M10 G - Erwartungswert bei einfachen Spielen verstehen – Erweiterung

M10 G - Erwartungswert bei einfachen Spielen verstehen – Erweiterung

Mini-Beschreibung: Erhalte einen anschaulichen Einblick in langfristige durchschnittliche Gewinne beziehungsweise Verluste bei fiktiven Spielen. Du nutzt Gewinnpläne, einfache Rechnungen und Zufallssimulationen. Besonders wichtig: Der Erwartungswert ist kein garantiertes Ergebnis einer einzelnen Runde.

Zielgruppe: Klasse 10, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau als Erweiterung.

Einleitung

Ein Spiel kann einzelne hohe Gewinne versprechen und trotzdem langfristig ungünstig sein. Der Erwartungswert hilft Dir, das zu untersuchen.

Bei zwei möglichen Ergebnissen kannst Du so rechnen:

$E(X)=x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2$

Dabei sind die Werte $x_1$ und $x_2$ Gewinne oder Verluste. Die Werte $p_1$ und $p_2$ sind die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Merke: Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen Durchschnitt. Er sagt nicht voraus, was in der nächsten Runde passiert.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Gewinnplan: mögliche Gewinne und Verluste übersichtlich darstellen.
2. Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeiten zuordnen.
3. Erwartungswert: einfache Erwartungswerte berechnen.
4. Interpretation: einen Erwartungswert im Sachzusammenhang deuten.
5. Simulation: beobachtete Mittelwerte mit dem theoretischen Wert vergleichen.
6. Fehlvorstellung: erklären, warum der Erwartungswert kein garantiertes Einzelergebnis ist.
7. Digitale Kompetenz: Simulationen und KI-Ausgaben kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

1. Bruchrechnung: $\frac{1}{2}\cdot 4=2$
2. Negative Zahlen: $3+(-5)=-2$
3. Wahrscheinlichkeit: Bei einem fairen Würfel hat jede Augenzahl die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.
4. Arithmetisches Mittel: $\frac{2+4+3+5}{4}=\mathrm{3,5}$

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?

Feedback: Wenn Dir Brüche oder negative Zahlen unsicher sind, wiederhole zuerst Bruchrechnung und Ganze Zahlen.

Grundidee: gewichteter Durchschnitt

Nicht jedes Ergebnis eines Spiels ist gleich wahrscheinlich. Deshalb reicht es oft nicht, nur die möglichen Gewinne zu mitteln.

Schrittfolge:

1. Mögliche Ergebnisse notieren.
2. Gewinn oder Verlust zuordnen.
3. Wahrscheinlichkeit zuordnen.
4. Gewinn mit Wahrscheinlichkeit multiplizieren.
5. Produkte addieren.
6. Ergebnis deuten.

Beispiel 1: Münzspiel

Eine faire Münze wird einmal geworfen.

1. Kopf: Gewinn 2 €.
2. Zahl: Verlust 1 €.

Ergebnis	Gewinn	Wahrscheinlichkeit	Produkt
Kopf	2 €	$\frac{1}{2}$	$1$
Zahl	-1 €	$\frac{1}{2}$	$-\mathrm{0,5}$

$E(X)=2\cdot \frac{1}{2}+(-1)\cdot \frac{1}{2}$

$E(X)=\mathrm{0,5}$

Deutung: Bei sehr vielen Wiederholungen liegt der durchschnittliche Gewinn langfristig bei ungefähr 0,50 € pro Spiel.

Nicht gemeint: Du gewinnst im nächsten Spiel sicher 0,50 €. Dieser Geldbetrag kommt in einer einzelnen Runde sogar gar nicht vor.

Simulation 1: kurze Serien können stark abweichen

Für das Münzspiel gilt theoretisch:

$E(X)=\mathrm{0,5}$

Mögliche Serie A: 2, -1, 2, -1.

$\frac{2-1+2-1}{4}=\mathrm{0,5}$

Mögliche Serie B: -1, -1, -1, 2.

$\frac{-1-1-1+2}{4}=-\mathrm{0,25}$

Schluss: Beide Serien sind möglich. Eine kurze Serie muss den Erwartungswert nicht treffen.

