M10 G - Faire und unfaire Spiele vergleichen – Erweiterung

M10 G - Faire und unfaire Spiele vergleichen – Erweiterung

Mini-Beschreibung: Vergleiche fiktive Spiele über Gewinnwahrscheinlichkeiten und langfristige Simulationen. Entwickle eine intuitive Vorstellung davon, wann ein Spiel fair oder unfair ist.

Niveau: Mathematik Klasse 10, Baden-Württemberg, G-Niveau als Erweiterung. Die Grundidee wird mit überschaubaren Zahlen, Gewinnplänen und Simulationen aufgebaut. Inhalte oberhalb des G-Kerns sind ausdrücklich als MSA-Brücke / Erweiterung gekennzeichnet.

Einleitung

Zwei Spiele können ähnlich aussehen und trotzdem langfristig sehr verschieden sein. Entscheidend sind nicht einzelne Glücks- oder Pechsträhnen, sondern die Gewinnwahrscheinlichkeit, der mögliche Gewinn beziehungsweise Verlust und das Verhalten bei vielen Wiederholungen.

Leitfrage: Welches Spiel ist auf lange Sicht ausgeglichen – und woran kannst Du das erkennen?

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Medienhinweis: Die Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Lizenz und Urheberangaben findest Du auf den jeweiligen Dateiseiten. Die Videos sind eingebettet; die Rechte verbleiben bei den jeweiligen Anbietern.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du:

1. Gewinnwahrscheinlichkeiten einfacher Spiele bestimmen und vergleichen.
2. einen Gewinnplan lesen und selbst erstellen.
3. Ergebnisse vieler Wiederholungen mit relativen Häufigkeiten beschreiben.
4. Simulationen nutzen, aber ihre Ergebnisse kritisch prüfen.
5. Fairness intuitiv mit langfristigem Vorteil oder Nachteil begründen.
6. eine MSA-Brücke zum Erwartungswert nachvollziehen, ohne sie mit dem G-Kern zu verwechseln.

Bezug zum Bildungsplan Baden-Württemberg

Im Bildungsplan Mathematik Sekundarstufe I, Klasse 10, gehört das Thema zur Leitidee Daten und Zufall. Im G-Niveau stehen das Verstehen, Darstellen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten im Mittelpunkt. Digitale Werkzeuge dürfen zum Simulieren verwendet werden; Ergebnisse sollen kritisch geprüft werden.

Hinweis zum Niveau: Der Erwartungswert ist im aktuellen Bildungsplan nicht Teil des G-Kerns. Er erscheint hier nur als klar gekennzeichnete MSA-Brücke / Erweiterung.

Bildungsplan Baden-Württemberg: Klasse 10 – Daten und Zufall

Vorwissen-Check

Prüfe ohne Taschenrechner:

1. Ein fairer Würfel zeigt eine 6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit? $P(6)=\frac{1}{6}$
2. Bei 20 Würfen fällt 7-mal eine 6. Wie groß ist die relative Häufigkeit? $h=\frac{7}{20}=\mathrm{0,35}$, also 35 Prozent.
3. Sind 35 Prozent nach nur 20 Würfen ein Beweis dafür, dass der Würfel unfair ist? Nein. Kleine Stichproben können stark schwanken.

Wenn Du unsicher bist: Wiederhole Wahrscheinlichkeit, Laplace-Experiment und Relative Häufigkeit.

Grundidee: Was bedeutet fair?

Ein Spiel ist intuitiv fair, wenn auf lange Sicht keine Seite einen eingebauten Vorteil hat. Eine einzelne Runde kann trotzdem Gewinn oder Verlust bringen.

Wichtig: Gleiche Gewinnchancen allein reichen nicht. Auch die Höhe von Gewinn und Verlust zählt.

Gewinnplan statt Fließtext

Spiel A – Würfelspiel

Einsatz: 1 Euro. Du würfelst einmal. Bei 5 oder 6 erhältst Du 3 Euro zurück. Sonst erhältst Du nichts.

