträgt $20^{\circ }$. Berechne die Höhendifferenz.

Hilfe 1: Gesucht ist die Gegenkathete.

Hilfe 2:

$h=8\cdot \tan (20^{\circ })$

Kontrolle:

$h\approx \mathrm{2,9}\mathrm{m}$

Feedback: Liegt Dein Ergebnis deutlich über $8\mathrm{m}$, prüfe Gradmodus und Seitenzuordnung.

Übung B: Entfernung

Eine Höhendifferenz beträgt $6\mathrm{m}$. Der Höhenwinkel ist $25^{\circ }$. Berechne die waagerechte Entfernung.

Hilfe 1: Gesucht ist die Ankathete.

Hilfe 2:

$d=\frac{6}{\tan (25^{\circ })}$

Kontrolle:

$d\approx \mathrm{12,9}\mathrm{m}$

Übung C: MSA-Brücke Steigung

Eine Straße steigt um $15\mathrm{m}$ auf $100\mathrm{m}$ waagerechter Strecke.

Aufgabe: Bestimme die Steigung in Prozent und den Steigungswinkel.

Hilfe 1:

$\frac{15}{100}=\mathrm{0,15}$

Hilfe 2:

$\alpha =\arctan (\mathrm{0,15})$

Kontrolle:

$15\mathrm{\%}$

und

$\alpha \approx \mathrm{8,}{5}^{\circ }$

Typische Fehler

1. Falsche Kathete: Bestimme Gegenkathete und Ankathete immer bezogen auf den markierten Winkel.
2. Gradmodus vergessen: Prüfe am Taschenrechner, ob Grad statt Bogenmaß eingestellt ist.
3. Prozent mit Grad verwechselt: Eine Steigung von $10\mathrm{\%}$ ist nicht $10^{\circ }$.
4. Schräge Strecke eingesetzt: Beim Tangens werden Gegenkathete und Ankathete verwendet, nicht die Hypotenuse.
5. Augenhöhe vergessen: Bei Höhenmessungen kann eine zusätzliche Höhe addiert oder abgezogen werden müssen.
6. Zu früh gerundet: Runde möglichst erst am Ende.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Ein Taschenrechner, GeoGebra oder eine KI kann beim Rechnen und Prüfen helfen. Die Verantwortung für das mathematische Modell bleibt bei Dir.

Prüfe immer:

1. Ist das Dreieck wirklich rechtwinklig modelliert?
2. Sind Gegenkathete und Ankathete richtig zugeordnet?
3. Ist der Taschenrechner im Gradmodus?
4. Passt die Einheit?
5. Ist das Ergebnis zur Skizze plausibel?

Wichtig: KI-Ausgaben können Fehler enthalten. Sie ersetzen keinen nachvollziehbaren Rechenweg und keinen mathematischen Beweis. Gib bei digitalen Aufgaben keine personenbezogenen Daten ein.

Selbstkontrolle

Ohne Lösung abzuschreiben:

1. Erkläre in einem Satz, was $\tan (\alpha )$ im rechtwinkligen Dreieck bedeutet.
2. Berechne $G$ für $A=10\mathrm{m}$ und $\alpha =30^{\circ }$.
3. Berechne $A$ für $G=5\mathrm{m}$ und $\alpha =40^{\circ }$.
4. Erkläre, warum eine Steigung von $20\mathrm{\%}$ kein Winkel von $20^{\circ }$ ist.

Kontrollwerte:

$G\approx \mathrm{5,8}\mathrm{m}$

$A\approx \mathrm{6,0}\mathrm{m}$

Transfer

MSA-Brücke: Wähle selbst eines der drei Modelle:

1. Gebäudehöhe aus Abstand und Höhenwinkel
2. Straßensteigung aus Höhendifferenz und waagerechter Entfernung
3. Entfernung aus bekannter Höhe und Blickwinkel

Erstelle eine Skizze, markiere $\alpha$, $G$ und $A$, stelle die Tangensgleichung auf und begründe, warum Dein Modell passt.

Kompetenzcheck

Kannst Du diese Aussagen mit ja, fast oder noch nicht beantworten?