Gewinnplan bei Würfelspielen

Beispiel 2: faires Würfelspiel

Spielregel:

1. Bei einer 6 gewinnst Du 5 €.
2. Bei 1 bis 5 verlierst Du 1 €.

Ergebnis	Gewinn	Wahrscheinlichkeit
6	5 €	$\frac{1}{6}$
1 bis 5	-1 €	$\frac{5}{6}$

$E(X)=5\cdot \frac{1}{6}+(-1)\cdot \frac{5}{6}$

$E(X)=0$

Deutung: Das Spiel ist langfristig im Durchschnitt ausgeglichen.

Achtung: Auch bei einem Erwartungswert von 0 € kann eine Person nach zehn Runden deutlich gewonnen oder verloren haben.

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Simulation 2: dasselbe Spiel oft wiederholen

Mögliche Simulationsergebnisse:

Spiele	Sechsen	Gesamtgewinn	Durchschnitt
12	0	-12 €	-1 €
12	2	0 €	0 €
12	4	12 €	1 €
600	102	12 €	0,02 €

Bei wenigen Spielen kann der beobachtete Durchschnitt stark schwanken. Bei vielen Wiederholungen liegt er häufig näher am theoretischen Erwartungswert.

Wichtig: Eine längere Serie liegt nicht automatisch immer näher am Erwartungswert als jede kürzere Serie. Zufallsschwankungen bleiben möglich.

Langfristiger Durchschnitt

Der Erwartungswert ist ein theoretischer Wert. Eine Simulation liefert beobachtete Daten.

Merksatz: Erwartungswert und beobachteter Mittelwert sind nicht dasselbe.

1. Erwartungswert: theoretisch aus dem Modell berechnet.
2. Beobachteter Mittelwert: aus tatsächlich durchgeführten oder simulierten Spielen berechnet.

Das Grundprinzip, dass sich Mittelwerte bei vielen unabhängigen Wiederholungen häufig stabilisieren, hängt mit dem Gesetz der großen Zahlen zusammen.

Simulation 3: ungünstiges Würfelspiel

Neue Spielregel:

1. Bei einer 6 gewinnst Du 4 €.
2. Bei 1 bis 5 verlierst Du 1 €.

$E(X)=4\cdot \frac{1}{6}+(-1)\cdot \frac{5}{6}$

$E(X)=-\frac{1}{6}$

Der Wert beträgt gerundet etwa -0,17 € pro Spiel.

Deutung: Langfristig entsteht im Durchschnitt ein kleiner Verlust pro Spiel.

Interaktive Beispiele

Beispiel 3: Glücksrad

Ein Glücksrad hat zwei gleich große Felder.

1. Blau: Gewinn 3 €.
2. Gelb: Verlust 1 €.

$E(X)=3\cdot \frac{1}{2}+(-1)\cdot \frac{1}{2}$

$E(X)=1$

Deutung: Der langfristige durchschnittliche Gewinn beträgt 1 € pro Spiel.

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Beispiel 4: erst schätzen, dann rechnen

Ein Spiel hat zwei Möglichkeiten:

1. Gewinn 6 € mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$.
2. Verlust 2 € mit Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{4}$.

$E(X)=6\cdot \frac{1}{4}+(-2)\cdot \frac{3}{4}$

$E(X)=0$

Feedback: Der hohe Gewinn fällt auf, ist aber selten. Erst die Gewichtung mit den Wahrscheinlichkeiten zeigt den langfristigen Durchschnitt.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1

Ein Spiel liefert 2 € Gewinn mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ und 2 € Verlust mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$.

Hilfe 1: Schreibe zwei Produkte auf.

Hilfe 2:

$E(X)=2\cdot \frac{1}{2}+(-2)\cdot \frac{1}{2}$

Lösung:

$E(X)=0$

Feedback: Ein Erwartungswert von 0 € bedeutet langfristig ausgeglichen. Es bedeutet nicht, dass jede einzelne Runde bei 0 € endet.

Übung 2

Bei einer 6 erhältst Du 8 €. Sonst verlierst Du 1 €.