Ergebnis	Wahrscheinlichkeit	Nettogewinn
5 oder 6	$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$	+2 Euro
1, 2, 3 oder 4	$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$	-1 Euro

Warum Nettogewinn?

Nettogewinn = Auszahlung - Einsatz

Bei einem Treffer bekommst Du 3 Euro zurück, hast aber vorher 1 Euro eingesetzt:

$3-1=2$ Euro

Schritt für Schritt: Fairness von Spiel A

Schritt 1 – Chancen vergleichen

$P(G)=\frac{1}{3}$

$P(V)=\frac{2}{3}$

Schritt 2 – Ein Gedankenpaket aus drei Spielen

Bei drei Spielen erwartest Du anschaulich etwa:

1. einmal +2 Euro
2. zweimal -1 Euro

Schritt 3 – Bilanz

$2-1-1=0$ Euro

Deutung: Spiel A ist langfristig ausgeglichen. Das bedeutet nicht, dass nach genau drei realen Runden immer 0 Euro herauskommt.

Spiel B – gleiche Chance, andere Auszahlung

Einsatz: 1 Euro. Bei 5 oder 6 erhältst Du nur 2 Euro zurück.

Ergebnis	Wahrscheinlichkeit	Nettogewinn
5 oder 6	$\frac{1}{3}$	+1 Euro
sonst	$\frac{2}{3}$	-1 Euro

Gedankenpaket aus drei Spielen:

$1-1-1=-1$ Euro

Deutung: Trotz derselben Gewinnwahrscheinlichkeit wie bei Spiel A hat die spielende Person langfristig einen Nachteil.

Simulation: Fairness langfristig sichtbar machen

Eine Simulation wiederholt ein Zufallsspiel sehr oft. Sie beweist Fairness nicht, kann aber zeigen, ob beobachtete Häufigkeiten zur theoretischen Wahrscheinlichkeit passen.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Für Spiel A und Spiel B ist $P(G)=\frac{1}{3}$. Eine mögliche Beispielsimulation liefert dieselben Trefferzahlen für beide Spiele:

Runden	Treffer	Trefferanteil
60	18	30 Prozent
600	196	32,7 Prozent
6000	1993	33,2 Prozent

Die Trefferanteile nähern sich hier dem Wert $\frac{1}{3}$, also etwa 33,3 Prozent. Das ist ein mögliches Simulationsergebnis, kein garantiertes Muster.

Langfristige Bilanz vergleichen

Spiel A: Treffer bringt +2 Euro, Nichttreffer -1 Euro.

Runden	Bilanz	pro Runde
60	-6 Euro	-0,10 Euro
600	-12 Euro	-0,02 Euro
6000	-21 Euro	-0,0035 Euro

Spiel B: Treffer bringt +1 Euro, Nichttreffer -1 Euro.

Runden	Bilanz	pro Runde
60	-24 Euro	-0,40 Euro
600	-208 Euro	-0,347 Euro
6000	-2014 Euro	-0,336 Euro

Vergleich: Bei Spiel A schwankt die durchschnittliche Bilanz pro Runde um 0 Euro. Bei Spiel B liegt sie in dieser Simulation nahe bei einem Verlust von etwa einem Drittel Euro pro Runde.

Digitale Simulation selbst durchführen

Du kannst eine Tabellenkalkulation oder ein anderes Zufallswerkzeug verwenden.

1. Erzeuge zufällig eine ganze Zahl von 1 bis 6.
2. Bei 5 oder 6 notiere +2, sonst -1.
3. Wiederhole zunächst 30-mal, dann 300-mal, dann 3000-mal.
4. Berechne $m=\frac{B}{n}$ mit Gesamtbilanz $B$ und Rundenzahl $n$.
5. Vergleiche die drei Ergebnisse.

Datenschutz: Speichere nur anonyme Rundenergebnisse. Namen, E-Mail-Adressen, Gerätekennungen oder andere personenbezogene Daten sind für diese Simulation unnötig.

Kritische Prüfung: Ein digitales Ergebnis kann fehlerhaft sein, wenn Formel, Zufallsbereich oder Gewinnplan falsch eingegeben wurden. Prüfe deshalb immer einige Runden von Hand.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Welches Spiel wirkt fairer?