1. Ich erkenne Gegenkathete und Ankathete zu einem markierten Winkel.
2. Ich stelle $\tan (\alpha )=\frac{G}{A}$ passend auf.
3. Ich kann nach $G$, $A$ oder $\alpha$ umstellen.
4. Ich kann Prozentsteigung und Steigungswinkel unterscheiden.
5. Ich kann einen Rechenweg mit Skizze, Formel, Einsetzen, Ergebnis und Einheit erklären.
6. Ich kann digitale Ergebnisse kritisch prüfen.

Reflexion

Notiere kurz:

1. Welcher Schritt klappt sicher?
2. Wo brauchst Du noch eine Skizze oder Hilfestufe?
3. Welcher typische Fehler könnte Dir passieren?
4. Wie würdest Du Dein Ergebnis ohne digitale Hilfe auf Plausibilität prüfen?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich:

M10 G - Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck nutzen – MSA-Brücke

Dort vergleichst Du Tangens mit weiteren Seitenverhältnissen im rechtwinkligen Dreieck.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel beschreibt den Tangens im rechtwinkligen Dreieck? (tan alpha ist Gegenkathete geteilt durch Ankathete) (!tan alpha ist Ankathete geteilt durch Gegenkathete) (!tan alpha ist Hypotenuse geteilt durch Gegenkathete) (!tan alpha ist Gegenkathete plus Ankathete)

Welche Seite liegt dem betrachteten Winkel gegenüber? (Gegenkathete) (!Ankathete) (!Hypotenuse) (!Winkelhalbierende)

Welche Seite wird beim Tangens nicht direkt verwendet? (Hypotenuse) (!Gegenkathete) (!Ankathete) (!Kathete)

Was bedeutet eine Straßensteigung von 12 Prozent? (12 Meter Höhenunterschied auf 100 Meter waagerechter Strecke) (!12 Grad Steigungswinkel) (!12 Meter schräge Strecke auf 100 Meter Höhe) (!100 Meter Höhenunterschied auf 12 Meter Strecke)

Welche Taschenrechnereinstellung brauchst Du für Winkel in Grad? (Gradmodus) (!Bogenmaßmodus) (!Prozentmodus) (!Bruchmodus)

Welche Gleichung berechnet eine Gegenkathete G aus Ankathete A und Winkel alpha? (G gleich A mal tan alpha) (!G gleich A geteilt durch tan alpha) (!G gleich tan alpha geteilt durch A) (!G gleich A plus tan alpha)

Welche Gleichung berechnet eine Ankathete A aus Gegenkathete G und Winkel alpha? (A gleich G geteilt durch tan alpha) (!A gleich G mal tan alpha) (!A gleich tan alpha geteilt durch G) (!A gleich G plus tan alpha)

Was muss bei einer Höhenmessung mit Augenhöhe oft zusätzlich beachtet werden? (Die Augenhöhe wird passend addiert oder abgezogen) (!Die Hypotenuse wird immer verdoppelt) (!Der Winkel wird halbiert) (!Die Entfernung wird immer um 100 Meter erhöht)

Welche Aussage gehört zur MSA-Brücke? (Steigung in Prozent ist 100 mal tan alpha) (!Steigung in Prozent ist immer gleich alpha in Grad) (!Steigung in Prozent ist tan alpha geteilt durch 100) (!Steigung in Prozent ist Gegenkathete plus Ankathete)

Was ist eine sinnvolle Plausibilitätsprüfung? (Ergebnis mit Skizze und Größenordnung vergleichen) (!Jedes digitale Ergebnis ungeprüft übernehmen) (!Einheit weglassen) (!Zwischenergebnisse möglichst früh stark runden)

Memory

Tangens	Verhältnis Gegenkathete zu Ankathete
Gegenkathete	liegt dem betrachteten Winkel gegenüber
Ankathete	liegt am betrachteten Winkel
Gradmodus	Einstellung für Winkel in Grad
Prozentsteigung	Höhenänderung je 100 Einheiten waagerechter Strecke
Arkustangens	bestimmt einen Winkel aus einem Seitenverhältnis

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gegenkathete	liegt dem Winkel gegenüber
Ankathete	liegt am Winkel
Tangens	Gegenkathete geteilt durch Ankathete
Gradmodus	passende Einstellung für Winkel in Grad
Prozentsteigung	Höhenänderung bezogen auf waagerechte Strecke