Hilfe 1: Die Wahrscheinlichkeiten sind $\frac{1}{6}$ und $\frac{5}{6}$.

Hilfe 2:

$E(X)=8\cdot \frac{1}{6}+(-1)\cdot \frac{5}{6}$

Lösung:

$E(X)=\frac{3}{6}$

$E(X)=\mathrm{0,5}$

Feedback: Langfristig liegt der durchschnittliche Gewinn bei 0,50 € pro Spiel.

Übung 3: Fehler finden

Eine Person rechnet:

$\frac{8+(-1)}{2}=\mathrm{3,5}$

Aufgabe: Erkläre den Fehler.

Hilfe: Sind 8 € und -1 € gleich wahrscheinlich?

Lösung: Nein. Der Gewinn 8 € tritt nur mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ auf. Der Verlust -1 € tritt mit Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6}$ auf. Deshalb muss gewichtet werden.

Übung 4: Simulation auswerten

Ein Spiel hat theoretisch den Erwartungswert 0,50 €. In 20 simulierten Spielen beträgt der beobachtete Durchschnitt -0,20 €.

Frage: Ist die Simulation deshalb falsch?

Antwort: Nein. Bei wenigen Wiederholungen sind starke Schwankungen möglich.

Digitaler Prüfhinweis: Eine Simulation ist kein mathematischer Beweis. Prüfe immer, ob Spielregel, Wahrscheinlichkeiten und Auswertung korrekt umgesetzt wurden.

Eigene Zufallssimulation

Simuliere das faire Würfelspiel: 6 bedeutet +5 €, sonst -1 €.

1. Erzeuge 30 Zufallszahlen von 1 bis 6 oder würfle 30-mal.
2. Wandle jede 6 in +5 € um.
3. Wandle jede andere Augenzahl in -1 € um.
4. Addiere alle Gewinne.
5. Teile die Summe durch 30.
6. Vergleiche den beobachteten Mittelwert mit dem theoretischen Wert 0 €.

Erweiterung: Wiederhole digital mit 300 oder 3000 Spielen.

Prüffragen:

1. Werden wirklich nur die Zahlen 1 bis 6 erzeugt?
2. Sind die sechs Zahlen ungefähr gleich wahrscheinlich?
3. Wurde der Gewinnplan korrekt umgesetzt?
4. Ändert sich das Ergebnis bei einer neuen Simulation?
5. Liegt der Mittelwert bei vielen Wiederholungen häufig näher am theoretischen Wert?

Typische Fehler

Fehler 1: Erwartungswert als sicheres Ergebnis

Falsch: „Der Erwartungswert ist 0,50 €, also gewinne ich im nächsten Spiel sicher 0,50 €.“

Richtig: Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen Durchschnitt.

Fehler 2: Wahrscheinlichkeiten vergessen

Falsch ist es, bei ungleich wahrscheinlichen Ergebnissen nur den einfachen Mittelwert der beiden Geldbeträge zu bilden.

Richtig ist es, jeden Gewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit zu gewichten.

Fehler 3: Auszahlung und Gewinn verwechseln

Ein Spiel kostet 2 € Einsatz. Du bekommst 5 € ausgezahlt.

$5-2=3$

Der Netto-Gewinn beträgt 3 €.

Fehler 4: Minuszeichen vergessen

Ein Verlust von 2 € wird mit -2 dargestellt.

Fehler 5: Simulation für einen Beweis halten

Eine Simulation liefert Daten. Sie kann eine theoretische Rechnung unterstützen, aber nicht ersetzen.

KI-Hinweis: Auch KI-Ausgaben können Fehler enthalten. Prüfe Gewinnplan, Wahrscheinlichkeiten, Rechnung und Deutung selbst. Eine KI-Antwort ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Markiere für Dich: sicher, teilweise sicher oder noch üben.