Spiel Rot: Bei Kopf gewinnst Du 1 Euro, bei Zahl verlierst Du 1 Euro.

$P(K)=P(Z)=\frac{1}{2}$

Gedankenpaket aus zwei Runden:

$1-1=0$ Euro

Rückmeldung: Das Spiel ist langfristig ausgeglichen, wenn die Münze fair ist.

Beispiel 2: Hohe Auszahlung bedeutet nicht automatisch fair

Spiel Blau: Du würfelst mit zwei Würfeln. Nur bei Summe 12 erhältst Du 10 Euro Nettogewinn, sonst verlierst Du 1 Euro.

Es gibt $36$ gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse. Nur $(6,6)$ ergibt 12.

$P(G)=\frac{1}{36}$

Gedankenpaket aus 36 Spielen:

$10-35=-25$ Euro

Rückmeldung: Die große Auszahlung klingt attraktiv, gleicht die sehr kleine Gewinnchance aber nicht aus.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1 – Gewinnplan lesen

Ein Spiel kostet 2 Euro. Bei einer 6 erhältst Du 12 Euro zurück, sonst nichts.

Aufgabe: Bestimme Gewinnwahrscheinlichkeit, Nettogewinn bei Treffer und Nettoverlust bei Nichttreffer. Entscheide anschließend mit einem Gedankenpaket aus sechs Spielen, ob das Spiel ausgeglichen ist.

Hilfe 1: $P(6)=\frac{1}{6}$.

Hilfe 2: Treffer: $12-2=10$ Euro. Nichttreffer: -2 Euro.

Feedback: In sechs gedachten Spielen ergibt sich $10-5\cdot 2=0$ Euro. Das Spiel ist langfristig ausgeglichen.

Übung 2 – Unfaire Variante erkennen

Wie ändert sich Übung 1, wenn bei einer 6 nur 10 Euro zurückgezahlt werden?

Hilfe 1: Die Wahrscheinlichkeit bleibt gleich.

Hilfe 2: Nettogewinn bei Treffer: $10-2=8$ Euro.

Feedback: $8-5\cdot 2=-2$ Euro pro sechs gedachten Spielen. Die spielende Person hat langfristig einen Nachteil.

Übung 3 – Simulation beurteilen

Eine App simuliert ein Spiel mit theoretischer Gewinnwahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$. Nach 20 Runden gab es 14 Gewinne.

Aufgabe: Darf man daraus schließen, dass die App unfair ist?

Hilfe 1: Berechne die relative Häufigkeit: $\frac{14}{20}=\mathrm{0,7}$, also 70 Prozent.

Hilfe 2: Vergleiche eine kleine Zahl von Wiederholungen mit einer großen.

Feedback: Nein. 20 Runden können deutlich schwanken. Prüfe mit mehr Wiederholungen und zusätzlich den verwendeten Zufallsmechanismus.

Übung 4 – Zwei Darstellungen verbinden

Ein Gewinnplan zeigt $P(G)=\frac{1}{4}$, Nettogewinn +3 Euro; bei Verlust gilt $P(V)=\frac{3}{4}$, Nettogewinn -1 Euro.

Aufgabe: Zeige die Fairness mit einem Gedankenpaket aus vier Spielen.

Hilfe: Ein Gewinn und drei Verluste.

Feedback: $3-1-1-1=0$ Euro.

MSA-Brücke / Erweiterung: Erwartungswert

Diese Passage ist ausdrücklich eine MSA-Brücke und nicht G-Kern.

Der Erwartungswert fasst den langfristigen durchschnittlichen Nettogewinn rechnerisch zusammen.

Für Spiel A:

$E=\frac{1}{3}\cdot 2+\frac{2}{3}\cdot (-1)=0$ Euro

Für Spiel B:

$E=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot (-1)=-\frac{1}{3}$ Euro

Merksatz: Bei einem fairen Spiel ist der langfristige durchschnittliche Nettogewinn 0 Euro. Ein negativer Wert bedeutet einen langfristigen Nachteil für die spielende Person.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Wichtig: Eine KI kann solche Rechnungen vorschlagen, aber ihre Ausgabe muss geprüft werden. Eine KI-Antwort ersetzt keine mathematische Begründung.