Kreuzworträtsel

Tangens	Wie heißt das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete?
Gegenkathete	Welche Kathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber?
Ankathete	Welche Kathete liegt am betrachteten Winkel?
Neigung	Wie nennt man die Schräglage einer Rampe oder Straße?
Gradmodus	Welche Taschenrechnereinstellung wird für Winkel in Grad gebraucht?
Steigungswinkel	Wie heißt der Winkel zwischen waagerechter Richtung und ansteigender Strecke?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Tangens eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis aus und Ankathete. Die Gegenkathete liegt dem betrachteten Winkel . Die Ankathete liegt direkt am betrachteten . Für Winkelangaben in Grad muss der Taschenrechner im arbeiten. Eine Steigung in Prozent beschreibt eine Höhenänderung bezogen auf eine Strecke. Bei Höhenmessungen kann zusätzlich die berücksichtigt werden. Ein digitales Ergebnis muss auf geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Dreieck beschriften: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, markiere einen Winkel und beschrifte Gegenkathete und Ankathete.
2. Tangens-Merkkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit $\tan (\alpha )=\frac{G}{A}$ und einem passenden Dreieck.
3. Fehler finden: Erfinde eine falsche Tangensrechnung und erkläre, worin der Fehler liegt.
4. Steigung fotografisch dokumentieren: Suche eine Rampe oder geneigte Fläche und fertige eine Skizze an. Fotografiere keine Personen ohne Erlaubnis.

Standard

1. Höhe schätzen: Schätze zunächst die Höhe eines Gegenstands und entwickle danach ein Tangensmodell zur Berechnung.
2. Neigungsmodell bauen: Baue aus Papier, Schnur und Winkelmesser ein einfaches Klinometer und teste es.
3. Straßensteigung untersuchen: Erkläre mit einer Zeichnung, warum $15\mathrm{\%}$ Steigung nicht $15^{\circ }$ sind.
4. GeoGebra-Prüfung: Erstelle oder verändere ein dynamisches rechtwinkliges Dreieck und vergleiche mehrere Winkel mit ihren Tangenswerten.

Schwer

1. Gebäudehöhe bestimmen: Plane eine Messung mit Abstand, Winkel und Augenhöhe. Dokumentiere Modell, Rechnung und Unsicherheiten.
2. MSA-Transferaufgabe: Entwickle eine eigene Sachaufgabe zu Höhe, Steigung oder Entfernung und schreibe eine vollständige Musterlösung.
3. Messfehler untersuchen: Verändere einen gemessenen Winkel um $1^{\circ }$ und untersuche, wie stark sich das Ergebnis verändert.
4. KI-Rechenweg prüfen: Lass Dir zu einer selbst erfundenen Tangensaufgabe einen digitalen Lösungsweg geben. Prüfe jeden Schritt selbst und markiere mögliche Fehler. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Modellwahl begründen: Erkläre, warum der Tangens zu einer gegebenen Höhen- oder Entfernungsaufgabe passt.
2. Darstellung wechseln: Überführe eine Sachsituation in eine Skizze und anschließend in eine Tangensgleichung.
3. Fehleranalyse: Untersuche einen Rechenweg, bei dem Gegenkathete und Ankathete vertauscht wurden, und korrigiere ihn.
4. Plausibilität: Entscheide bei drei vorgegebenen Ergebnissen, welches zur Skizze passen kann, und begründe.
5. MSA-Brücke Steigung: Vergleiche $10\mathrm{\%}$, $20\mathrm{\%}$ und $30\mathrm{\%}$ Steigung hinsichtlich ihrer Steigungswinkel.
6. Digitale Kontrolle: Prüfe ein Taschenrechner- oder GeoGebra-Ergebnis durch Überschlag und eine zweite Darstellung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. ein rechtwinkliges Dreieck passend zu einer Sachsituation skizzieren kannst,
2. Gegenkathete und Ankathete sicher zuordnest,
3. $\tan (\alpha )=\frac{G}{A}$ korrekt verwendest,
4. nach einer gesuchten Seite oder einem Winkel umstellen kannst,
5. Einheiten und Rundung sinnvoll angibst,
6. Prozentsteigung und Steigungswinkel unterscheiden kannst,
7. Deinen Rechenweg verständlich begründest,
8. Ergebnisse auf Plausibilität prüfst.

Verknüpfte Lernbereiche

Tangens im rechtwinkligen Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Gegenkathete Ankathete Trigonometrie Steigung Steigungswinkel Prozentrechnung Modellieren