1. Ich kann Gewinne und Verluste mit positiven und negativen Zahlen darstellen.
2. Ich kann Wahrscheinlichkeiten in einen Gewinnplan eintragen.
3. Ich kann Produkte mit Brüchen berechnen.
4. Ich kann die gewichteten Werte addieren.
5. Ich kann einen positiven, negativen oder neutralen Erwartungswert sprachlich deuten.
6. Ich kann erklären, warum ein Einzelergebnis nicht dem Erwartungswert entsprechen muss.
7. Ich kann Simulation und theoretischen Erwartungswert unterscheiden.

MSA-Brücken

Diese Aufgaben sind freiwillige Erweiterungen.

MSA-Brücke 1: fairen Gewinn bestimmen

Bei einer 6 erhältst Du einen unbekannten Gewinn $g$. Bei 1 bis 5 verlierst Du 1 €.

Für ein faires Spiel soll gelten:

$g\cdot \frac{1}{6}+(-1)\cdot \frac{5}{6}=0$

Daraus folgt:

$g=5$

Ergebnis: Der Gewinn bei einer 6 muss 5 € betragen.

MSA-Brücke 2: zwei Spiele vergleichen

Spiel A hat den Erwartungswert 0,20 €.

Spiel B hat den Erwartungswert 0,80 €.

Denkfrage: Kannst Du allein daraus vorhersagen, welches Spiel in genau einer Runde den höheren Gewinn bringt?

Antwort: Nein. Für eine einzelne Runde sind die möglichen Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten entscheidend.

MSA-Brücke 3: Modell kritisch prüfen

Eine App zeigt für einen angeblich fairen Würfel nach 100 Würfen 40 Sechsen.

Aufgabe: Nenne zwei mögliche Erklärungen.

1. Eine sehr ungewöhnliche Zufallsschwankung.
2. Ein Fehler oder eine Verzerrung in der Simulation.

Prüfung: Wiederhole die Simulation und kontrolliere die Zufallsregel. Ein einzelnes auffälliges Ergebnis beweist noch keinen Programmfehler.

Transfer

Transfer 1: Schulfest-Spiel

Ein fiktives Gewinnspiel kostet 1 € Einsatz.

1. Mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ werden 3 € ausgezahlt.
2. Sonst gibt es keine Auszahlung.

Netto-Gewinn bei Treffer:

$3-1=2$

Netto-Gewinn ohne Treffer:

$0-1=-1$

Erwartungswert:

$E(X)=2\cdot \frac{1}{4}+(-1)\cdot \frac{3}{4}$

$E(X)=-\mathrm{0,25}$

Deutung: Aus Sicht der spielenden Person beträgt der langfristige durchschnittliche Verlust 0,25 € pro Spiel.

Transfer 2: Darstellungen verbinden

Ein Gewinnplan, eine Simulation und ein Diagramm können dasselbe Spiel beschreiben.

Aufgabe: Erkläre, welche Information Du aus einem Gewinnplan, einer Simulation und einem Diagramm ablesen kannst.

Kompetenzcheck

Aufgabe A: Ein Spiel liefert 3 € Gewinn mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ und 1 € Verlust mit Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{4}$.

$E(X)=3\cdot \frac{1}{4}+(-1)\cdot \frac{3}{4}$

$E(X)=0$

Aufgabe B: Ein Spiel hat den Erwartungswert -0,30 €. Erkläre die Bedeutung.

Muster: Bei sehr vielen Wiederholungen beträgt der durchschnittliche Verlust ungefähr 0,30 € pro Spiel.

Aufgabe C: Nach fünf Spielen wurde ein hoher durchschnittlicher Gewinn beobachtet, obwohl der theoretische Erwartungswert 0 € beträgt. Widerspricht das der Theorie?

Muster: Nein. Bei wenigen Spielen sind starke Schwankungen möglich.

Aufgabe D: Nenne zwei Kontrollen für eine digitale Simulation.

Muster: Prüfe die Zufallswahrscheinlichkeiten und den Gewinnplan.

Reflexion

1. Was bedeutet „langfristiger Durchschnitt“ für Dich jetzt?
2. Welche Fehlvorstellung zum Erwartungswert konntest Du klären?
3. Wann ist eine Simulation hilfreich?
4. Warum braucht eine Simulation trotzdem eine theoretische Prüfung?
5. Welcher Rechenschritt ist für Dich noch unsicher?
6. Wie kannst Du Deinen Rechenweg verständlich darstellen?