Typische Fehler

1. Auszahlung mit Gewinn verwechseln: Erst den Einsatz abziehen.
2. Nur die Gewinnchance ansehen: Fairness hängt auch von Gewinn- und Verlusthöhe ab.
3. Kurze Simulation überbewerten: 10 oder 20 Runden können stark schwanken.
4. Simulation als Beweis behandeln: Eine Simulation liefert Daten; die mathematische Begründung kommt aus Wahrscheinlichkeiten und Gewinnplan.
5. Digitale Ausgabe ungeprüft übernehmen: Formeln, Zufallsbereich und Rundenzahl kontrollieren.

Selbstkontrolle

1. Ich unterscheide Auszahlung, Einsatz und Nettogewinn.
2. Ich bestimme eine Gewinnwahrscheinlichkeit als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentwert.
3. Ich kann einen Gewinnplan lesen.
4. Ich erkläre, warum einzelne Runden nichts über langfristige Fairness beweisen.
5. Ich prüfe eine Simulation mit einer Überschlagsrechnung.
6. Ich erkenne, dass Spiel A und Spiel B dieselbe Gewinnchance, aber unterschiedliche Fairness haben.

Transfer

Transfer 1: Ein Jahrmarktspiel wirbt mit „Jede dritte Runde gewinnt!“. Welche zusätzliche Information brauchst Du, bevor Du die Fairness beurteilen kannst?

Transfer 2: Zwei Spiele haben dieselbe langfristige Durchschnittsbilanz, aber unterschiedlich hohe Einzelgewinne. Erkläre, warum sie sich trotzdem unterschiedlich riskant anfühlen können.

Transfer 3: Entwickle einen fairen Gewinnplan für einen Würfel, bei dem nur die 6 gewinnt. Nutze einen kleinen ganzzahligen Einsatz und begründe Deine Auszahlung.

Kompetenzcheck

1. Darstellen: Erstelle für ein neues Würfelspiel einen Gewinnplan mit Ergebnis, Wahrscheinlichkeit und Nettogewinn.
2. Rechnen: Vergleiche zwei Spiele anhand eines gemeinsamen Gedankenpakets von gleich vielen Runden.
3. Begründen: Erkläre in zwei bis drei Sätzen, warum gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit nicht automatisch gleiche Fairness bedeutet.
4. Simulieren: Führe mindestens 300 anonyme digitale Wiederholungen durch und berechne die durchschnittliche Bilanz pro Runde.
5. Prüfen: Vergleiche Simulation und theoretische Überlegung. Nenne mindestens eine mögliche Fehlerquelle im digitalen Modell.

Reflexion

1. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Gewinnplan, Gedankenpaket oder Simulation?
2. Ab welcher Rundenzahl empfindest Du eine Simulation als überzeugender als bei 10 Runden? Begründe ohne eine feste magische Zahl zu behaupten.
3. Wo könntest Du im Alltag mit unfair gestalteten Zufallsspielen oder irreführenden Gewinnversprechen in Kontakt kommen?
4. Was muss eine KI-Ausgabe enthalten, damit Du ihren Rechenweg selbst überprüfen kannst?

Folgekurs

Als nächster Schritt passt ein Kurs zu zweistufigen Zufallsexperimenten und Baumdiagrammen. Eine MSA-Brücke kann anschließend Pfadregeln und bedingte Wahrscheinlichkeiten aufgreifen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Woran erkennst Du ein langfristig ausgeglichenes Spiel am besten? (Keine Seite hat im langfristigen Mittel einen eingebauten Vorteil) (!Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist immer 50 Prozent) (!Es gibt in jeder Runde einen Gewinn) (!Die Auszahlung ist möglichst groß)

Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem fairen Würfel für 5 oder 6? (Ein Drittel) (!Ein Sechstel) (!Zwei Drittel) (!Fünf Sechstel)