Folgekurs

Als nächster Schritt passen Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder Faire Spiele mit Erwartungswert gestalten.

MSA-Brücke: Dort kannst Du Spiele mit mehr als zwei Gewinnwerten untersuchen und Bedingungen für faire Spiele selbst bestimmen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Erwartungswert bei einem einfachen Spiel? (Den langfristigen durchschnittlichen Gewinn oder Verlust) (!Den sicheren Gewinn im nächsten Spiel) (!Die höchste mögliche Auszahlung) (!Die Anzahl der Spielrunden)

Welcher Rechenschritt gehört zur Berechnung des Erwartungswerts? (Jeden Gewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren) (!Alle Gewinne ohne Wahrscheinlichkeiten addieren) (!Nur den höchsten Gewinn verwenden) (!Nur die Verluste betrachten)

Was bedeutet ein Erwartungswert von null Euro? (Das Spiel ist langfristig im Durchschnitt ausgeglichen) (!Jede Runde endet mit null Euro) (!Man kann nie verlieren) (!Man kann nie gewinnen)

Wie wird ein Verlust im Gewinnplan dargestellt? (Mit einem negativen Wert) (!Mit einem positiven Wert) (!Immer mit null) (!Immer als Bruch)

Warum kann ein Mittelwert nach zehn Spielen vom Erwartungswert abweichen? (Weil Zufallsschwankungen möglich sind) (!Weil Wahrscheinlichkeiten verschwinden) (!Weil Verluste nicht zählen) (!Weil Würfel keine Zufallsgeräte sind)

Wie groß ist bei einem fairen Würfel die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Augenzahl? (Ein Sechstel) (!Ein Fünftel) (!Ein Viertel) (!Ein Halb)

Was muss man bei Einsatz und Auszahlung unterscheiden? (Auszahlung und Netto-Gewinn) (!Würfel und Münze) (!Addition und Multiplikation immer) (!Simulation und Diagramm immer)

Was zeigt eine Simulation mit sehr vielen Wiederholungen typischerweise? (Der beobachtete Mittelwert kann sich dem Erwartungswert annähern) (!Jede Runde wird gleich) (!Der Zufall verschwindet vollständig) (!Der höchste Gewinn tritt immer ein)

Was gilt für eine KI-Ausgabe zu einer Erwartungswert-Aufgabe? (Sie muss mathematisch geprüft werden) (!Sie ist automatisch ein Beweis) (!Sie ist immer fehlerfrei) (!Sie ersetzt die Wahrscheinlichkeiten)

Welche Aussage zum Erwartungswert ist richtig? (Er kann ein Wert sein der in keiner einzelnen Runde auftritt) (!Er muss immer ein möglicher Einzelgewinn sein) (!Er ist immer positiv) (!Er hängt nur vom höchsten Gewinn ab)

Memory

Erwartungswert	Langfristiger theoretischer Durchschnitt
Gewinnplan	Übersicht aus Ergebnissen Gewinnen und Wahrscheinlichkeiten
Simulation	Wiederholtes Nachbilden eines Zufallsexperiments
Verlust	Negativer Gewinnwert
Faires Spiel	Erwartungswert null
Mittelwert	Durchschnitt beobachteter Ergebnisse

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ergebnisse festlegen	Erster Schritt
Gewinne zuordnen	Zweiter Schritt
Wahrscheinlichkeiten zuordnen	Dritter Schritt
Produkte berechnen	Vierter Schritt
Produkte addieren	Fünfter Schritt
Erwartungswert deuten	Letzter Schritt

Kreuzworträtsel

Zufall	Was führt dazu dass kurze Spielserien stark schwanken können?
Gewinn	Wie heißt ein positiver Geldbetrag aus Sicht der spielenden Person?
Verlust	Wie heißt ein negativer Gewinn?
Mittelwert	Wie heißt ein Durchschnitt mehrerer beobachteter Werte?
Simulation	Wie nennt man das wiederholte Nachbilden eines Zufallsexperiments?
Erwartungswert	Wie heißt der theoretische langfristige Durchschnitt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen . Für die Berechnung wird jeder Gewinn mit seiner multipliziert. Ein Verlust wird mit einem Wert dargestellt. Bei einem fairen Spiel beträgt der Erwartungswert . Der Mittelwert einer kurzen Simulation kann vom theoretischen Wert deutlich . Viele Wiederholungen können den beobachteten Mittelwert in die Nähe des bringen. Eine digitale Simulation ersetzt keinen mathematischen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Gewinnplan: Erfinde ein Münzspiel mit zwei möglichen Geldbeträgen und stelle den Gewinnplan dar.
2. Würfelsimulation: Würfle 30-mal und berechne den beobachteten Mittelwert eines vorgegebenen Gewinnplans.
3. Fehleranalyse: Gestalte eine Karte mit einer typischen Fehlvorstellung und einer passenden Korrektur.
4. Erklärbild: Zeichne eine Schritt-für-Schritt-Grafik zur Berechnung eines Erwartungswerts.

Standard

1. Spielvergleich: Erfinde zwei Würfelspiele, berechne beide Erwartungswerte und vergleiche die langfristigen Durchschnittswerte.
2. Digitale Simulation: Simuliere dasselbe Spiel mit 30, 300 und 3000 Wiederholungen und vergleiche die Mittelwerte.
3. Interview: Befrage Mitschülerinnen und Mitschüler anonym zum Begriff Erwartungswert und sammle typische Vorstellungen ohne personenbezogene Daten.
4. Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Gewinnplan, Rechnung und Hinweis auf Zufallsschwankungen.

Schwer

1. Faires Spiel: Bestimme bei einem Würfelspiel einen unbekannten Gewinn so, dass der Erwartungswert 0 € beträgt.
2. Simulation prüfen: Entwickle Prüfkriterien für eine digitale Zufallssimulation.
3. Modellierung: Entwirf ein fiktives Schulfest-Spiel mit Einsatz und Auszahlung und begründe seinen Erwartungswert.
4. MSA-Brücke: Entwickle ein Spiel mit drei möglichen Gewinnen und erkläre, warum der Erwartungswert kein mögliches Einzelergebnis sein muss.

Lernkontrolle

1. Begründen: Ein Spiel hat den Erwartungswert 0 €, aber eine Person verliert in den ersten fünf Runden Geld. Erkläre, warum kein Widerspruch vorliegt.
2. Modellieren: Übersetze eine Spielbeschreibung mit Einsatz und Auszahlung in Netto-Gewinne und einen Gewinnplan.
3. Vergleichen: Zwei Simulationen desselben Spiels liefern verschiedene Mittelwerte. Erkläre mögliche Ursachen und nenne Kontrollen.
4. Transfer: Verändere einen Gewinn so, dass aus einem langfristig nachteiligen Spiel ein faires Spiel wird.
5. Darstellen: Erkläre denselben Erwartungswert einmal mit einer Rechnung und einmal sprachlich.
6. Kritisch prüfen: Prüfe eine digitale oder KI-generierte Lösung anhand von Gewinnplan, Wahrscheinlichkeiten, Rechnung und Deutung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du stellst einen korrekten Gewinnplan auf.
2. Du ordnest Wahrscheinlichkeiten richtig zu.
3. Du berechnest den Erwartungswert nachvollziehbar.
4. Du verwendest negative Zahlen für Verluste korrekt.
5. Du deutest den Erwartungswert im Sachzusammenhang.
6. Du erklärst, dass der Erwartungswert kein garantiertes Einzelergebnis ist.
7. Du vergleichst eine Simulation mit dem theoretischen Wert.
8. Du begründest mögliche Abweichungen durch Zufallsschwankungen.
9. Du prüfst digitale Ergebnisse kritisch.
10. Du stellst Rechenweg, Darstellung und Begründung verständlich dar.

OERs zum Thema

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Verknüpfte Lernbereiche

Erwartungswert Wahrscheinlichkeit Zufallsgröße Gewinnplan Simulation Arithmetisches Mittel Gesetz der großen Zahlen Faire Spiele