Ein Spiel kostet 1 Euro und zahlt bei Gewinn 3 Euro zurück. Wie hoch ist der Nettogewinn bei einem Treffer? (2 Euro) (!1 Euro) (!3 Euro) (!4 Euro)

Was beschreibt die relative Häufigkeit? (Den beobachteten Anteil eines Ergebnisses) (!Die garantierte Wahrscheinlichkeit nach wenigen Versuchen) (!Die Höhe des Einsatzes) (!Die Anzahl möglicher Auszahlungen)

Warum sollte eine Simulation viele Wiederholungen enthalten? (Relative Häufigkeiten können sich bei vielen Wiederholungen stabilisieren) (!Die Gewinnchance wird dadurch automatisch größer) (!Der Einsatz wird dadurch kleiner) (!Jede Simulation liefert dann exakt denselben Wert)

Welche Aussage zu einer kurzen Simulation ist richtig? (Starke Abweichungen von der theoretischen Wahrscheinlichkeit sind möglich) (!Sie beweist sofort die Fairness eines Spiels) (!Sie muss immer genau die theoretische Wahrscheinlichkeit liefern) (!Sie macht einen Gewinnplan überflüssig)

Was muss zusätzlich zur Gewinnwahrscheinlichkeit betrachtet werden, um Fairness zu beurteilen? (Die Höhe von Gewinn und Verlust) (!Die Farbe des Würfels) (!Die Reihenfolge der Spielenden) (!Die Schriftgröße der Spielregel)

Was ist bei einer digitalen Simulation sinnvoll? (Einige Ergebnisse und Formeln von Hand prüfen) (!Alle Ausgaben ungeprüft übernehmen) (!Personenbezogene Daten sammeln) (!Nur eine einzige Runde simulieren)

Was bedeutet ein langfristiger durchschnittlicher Nettogewinn von 0 Euro? (Das Spiel ist im mathematischen Sinn langfristig ausgeglichen) (!Man gewinnt in jeder Runde 0 Euro) (!Es gibt keine Zufallsschwankungen) (!Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt sicher 100 Prozent)

Welche Aussage über KI bei mathematischen Aufgaben ist richtig? (KI-Ausgaben müssen mathematisch geprüft und begründet werden) (!KI-Ausgaben sind automatisch ein Beweis) (!KI ersetzt die Kontrolle von Wahrscheinlichkeiten) (!KI macht Simulationen immer fehlerfrei)

Memory

Faires Spiel	langfristig kein eingebauter Vorteil
Gewinnwahrscheinlichkeit	Chance auf einen positiven Nettogewinn
Einsatz	Zahlung vor einer Spielrunde
Auszahlung	Rückgabe nach einem bestimmten Ergebnis
Simulation	viele künstliche Wiederholungen
Relative Häufigkeit	beobachteter Anteil eines Ergebnisses

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Gewinnplan	verbindet Ergebnis, Wahrscheinlichkeit und Nettogewinn
Langfristiger Vorteil	Hinweis auf ein unfaires Spiel
Ausgeglichenheit	keine Seite wird langfristig bevorzugt
Simulation	untersucht viele Wiederholungen
Kontrollrechnung	prüft ein digitales Ergebnis

Kreuzworträtsel

Fairness	Wie heißt die Eigenschaft eines langfristig ausgeglichenen Spiels?
Simulation	Wie nennt man viele künstliche Wiederholungen eines Zufallsspiels?
Einsatz	Welcher Betrag wird vor einer Spielrunde gezahlt?
Auszahlung	Welcher Betrag wird nach einem bestimmten Ergebnis zurückgegeben?
Häufigkeit	Wie heißt die beobachtete Anzahl oder der beobachtete Anteil eines Ergebnisses?
Gewinnplan	Welche Darstellung verbindet Ergebnisse, Chancen und Nettogewinne?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem fairen Spiel hat langfristig keine Seite einen eingebauten . Die beobachtete relative kann bei wenigen Runden deutlich von der theoretischen Wahrscheinlichkeit abweichen. Ein verbindet Ergebnisse mit Wahrscheinlichkeiten und Nettogewinnen. Bei einer digitalen werden viele Runden künstlich wiederholt. Die Auszahlung ist nicht dasselbe wie der , weil der Einsatz berücksichtigt werden muss. Eine KI-Ausgabe muss mathematisch werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Gewinnplan: Erstelle zu Spiel A eine eigene farbige Darstellung mit Einsatz, Treffer, Nichttreffer und Nettogewinn.
2. Wahrscheinlichkeit: Erfinde ein einfaches Würfelspiel mit einer Gewinnchance von einem Drittel und beschreibe die Regeln eindeutig.
3. Relative Häufigkeit: Spiele 30 Runden eines Münzspiels und dokumentiere nur anonyme Ergebniszahlen.
4. Erklärvideo: Produziere ein 60-Sekunden-Video, in dem Du den Unterschied zwischen Auszahlung und Nettogewinn erklärst.

Standard

1. Simulation: Simuliere Spiel A 300-mal digital und vergleiche die Bilanz mit einer Rechnung von Hand.
2. Fairness: Verändere bei Spiel A nur die Auszahlung so, dass das Spiel für die spielende Person unfair wird, und begründe.
3. Datenvisualisierung: Stelle den Trefferanteil nach 30, 100 und 300 Runden in einem Diagramm dar.
4. Fehleranalyse: Erstelle ein Lernplakat mit drei typischen Fehlern beim Beurteilen von Zufallsspielen und passenden Korrekturen.

Schwer

1. Spielentwicklung: Entwickle zwei Spiele mit derselben Gewinnwahrscheinlichkeit, aber unterschiedlicher langfristiger Fairness.
2. Modellkritik: Prüfe eine KI-generierte Lösung zu einem fiktiven Glücksspiel. Markiere jeden Rechenschritt, den Du selbst verifiziert hast.
3. Vergleichsstudie: Lass zwei verschiedene digitale Werkzeuge dasselbe Spiel simulieren und untersuche, warum ihre Ergebnisse nicht identisch sein müssen.
4. MSA-Brücke: Formuliere für ein selbst entwickeltes Spiel eine Erwartungswertrechnung und erkläre, wie sie zur Simulation passt.

Lernkontrolle

1. Fairness begründen: Zwei Spiele haben dieselbe Gewinnchance, aber verschiedene Auszahlungen. Erkläre mit Gewinnplänen, warum ihre Fairness unterschiedlich sein kann.
2. Simulation interpretieren: Eine Simulation liefert nach 50 Runden einen deutlichen Gewinn, nach 5000 Runden aber eine durchschnittliche Bilanz nahe 0. Erkläre den Unterschied.
3. Modell prüfen: In einer Tabellenkalkulation werden Zahlen von 0 bis 6 erzeugt, obwohl ein normaler Würfel simuliert werden soll. Erkläre den Modellfehler und korrigiere ihn.
4. Transfer: Entwirf ein faires Münzspiel mit Einsatz und Auszahlung. Begründe die Fairness ohne Simulation.
5. Digitale Urteilskompetenz: Eine KI behauptet, ein Spiel sei fair, weil die Gewinnchance 50 Prozent beträgt. Formuliere eine sachliche Gegenprüfung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Gewinnwahrscheinlichkeiten korrekt bestimmst.
2. zwischen Einsatz, Auszahlung und Nettogewinn unterscheidest.
3. Gewinnpläne verständlich darstellst.
4. Fairness mit einem Gedankenpaket oder einer gleichwertigen Begründung erklärst.
5. Simulationsergebnisse angemessen interpretierst und nicht überbewertest.
6. digitale Ergebnisse durch Rechnungen und Plausibilitätschecks kontrollierst.
7. MSA-Brücke: den Erwartungswert als Erweiterung einordnen und eine einfache Rechnung nachvollziehen kannst.

OERs zum Thema

MSA-Brücke / Erweiterung:

Verknüpfte Lernbereiche

Faire Spiele Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeit Simulation Gewinnplan Erwartungswert Baumdiagramm